1s + 1s 2s + 2s 2px +

Transcripción

1 Problemas de la Lección 8: 8.) a) Construir la función de onda antisimétrica de orden cero del átomo de boro, cuya configuración electrónica es ls s p. Indicar si la energía electrónica obtenida, tras aplicar la teoría de perturbaciones o de variaciones a la función anterior, debe ser mayor, igual o menor que la energía real del átomo. b) En unidades atómicas la energía del electrón en un átomo hidrogenoideo es E n = -Z /n, donde Z es la carga nuclear. Determinar la energía de los electrones del átomo de boro, según la aproximación de electrones independientes e indicar si la energía obtenida es mayor, igual o menor que la energía electrónica real del átomo. a) La función de orden cero es: φs () σ+ () φs () σ () φs ( ) σ+ ( ) φs ( ) σ ( ) φpx ( ) σ+ ( ) φs ( ) σ+ ( ) φs ( ) σ ( ) φs ( ) σ+ ( ) φs ( ) σ ( ) φpx ( ) σ+ ( ) 0 ψ = φs ( 3) σ+ ( 3) φs ( 3) σ ( 3) φs ( 3) σ+ ( 3) φs ( 3) σ ( 3) φpx ( 3) σ+ ( 3) 5! φs ( ) σ+ ( ) φs ( ) σ ( ) φs ( ) σ+ ( ) φs ( ) σ ( ) φpx ( ) σ+ ( ) φ 5 σ 5 φ 5 σ 5 φ 5 σ 5 φ 5 σ 5 φ 5 σ 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s + s s + s px + Función que esta 6 veces degenerada, ya que para escribir la última columna tenemos 6 opciones, utilizando las funciones p x, p y y p z en combinación con σ + y σ -. Un valor aproximado de energía para el átomo, puede obtenerse a partir del método de Slater. Para los electrones s, Z * s = =.7, mientras que para los s o p, Z * s/p = =.6. Por lo tanto: * * ( ) ( ) ( ) ( ) E Z n =.7 / 3.6 / =.65 u.a.e. 0 i i i Según el teorema de variaciones, la energía que predice la función anterior es 0 0 E = ψ Hψ dτ E 0 Donde E 0 es la energía real del estado fundamental (aproximadamente -.65 u. a. E.) b) Según la aproximación de electrones independientes Z Z E = Es + Es + Ep = 3 = < E 0 Esta energía es menor que la energía real del estado fundamental, E 0, ya que en la aproximación de electrones independientes no se tiene en cuenta la repulsión entre los electrones, magnitud que es positiva. Un valor aproximado a la energía real del átomo puede obtenerse mediante el método de Slater: Z * s = =.7, Z * s,p = =.6, luego E B = - (.7) / 3(.6) /8 = -.65 uae 8.) Sea un sistema cuántico, en el cual existen infinitos estados no 5 degenerados de energía En=n h /8m, donde n =,, 3,.... Supóngase ademas que en el sistema existen tres partículas idénticas. Determinar la energía mínima del sistema cuando las partículas son Fermiones y cuando 3 son Bosones. Como E = h /8ma, la energía puede expresarse como E n = n E. Los fermiones son partículas representadas por funciones de onda antisimétricas Fermiones con respecto al intercambio de dos de ellas, lo que implica el cumplimiento del principio de exclusión de Pauli y por lo tanto no pueden existir dos partículas en el mismo estado, o sea, con los mismos números cuánticos. La energía mínima posible, del 3 sistema será en este caso E mínima = E + E + E 3 = E. Para los bosones dicho principio no es válido y todas las partículas pueden estar en el nivel inferior, por lo que la energía mínima será, E mínima = 3E. Si las partículas fuesen electrones (fermiones) debe existir un número cuántico adicional, que es el spin, por lo que pueden entrar dos partículas en cada nivel. En este caso la energía mínima total sería E mínima = E + E = 6 E. 6E 9E E E Bosones 6E 9E 9 E 89 Fermiones E

2 8.3) Deducir el término espectroscópico fundamental de las siguientes configuraciones electrónicas: p 5, d 3, f 3, f 9, s d, p d. a) p 5 El valor de M S máximo posible es /, luego como S = M S (máximo)=/. Para M S = /, el valor de M L máximo será, luego L = M L (máximo) =. J = L+S,...L-S, como el orbital está más de semilleno, J = L+S = 3/. El término será P 3/. m = 0 - b) d 3 El valor de M S máximo posible es 3/, luego S=3/. Para M S = 3/, el valor de M L máximo será 3, luego L = 3. J = L+S,...L-S, como el orbital está menos de semilleno, J = L-S = 3-3/ = 3/. El término será F 3/. m= c) f 3 : S=3/, L=6, J=5/, 3/, /, 9/ : I 9/. m= d) f 9 : S=5/, L=5, J=5/, 3/, /, 9/, 7/, 5/ : 6 H 5/ e) s d : S=3/, L=3, J= 9/, 7/, 5/, 3/ : F 3/. m= f) p d : S=, L=, J= 6, 5,, 3, : 5 G. m= ) Determinar la configuración electrónica que corresponde a los términos atómicos fundamentales: 3 F, S 3/, 6 S 5/, 7 F 0. 3 F : S = ( electrones desapareados), L = 3, M L (máximo) = 3 Una configuración con dos electrones desapareados podría ser p, pero en este caso, M L (máximo) =. Si es d, sería M L (máximo) = 3, como es nuestro caso. m= 0 - -

3 Existe otra posibilidad, y es una configuración d 8. El valor de J nos permite distinguir entre ellas. Para d, el término de menor energía corresponde para J = L-S =. Sin embargo, para d 8, el término de menor energía corresponde para J = L+S =. Luego la configuración es d. m= S 3/ : S = 3/ (3 electrones desapareados), L = 0, M L (máximo) = 0 Una configuración con tres electrones desapareados puede ser p 3, en este caso, M L (máximo) = 0, como de hecho ocurre. Como L = 0, J = S = 3/. 0-6 S 5/ : S = 5/ (5 electrones desapareados), L = 0, M L (máximo) = 0 Una configuración con 5 electrones desapareados puede ser d 5, y en este caso, M L (máximo) = 0, siendo J = S. m= F 0 : S = 3 (6 electrones desapareados), L = 3, M L (máximo) = 3 Una configuración con 6 electrones desapareados corresponde como mínimo a un orbital f. Si es f 6, M L (máximo) = 3, como es nuestro caso. m= Existe otra posibilidad, y es una configuración f 8. El valor de J nos permite distinguir entre ellas. Para f 6, el término de menor energía corresponde para J = L-S = 0. Sin embargo, para f 8, el término de menor energía corresponde para J = L+S = 6. Luego la configuración es f 6. m= ) Explicar por qué son erróneos los siguientes símbolos de los niveles de un átomo. S, D 7/ y 0 P. Indicar, asimismo, qué valores de J pueden tomar los siguientes términos S, P, 3 P, 3 D y D. S : S =3/, L=0 J=3/ y no D 7/ : S=/, L=, J = 5/ o 3/, pero nunca 7/ 0 P : si S+=0 S=-½ lo que es imposible. S: S=0 y L=0 J=0 P: S=/ y L= J=3/ y ½ Desde J+S hasta J-S de unidad en unidad 3 P: S= y L= J=, y 0 3 D : S= y L= J=3,, D: S=3/ y L= J=7/, 5/, 3/ y /. 3

4 8.6) Todos los términos espectroscópicos de cierta configuración electrónica son: P /, P 3/, D 3/, D 5/, S 3/. a) Determinar de que configuración se trata y cual es el término fundamental. b) Ordenar los términos por orden creciente de energía e indicar que transiciones están permitidas desde el término fundamental a los restantes. a) El término fundamental es el de S máximo, donde S+= S=3/, al cual corresponde L=0 y J=3/. Este término corresponde a una configuración p 3. b) De acuerdo a las reglas de Hund los diferentes términos pueden ordenarse de acuerdo a la figura adjunta. Las reglas de selección son: -- Para el electrón que salta de una configuración electrónica a otra Δl = ± -- ΔS =0 -- ΔL = 0, ± -- ΔJ = 0, ±, salvo la transición J=0 J=0 que esta prohibida. Luego no esta permitida ninguna transición, ya que no existe cambio en la configuración electrónica. En nuestro caso Δl = 0. (np) 3 S=/ S=3/ L= L= L=0 J=/ J=3/ J=3/ J=5/ J=3/ P / P 3/ D 3/ D 5/ S 3/ 8.7) En la Figura contigua se muestran algunas de las transiciones electrónicas observadas para el átomo de oxígeno. a) Indicar que términos, de los representados, pertenecen a la configuración electrónica fundamental de dicho átomo. b) La primera configuración electrónica excitada del átomo de O es s s p 3 3s. Determinar el término espectroscópico fundamental de esta configuración e indicar si el término 3 S, pertenece o no a dicha configuración. c) Indicar las transiciones permitidas, mediante absorción de radiación, entre los estados representados en la figura. d) Las emisiones de radiación desde D 3 P (λ = 630 nm, rojo), y S D (λ = nm, verde), son observadas en la luz 3 S que forman las Auroras Boreal y Austral. )Contradice esta observación las conclusiones del apartado anterior?. Razonar en 8 cualquier caso la respuesta. 6 a) El O posee una configuración s s p, la configuración p es equivalente a la p, por lo que posee los términos 3 P, D y S. Los tres términos inferiores corresponden a esta configuración. S b) La configuración mixta p 3 s, fue analizada cuando se estudio la estructura energética del átomo de carbono (página 90 de la Lección 8). Esta configuración posee los siguientes términos espectroscópicos: 5 S, 3 S, 3 D, D, 3 P y P, por lo que el término 3 S, pertenece a dicha configuración electrónica. 3 P D c) Las reglas de selección son: -Para el electrón que salta de una configuración electrónica a otra Δl = ±. -Para el conjunto de los números cuánticos, ΔS = 0, ΔL = 0, ±, y ΔJ = 0, ±, salvo el salto de J = 0, a J = 0, que esta prohibido. Por lo tanto el único salto permitido es el correspondiente a 3 P ] 3 S. d) Dichas transiciones están prohibidas, ya que en ellas Δl = 0, y ΔS =. Los estados excitados D y S, se forma en épocas de fuerte actividad solar, como consecuencia del choque entre los átomos de oxígeno en su estado fundamental ( 3 P) y las partículas ionizantes del sol. El oxígeno excitado ( D y S) queda bloqueado, ya que la emisión de radiación esta prohibida por las reglas de selección, si bien dichas reglas no son totalmente rígidas. Como consecuencia, los tiempos de vida media de estos estados excitados son muy grades (del orden de minuto), dando lugar a la emisión lenta de la radiación o fosforescencia.

5 8.8) Indica el número de microestados, los términos espectroscópicos, y el término fundamental, correspondientes a una configuración p d. Un electrón puede situarse de 6 formas diferentes en un orbital p y de 0 formas diferentes en uno d, luego el número de microestados es de 6 0 = 60. Como son electrones no equivalentes, el acoplamiento entre los números cuánticos de cada electrón se hace sin ninguna restricción, por lo tanto: l =, l = L = 3,,. s = /, s = / S =, 0. Por lo tanto los términos son: 3 F,3,, F 3, 3 D 3,,, D, 3 P,,0 y P. El término de menor energía es 3 F, es decir, máximo S, máximo L y mínimo J, ya que la configuración es menor que semi-llena. 8.9) Normalizar la siguiente funciones y demostrar que son ortogonales entre si. ψ s = N φs() φ s( ) +φs( ) φs( ) () ( ) ( ) ( ) ψ a = N φs φs φs φs Normalizar ψ s = N φs( ) φ s( ) +φs( ) φs( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s ( ) s () s () s ( ) s ( ) s ( ) = ψ dτ= N φ φ +φ φ dτ dτ = N φ dτ φ dτ + s s s s s s s + N φ dτ φ dτ + N φ φ dτ φ φ dτ Las dos primeras integrales son y la última cero, ya que los orbitales están normalizados y son ortogonales entre si. Luego: = ψs dτ= N ( + ) N = El resultado es el mismo con ψ a Para comprobar que son ortogonales: ψψ s ad τ= s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) d d s () d s ( ) d φ φ +φ φ φ φ φ φ τ τ = φ τ φ τ s ( ) d s ( d ) s () s () d s ( ) s ( ) d s () s () d s ( ) s ( ) d φ τ φ τ φ φ τ φ φ τ + φ φ τ φ φ τ De las integrales las dos primeras son y las dos últimas cero, luego ψψ s adτ= ( ) = 0 5