Capítulo 3. Principios Generales de la Mecánica PRINCIPIOS GENERALES DE LA MECÁNICA

Transcripción

1 Capítulo 3. Prncpos Generales e la Mecánca CPÍTULO 3 PRINCIPIOS GENERLES DE L MECÁNIC Introuccón La mecánca e los meos contnuos tene como base una sere e prncpos o postulaos e carácter general que se suponen válos para cualquer tpo e materal, nepenentemente el rango e esplazamentos o eformacones que éste expermente cuano se somete a certas solctacones. Estos prncpos consttuyen las leyes funamentales que rgen el comportamento mecánco e los meos contnuos, y muchas e las veces son expresaos como leyes e conservacón e certas cantaes físcas. Tal es el caso e los prncpos e la conservacón e la masa o ecuacón e contnua, el e la conservacón e la canta e movmento, el e la conservacón e la energía (prmera ley e la termonámca) y el e aumento e entropía (seguna ley e la termonámca). En certos fenómenos mecáncos es frecuente gnorar algunos e estos prncpos por conserar que sus efectos son esprecables, lo que permte una formulacón matemátca el fenómeno más smple. En este capítulo se enuncan los prncpos menconaos y se establecen las ecuacones matemátcas corresponentes. 3.1 Teorema e Green Las leyes e conservacón, nombraas anterormente, pueen ser aplcaas a un certo volumen e matera, que tenga como frontera una superfce cerraa e forma cualquera. En el esarrollo el moelo e comportamento es usual encontrar que certas cantaes físcas aparecen como ntegrales e superfce y otras como ntegrales e volumen. La transformacón e una ntegral e volumen a una e superfce y vceversa es una operacón matemátca requera en esta formulacón. Esta transformacón matemátca es conoca como el teorema 1

2 e Green o e la vergenca, el cual establece que para una funcón espacal f (x, y, z), contnua y ervable, con prmeras ervaas parcales tambén contnuas, se cumple que f f n v f (3.1) seno n los cosenos rectores e la normal a una superfce cerraa, frontera e un volumen, en el entorno a un punto efno por. 3.2 Prncpo e la conservacón e la masa o ecuacón e contnua Este prncpo establece que en el nteror e un "volumen e control", enteno éste como un elemento ferencal asocao a un sstema e referenca fo en el espaco, la masa no se crea n se estruye. De esta manera, la exstenca e cambos e masa en tal volumen e control tenrán que estar asocaos a un fluo e masa a través e la superfce e control. Con referenca a la fgura 3.1, y suponeno que la ensa el meo llena too el volumen, la masa total M, ocupaa por cho volumen en un tempo t, resulta: M (3.2) n _ v n _ v FIGUR 3.1 olumen e referenca 2

3 Dao que la ensa el meo es una funcón e poscón y el tempo, ésta se puee expresar como (x, y, z, t) (3.3) Por lo tanto, la rapez e varacón e la masa total respecto al tempo, en el volumen, está aa por M (3.4) Conserano que entro el volumen, la masa no se crea n se estruye, entonces la ecuacón 3.4 es equvalente a la rapez e varacón el fluo e masa haca el nteror el área. Por otra parte, el fluo e masa haca el exteror el área en el entorno el punto P, es n, seno n la componente normal el vector veloca. sí, la rapez e varacón el fluo e masa total es: ()() n n (3.5) En esta ecuacón, el sgno menos obeece a que al entrar fluo el vector veloca va en sento contraro e la reccón e la normal n a la superfce, y puee ser expresaa, e acuero con el teorema e Green, como ()() n v (3.6) Dao que las ecuacones 3.4 y 3.6 representan el msmo fenómeno, se tene: M v() Reorenano esta últma ecuacón, se tene: (3.7) + v() 0 (3.8) La ecuacón 3.8 se ebe satsfacer para cualquer volumen, por lo que el ntegrano necesaramente tenrá que ser nulo, esto es: + v() 0 (3.9) 3

4 La ecuacón 3.9 se puee representar en notacón ncal como () + 0 (3.10) Desarrollano caa uno e los térmnos e la ecuacón 3.10, se tene: Por otra parte, () + + (3.11) (3.12) Susttuyeno las ecuacones 3.11 y 3.12 en la ecuacón 3.10, se obtene: + 0 (3.13) La ecuacón 3.13 se puee escrbr en un sstema e referenca cartesano como x y z y z Despeano la v e esta últma ecuacón, se tene: + v 0 (3.14) 1 v (3.15) De la ecuacón 3.15 se puee observar que s el meo es ncompresble, la v 0. sí, en un sstema e referenca cartesano se tene que x y z y z (3.16) Esta ecuacón ferencal representa el prncpo e conservacón e la masa y se conoce tambén como ecuacón e contnua. 3.3 Prncpo e conservacón e la canta e movmento 4

5 La rapez e varacón con respecto al tempo e la canta e movmento e un sstema e partículas es gual al vector fuerza resultante e toas las fuerzas externas, que actúan sobre el conunto e partículas, sempre y cuano sea la tercera ley e Newton (accón y reaccón) la que goberne las fuerzas nternas en el sstema. En relacón con la fgura 3.2, cho prncpo quea expresao como n t + f La ecuacón 3.17 se puee expresar en notacón ncal como (3.17) t + f (3.18) t n _ ρ f FIGUR 3.2 Conservacón e la canta e movmento Obsérvese que el térmno el lao erecho e la ecuacón 3.18 se puee expresar como Por otra parte, en el estuo el estao e esfuerzo se establecó que t (3.19) T n (3.20) Susttuyeno la ecuacón 3.20 en la 3.18 y aplcano el teorema e Green, se obtene: Reorenano térmnos, se llega a T + f 5

6 T + f (3.21) Fnalmente, el prncpo e conservacón e la canta e movmento conuce a T + f 0 (3.22) Dao que la ecuacón 3.22 se ebe cumplr para too volumen, entonces el ntegrano ebe ser gual a cero, esto es: T + f 0 (3.23) Esta ecuacón se conoce como la ecuacón el balance e la canta e movmento o ecuacón e Cauchy. En el caso e equlbro estátco la aceleracón 0, por lo que la ecuacón 3.23 se reuce a T + f 0 (3.24) La ecuacón 3.24 representa un sstema e tres ecuacones ferencales parcales one las ncógntas son los nueve elementos el tensor esfuerzo, que por smetría el msmo, bastará con conocer ses elementos e cho tensor. Es obvo que el problema es estátcamente netermnao, por lo que será necesaro nclur ecuacones aconales, por eemplo, aquellas que relaconen los esfuerzos con las eformacones e un materal en partcular. Dchas relacones recben el nombre e ecuacones consttutvas, las cuales se estuarán en el capítulo 4 para el caso e los materales elástcos lneales, homogéneos e sótropos. 3.4 Prmera ley e la termonámca: prncpo e conservacón e energía El prncpo e conservacón e energía es una consecuenca e la prmera ley e la termonámca, el cual establece que la energía no se crea n se estruye sólo se transforma. Esta ecuacón e energía nvolucra una ncógnta aconal, la energía nterna, por lo que su utla raca en poer relaconar cha energía nterna con alguna varable e estao. En la mecánca e los meos contnuos un sstema termonámco se efne como una porcón e matera contnua, one no exste ntercambo e matera con cuerpos vecnos, lo 6

7 que se ha ao en llamar un sstema cerrao. Las superfces frontera el sstema se mueven, en general, con el fluo e matera. La rapez e varacón el trabao realzao por las fuerzas e superfce y e cuerpo sobre un sstema termonámco, se puee expresar como W tn + f t + f (3.25) Susttuyeno en la ntegral e superfce el valor e t T n, y aplcano el teorema e Green, se tene: T T n Susttuyeno la ecuacón 3.26 en la 3.25, se llega a T + f (3.26) T (3.27) W f T + + Obsérvese que el térmno entre paréntess, por la ecuacón e movmento, resulta gual a T + f (3.28) De esta manera, la rapez e varacón el trabao W es gual a Por otra parte, W (3.29) T,, D + W (3.30) seno D el tensor rapez e eformacón y W el tensor vortca. Este últmo es un tensor antsmétrco, esto es, W W. El proucto tensoral que aparece en la seguna ntegral e la ecuacón 3.29 es: T (D + W ) T D + T W (3.31) 7

8 En la ecuacón 3.31 el térmno T W es gual a cero, por lo que De esta manera, la ecuacón 3.29 quea como W T, T D (3.32) T D (3.33) La prmera ntegral e esta últma ecuacón representa la energía cnétca el sstema, en tanto que la seguna representa la rapez e varacón e la energía nterna total, por lo tanto: W K + U (3.34) El prncpo e la conservacón e la energía establece que la varacón e la energía cnétca más la energía nterna por una e tempo es gual a la suma e la varacón el trabao más cualquer otra energía sumnstraa o extraía por una e tempo en el sstema termomecánco. Defneno al vector q como fluo e calor por una e área y tempo en el fenómeno e conuccón calorífca y a r como la constante e raacón e calor por una e masa y tempo, entonces la rapez e aumento e la canta e calor en el meo se puee expresar como Q q n + r (3.35) Para un meo contnuo termomecánco es costumbre expresar la varacón e la energía nterna total por una e tempo como una funcón e la energía específca nterna u por una e tempo, por lo que U quea como U u u (3.36) plcano el prncpo e la conservacón e la energía, se tene: Susttuyeno las ecuacones 3.33, 3.35 y 3.36 en 3.37, se obtene: K + U W + Q (3.37) 1 + u T D (3.38) q n + r Tomano en cuenta el teorema e Green, el ntegrano q n se puee expresar como 8

9 q n q (3.39) De esta manera, la ecuacón 3.38 quea como q u T D r 0 + (3.40) Para un volumen arbtraro entro el meo contnuo, el ntegrano e la ecuacón 3.40 ebe ser nulo, por lo que u q T D + r (3.41) x Esta últma ecuacón se conoce como la ecuacón e la conservacón e la energía o prmera ley e la termonámca. 3.5 Seguna ley e la termonámca: esguala e Clausus-Duhem Esta ley establece que la varacón con respecto al tempo e la entropía total s, en un meo contnuo e volumen, sempre es mayor que la suma el fluo e entropía que entra a través e la superfce el meo, más la entropía creaa nterormente a causa el propo cuerpo. Esta ley se puee expresar ese un punto e vsta matemátco en forma ntegral como s r q (3.42) seno θ una funcón e estao enomnaa temperatura absoluta. En la ecuacón 3.42 el sgno " " correspone a procesos reversbles; rreversbles, y el sgno " < " nca que el proceso es no factble. " > ", a procesos 9