19. Interacción de fotones con partículas cargadas. Desintegración de niveles atómicos.

Transcripción

1 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Interacción de fotones con partículas cargadas. Desintegración de niveles atómicos. [Ynd 0.5, Gre.1-] Interacción radiación materia no relativista Acoplamiento mínimo Hemos construido una teoría de la radiación electromagnética libre con hamiltoniano y relación de dispersión H rad = d 3 k ω(k) â η(k)â η (k) ; ω(k) = ck, = ω(k), (19.1) η=± con operadores de creación y destrucción de estados de un fotón que cumplen [â η (k), â η (k )] = 0 k, k, η, η, [â η (k), â η (k )] = δ ηη δ (3) (k k ), (19.) y tenemos un operador potencial campo electromagnético Â(x, t) = c d 3 k { } ε η (k) e i[k x ω(k)t] â η (k) + e i[k x ω(k)t] â π η(k) η=±. (19.3) Nótese que, implícitamente, este operador está en la imagen de Heisenberg ( depende del tiempo!). Para obtener el operador en la imagen de Schrödinger basta aplicar la receta ÔS = ÔH(t = 0), i.e. Â S (x) = c π d 3 k η=± ε η (k) { } e ik x â η (k) + e ik x â η(k). (19.4) Ahora nos planteamos cómo interactúan los fotones con una partícula cuántica cargada (no relativista). Hemos argumentado que en el caso de campos electromagnéticos clásicos, bastaba prescribir que la dinámica del sistema está dada por el hamiltoniano de acoplamiento mínimo, que se obtiene realizando la sustitución ˆp ˆp q c A, (19.5) donde q es la carga de la partícula. 1 Es natural investigar qué ocurre si prescribimos la misma sustitución en el caso puramente cuántico: ˆp ˆp q c ÂS. (19.6) 1 Nótese que, al estar trabajando en el gauge de Coulomb, no es necesario considerar la contribución del potencial escalar, que está fijado a cero.

2 19- Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Introduciendo esto en Ĥ = ˆp m + ˆV, se llega a un hamiltoniano para el sistema materia cargada radiación de la forma Ĥ tot = Ĥ0 + Ĥrad + H int, (19.7) donde Ĥrad, naturalmente, describe la dinámica de los fotones libres; Ĥ 0 = 1 m ˆp + ˆV, (19.8) describe la dinámica de la partícula cargada en ausencia de interacciones electromagnéticas (pero con la presencia posible de otras interacciones contenidas en ˆV ); y el hamiltoniano Ĥint describe las interacciones electromagnéticas. Hamiltoniano de interacción La forma detallada de Ĥint es Ĥ int = Ĥ(1) int Ĥ (1) int = q mc Ĥ () int = + Ĥ() int q mc  S, Ĥ (s) int = µ s Ŝ B. + Ĥ(s) int, [ ˆp ÂS + ÂS ˆp ] = q mcâs ˆp, (19.9) Las contribuciones Ĥ(1,) int provienen de la sustitución mínima, mientras que la parte de interacción con el spin Ĥ(s) int (en la que s es el spin total de la partícula) ha sido añadida a mano por completitud. Su justificación sólo se obtendrá cuando se elimine la restricción a materia no relativista. La eliminación del término ˆp ÂS en Ĥ(1) int es una consecuencia de la condición de gauge de Coulomb: para comprobarlo basta aplicar el operador completo [ˆp ÂS + ÂS ˆp] a una función de onda arbitraria [ ] ) ( i ) ÂS(x) + ÂS(x) ( i ) Φ(x) = i (ÂS (x)φ(x) (19.10) = i } ÂS(x) Φ(x) + {{} ÂS(x) [ i Φ(x)]. =0 Sustituyendo la expresión expícita para ÂS: Ĥ (1) int = π q m d 3 k η=± { } e ik x â η (k) + e ik x â η(k) ε η (k) ˆp, (19.11)

3 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 19-3 Ĥ () int = q 8π m d 3 k d 3 k E(k ) η,η =± ε η (k) ε η (k ) { e i(k+k ) xâ η (k)â η (k ) + e i(k k ) xâ η (k)â η (k ) + } e i(k k ) xâ η(k)â η (k ) + e i(k+k ) xâ η(k)â η (k ). (19.1) Discusión El término Ĥ(1) int contiene interacciones entre una partícula cargada (descrita por su momento ˆp) y un fotón que se crea o se destruye, i.e. que es absorbido o emitido por la partícula (operador correspondiente â ( ) η (k) y factor de onda plana estática e ±ik x ε η (k)). En cambio, el término Ĥ() int contiene las interacciones posibles entre dos fotones (doble destrucción, doble creación, y creación+destrucción). Este último resultado es un tanto sorprendente; de hecho, desde el punto de vista de la teoría fundamental (electrodinámica cuántica, QED), se puede entender como un artefacto del límite no relativista. Es interesante observar que, si la partícula cargada bajo consideración es un electrón (q = e ), entonces, en términos de la constante de estructura fina 3 α = e c 1 137, (19.13) que mide la intensidad de la interacción electromagnética, se tiene Ĥ(1) int e α y Ĥ() int e α. Además, Ĥ 0 e 0 1. Esto sugiere que (i) el efecto de Ĥint se puede considerar una perturbación, controlada por el parámetro sin dimensiones α 1, de la dinámica de electrones y fotones libres, y (ii) hay una jerarquía cuantitativa entre ambas contribuciones, Ĥ0 > Ĥ(1) int > Ĥ () int. De nuevo, esta observación es mucho más transparente desde el punto de vista de la QED. Por ahora, nos limitaremos a utilizarla como argumento para realizar aproximaciones razonables en cálculos específicos. De hecho, este límite es inevitablemente problemático, ya que se están mezclando partículas intrínsecamente relativistas como los fotones con una restricción cinemática para las partículas cargadas que se acoplan a ellos. 3 Esta expresión, por supuesto, vale en el sistema de unidades gaussiano que estamos utilizando.

4 19-4 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Desintegración de niveles atómicos La primera aplicación de Ĥint será el estudio de la dinámica de desintegración de un nivel ε + (k) atómico, i.e. de la relajación de un átomo excitado a su estado fundamental a través de la emisión de un fotón, Z Zγ. Llamaremos los estados inicial y final k i := ψ i y f := ψ f ; k, η, respectivamente, donde ψ i,f son los estados del átomo con energías E y E 0. ε (k) Amplitud de transición E E 0 γ(k, η) =ck = E E 0 La probabilidad de transición por unidad de tiempo y de volumen del espacio de fases está dada por la regla de oro de Fermi, W (i f) Ef =E i,p f =p i = 1 π T fi, (19.14) donde T fi es la correspondiente amplitud de transición. Si aplicamos la aproximación de Born 4 T fi i f Ĥint i. (19.15) La justificación de que la aproximación de Born es razonable se basa en un razonamiento perturbativo: la expansión heurística en potencias de la constante de estructura fina discutida más arriba sugiere que la convergencia de la serie de Born será buena, y que, además, la restricción a primer orden permitirá despreciar Ĥ() int, ya que su contribución O(α) sería del orden de la contribución de (Ĥ(1) int ) que aparecería a segundo orden en la expansión de Born. Si, además, despreciamos los efectos de spin, el resultado final es T fi i f Ĥ(1) int i. (19.16) Esto es razonable, dado que, como hemos visto, Ĥ (1) int media interacciones directas entre un fotón y una partícula cargada, e.g. la emisión de un solo fotón por un electrón atómico. 4 Estrictamente, habría que utilizar el hamiltoniano en imagen de interacción Ĥint,I. Pero esto es equivalente a utilizar directamente el hamiltoniano en imagen de Schrödinger, i.e. sin dependencia temporal, e imponer explícitamente la conservación de la energía, como hemos hecho en (19.14), ya que la dependencia temporal simplemente dará lugar a una delta de energías (ejercicio).

5 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 19-5 Introduciendo la forma explícita del hamiltoniano (nótese que los índices de suma k, η son distintos de los números cuánticos k, η del fotón emitido): e { f Ĥ(1) int i = ε η (k ) ψ f ; k, η e ik xâ η (k )ˆp ψ i + πm d 3 k E(k ) η =± ψ f ; k, η e ik xâ } η (k )ˆp ψ i, (19.17) y el problema se reduce a calcular los elementos de matriz ψ f ; k, η e ik xâ η (k )ˆp ψ i y ψ f ; k, η e ik xâ η (k )ˆp ψ i y efectuar la suma sobre k y η. Cálculo de la amplitud: parte fotónica Las partes electrónica y fotónica de los estados externos se tratan de manera independiente. En concreto, el cálculo fotónico es sencillo: ψ f ; k, η e ik xâ η (k )ˆp ψ i = 0 (el estado i no contiene fotones) ψ f ; k, η e ik xâ η (k )ˆp ψ i = ψ f ; k, η e ik xˆp ψ i ; k, η = δ ηη δ (3) (k k ) ψ f e ik xˆp ψ i. (19.18) Si introducimos esto en (19.17) las sumas son triviales, y obtenemos e f Ĥ(1) int i = πm 1 ε η (k) ψ f e ik xˆp ψ i, (19.19) de manera que el problema se reduce a calcular el elemento de matriz atómico ψ f e ik xˆp ψ i. Para simplificar los tecnicismos asociados a las funciones de onda de átomos multielectrónicos, el resto del cálculo se llevará a cabo en el caso simplificado de un átomo hidrogenoideo (i.e. un núcleo con Z protones orbitado por un solo electrón). Cálculo de la amplitud: parte atómica. Regla de selección dipolar. Las funciones de onda ψ nllz (x) = ϕ nl (r) Y llz (θ, φ) de un átomo hidrogenoideo en coordenadas esféricas son conocidas. Si suponemos que los estados inicial y final tienen números cuánticos bien definidos n l lz y nll z, entonces para calcular el elemento de matriz atómico basta realizar la integral ψ f e ik xˆp ψ i = d 3 x e ik x ϕ nl (r) Y llz (θ, φ) ( i ) ϕ n l (r) Y l lz (θ, φ). (19.0)

6 19-6 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Este cálculo sigue siendo relativamente complicado, pero es fácil simplificarlo a través de una aproximación consistente con las realizadas para reducir el cálculo de T fi al de un elemento de matriz de Ĥ(1) int. Supongamos que expandimos la onda plana del integrando en serie de Taylor e ik x 1 ik x + O ( (k x) ). (19.1) Es razonable esperar que la contribución del término de primer orden ik x sea del orden de k r. Por otra parte, sabemos que así que r a B Z = me Z, ck = E E 0 me4 Z, (19.) k r Z e = Zα, (19.3) c donde α 1/137 es de nuevo la constante de estructura fina. Esto significa que, a menos que consideremos núcleos pesados Z O(10 ), los órdenes sucesivos de la expansión de e ik x serán cada vez más pequeños, con una estructura de serie de potencias de α similar a la asociada a la estructura de Ĥint. Ahora podemos concluir que, al haber ya hecho la aproximación de Born, es consistente despreciar los órdenes no triviales, y quedarnos con e ik x 1, i.e. ψ f e ik xˆp ψ i ψ f ˆp ψ i = d 3 x ϕ nl (r) Y llz (θ, φ) ( i ) ϕ n l (r) Y l lz (θ, φ). Por otra parte: (19.4) ˆp = mˆẋ = im [ĤCoul, ˆx], (19.5) donde ĤCoul es el hamiltoniano coulombiano del átomo. Así que ψ f ˆp ψ i = im ψ f [ĤCoul, ˆx] ψ i = im (E 0 E ) ψ f ˆx ψ i. (19.6) Reuniendo todo f Ĥ(1) int i i e π (E 0 E ) }{{} = ε η (k) ψ f ˆx ψ i. (19.7) El elemento de matriz no trivial que queda por calcular, ψ f ˆx ψ i, es similar al del hamiltoniano (energía) de un campo de dipolo eléctrico, Ĥ dip = E x. Este es el

7 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 19-7 motivo por el que la truncación e ik x 1 y sus consecuencias reciben el nombre de aproximación dipolar. Una de las consecuencias más útiles de la aproximación se sigue de las propiedades de los armónicos esféricos: ψ f ˆx ψ i = 0 1 dr r 3 ϕ nl (r) ϕ n l (r) π d(cos θ) 0 dφ 1 sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ Y ll z (θ, φ) Y l l z (θ, φ), (19.8) donde la expresión entre llaves es el vector director unitario de x. Es fácil ver (ejercicio) que la integral angular es distinta de cero si y sólo si se cumple la regla de selección dipolar: { l dω 0 l = 1, lz l z = 1 para las componentes x, y l l = 1, lz (19.9) = l z para la componente z. En particular, Ĥ (1) int, al orden dominante en potencias de α, sólo puede mediar transiciones atómicas con l = 1. Cualquier transición que no cumpla esto tendrá una probabilidad suprimida por al menos un factor α, i.e. será dos órdenes de magnitud menos probable. Vida media del primer estado excitado del átomo de hidrógeno Para hacer contacto con el experimento, consideremos la desintegración más sencilla posible: una transición p 1s en el átomo de hidgrógeno. 5 Los números cuánticos de los estados atómicos son nll z = 100 y n l = 1; por ahora no especificaremos la tercera componente de momento angular l z del electrón p. Las funciones de onda relevantes son donde ϕ 1 (r) = r λ = ϕ 10 (r) = 1 a 3/ B 6 a 5/ B 3 U λj x j, U = j=1 e r a B, Y 00 (θ, φ) = 1 4π, re r a 3 B, Y 1lz (θ, φ) = 4π 1 i i 0 1 r λ=0,± U lzλr λ, (19.30), U U = 1, (19.31) 5 Nótese que la transición s 1s está prohibida por la regla de selección dipolar, de modo que será mucho menos probable.

8 19-8 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena y el orden de las filas en U es (+, 0, ). Introduciendo esto en la integral para el elemento de matriz, y el resultado en (19.17), queda W [p, l z 1s; γ(k, η)] := W l z = ( ) 8 e πa B m c k 3 j=1 U l z jε (j) η (k). (19.3) Nótese que en esta transición todos los números cuánticos están bien definidos; en particular, l z y la polarización η del fotón emitido. Por otra parte, en un experimento sencillo dichos números cuánticos no resultan fáciles de medir. Por ello, a la hora de comparar con un resultado experimental conviene definir una cantidad directamente observable: la probabilidad de transición W := 1 W l 3 z. (19.33) Dicha probabilidad corresponde a mediar sobre los tres valores posibles de lz, y sumar sobre las dos polarizaciones posibles. Su cálculo es muy sencillo, ya que (ejercicio) 6 ergo 3 U l z jε (j) η (k) l z,η j=1 W = l z,η = η,j ε (j) η (k)ε (j) η (k) =, (19.34) ( ) 9 e πa B m c k. (19.35) El último paso consiste en utilizar W para calcular la anchura del proceso. Recuérdese que para ello hay que integrar sobre todas las variables cinemáticas redundantes imponiendo explícitamente las leyes de conservación. En este caso, el cálculo es particularmente sencillo: Γ = d 3 k δ(e f E i )W ; E i = E, E f = E 1 + E γ, (19.36) y usando E γ = ck y E n = me4 n (19.37) 6 Hay que usar la unitariedad de U en el primer paso, y las propiedades del vector de polarización en el segundo.

9 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 19-9 queda Γ(p) = = ( ) 9 e 3 3 πa B m c ( ) 8 e 10 m 3 5 c 3 = d 3 k δ(e f E i ) k }{{} =4π R δ 0 dk k ( 3 «3me4 3 + ck k ) 8 α 5 mc. = 3πme4 4 c (19.38) Esta anchura es muy pequeña comparada con las energías de los niveles, Γ(p) E , (19.39) lo que significa que el estado p es relativamente estable. La vida media se calcula de manera trivial, τ(p) = Γ(p) s. (19.40) El resultado experimental para esta vida media es τ(p) exp = (1.60 ± 0.01) 10 9 s: en este caso, el arsenal de técnicas y aproximaciones que hemos empleado da lugar a un cálculo muy preciso.

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