Tema 4. Oscilaciones pequeñas

Transcripción

1 Mecánica teórica Tema 4. Oscilaciones pequeñas Tema 4A Universidad de Sevilla - Facultad de Física cotrino@us.es 24 de octubre de 2017 Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

2 Tema 3: Oscilaciones pequeñas Contenido 1 Introducción. Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones 2 Las formas aproximadas de T y de V 3 Teoría general de modos normales 4 Ortogonalidad de los modos normales 5 Ejemplos típicos de modos normales 6 Oscilaciones pequeñas en general 7 Coordenadas normales 8 Sistemas disipativos Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

3 1. Introducción. Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones Cualquier sistema mecánico puede efectuar oscilaciones pequeñas en las proximidades de una posición estable de equilibrio Estas oscilaciones se pueden buscar (reloj de péndulo) o pueden ser indeseables (suspensión de puentes) Oscilaciones análogas ocurren en sistemas continuos y en mecánica cuántica Presentamos la teoría para sistemas conservativos con la aproximación de que la amplitud de las oscilaciones es lo suficientemente pequeña de forma que la aproximación lineal es adecuada Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

4 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones La mejor forma de desarrollar la teoría de las pequeñas oscilaciones es usando las ecuaciones de Lagrange Veremos que es posible aproximar expresiones de T y V desde el inicio de forma que las ecuaciones linearizadas del movimiento se obtienen fácilmente La teoría se presenta en forma matricial, lo que nos permite usar conceptos del Álgebra lineal, tales como autovalores y autovectores Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

5 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones La mejor forma de desarrollar la teoría de las pequeñas oscilaciones es usando las ecuaciones de Lagrange Veremos un resultado fundamental: Un sistema con n grados de libertad siempre tiene n movimientos armónicos conocidos como modos normales, cuyas frecuencias son generalmente diferentes Estas frecuencias normales son las características mas importantes del sistema oscilante Una importante aplicación de la teoría es la obtención de las vibraciones internas de moléculas. Aunque esto debe tratarse en Mecánica cuántica, el modelo clásico es extremadamente útil, haciendo predicciones cualitativas y clasificando los modos de vibración Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

6 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: movimientos periódicos Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

7 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: movimientos periódicos Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

8 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

9 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones Sea S un sistema mecánico típico con n grados de libertad y con coordenadas generalizas q = (q 1, q 2,...q n ). Supongamos que S sea conservativo. Entonces el movimiento de S está determinado por las ecuaciones de Lagrange: donde d dt ( T q j ) T q j = V q j. (1 j n) (1) T (q, q), V(q) Son las energías cinética y potencial de S. Estas ecuaciones determinan las posiciones de equilibrio de S. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

10 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones El punto q (0) en el espacio de la configuración es una posición de equilibrio de S si (y solo si) la función constante q = q (0) satisface las ecuaciones (1). Para un sistema típico, T tiene la forma T = n n j=1 k=1 t jk (q) q j q k, (2) Es decir, es una forma cuadrática homogénea en las variables q 1, q 2,..., q n, con coeficientes que dependen de q. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

11 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones La parte izquierda de la ecuación j de Lagrange tiene la forma 2 n k=1 ( dtjk dt ) q k + t jk q k n n j=1 k=1 ( tjk q j ) q j q k, Toma el valor cero cuando la función constante q = q (0) se sustituye. Se sigue que q = q (0) cumplirá las ecuaciones (1) si (y solo si) V q j = 0 (1 j n) Cuando q = q (0). Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

12 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones Tenemos el resultado: Las posiciones de equilibrio de un sistema conservativo son los puntos estacionarios de su función energía potencial V (q) Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

13 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: Equilibrio estable La estabilidad del equilibrio se entiende mas fácilmente mirando al movimiento de un punto fásico de S en el espacio de fase de Hamilton (p, q). Si q (0) es un punto de equilibrio de S en el espacio de la configuración, entonces (q (0), 0) es el punto de equilibrio correspondiente de S en el espacio fásico; si el punto fásico comienza en (q (0), 0), entonces permanecerá alĺı, su trayectoria consiste en un único punto (q (0), 0). Figura: Los círculos C δ deben ser suficientemente pequeños tal que todas las trayectorias del espacio fásico que comienzan en su interior permanezcan dentro del circulo dado C Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

14 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: Equilibrio estable Consideremos ahora trayectorias fásicas que comienzan en puntos que están próximos a una esfera S δ en el espacio fásico que tiene centro (q (0), 0) y radio δ. Cuando δ es pequeño, esto corresponde a que el sistema empieza en una configuración cercana a la configuración de equilibrio con una pequeña energía cinética. Sea S una pequeña esfera en el espacio fásico con centro en (q (0), 0) que contiene todas las trayectorias fásicas que comienzan dentro de S. Figura: Los círculos C δ deben ser suficientemente pequeños tal que todas las trayectorias del espacio fásico que comienzan en su interior permanezcan dentro del circulo dado C Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

15 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: Equilibrio estable Definición: Equilibrio estable. Si el radio tiende a cero cuando el radio δ tiende a cero, entonces el punto de equilibrio en (q (0), 0) se dice que es estable. (estabilidad de Liapunov) Esto significa: Si a S se le da un pequeño empujón desde una configuración próxima a equilibrio estable, el movimiento que efectúa S (en el espacio de la configuración) está limitado a pequeñas desviaciones del punto de equilibrio. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

16 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: Equilibrio estable Cualquier sistema mecánico puede realizar pequeños desplazamientos cercanos a su posición de equilibrio estable. Estos movimientos los denominamos pequeñas oscilaciones. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

17 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: Equilibrio estable Puntos mínimos de V Los puntos mínimos de la función energía potencial V (q) son las posiciones de equilibrio estable del sistema S Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

18 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: Estabilidad del equilibrio Consideramos el péndulo doble de la figura que se mueve en gravedad uniforme. Encontrar la posición de equilibrio estable. Figura: Péndulo doble.sistema en el plano vertical, punto de suspensión O.Coordenadas generalizadas θ, Φ Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

19 Equilibrio estable y pequeñas oscilaciones: Estabilidad del equilibrio En posición vertical el péndulo doble tiene θ = Φ = 0 en el espacio de la configuración Energía potencial gravitatoria: V = (M + m)gb(1 cosθ) + mgc(1 cosφ), Tenemos V θ = (M + m)gbsenθ = 0 cuando θ = Φ = 0 Lo mismo se cumple para V Φ. Por tanto, el punto θ = Φ = 0 es un punto estacionario de la función V (θ, Φ). La configuración vertical hacia abajo es una posición de equilibrio Si calculamos la segunda derivada de V (θ, Φ) comprobaremos que es un mínimo. Luego esa posición es una configuración de equilibrio estable Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

20 2. Formas aproximadas de T y de V Tenemos ahora pequeñas oscilaciones alrededor de un punto que es mínimo de V. Vamos a encontrar ecuaciones aproximadas para este movimiento. Seguimos con el ejemplo del péndulo doble. Figura: Péndulo doble. Diagrama de velocidades Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

21 Formas aproximadas de T y de V Los valores de T y de V están dados por ) T = 1 2 M(b θ) ((b m θ) 2 + (c Φ) 2 + 2(b θ)(c Φ)cos(θ Φ) V = (M + m)gb(1 cosθ) + mgc(1 cosφ) Llevando estas expresiones a las ecuaciones de Lagrange se tienen las ecuaciones exactas del movimiento: (M + m)b θ + mccos(θ Φ) Φ + mcsen(θ Φ) Φ 2 + (M + m)gsenθ = 0, bcos(θ Φ) θ + c Φ bsen(θ Φ) θ 2 + gsenφ = 0. Estas ecuaciones, par de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, acopladas, de segundo orden, gobiernan las oscilaciones grandes del péndulo doble. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

22 Formas aproximadas de T y de V Ecuaciones exactas del movimiento: (M + m)b θ + mccos(θ Φ) Φ + mcsen(θ Φ) Φ 2 + (M + m)gsenθ = 0, bcos(θ Φ) θ + c Φ bsen(θ Φ) θ 2 + gsenφ = 0. Vamos a aproximar despreciando todo, excepto los términos lineales en θ y Φ, y sus derivadas temporales. Nos queda (M + m)b θ + mc Φ + (M + m)gθ = 0, b θ + c Φ + gφ = 0. Tenemos ahora ecuaciones lineales que gobiernan las oscilaciones pequeñas del péndulo doble en las proximidades de la configuración vertical hacia abajo. Son ecuaciones diferenciales ordinarias, acopladas, de segundo orden, con coeficientes constantes. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

23 Formas aproximadas de T y de V El método anterior es correcto, pero complicado. Veamos otra forma Vamos a obtener expresiones aproximadas de T y de V. Volvemos al péndulo doble y recordamos la expresión exacta de la energía potencial: V = (M + m)gb(1 cosθ) + mgc(1 cosφ). Si los valores de θ y de Φ son pequeños, podemos escribir: V = 1 2 (M + m)gbθ mgcφ Hemos despreciado los términos de potencias cuatro y superiores. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

24 Formas aproximadas de T y de V Similarmente, cuando θ y Φ y sus derivadas son pequeñas, T, que venía dada por: ) T = 1 2 M(b θ) ((b m θ) 2 + (c Φ) 2 + 2(b θ)(c Φ)cos(θ Φ), Se aproxima ahora con: ) T = 1 2 M(b θ) ((b m θ) 2 + (c Φ) 2 + 2(b θ)(c Φ)(1 +...) = 1 2 (M + m)b2 θ 2 + mbc θ Φ mc2 Φ Se han despreciado términos de potencia cuatro y superiores en cantidades pequeñas. Si usamos ahora estas expresiones aproximadas de T y de V en las ecuaciones de Lagrange, se llega a las ecuaciones diferenciales lineales ya obtenidas anteriormente. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

25 Forma aproximada general de V En el caso general: Supongamos que la energía potencial V (q) del sistema S tiene un mínimo en q = 0 y que V (0) = 0 Si el punto mínimo de V no está en (q = 0), siempre podemos hacer un cambio del sistema de coordenadas. Desarrollamos, para q cerca de 0, V (q) puede desarrollarse en serie de Taylor (en n dimensiones) en las variables q 1, q 2,..., q n. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

26 Forma aproximada general de V Para el caso especial del sistema S con dos grados de libertad: Esta serie tiene la forma: V (q 1, q 2 ) = V (0, 0) + ( V q 1 q 1 + V q 2 q 2 ) + ( 2 V q 2 1 q V q 1 q 2 q 1 q V q 2 q2 2 2 Todas las derivadas parciales se evalúan en el punto de desarrollo q 1 = q 2 = 0. Ahora V ha sido seleccionado tal que V (0, 0) = 0. Como (0, 0) es un punto estacionario de V (q 1, q 2 ), se tiene que = V q 2 = 0. V q 1 Los términos constantes y lineales desaparecen del desarrollo de Taylor. ) +... Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

27 Forma aproximada general de V Por tanto, V, puede aproximarse mediante: V ap (q 1, q 2 ) = v 11 q v 12q 1 q 2 + v 22 q 2 2 Donde v 11, v 12, v 22 son constantes y están dados por: v 11 = 2 V q1 2 (0, 0) v 12 = 2 V (0, 0) q 1 q 2 v 22 = 2 V q2 2 (0, 0) Los términos despreciados tienen potencias tres (o mayores) en las cantidades pequeñas q 1 y q 2. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

28 Forma aproximada general de V La correspondiente aproximación para V (q) en el caso en que el sistema S tiene n grados de libertad es V ap (q) = n j=1 n k=1 v jkq j q k donde las {v jk } son constantes y dadas por v jk = v kj = ( 2 V q j q k )q=0 Los términos despreciados tienen potencias tres (o superiores) en las pequeñas cantidades q 1, q 2,..., q n. Esta es la forma general de la energía potencial aproximada V (q). Es una forma cuadrática homogénea en las variables q 1, q 2,..., q n. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

29 Forma aproximada general de T Para un sistema mecánico típico con coordenadas generalizadas q, la energía cinética T tiene la forma: T (q, q) = n n j=1 k=1 t jk (q) q j q k Una forma cuadrática en las variables q 1, q 2,..., q n con coeficientes que dependen de q. Desarrollando en serie de Taylor cada uno de estos coeficientes alrededor de q = 0, el término constante es simplemente t jk (0) y T (q, q) = n n j=1 k=1 t jk (0) q j q k +... Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

30 Forma aproximada general de T La correspondiente aproximación para T (q, q) en el caso en que el sistema S tiene n grados de libertad es T ap = n n j=1 k=1 t jkq j q k Donde las constantes {t jk } han sido llamadas antes {t jk (0)}, y los términos despreciados tienen potencias tres (o superiores) en las pequeñas cantidades q 1, q 2,..., q n, q 1, q 2,..., q n. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

31 Forma aproximada general de T Tenemos: T ap = n n j=1 k=1 t jkq j q k Esta es la forma general de la energía cinética aproximada T ap (q, q). Es una forma cuadrática homogénea en las variables q 1, q 2,..., q n Ya que T ap (q, q) > 0 excepto cuando q = 0, se sigue que es una forma cuadrática definida positiva Ya que T ap ( q) = T(0, q), se sigue que T ap se encuentra de forma directa calculando T cuando el sistema pasa por la posición de equilibrio. No es necesario calcular nunca la forma general de T. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

32 La matriz V y la matriz T Para desarrollar la teoría general introducimos las matrices nxn V y T Definición: La matriz simétrica nxn V cuyos elementos son los coeficientes {v jk } se denomina matriz V. La matriz simétrica nxn T cuyos elementos con los coeficientes {t jk } se denomina matriz T Usando V y T, las energías potencial y cinética de S puede escribirse en notación matricial: V ap = n n j=1 k=1 v jkq j q k = q V q T ap = n n j=1 k=1 t jkq j q k = q T q Donde q es un vector columna con elementos {q j }, y q es un vector columna con elementos { q j }. La notación x significa la matriz traspuesta del vector columna x. (otra notación como x T puede confundir) Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

33 La matriz V y la matriz T Vamos a encontrar las matrices V y T para el péndulo doble Para el péndulo doble, V ap está dado por V ap = 1 2 (M + m)gbθ mgcφ2 = ( ) ( ) ( ) 1 θ Φ 2 (M + m)gb 0 θ mgc Φ T ap está dado por T ap = 1 2 (M + m)b2 θ 2 + mbc θ Φ mc2 Φ 2 = ( θ Φ ) ( 1 2 (M + m)b2 1 2 mbc ) ( ) θ 1 2 mbc 1. 2 mc2 Φ Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

34 La matriz V y la matriz T Las matrices V y T para el péndulo doble son matrices 2x2, dadas por V = ( 1 2 (M + m)gb mgc ), ( 1 T = 2 (M + m)b2 1 2 mbc ) 1 2 mbc 1. 2 mc2 Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

35 3. Teoría general de modos normales: Ecuaciones para oscilaciones pequeñas Vamos a desarrollar la teoría general de modos normales para cualquier sistema oscilante. El primer paso es obtener la forma general de las ecuaciones para oscilaciones pequeñas. Esto lo hacemos sustituyendo las energías aproximadas potencial y cinética V ap y T ap en las ecuaciones de Lagrange. Ahora: T ap q j = 2 n k=1 t jkq k, T ap q j = 0, V ap q j = 2 n k=1 v jkq k Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

36 Teoría general de modos normales: Ecuaciones para oscilaciones pequeñas Las ecuaciones de Lagrange quedan en la forma: Forma expandida: n k=1 (t jk q k + v jk q k ) = 0 (1 j n) Forma matricial: T q + V q = 0 En las formas expandida y matricial, respectivamente. Estas son ecuaciones lineales para las pequeñas oscilaciones de S alrededor del punto q = 0 Son un conjunto de n ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de segundo orden que satisfacen las funciones desconocidas q 1 (t), q 2 (t),..., q n (t). Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

37 Teoría general de modos normales: Modos normales El siguiente paso es encontrar la clase especial de soluciones de las ecuaciones de oscilaciones pequeñas conocidas como modos normales. Después veremos que la solución general de las ecuaciones de oscilaciones pequeñas puede expresarse como una suma de modos normales. Definición: Una solución de las ecuaciones de oscilaciones pequeñas tiene la forma especial Forma expandida: q j = a j cos(ωt γ) (1 j n) Forma matricial: q = a cos(ωt γ) donde las {a j }, ω y γ son constantes, se denomina un normal normal del sistema S Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

38 Teoría general de modos normales: Modos normales En un modo normal, las coordenadas q 1, q 2,..., q n varían todas de armónicamente en el tiempo con la misma frecuencia ω y la misma fase γ; ahora bien, difieren generalmente en las amplitudes a 1, a 2,..., a n. Las cantidades de n-dimensiones a=(a 1, a 2,..., a n ) se denominan vector amplitud del modo, cuando se considera como un vector columna se escribe a. (frecuencias ω se suponen positivas). Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

39 Teoría general de modos normales: Modos normales Sustituyendo el modo normal en las ecuaciones de las oscilaciones de pequeña amplitud, se obtiene después de cancelar el factor común cos(ωt γ) Forma expandida: n ( k=1 vjk ω 2 ) t jk ak = 0 (1 j n) Forma matricial: (V ω 2 T) a = 0 Es un sistema de nxn ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para las coordenadas amplitud {a j }. Un modo normal existirá si podemos encontrar constantes {a j }, ω tal que se satisfacen las ecuaciones anteriores. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

40 Teoría general de modos normales: Modos normales Como las ecuaciones son homógeneas, siempre tienen la solución trivial a 1 = a 2 =... = a n = 0, sea cual sea ω. La solución trivial corresponde a la solución de equilibrio q 1 = q 2 =... = q n = 0 de las ecuaciones del movimiento y no corresponde a movimiento ninguno. Necesitamos encontrar la solución no trivial para las {a j }. Para ello, la condición es que el determinante del sistema de ecuaciones sea cero, es decir: det (V ω 2 T) = 0 Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

41 Teoría general de modos normales: Modos normales Determinante del sistema de ecuaciones sea cero, es decir: det (V ω 2 T) = 0 Esta es la ecuación que satisface la frecuencia angular ω en cualquier modo normal del sistema S Al desarrollar, tendremos una ecuación polinómica de grado n en la variable ω 2. Si esta ecuación tiene raíces reales positivas ω1 2, ω2 2,..., entonces, para cada uno de los valores de ω, las ecuaciones lineales tendrán solución no trivial para las amplitudes {a j } y existirá el modo normal. Las frecuencias angulares ω 1, ω 2,... de los modos normales se denominan las frecuencias normales del sistema S. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

42 Frecuencias normales del péndulo doble Vamos a encontrar las frecuencias normales de un péndulo doble para el caso particular en que M = 3m y b = c. Para estos valores especiales las matrices V y T son: V = 1 ( ) mgb T = 1 ( mgb2 1 1 La ecuación del determinante queda: [ ( ) det 2 mgb 1 ( mb2 ω ) )] = 0, Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

43 Frecuencias normales del péndulo doble Es decir 4n 2 4ω 2 ω 2 ω 2 n 2 ω 2 = 0 Donde n 2 = g b. Desarrollando el determinante, se tiene 3ω 4 8n 2 ω 2 + 4n 4 = 0 Que es una ecuación cuadrática en la variable ω 2. Esta es la ecuación que satisfacen las frecuencias normales. Factoriza en las dos raíces positivas reales ω1 2 y ω2 2 de ω2, (ω 2 ω1 2)(ω2 ω2 2 ) = 0. Donde: ω 2 1 = 2n2 3, ω2 2 = 2n 2. El péndulo doble tiene por tanto dos frecuencias normales: (2g/3b) 1/2 y (2g/b) 1/2. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

44 Forma de los modos normales Para encontrar las formas de los modos normales necesitamos las amplitudes. Si las amplitudes correspondientes a los ángulos θ y Φ son a 1 y a 2 respectivamente, entonces estas amplitudes satisfacen las ecuaciones lineales: ( 4n 2 4ω 2 ω 2 ) ( ) a1 ω 2 n 2 ω 2 = 0. si tomamos ω 2 = ω1 2 = 2n2 /3, las ecuaciones para las amplitudes quedan, ( ) ( ) 4 2 a1 = Cada una de estas ecuaciones es equivalente a una única ecuación 2a 1 = a 2 tal que tenemos la familia de soluciones no triviales a 1 = ɛ, a 2 = 2ɛ, donde ɛ puede tomar cualquier valor (no cero). a 2 a 2 Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

45 Forma de los modos normales Para este modo tenemos las soluciones: θ = ɛcos( 2/3nt γ), Φ = 2ɛcos( 2/3nt γ), Donde el factor de amplitud ɛ y el factor de fase γ pueden tomar cualquier valor. Corresponde a la parte izquierda de la figura. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46

46 Forma de los modos normales Para el otro modo tenemos las soluciones: θ = ɛcos( 2nt γ), Φ = 2ɛcos( 2nt γ), Donde el factor de amplitud ɛ y el factor de fase γ pueden tomar cualquier valor. Corresponde a la parte derecha de la figura. Tema 4A (Grupo 2) Mecánica Teórica ( ) 24 de octubre de / 46