Hoja de Problemas 7. Física Nuclear y Física de Partículas.

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1 Hoja de Problemas 7. Física Nuclear y Física de Partículas. Fundamentos de Física III. Grado en Física. Curso 2015/2016. Grupo 516. UAM Problema 1 La constante de decaimiento del 22 Na es años 1. (a) Calcular el periodo de semi-desintegración. (b) Calcular la actividad de una muestra que contiene 1.0 g de 22 Na. (c) Cuál es la actividad de la muestra después de que hayan pasado 3.5 años? (d) Cuántos átomos de 22 Na quedarán en la muestra después de ese tiempo? Solución Problema 1 (a) El período de semi-desintegración (t 1/2 ) viene dado por t 1/2 = ln(2) λ = ln(2) 1 = 2.61 años años (b) Primero calculamos el número de átomos de 22 Na (N) contenidos en una muestra de 1g de sustancia N = (1g)( átomos/mol) = átomos 22g/mol La actividad será por tanto dn ( dt = λn = (0.266 años 1 ) (c) Tenemos que dn ( dt = λn 0e λt = (0.266 años 1 ) s/año ) ( átomos) = decaimientos/s = Bq s/año (d) El número de átomos que quedarán en la muestra será ) ( )e (0.266años)(3.5años) = decaimientos/s = Bq N = N 0 e λt = ( )e (0.266años)(3.5años) átomos = átomos. 1

2 Problema 2 (a) La primera reacción nuclear artificial fue realizada por Rutherford en 1919 cuando bombardeó átomos de nitrógeno con partículas α emitidas por el isótopo 214 Bi. La reacción es 4 He + 14 N 17 O + 1 H Cuál es el valor Q de la reacción? y cuál es la energía umbral para que se produzca? (Nota: la masa atómica del 17 O es de u y las masas del resto de productos se pueden encontrar en el material complementario de clase). (b) Cockroft y Walton realizaron la primera reacción nuclear utilizando un acelerador de partículas. En este caso, se aceleraron protones para bombardear núcleos de litio, dando lugar a la reacción 1 H + 7 Li 4 He + 4 He Como las masas de los partículas involucradas en la reacción eran bien conocidas, esta reacción se usó para demostrar la relación masa-energía de Einstein. Calcular el valor Q de esta reacción. Solución Problema 2 (a) Tenemos una reacción del tipo a + X Y + b con a, X, Y y b siendo 4 He, 14 N, 17 O y 1 H, respectivamente. El valor Q de la reacción vendrá dado por Q = (K y + K b ) K a = ( + M a M Y M b )c 2 Tomando los valores de las masas de la tabla que vimos en clase ( = u, M a = u, M Y = u, M b = u) se obtiene Q = 1.19 MeV. Para el cálculo de la energía umbral, utilizamos el procedimiento usual en este tipo de problemas: calculamos la energía umbral en el sistema del centro de masas (en el que el momento total del sistema es cero) y luego la pasamos al sistema de referencia del laboratorio (en el que X está en reposo y a se utiliza como proyectil contra X). Considerando que la reacción es de baja energía (asumiendo expresiones no relativistas, se puede comprobar que se obtiene un resultado muy parecido con expresiones relativistas), la energía cinética total en el el sistema de referencia del CM es E CM = p2 CM + p2 CM = 1 ( ) Ma + 2M a 2 2 p2 CM M a donde p CM = M a v CM = V CM (v CM y V CM son, respectivamente, las velocidades de a y X en el sistema de referencia del CM). Por otro lado, sabemos que podemos relacionar el momento de la partícula a en el sistema de referencia del laboratorio p lab con el momento p CM utilizando simplemente la transformación de velocidades no relativista p lab = M a v lab = M a (v CM + V CM ) = M a v CM ( 1 + M a 2 ) ( = p CM 1 + M ) a

3 Así la energía cinética en el sistema de referencia del laboratorio será ( ) E lab = p2 lab = p2 CM Ma + M 2 X = M a + 2M a 2M a Finalmente, consideramos que en el sistema de referencia del centro de masas, la energía cinética umbral es Q ECM u = Q, y por lo tanto, utilizando la expresión de arriba, la energía cinética umbral en el sistema de referencia del laboratorio será Elab u = M a + Q = 1.53 MeV E CM (b) Tomando 1 H, 7 Li, 4 He, 4 He como a, X, Y y b, respectivamente, tenemos Q = ( + M a M Y M b )c 2 = 17.35MeV (donde = u, M a = u y M Y = M b = u. Problema 3 (a) En la fisión del uranio se producen a su vez productos que son radiactivos y que se desintegran en otros productos. Consideremos la reacción de fisión: 235 U + n 143 Ba + 90 Kr + 3 n. Describir la cadena de desintegraciones tipo β que sufren los productos 143 Ba y 90 Kr hasta que se generan núcleos estables. (b) Calcular la energía liberada en la reacción de fisión anterior teniendo en cuenta todas las sucesivas desintegraciones. (c) Estimar la energía de repulsión coulombiana para los núcleos de 143 Ba y 90 Kr justo después de que se formen. Solución Problema 3 (a) El 143 Ba sufre las siguiente serie de desintegraciones β hasta alcanzar el núcleo estable de 143 Nd que posee el mismo número másico (como vimos en clase, en cada una de las desintegraciones β, el número Z aumentará en una unidad). 143 Ba 143 La + e + ν e 143 La 143 Ce + e + ν e 143 Ce 143 Pr + e + ν e 143 Pr 143 Nd + e + ν e Por su parte para el 90 Kr sufre la siguiente serie de desintegraciones hasta llegar al núcleo estable de 90 Zr 90 Kr 90 Rb + e + ν e 90 Rb 90 Sr + e + ν e 90 Sr 90 Y + e + ν e 90 Y 90 Zr + e + ν e 3

4 (b) Si tenemos en cuenta la reacción inicial, la suma de las energías liberadas en todas las desintegraciones viene dada por Q tot = [M235 U M143 Nd M90 Zr (3 1)m n ] c 2 Introduciendo los siguientes valores: M235 U = u, M143 Nd = u, M90 Zr = u y m n = u, obtenemos Q tot = MeV. (c) Justo después de que se formen, los núcleos estarán separados por una distancia d = R Ba + R Kr Utilizando la expresión que vimos en clase R núcleo 1.2fm A 1/3 tenemos que d fm (utilizando 143 y 90 como valores para A en el Ba y el Kr, respectivamente). La correspondiente energía de repulsión coulombiana será por tanto U = k(z Bae)(Z Kr e) d 250MeV Problema 4 En 1989 un grupo de investigadores anunciaron que habían conseguido fusión en una celda electroquímica a temperatura ambiente. En particular anunciaron que podían conseguir 4 W de potencia a partir de reacciones de fusión de Deuterio que tenían lugar en el electrodo de Paladio de su sistema experimental. (a) Si las reacciones más probables en ese sistema son 2 H + 2 H 3 He + n MeV, y 2 H + 2 H 3 H + 1 H MeV con un 50 % de probabilidad de que ocurra una u otra reacción, cuántos neutrones se esperaría que se emitan por segundo cuando se generan 4 W de potencia? (b) Si suponemos que una décima parte de esos neutrones son absorbidos por el cuerpo de un investigador de 80 Kg situado cerca del dispositivo, y teniendo en cuenta que cada neutrón absorbido lleva una energía promedio de 0.5 MeV con un índice RBE de 4: qué dosis de radiación (en rems por hora) habría recibido el investigador? (c) En cuánto tiempo el investigador habría recibido una dosis total de 500 rems? (una dosis de 500 rems es letal para el 50 % de las personas que la reciben). Solución Problema 4 (a) El promedio de energía entregada por reacción es (3.27MeV MeV)/2 = 3.65MeV. Si denominamos N al número de reacciones por segundo, tendremos que la potencia total entregada P se puede escribir como P = 4W = N (3.65MeV) ( J/MeV) de donde obtenemos que N = reacciones/s. 4

5 Como nos dicen que solo la mitad de las reacciones que ocurren produce neutrones, deducimos que se producen neutrones/s. (b) Tenemos que Y por tanto, Ritmo de absorción de neutrones = 0.10 ( ) = neutrones/s Ritmo de absorción de energía = (0.5 MeV/neutrón) ( neutrones/s) ( J/MeV) Con lo que podemos calcular lo que nos piden haciendo = J/s Dosis de radiación recibida = ( J/s)/80Kg(100rad/J/Kg) = rad/s en rem/h será 4 ( rad/s) = rem/s = 493 rem/h (c) Los 500 rem se habrá recibido en un intervalo de tiempo t = 500 rem/493 rem/h = 1.02h Problema 5 Determinar cuáles de los siguientes decaimientos están permitidos y cuáles están prohibidos. Si está prohibido, determinar qué ley de conservación sería violada si el decaimiento tuviese lugar. (a) π e + γ, (b) π 0 e + e + + ν e + ν e, (c) π + e + e + + µ + + ν µ, (d) Λ 0 π + + π (e) n p + e + ν e Solución Problema 5 (a) El número leptónico cambia de 0 a 1 se viola la conservación del número leptónico. (b) Está permitido por las leyes de conservación. Interacción débil. (c) Está permitido por las leyes de conservación. Interacción débil. (d) El número bariónico cambia de 1 a 0 se viola la conservación del número bariónico. También se viola la conservación del momento angular, que cambia de 1/2 a 0. (e) Permitido por las leyes de conservación. Interacción débil. Problema 6 Determinar las posibles combinaciones de quarks para las siguientes partículas: (a) n, (b) Ξ 0, (c) Σ +, (d) Ω, y (e) Ξ. 5

6 Solución Problema 6 (a) El n tiene B = 1, Q = 0 y S = 0, (b) Ahora tenemos B = 1, Q = 0 y S = 2, (c) Tenemos B = 1, Q = 1 y S = 1, (d) En este caso, B = 1, Q = 1 y S = 3, (e) En este caso, B = 1, Q = 1 y S = 2, ū d d B -1/3-1/3-1/3 = -1 Q -2/3 1/3 1/3 = 0 S = 0 u s s B 1/3 1/3 1/3 = 1 Q 2/3-1/3-1/3 = 0 S = -2 u s s B 1/3 1/3 1/3 = 1 Q 2/3 2/3-1/3 = 1 S = -1 u s s B 1/3 1/3 1/3 = 1 Q -1/3-1/3-1/3 = -1 S = -3 u s s B 1/3 1/3 1/3 = 1 Q -1/3-1/3-1/3 = -1 S = -2 Problema 7 Considérese la reacción p + p p + p + X. (a) Determinar cuál sería la partícula X más pesada que se puede producir en un acelerador donde el objetivo (uno de los protones iniciales) está en reposo y al otro se le proporciona una energía cinética de 1000 GeV. (b) Cuál sería la respuesta en el caso de un colisionador en que ambos protones tienen una energía cinética de 500 GeV? Solución Problema 7 (a) Primero nos calculamos la energía umbral y la energía cinética umbral en el sistema del laboratorio (E LAB y K LAB ) necesaria para que ocurra el proceso propuesto. 6

7 Para ello utilizamos la invariancia de E 2 p 2 c 2, que nos permite relacionar la energía y el momento totales en el sistema de referencia del CM con la energía y el momento totales en el sistema de referencia del laboratorio (donde uno de los protones iniciales está en reposo) a través de E 2 LAB p 2 LABc 2 = E 2 CM p 2 CMc 2 Aplicando conservación de momento y energía, sabemos que en el sistema del CM p CM = 0 y E CM = (2m p +m X )c 2 (como sabemos, la energía umbral corresponde al caso en el que los productos de la reacción en el sistema del CM salen en reposo). Por tanto, E 2 LAB p 2 LABc 2 = (2m p + m X ) 2 c 4 (1) Ahora para escribir todo en función de E LAB, utilizamos el hecho de que en el sistema de referencia del laboratorio, al momento total del sistema p LAB sólo contribuye el momento del protón proyectil (que llamaremos protón 1 el otro protón está en reposo) p LAB = p LAB,1 y utilizamos la relación E 2 LAB,1 = p2 LAB,1 c2 + (m p c 2 ) 2, con lo que podemos escribir p 2 LABc 2 = p 2 LAB,1c 2 = E 2 LAB,1 (m p c 2 ) 2 = (E LAB m p c 2 ) 2 (m p c 2 ) 2 = E 2 LAB 2E LAB (m p c 2 ) Sustituyendo esta expresión en la ecuación (1) de arriba, tenemos De donde 2E LAB (m p c 2 ) = (2m p + m X ) 2 c 4 E LAB = (2m p + m X ) 2 c 2 2m p Y teniendo en cuenta que K LAB = E LAB 2m p c 2, obtenemos K LAB = (2m p + m X ) 2 c 2 2m p 2m p c 2 = (2m p + m X ) 2 (2m p ) 2 2m p c 2 Para resolver la masa m X que nos piden en el problema, despejamos esa masa de la ecuación anterior: ( ) m X c 2 = 2m p c K LAB 2m p c 2 1 = 41.48GeV Teniendo en cuenta la conservación de la carga, número bariónica y número leptónico, deducimos que X tiene que ser un mesón neutro. (b) En ese caso tenemos m X c 2 = 1000GeV: en este caso toda la energía cinética se puede convertir en masa de la partícula X. Problema 8 (a) Calcular la energía cinética total del los productos del decaimiento Λ 0 p + π, asumiendo que Λ 0 está inicialmente en reposo. (b) Determinar las energías cinéticas del protón y del pión para este decaimiento. 7

8 Solución Problema 8 (a) La energía cinética total vendrá dada por K total = (m Λ m p m π )c 2 = 38.1MeV donde hemos utilizado m Λ c 2 = MeV, m p c 2 = MeV, y m π c 2 = MeV. (b) Aplicando conservación del momento lineal tenemos p p c = p π c Ep 2 (m p c 2 ) 2 = Eπ 2 (m π c 2 ) 2 que en términos de las energías cinéticas se pueden escribir como (K p + m p c 2 ) 2 (m p c 2 ) 2 = (K π + m π c 2 ) 2 (m π c 2 ) 2 Utilizando K p + K π = K total en la ecuación de arriba y despejando K p se obtiene K p = K2 total + 2K total(m π c 2 ) 4m p c 2 + 2K total = 3.15MeV Y por tanto K π = 38.1MeV 3.15MeV = 34.95MeV 8