Física Moderna. Profesor: Ignacio J. General 2 do cuatrimestre 2017 Escuela de Ciencia y Tecnología UNSAM

Transcripción

1 Física Moderna Profesor: Ignacio J. General 2 do cuatrimestre 2017 Escuela de Ciencia y Tecnología UNSAM

2 Física Moderna Indistinguibilidad Corral cuántico By Julian Voss-Andreae - Own work, CC BY-SA 3.0,

3 Indistinguibilidad Clásicamente uno puede etiquetar partículas y seguir sus trayectorias, aun cuando sean idénticas Cuánticamente no, ya que sus ψ se superponen y las partículas pierden su identidad. partícula 1 partícula 2 Si encuentro una partícula aquí, será la 1 o la 2? Las partículas cuánticas idénticas son indistinguibles (a menos que estén suficientemente separadas, de modo que sus ψ no se superpongan) 3

4 Indistinguibilidad Probabilidad de observar a una partícula con números cuánticos α y otra con números cuánticos β: P(α,β)= ψ α,β 2 dv 1 dv 2 Intercambiándolas: P(β,α)= ψ β,α 2 dv 1 dv 2 Por indistinguibilidad: ψ α,β 2 dv 1 dv 2 = ψ β,α 2 dv 2 dv 1 ψ α,β 2 = ψ β,α 2 ψ α,β =e i ϕ ψ β,α Si volvemos a intercambiar: ψ α,β =e i ϕ (e i ϕ ψ α,β ) ψ α,β =(e i ϕ ) 2 ψ α,β e i ϕ =±1 Entonces, ψ α,β =±ψ β,α 4

5 Indistinguibilidad ψ α,β =±ψ β,α Las partículas cuánticas son simétricas o antisimétricas bosones fermiones Las partículas de espín entero son bosones (fotón) Las partículas de espín semi-entero son fermiones (electrón, protón, neutrón) 5

6 Principio de exclusión de Pauli Consideremos dos electrones en el mismo átomo (si estuviesen en distintos, separados, serian distinguibles), y con los mismo números cuánticos: ψ α, α = ψ α, α ψ α, α =0 La probabilidad de encontrar a dos e - con los mismos números cuánticos, en el mismo átomo es 0. Generalizando, Dos o más fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico en un mismo sistema (ppio. de exclusión de Pauli) 6

7 Función de onda de varias partículas Si ψ es la solución de una partícula en un dado sistema, como podemos formar una solución de 2 partículas, con simetría definida? Receta: ψ ( S A) = 1 2 ( ψ α ψ β ±ψ β ψ α ) Esta forma garantiza simetría definida y exclusión para el caso A. Necesariamente esta forma debe funcionar? En principio, no. Estamos asumiendo que la solución de 2 partículas es el producto de las soluciones de 1 partícula (eso implica que las partícula no interfieren entre ellas). Esto será correcto solo si las partículas no interactúan entre ellas: V =V α +V β ψ=ψ α ψ β E=E α +E β 7

8 Función de onda de varias partículas De la misma manera, si la parte espacial no se mezcla con la parte de espín, la función de onda se separa en dos partes: ψ=ϕ espacial χ espinorial Entonces, la función de onda se escribe combinando las siguientes componentes: (a,b: números cuánticos espaciales) Antisimétrico Simétrico ϕ A = 1 2 ( ϕ a ϕ b ϕ b ϕ a ) ϕ S = 1 2 ( ϕ a ϕ b +ϕ b ϕ a ) χ A singlete = 1 2 ( ) χ A triplete = ( 1 2 ( + ) ) 8

9 Función de onda de varias partículas ^S=^S 1 +^S 2 ^S χ=s(s+1)ħ 2 χ Singlete s = 0; m s = 0 (espines antiparalelos) Triplete s = 1; m s = -1, 0, +1 (espines paralelos) Un posible estado de dos fermiones es: ψ A = 1 2 ( 1 ϕ a ϕ b +ϕ b ϕ a ) 2 ( ) ( S A = A) Un posible estado de dos bosones es: ψ A = 1 2 ( ϕ a ϕ b +ϕ b ϕ a ) ( ) ( S S = S) 9

10 Fuerzas de intercambio Sean 2 e - con iguales números cuánticos. Hay dos posibilidades: (1) (2) ψ A = 1 2 ( ϕ a ϕ a ϕ a ϕ a )( 1 2 ( + ) ) = 0 ψ A = 1 2 ( ϕ a ϕ a +ϕ a ϕ a )( 1 2 ( ) ) = 2 2 ( 1 ϕ a ϕ a ) 2 ( ) ϕ singlete = 2ϕ a ϕ a ϕ singlete 2 =2 ϕ a ϕ a 2 La probabilidad de observar a los 2 e - en singlete es el doble de la que se tendría si estuvieran separados Es como si hubiera una fuerza de intercambio ( NO es una fuerza real!) que repele a los fermiones en triplete y atrae a aquellos en singlete: 2 e - en un átomo tienden a aparearse (formar un singlete) 10

11 Átomo de Helio Hamiltoniano: ^H = ^p ^p 2 2 2m 1 2m 2 2q 2 e 2 2q e + q e r 1-4 π ϵ 0 r 1 4 π ϵ 0 r 2 4 π ϵ 0 r + 12 K V e1 K e1-núcleo V e2-núcleo V e2 e1-e2 2 r 2 r 12 - El término cruzado no nos permite separar variables! Aproximación de campo medio: asumo que cada e - ve un campo promedio en el centro del átomo -> V e1-e2 constante ^H=^H hidrogeno1 +^H hidrogeno2 +const Como el potencial se separa, puedo separar variables: ϕ He (r 1,r 2 )=ϕ H (r 2 )ϕ H (r 2 ) E He =E H 1 + E H 2 +correccion 11

12 Átomo de Helio Posibles funciones de onda: ψ singlete (r 1,r 2 )= 1 2 [ ϕ a (r 1 )ϕ b (r 2 )+ϕ a (r 2 )ϕ b (r 1 )] ψ triplete (r 1,r 2 )= 1 2 [ ϕ a (r 1 )ϕ b (r 2 ) ϕ a (r 2 )ϕ b (r 1 )]( 1 2 ( ) 1 ) 2 ( + ) Cuál de estos dos estados corresponderá al fundamental? Mínima energía los 2 e - en n=1, l=0, m l =0 mismos números cuánticos: a=b Helio en fundamental: singlete Φ triplete = 0 12

13 Ejemplo Sean 2 bosones con s=0 no interactuantes en un pozo infinito: ψ 1 particula (x)= 2 L sen ( n π x L ) ; E n=n 2 π 2 ħ 2 2m L 2 a) Escribir ψ del fundamental (NOTA: y representaban a estados con m s =+/- 1/2. Ahora tenemos m s =0) ψ(r 1,r 2 )=[ϕ a (r 1 )ϕ b (r 2 )] (1) los 2 espines tiene s=0, m s =0 b) Y si fueran tres bosones? Para simetrizar/antisimetrizar 3 estados en n=a,b,c: 1 6 [ ϕ a (1)ϕ b (2)ϕ c (3)+ϕ a (3)ϕ b (1)ϕ c (2)+ϕ a (2)ϕ b (3)ϕ c (1)]± [ϕ a (3)ϕ b (2)ϕ c (1)±ϕ a (2)ϕ b (1)ϕ c (3)±ϕ a (1)ϕ b (3)ϕ c (2)] c) Cuáles son los posibles valores de S y S z para 2 partículas con s=1? ^S tot =^S 1 +^S 2 s T = s 1 s 2,, s 1 +s 2 s T =0,1, 2 s Z = 2, 1,0,1,2 13