MECÁNICA CLÁSICA MAESTRÍA EN CIENCIAS (FÍSICA) Curso de Primer Semestre - Otoño Omar De la Peña-Seaman. Instituto de Física (IFUAP)

Transcripción

1 MECÁNICA CLÁSICA MAESTRÍA EN CIENCIAS (FÍSICA) Curso de Prmer Semestre - Otoño 2014 Omar De la Peña-Seaman Insttuto de Físca (IFUAP) Benemérta Unversdad Autónoma de Puebla (BUAP) 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 1/37 37

2 Curso Mecánca Clásca Informacón General Período de clases 4 Agosto 17 Dcembre 2014 Horaro Lunes, Martes y Jueves: hrs. Crteros de evaluacón Tareas de cada tema: 40% Exámenes: 60% Examen 1: temas Examen 2: temas Examen 3: temas Examen 4: temas Bblografía 1. H. Goldsten, Classcal Mechancs, 3rd. edton, Addson-Wesley, W. Grener, Classcal Mechancs: Systems of Partcles and Hamltonan Dynamcs, Sprnger-Verlag, L.D. Landau, Mechancs, 3rd. edton, Butterworth-Henenann, M. Tabor, Chaos and Integrablty n Nonlnear Dynamcs, John Wley & Sons, / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 2/37 37

3 Curso Mecánca Clásca Informacón General Contendo del curso 1. Ecuacones de Lagrange (2 sem.) 2. Prncpos varaconales (1 & 1/2 sem.) 3. Fuerzas centrales (1 & 1/2 sem.) 4. Cuerpo rígdo I: cnemátca (2 sem.) 5. Cuerpo rígdo II: ecuacones de movmento (2 sem.) 6. Osclacones (1 & 1/2 sem.) 7. Ecuacones de Hamlton (1 & 1/2 sem.) 8. Transformacones canóncas (2 sem.) 9. Teoría de Hamlton-Jacob (2 sem.) 10. Teoría canónca de perturbacones (1 & 1/2 sem.) 11. Introduccón a sstemas no-lneales (1 & 1/2 sem.) Las sesones de clase, tareas y exámenes estarán dsponbles on-lne al térmno de cada tema en la sguente dreccón: 3 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 3/37 37

4 Contendo 1. Ecuacones de Lagrange 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 4/37 37

5 Contendo: Tema Ecuacones de Lagrange 1.1 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana 1.2 Constrccones y coordenadas generalzadas 1.3 Prncpo de trabajo vrtual y prncpo de D Alembert 1.4 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 5/37 37

7 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de una partícula: prncpos fundamentales Velocdad Momento Angular v = dr dt, Momento lneal Torque L = r p, p = mv, Fuerza (2 a Ley de Newton) F = dp dt ṗ, N = r F = r d dt (mv) = dl dt L Aceleracón a = d2 r dt 2, 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 7/37 37

8 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de una partícula: prncpos fundamentales El trabajo realzado por una fuerza externa F sobre una partícula yendo del punto 1 al punto 2 es: W 12 = 2 = m 2 2 F ds = m dv dt vdt d dt (v2 )dt = m 2 (v2 2 v 2 1). Sendo la cantdad escalar T = mv 2 /2 la energía cnétca de la partícula, por tanto, W 12 = T 2 T 1. 8 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 8/37 37

9 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de una partícula: prncpos fundamentales Cuando el campo de fuerzas es tal que el trabajo W 12 es el msmo para cualquer camno posble entre los puntos 1 y 2, entonces se dce que tal campo y sstema son conservatvos. Esto se traduce en, F ds = 0. lo cual mplca que la fuerza es el gradente de alguna funcón escalar de la poscón 1 : F = V (r), por tanto tenemos, W 12 = 2 1 F ds = V 1 V 2. 1 V vene sendo el potencal o energía potencal 9 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 9/37 37

10 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de una partícula: prncpos fundamentales De los fundamentos anterores podemos conclur algunos Teoremas de Conservacón, Momento lneal de una partícula: s la fuerza total F es cero, entonces ṗ = 0 y el momento lneal p se conserva. Momento angular de una partícula: s el torque total, N, es cero, entonces L = 0 y el momento angular, L, se conserva. Energía de una partícula: s las fuerzas que actúan sobre una partícula son conservatvas, entonces la energía total de la partícula, T + V, se conserva. 2 2 debdo a que W 12 = T 2 T 1 = V 1 V 2, sólo cuando F(r) = V (r). 10 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 10/37 37

11 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas Extrapolando lo vsto anterormente a un sstema de partículas, podemos expresar la ecuacón de movmento (2 a ley de Newton) como, j F j + F e = p, 3 sumando sobre todas las partículas tenemos en la ecuacón anteror, d 2 dt 2 m r = d2 dt 2 m r = F e + j F j F e. 4 3 donde F e es la fuerza externa al sstema y F j es la fuerza de nteraccón entre partículas j e. 4 Fj = 0 debdo a que Fj + Fj = 0 (tercera ley de Newton) j 11 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 11/37 37

12 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas: momento lneal Usando la defncón de centro de masa, m r m r R = = m M tenemos que, M d2 R dt 2 = F e F e lo cual nos lleva al momento lneal total del sstema, centro de masa r m r j R m j P = m dr dt = M dr dt. 12 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 12/37 37

13 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas: momento angular Usando la expresón de ṗ, tenemos que el momento angular total del sstema vene dado como, L = d dt (r p ) = (r ṗ ) r j = r F e + r F j j = r F e + r j F j j r r j L = dl dt = Ne. r r j = r j r F j + r j F j = (r r j) F j 13 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 13/37 37

14 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas: momento angular Para el momento angular centrado en el orígen O tenemos, L = r p, refréndolo al centro de masa, r = r + R, v = v + v, se tene: L = R m v+ L = R Mv + O r R r centro de masa ( ) r m v + m r v+r d m r dt, r p m r = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 14/37 37

15 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas: energía Calculando el trabajo realzado por todas las fuerzas en un sstema en movmento desde un punto 1 a un punto 2: W 12 = 2 1 F ds = 2 1 F e ds + j 2 1 F j ds. Consderando ncalmente el térmno central de la expresón anteror, 2 F ds = 1 2 Por tanto, el trabajo total es, 1 m v v dt = 2 W 12 = T 2 T 1 T = 1 m v d ( ) 1 2 m v / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 15/37 37

16 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas: energía Transf. la energía cnétca al marco de referenca del centro de masas: T = 1 m v 2 2 T = 1 m (v + v 2 ) (v + v ) v = v + v = 1 m v m v 2 + v d ( ) m r 2 2 dt = 1 2 Mv2 + 1 m v 2, 5 2 la cual consste de dos partes: una como s toda la masa estuvera concentrada en el CM, otra como resultado del mov. de las partículas alrededor del CM. 5 de gual manera que en caso de L, tenemos que mr = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 16/37 37

17 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas: energía Consderando ahora la parte derecha de la ecuacón de trabajo expuesta anterormente, W 12 = 2 1 F ds = 2 1 F e ds + j 2 1 F j ds. en el caso de que tengamos fuerzas conservatvas 6 2 F e ds = 2 V ds = 2 V Para las fuerzas nternas, consderemos la nteraccón mutua entre las partículas y j, F j = V j = j V j = + j V j = F j V j = V j ( r r j ). F j ds = F j ds + F j ds j = F j (ds ds j ) 6 del tpo F = V V = V (r) = F j (dr dr j ) = F j dr j = j V j dr j. 17 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 17/37 37

18 Prncpos elementales de la Mecánca Newtonana Dnámca de un sstema partículas: energía Por tanto, el trabajo de las fuerzas nternas vene dado como, 2 F j ds = 1 2 j V j dr j = 1 2 V j j 1 2 j j 1 Defnendo por tanto un potencal total del sstema, V = V + 1 V j. 2 j El térmno del potencal nterno no tene porque constante, ya que puede varar conforme el sstema evolucona en el tempo. Solo para casos partculares la energía o potencal nterno s es constante (ejem: cuerpos rígdos). 7 el 1/2 aparece porque hemos dvddo por pares la suma, contando doblemente cada térmno, prmero en la suma de y luego en la de j. 18 / 37 Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 18/37

20 Constrccones y coordenadas generalzadas Clasfcacon de constrccones Manera de expresarlas Holónomas f(r 1, r 2, r 3,..., t) = 0 No se pueden expresar en forma de ecuacones Constrccones Reónomas el tempo es una varable explícta Dependenca temporal Noholónomas Esclerónomas no depende explctamente del tempo 20 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 20/37 37

21 Constrccones y coordenadas generalzadas Ejemplos de constrccones Péndulo smple θ l y Esfera deslzante r r s y Cuerpo en plano nclnado x R ωt x x 2 + y 2 l 2 = 0 r s R + r y x Tg(ωt) = 0 holónoma no-holónoma holónoma esclerónoma esclerónoma reónoma 21 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 21/37 37

22 Constrccones y coordenadas generalzadas Coordenadas generalzadas En el caso más general, tenemos un sstema que consta de: N partículas, n = 3N grados de lbertad, k const. holonómcas. 8 Coordenadas generalzadas conjunto de coordenadas ndependentes que especfcan completamente la confguracón del sstema: {q 1, q 2,..., q n k }. El sstema de coordenadas orgnal (cartesano por ejemplo) puede ser expresado en térmnos de las coordenadas generalzadas como, x 1 = x 1 (q 1, q 2,..., q n k, t), x 2 = x 2 (q 1, q 2,..., q n k, t),. x n = x n (q 1, q 2,..., q n k, t). 8 del tpo f(x 1, x 2, x 3,..., t) = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 22/37 37

23 Constrccones y coordenadas generalzadas Coordenadas generalzadas Suponendo que todas las coord. generalzadas y el tempo camban lgeramente 9 por las cantdades {dq } y dt, entonces el cambo nducdo en (por ejemplo) x 1 será: dx 1 = x 1 q 1 dq 1 + x 1 q 2 dq x 1 q n k dq n k + x 1 t dt, tenemos por tanto que el desplazamento general para la coordenada x = x {q α, t} esta dado por, dx = n k α=1 x dq α + x dt = 1,..., n q α t así como la velocdad ẋ = ẋ {q α, q α, t}: n k dx dt = ẋ x dq α = q α=1 α dt + x n k t = α=1 x q α q α + x t. 9 Por ejemplo, representar el cambo dnámco en la confguracón del sstema cuando t se ncrementa a t + dt. 23 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 23/37 37

24 Constrccones y coordenadas generalzadas Coordenadas generalzadas Desplazamentos vrtuales δx ( = 1,..., n) está defndo como un desplazamento nstantáneo e nfntesmal de las coordenadas x 1,..., x n consstente con las restrccones y las fuerzas de constrccón que ocurren en un nstante dado ( t = 0). Imagnemos el sstema congelado en un nstante de tempo, entonces efectuamos desplazamentos nfntesmales δx permtdos por las restrccones. Por tanto, el desplazamento vrtual estará dado por, δx = n k α=1 x q α δq α = 1,..., n La únca dferenca entre δx y dx, es que en la prmera no aparece el tempo debdo a que los desplazamentos vrtuales son nstantáneos. 24 / 37 Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 24/37

26 Prncpo de trabajo vrtual y prncpo de D Alembert Prncpo de trabajo vrtual Tenemos que en un sstema en equlbro la fuerza total en cada partícula se anula, F = 0. Por tanto, mult. por un desplazamento vrtual 11, y sumando para todas las partículas: F δr = 0 F a δr + f δr = 0, f = f. de constrccón. En general, el trabajo vrtual de las fuerzas de constrccón es cero, ya que el desplazamento es perpendcular a estas fuerzas, por tanto, F a δr = 0 F a 0, lo cual representa el prncpo de trabajo vrtual, y en donde los δr no son ndependentes debdo a las constrccones. 11 un desp. vrtual no genera cambos en las fuerzas aplcadas y de constrccón. 26 / 37 Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 26/37

27 Prncpo de trabajo vrtual y prncpo de D Alembert Prncpo de D Alembert La ecuacón de movmento es, F = ṗ F ṗ = 0, por tanto, el sstema estará en equlbro. Aplcando ahora el producto con un desplazamento vrtual, 12 (F ṗ ) δr = 0 (F a ṗ ) δr + f δr = 0. Centrándonos en sstemas donde el trabajo vrtual de las fuerzas de restrccón es cero, se llega al prncpo de D Alembert, (F a ṗ ) δr = de la msma manera que en caso del prncpo de trabajo vrtual. 27 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 27/37 37

29 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Prncpo de D Alembert en coordenadas generalzadas El prncpo de D Alembert, (F ṗ ) δr = 0, aún no nos puede dar nformacón del movmento del sstema debdo a que los δr están acoplados, por lo que los coefcentes no se anulan térmno a térmno. Para desacoplar los δr es necesaro pasar la descrpcón del problema a un sstema de coord. generalzadas, δx = n k α=1 N k x r δq α δr = δq α n = 3N q α q α=1 α Expresando en térmnos de las coord. generalzadas prmeramente el trabajo vrtual de F, F δr = F r δq α = Q α δq α. (1) q,α α α 29 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 29/37 37

30 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Prncpo de D Alembert en coordenadas generalzadas En la expresón anteror Q α se le conoce como la fuerza generalzada, Q α = F r q α. Para el segunto térmno del prncpo de D Alembert tenemos, ṗ δr = m r δr = ( m r r ) δq α. (2) q,α α Analzando el térmno en paréntess, pero, m r r q α = m dṙ dt r q α, ( d ṙ r ) = dṙ dt q α dt r + ṙ d ( ) r, q α dt q α 30 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 30/37 37

31 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Prncpo de D Alembert en coordenadas generalzadas entonces, dṙ dt r = d ( ṙ r ) ṙ d ( ) r. (3) q α dt q α dt q α Para elmnar los térmnos de dervadas de δr de la expresón anteror, recordemos, dr = α r q α dq α + r t dt, dr dt = ṙ = α r q α q α + r t. (4) Por otro lado, aprovechamos que los operadores de dervada conmutan, ( ) d r = ( ) dr = ṙ. (5) dt q α q α dt q α 31 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 31/37 37

32 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Prncpo de D Alembert en coordenadas generalzadas Además, como r es funcón sólamente de q α y t, entonces se tene que ṙ es una funcón lneal de las velocdades generalzadas q α, ṙ = ṙ (q 1, q 2,..., q N k ; q 1, q 2,..., q N k ; t) = 1, 2, 3,..., N ṙ q α = q α [ Susttuyendo Eqs. (5) y (6) en (3), dṙ dt r = d ( q α dt = d dt α r q α + r ] = r. (6) q α t q α ṙ r ) q α ( ṙ ṙ q α ṙ d ( ) r dt q α ) ṙ ṙ q α. (7) 32 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 32/37 37

33 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Prncpo de D Alembert en coordenadas generalzadas Introducendo ahora la Eq. (7) en (2) y desarrollando, ṗ δr = [ dṙ m α dt r ] δq α, q α = [ ( d m ṙ ṙ ) m ṙ ṙ ] δq α, α dt q α q α = { [ ( )] d 1 m ṙ 2 ( )} 1 m ṙ 2 δq α. α dt q α 2 q α 2 = [ ( ) d T T ] δq α, (8) α dt q α q α en donde hemos dentfcado al térmno de la energía cnétca total del sstema, T = 1 m ṙ / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 33/37 37

34 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Prncpo de D Alembert en coordenadas generalzadas Con las Eqs. (1) y (8) podemos calcular el prncpo de D Alembert en coord. generalzadas, (F ṗ ) δr = 0 Q α δq α [ ( d T α α dt q α [ ( d T α dt q α (F δr ṗ δr ) = 0, ) T q α ) T q α Q α ] δq α = 0 ] δq α = 0 (9) Ahora, como las varacones de las coord. generalzadas son ndependentes, para que la Eq. (9) sea cero cada térmno debe ser cero por separado, con lo cual obtenemos: d dt ( T q α ) T q α = Q α α = 1, 2,..., n k (10) 34 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 34/37 37

35 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Ecuacones de Lagrange Para el caso de que las fuerzas sean dervables de un potencal escalar V 13 tenemos, F = V, por lo que las fuerzas generalzadas pueden ser expresadas como, Q α = = j F r q α = V x j x j q α V r q α = V q α. Además, como consderamos que V es conservatvo, 14 por tanto, V = 0 & d ( ) V = 0. q α dt q α 13 lo cual se consdera como un sstema de fuerzas conservatvas. 14 no depende de q α n de t. 35 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 35/37 37

36 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Ecuacones de Lagrange Susttuyendo las expresones anterores en la Eq. (10), d dt ( d T dt q α ( (T V ) q α ) T q α = Q α ) (T V ) q α = 0, defnendo una nueva funcón, el Lagrangano L, como la ecuacón obtenda puede ser expresada como L = T V (11) ( ) d L L = 0 α = 1, 2,..., n k. (12) dt q α q α Al set de ecuacones anterores se les conoce como las ecuacones de Lagrange. 36 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 36/37 37

37 Ecuacones de Lagrange y sstemas generalzados Ecuacones de Lagrange: fuerzas no-conservatvas S en el sstema se tenen: provenentes de potencales depend- fuerzas no-conservatvas: entes de la velocdad, 15 conbnacón de fuerzas conservatvas y no-conservatvas, 16 las ecuacones de Lagrange aún pueden ser expresadas de manera estándar con certas consderacones, ( ) d L L = Q dt q α q α, α L contene el potencal de las fuerzas conservatvas, Q α representa las fuerzas que no son obtendas de un potencal y dependen de la velocdad de las partículas del sstema. 15 como por ejemplo las fuerzas electromagnétcas de una partícula en movmento: F = q[e + (v B)] 16 como es el caso cuando tenemos fuerzas de frccón: F fx = k xv x 37 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánca Clásca M.C. Físca 37/37 37