V i, i 1,2,3,..., N que definen la rapidez con que ellas cambian sus posiciones y las direcciones en que ellas están

Transcripción

1 . Descrpcón del Movmento de Un Sstema de Partículas.. Sstemas con Lgaduras Holónomas.. Desplazamentos posbles, reales y vrtuales..3 úmero de grados de lbertad y Coordenadas Generalzadas..4 Velocdad y aceleracón en Coordenadas Generalzadas..5 Trabao vrtual y fuerzas generalzadas..6 Los prncpos de trabao vrtual y el prncpo de D Alembert..7 Prncpo de D Alembert y ecuacones de Lagrange.. Sstemas con Lgaduras Holónomas Consderemos el movmento de un sstema mecánco de ue consste partículas P, P, P 3,... P, en un sstema de referenca, consderado en adelante como nmóvl. El estado de este sstema puede ser defndo por vectores de sus poscones r,,,3,...,, ue defnen sus ubcacones en cualuer momento del tempo, y por vectores de velocdad V,,,3,..., ue defnen la rapdez con ue ellas camban sus poscones y las dreccones en ue ellas están desplazándose. S estos dos tpos de vectores r,,,3,..., y V,,,3,..., pueden defnrse de manera arbtrara, es decr sn cualuer tpo de las restrccones el sstema se llama lbre. Sn embargo, con frecuenca los movmentos en los sstemas de partículas no pueden realzarse de manera arbtrara ya ue las varacones de sus vectores de poscones y de las velocdades están restrngdas de algunos tpos de relacones. Estas restrccones ue lmtan posbles desplazamentos de las partículas en el espaco se llaman lgaduras. Eemplos. ) Consderemos un sstema de partículas puede desplazarse solo en un plano. En este caso se puede escoger un sstema de coordenadas cartesanas de tal manera ue el ee Z será orentado en la dreccón perpendcular al plano de desplazamentos de las partículas. En este sstema de coordenadas el movmento se realza en el plano XOY. Las restrccones ue tenen lugar para este modelo matemátcamente se pueden escrbr en la forma z 0, z 0, z 0, z 0,..., z 0. Estas ecuacones presentan lgaduras ndependentes. 3 4 ) Dos partículas P y P conectadas con un hlo de la longtud L se desplazan en el espaco. En este caso la restrccón consste en la condcón de ue en cualuer momento del tempo la dstanca entre las partículas no puede superar el valor L. S las coordenadas cartesanas de estas dos partículas son x, y, z y x, y, z esta condcón (restrccón) se puede escrbr en la forma matemátca: x x y y z z L En este caso la únca lgadura ue tene sstema se descrbe no en una forma de una ecuacón como en el caso anteror sno en una forma de desgualdad. 3) Tres partículas P, P y P 3 se desplazan sobre superfce de una esfera con el centro en el orgen y con el rado R ue vara con el tempo según la formula R f t. Las tres lgaduras en este caso se descrben a través de tres sguentes ecuacones: x y z f t ; x y z f t ; x3 y3 z3 f t ótese ue en este caso las lgaduras ncluyen no solo coordenadas sno tambén el tempo. 4) Tres partículas pueden moverse lbremente dentro de un tubo ue esta rotándose en el plano XOY según una dependenca para el ángulo dada en funcón del tempo t (Fg.) Consderando 9 coordenadas cartesanas ue descrben la poscón de las partículas en el espaco: x, y, z para la partícula P, x, y, z para la partícula P y x 3, y3, z3 para la partícula P 3 tenemos tres lgaduras para las coordenadas: z 0; z 0; z3 0 ue descrben la restrccón del movmento en el plano XOY y tres lgaduras para las velocdades: Fg. y x tgt ; y x tgt ; y 3 x 3tgt. Estas últmas relacones descrben la condcón de ue todas partículas sólo pueden desplazarse solamente a lo largo del tubo, es decr la tangente de la velocdad debe satsfacer la ecuacón: Vy / Vx tg. Los eemplos anterores nos muestran ue exsten dferentes tpos de lgaduras, pero cualuera de estas sempre puede descrbrse a través de una ecuacón: f ( r, r,..., r, V, V, V3,..., V 0 () o de una desgualdad: f ( r, r,..., r, V, V, V3,..., V 0 () En nuestro curso a contnuacón consderaremos solo lgaduras de tpo () en una forma gualdades. A su vez las lgaduras de tpo () pueden ser separadas en dos grupos: ) Las lgaduras holónomas ue ncluyen restrccones sólo para las coordenadas

2 f ( r, r,..., r 0 ) Las lgaduras no-holónomas ue ncluyen restrccones para las coordenadas y velocdades (3) Eemplos anterores ) y 3) descrben sstemas holónomas, mentras ue eemplo (4) no-holónoma. Denotaremos s el número de las lgaduras holónomas de un sstema de partículas y estas lgaduras escrbremos en la forma; f ( r, r,..., r 0;,,3,..., s (4) S estas lgaduras no contenen el tempo en una forma explcta, entonces estas lgaduras se llaman esclerónomas (estaconaros) y en el caso contraro se llaman reónomas. Un conunto de las coordenadas de las partículas r r *,,,..., ue satsfacen las lgaduras (4) se llama poscones posbles de un sstema de partículas. A pesar de ue lgaduras holómanas (4) no mponen unas restrccones sobre las velocdades y aceleracones en una forma explcta estas restrccones deben exstr debdo a restrccones mpuestos en (4) sobre los desplazamentos. Para deducrlas dervaremos ambas partes de las gualdades (4) respecto del tempo t: f ( r, r, r,..., r 3 f ( r, r,..., r V 0;,,3,..., s (5) r t Las ecuacones (5) presentan las lgaduras para las velocdades de las partículas en los sstemas holónomas ue se obtenen como las consecuencas de las relacones (4). Un conunto de las coordenadas de las velocdades V V *,,,..., ue satsfacen las lgaduras (5) se llama velocdades posbles de un sstema de partículas. De manera smlar se obtenen las lgaduras para las aceleracones al dervar respecto el tempo t ambas partes de las relacones f ( r, r,..., r f ( r, r, r,..., r 3 a VV r r r (6) f ( r, r,..., r f ( r, r,..., r V 0;,,3,..., s tr t Las ecuacones (6) presentan las lgaduras para las aceleracones de las partículas en los sstemas holónomas ue se obtenen como las consecuencas de las relacones (4). Un conunto de las aceleracones a a *,,,..., ue satsfacen las lgaduras (6) se llama aceleracones posbles de un sstema de partículas... Desplazamentos posbles, reales y vrtuales Consderemos un sstema de partículas cuyo estado en un momento del tempo t = t* está defndo a través de: ) un conunto de los vectores de sus posbles poscones r r *,,,...,, ) un conunto de vectores de sus posbles velocdades V V *,,,..., y 3) un conunto de vectores de sus posbles aceleracones a a *,,,...,. (Recordaremos ue las posbles poscones, velocdades y aceleracones deben satsfacer a las lgaduras). Una nueva posble poscón en el espaco del sstema en el momento del tempo t * t corresponde un conunto de los vectores de poscón r t * t r * r,,,...,, donde los vectores r,,,..., son posbles desplazamentos de un sstema de las partículas. Los valores de estos últmos para los ntervalos del tempo t nfntésmas se puede estmar usando desarrollo dr t * d r t * en la sere de Taylor de la funcón rt * trespecto de t r r t * t r * t t dt dt Tenendo en cuenta las defncones de las velocdades V * dr t * dt y de las aceleracones a * d r t * dt de las partículas, los vectores de los desplazamentos pueden calcularse como: r V * t a * t...,,,..., (7) Los desplazamentos defndos a partr de los vectores de las velocdades y las aceleracones dadas en el momento anteror ue satsfacen las ecuacones (7) se llaman los desplazamentos reales. Por otro lado, los desplazamentos en un sstema de partículas con las lgaduras deben satsfacer adconalmente unas condcones adconales. En efecto, multplcando ambas partes de la gualdad (5) (lgaduras de velocdades) t y tenendo en cuenta ue para peueños valores t los posbles desplazamentos de las partículas están relaconadas solo con las posbles velocdades: r V * t,,,..., se obtene: f ( r, r,..., r f ( r, r,..., r r t 0;,,3,..., s (8) r t Las formulas (8) defnen posbles desplazamentos para las cuales exsten restrccones defndas por las lgaduras holónomas. Los desplazamentos ue satsfacen sólo las lgaduras (8) y no tenen en cuenta las velocdades y aceleracones reales ue tene el sstema de partículas se llaman desplazamentos posbles. Adconalmente, en mecánca clásca se ntroducen los desplazamentos vrtuales los cuales se denotan como r,,,3,, y satsfacen las relacones:

3 f ( r, r,..., r r 0;,,3,..., s (9) r Los desplazamentos vrtuales pueden nterpretarse como unos desplazamentos posbles bao de las condcones cundo las lgaduras están congeladas. En los sstemas esclerónomas (con las lgaduras estaconaras) los conuntos de los deslazamentos posbles y vrtuales concden. Eemplo. partículas se mueven sobre una esfera del rado ue vara con el tempo R R0 cos t. Analícese las lgaduras para las coordenadas y velocdades y los desplazamentos posbles reales y vrtuales. ) Este sstema de partículas tene lgaduras para las coordenadas: f x, y, z x y z R0 cos t 0,,,3,, (E) Dervando ambas partes de estas gualdades respecto del tempo t y tenendo en cuenta ue dx dy dz Vx, Vy, Vz,,,3,, (E) dt dt dt se obtenen las lgaduras para las velocdades: x Vx yvy zvz R0 cos t sent 0,,,3,, (E3) ) Para encontrar los desplazamentos reales hay ue defnr tanto las poscones como velocdades de tal manera ue estas cumplan las lgaduras (E) y (E). S las coordenadas x, y, z satsfacen (E) y las velocdades V x, Vy, Vz las condcones (E3) entonces los desplazamentos reales son: x Vx * t, y Vy * t, z Vz * t,,,..., (E4) Las condcones para los desplazamentos posbles se obtenen al susttur (E) en (8) x x yy zz R0 cos t sen tt 0,,,3,, (E5) Esta relacón sn últmo térmno da condcones para los desplazamentos vrtuales según la formula (9): x x y y z z 0,,,3,, (E6)..3 úmero de grados de lbertad y Coordenadas Generalzadas El número total de los desplazamentos vrtuales x, y, z,,, 3,, es 3. Estos desplazamentos según las ecuacones (9) de las lgaduras satsfacen s condcones adconales: f ( r, r,..., r f ( r, r,..., r f ( r, r,..., r x y z 0;,,3,..., s x y z Se ve ue, en realdad, no todos desplazamentos vrtuales son ndependentes, hay solo 3 s de los desplazamentos vrtuales ndependentes. El número de los desplazamentos vrtuales ndependentes n = 3 - s se llama el número de grados de lbertad de un sstema de partículas. Eemplos. ) Una partícula lbre en el espaco 3D tene 3 grados de lbertad. ) Dos partículas undas a través de una barra de longtud l ue se mueven en el plano XOY, tenen 3 grados de lbertad. Ya ue el número de partículas =, y hay s=3 lgaduras: z 0, z 0, x x y y l por eso n ) Un sstema de dos barras undas en el centro con un pvote pueden moverse solo en el plano XOY. Para analzar la cnemátca de cada una barra por separado es sufcente consderar movmento de solo dos partículas en el extremos de estas barras. Al defnr la poscón de estas dos partículas se ueda defnda la poscón de toda la barra. Por esta razón el problema consderado se reduce al analzar el movmento de 4 partículas P, P, P 3 y P 4 Fg.6 Entonces, en este caso el número de partículas = 4 y hay s= 8 (cuatro lgaduras: z 0,,,3,4 ya ue todas partículas están en el plano XOY, dos lgaduras ue fan la dstancas entre los extremos de las barras: x x y y l ; x4 x3 y4 y3 l, donde se supone ue la longtud de las barras l es una constante) y dos lgaduras ue sugeren la concdenca de los centros de las barras undos a través de pvote: x x / x x / ; y y / y y / Fg (0) 4) Demostraremos ue el número de los grados de lbertad de una molécula lneal, ue consste de átonos con las enlaces congeladas (las separacones entre los átomos son fas.) es gual a n=5, utlzando el método de la nduccón matemátca. a) Prmero, esta afrmacón es correcta para una molécula batómca ( = ) ya ue el número de lgaduras en este caso es s= y por eso el número de grados de lbertad es: 3

4 n = 3 * = 3 * = 5 b) Supongamos ue la fórmula es correcta para = k, es decr el número de los grados de lbertad de una molécula lneal con k- átomos es n=5. En este caso (ver Fg. 3) las coordenadas de últmo átomo en sstema de referenca pegada a la molécula son x 0, y k L, z 0. c) Demostraremos ahora ue la fórmula n=5 tambén esta correcta para una molécula k k k lneal con el número de átomos k+. Anexamos a una molécula lneal de k átomos un átomo adconal, como esto esta presentado en la Fg. 3. Al anexar un átomo adconal el número de coordenadas (3) se aumenta en tres pero tambén se aumenta en tres el número de las lgaduras: xk 0, yk k L, z k 0 (ver Fg. 3) y por eso la agregacón de un átomo adconal ya no aumenta el número de los grados de lbertad y se mantene la fórmula n=5. 5) El número de los grados de lbertad de una molécula no-lneal y un cuerpo rígdo en el espaco es gual a 6. Sea una molécula no-lneal de los átomos, el número de las lgaduras es 3-6. ( Demuéstreselo!). Por consguente, el número de grados de lbertad de cualuera molécula no-lneal (o un cuerpo rígdo) es gual: n=3-(3-6)=6. 6) Una partícula se puede moverse a lo largo de un tubo conectado en un extremo con un pvote. El tubo esta rotándose de tal manera ue los ángulos azmutal y polar varían con el tempo como 5t; 3t. Cuantos grados de lbertad tene la partícula? Poscón de esta partícula en el espaco se puede defnrse a través de 3 coordenadas esfércas P r,,. Pero dos coordenadas están relaconadas con lgaduras 5t; 3t y se ueda solo un grado de lbertad. Fg. 4 Cuando un sstema de partículas tene s lgaduras entonces el número de las coordenadas ndependentes necesaras para descrbr el estado del sstema es n=3-s. Estado del sstema puede descrbrse a través de algunos n parámetros,, 3, 4,, n, ue se llaman las coordenadas generalzadas. Uno de los varantes posbles es escoger cualuera n entre 3 coordenadas cartesanas y los restantes s=3-n coordenadas expresar a través de estas n coordenadas usando s ecuacones de lgaduras. Sn embargo esta eleccón de las coordenadas generalzadas en la práctca en la mayoría de los casos no se usa. En lugar de las coordenadas cartesanas meor utlzar otros parámetros ue con mas transparenca descrben la geometría del sstema formada por las lgaduras, por eemplo, ángulos, dstancas entre partículas, áreas, etc. A veces las coordenadas generalzadas,, 3, 4,, n, pueden no tener una nterpretacón geométrca.. Pero en todos casos se reuere ue los coordenadas generalzadas sean ndependentes y ue sea posble expresar todas las coordenadas cartesanas x, y, z, x, y, z, x3, y3, z3,, x, y, z a través de las coordenadas generalzadas por medo de las funcones dadas: r r,,,,, t ;,,3,,, n 3 s () 3 n Sean susttudos estas funcones () en s ecuacones (4) de lgaduras, las ecuacones (4) deben automátcamente transformarse en dentdades. En adelante se supone ue las funcones () son contnuas y doblemente dervables y además para los sstemas esclerónomas no dependen del tempo...4 Velocdad y aceleracón en Coordenadas Generalzadas S un sstema de partículas está en un movmento, las coordenadas generalzadas son funcones del tempo, t y sus la prmera y la segunda dervadas t y t,,,3 n se llaman las velocdades generalzadas y aceleracones generalzadas respectvamente. Las velocdades y aceleracones cartesanas se pueden expresar en los térmnos de las velocdades y aceleracones generalzadas. Para obtener las formulas correspondentes hay ue encontrar las dervadas de la funcón compuesta () respecto del tempo t. dr n r r V ;,,3,, ; n 3 s () dt t dv n n n r r r r k dt k, k t t a ;,,3,, ; n 3 s Eemplos (3) ) Péndulo smple. La poscón del péndulo se defne por medo de tres coordenadas de una sol partícula P(x, y, z) ue está ubcada en el extremo del péndulo. Para esta sstema de una partícula (=) hay dos lgaduras: z=0 y x y l y por eso el sstema tene un solo grado de lbertad y se necesta solo una coordenada generalzada. En caldad de esta coordenada generalzada escogmos el ángulo. Las 3 coordenadas cartesanas se expresan a través de esta coordenada generalzada como (ver Fg.5): z 0; x lsen ; y l cos Fg.5 Las velocdades en las coordenadas generalzadas se defnen a través de solo una velocdad generalzada : z 0 ; x l cos ; y l sen 4

5 y las aceleracones: z 0; x l cos l sen; y l sen l cos ) Péndulo doble. Péndulo doble puede consstr de dos barras conectados en dos pvotes O y P. El estado del sstema se puede descrbr a través de las poscones de las dos partículas P y P con las coordenadas x, y, z y x, y, z respectvamente (ver Fg.5). Esta sstema tene s=4 lgaduras: z z 0 (movmento está en el plano XOY) y x y z l y x x y y z z l (longtudes de las barras son fas. El número de grados de lbertad es n 3 4. Como dos coordenadas generalzadas escogeremos los dos ángulos y (ver Fg.6). Las 6 coordenadas cartesanas se expresan a través de esta coordenada generalzada como (ver Fg.6): Fg.6 z 0; x lsen ; y l cos ; z 0; x lsen sen ; y lcos cos Las velocdades en las : y coordenadas generalzadas se defnen a través de dos velocdades generalzadas z 0; x l cos ; y l sen; z 0; x l cos cos ; y l sen sen y las aceleracones: z 0; x l cos l sen; y l sen l cos ; z 0; x l cos sen cos sen ; y l sen cos sen cos..5 Trabao vrtual y fuerzas generalzadas Consdere un sstema de partículas ue se están movendo con respecto a un sstema de referenca ewtonano o Inercal de tal manera ue sus coordenadas en cualuer momento del tempo satsfacen s lgaduras. Ya sabemos ue en este sstema realmente solamente n=3 s coordenadas son ndependentes. En la práctca hay varos casos cuando el número de lgaduras es sufcentemente alto y el número de coordenadas ndependentes (el número de grados de lbertad) n es mucho menor ue 3. Por eemplo, el número de grados de lbertad de un cuerpo rígdo es solamente n=6 a pesar de ue el número de partículas ue consttuyen este cuerpo es tremendamente grande. Esto nos permte dsmnur el número de ecuacones ue se necestan para Fg. 7 analzar el movmento del sstema. Como lustracón de esta afrmacón analcemos el trabao ue se realza el sstema a consderacón medante los desplazamentos nfntésmos permtdos por las lgaduras. S lgaduras son reónomas estos desplazamentos según nuestra defncón son vrtuales y se defnen a través de vectores r, (,,3,, ). S denotaremos a través de vectores F las fuerzas resultantes aplcadas a las partículas con la numeral, el trabao nfntésmo realzado por estas fuerzas se calcula como: A F r (4) El trabao defndo medante la fórmula (4) ue corresponde a los desplazamentos vrtuales nfntésmos se llama el trabao vrtual. Se puede ver ue la suma en la expresón (4) ncluye vectores dferentes vectores de desplazamentos, entre los cuales no todos son ndependentes, el hecho ue nos permte reducr el número de los térmnos en la fórmula (4). En efectvo, usando las relacones entre las varacones de los vectores de poscón y de las coordenadas generalzadas para los sstemas esclerómanos: n r,, 3,, n r ;,,3,,, n 3 s (5) se puede transformar la expresón (4) para el trabao vrtual a la forma sguente: n r A Q ; Q F ;,,,,,,, n, n 3 s (6) Auí,, 3,, n son las coordenadas generalzadas y los térmnos Q son las fuerzas generalzadas, asocados cada uno de ellos a la coordenada generalzada correspondente. Se ve ue el cálculo del trabao vrtual se smplfca esencalmente al usar para un sstema de partículas con una gran cantdad de lgaduras de las coordenadas generalzadas. Por eemplo, para un cuerpo rígdo, ndependentemente del número de partículas ue lo consttuyen, el número de fuerzas generalzadas ue hay ue saber para calcular el trabao vrtual sempre es 6. A contnuacón consderemos dos eemplos con cálculos de las fuerzas generalzadas 5

6 Eemplos ) El trabao vrtual de un péndulo smple presentado en Fg. 8 bao una fuerza externa F F,F según la defncón (4) es A F x F y. Este sstema tene solamente una partícula (=) y dos lgaduras z=0, un solo grado de lbertad y se descrbe medante una coordenada generalzada, el ángulo. Dos coordenadas cartesanas se expresan a través de esta coordenada generalzada como x lsen ; y l cos y desplazamentos vrtuales correspondentes como x l cos ; y l sn. Al susttur estas expresones para los desplazamentos vrtuales en la fórmula para el trabao vrtual se obtene: Fg.8 A F l ( cos sn ) Q, donde Q es la fuerza generalzada gual a Q F l ( cos sn ). Anótese, ue el eulbro del péndulo se consgue, cuando la fuerza resultante está drgda a lo largo del hlo, es decr cuando tan, y en este caso la fuerza generalzada es gual a cero. Esto no es un resultado ocasonal, sempre en un estado de eulbro todas fuerzas generalzadas son guales a cero. Esto sgue de la defncón (6). ) El trabao vrtual de un péndulo doble presentado en Fg. 9 bao de dos fuerzas externas F F cos 45, F sn 45 y F F cos30, F sn 30, según la defncón (4) es A F cos 45 x F sn 45 y F cos30 x F sn 30 y. El número de los grados de lbertad es dos. Las coordenadas generalzadas los dos ángulos y (ver Fg.9) se expresan a través de esta coordenada generalzada como: x lsen ; y l cos ; x l sen sen ; y l cos cos. Igualmente los desplazamentos vrtuales en las coordenadas cartesanas pueden ser expresados en los térmnos de los desplazamentos de las coordenadas generalzadas x l cos ; y l sn ; x l cos cos ; y l sn sn Fg.9 Al susttur estas expresones para los desplazamentos vrtuales en la fórmula para el trabao vrtual se obtene: A F cos 45 l cos F sn 45 l sn F cos 30 l cos cos F sn 30 l sn sn F l cos 45 cos sn 45 sn F l cos 30 cos sn 30 sn F l cos 30 cos sn 30 sn F l cos 45 F l cos 30 F l cos 30 De auí el trabao vrtual se puede representar en la forma: A Q Q ; Q F l cos 45 F lcos 30 ; Q F l cos 30 donde Q y Q son las fuerzas generalzadas..6 Los Prncpos de Trabao Vrtual y de D Alembert. ota Hstórca. El prncpo de los trabaos vrtuales fue utlzado por prmera vez por Galleo (564-64) para el dseño y cálculo de mecansmos y desarrollado teórcamente con un enuncado más matemátco y formal por Lagrange (736-83), ya ue desarrolla la teoría varaconal y escrbe su " Mecánca Analítca " donde coloca las bases de dcha dscplna. o obstante a lo anteror el núcleo teórco el prncpo de los trabaos vrtuales fue enuncado por Santago Bernoull ( ) y por Danel Bernoull (700-78). Este prncpo es muy mportante al establecer una relacón entre el trabao de deformacón exteror (funcón de las solctacones exterores: axles, cortantes, flectores, torsores y las deformacones lneal y angular) con la energía de deformacón nteror (funcón del tensor de tensones y las deformacones volumétrcas). El prncpo de d'alembert es una extensón del prncpo del trabaos vrtuales fue enuncado por Jean d'alembert en su obra maestra Tratado de dnámca de 743, establece ue la suma de las fuerzas externas ue actúan sobre un cuerpo y las denomnadas fuerzas de nerca forman un sstema de fuerzas en eulbro. A este eulbro se le denomna eulbro dnámco El prncpo de d'alembert es realmente una generalzacón de la segunda ley de ewton en una forma aplcable a sstemas con lgaduras, ya ue ncorpora el hecho de ue las fuerzas de lgadura no realzan trabao en un movmento compatble. Por otra parte el prncpo euvale a las ecuacones de Euler-Lagrange. Lagrange usó este prncpo bao el nombre de prncpo de velocdades generalzadas, para encontrar sus ecuacones, en la memora sobre las lbracones de la Luna de 764, abandonando desde entonces el prncpo de accón y basando todo su trabao en el prncpo de D'Alembert durante el resto de su vda y de manera especal en su Mécanue Analytue. Estos dos prncpos deron el orgen al llamado prncpo de mínma accón ue es una base teórca para dferentes técncas relaconadas con los prncpos varaconales ue permten encontrar las ecuacones fundamentales en dferentes áreas de físca, como mecáncas clásca, relatvsta y cuántca, electro- y hdrodnámca, teoría de elastcdad, etc., 6

7 El prncpo de los trabaos vrtuales establece ue " S un sstema de partículas o una estructura sólda ue tene lgaduras deales estando en eulbro, sufre unos desplazamentos vrtuales debdo a la accón de unas fuerzas adconales, el trabao vrtual realzado por estas fuerzas es gual a cero", es decr n A F r Q 0 (7) Auí F son fuerzas adconales, r son desplazamentos vrtuales en las coordenadas cartesanas para la partícula -ésma, mentras ue Q y son valores correspondentes a las coordenada generalzadas. Para explcar el sgnfcado de esta gualdad anotemos ue cada lgadura ue mplca las restrccones para la varacón r de la coordenada de la partícula -ésma se deben a las fuerza de reaccón R ue aparecen como resultado de aplcacón de las fuerzas adconales F. Las lgaduras se llaman deales so el trabao vrtual de las fuerzas de las reaccones es gual a cero,.e. A R r 0 (8) R Esta últma condcón no es consecuenca nngunas leyes fundamentales, sno es una condcón adconal ue está en concordanca con las defncones de lgaduras rígdas de unos sstemas ue se consderan en la mecánca clásca. Se puede ustfcar esta condcón adconal consderando como lustracones los eemplos a contnuacón. Eemplos.. Una partícula se desplaza a lo largo de una superfce lza. El vector de los desplazamentos vrtuales r en este caso está ubcado en el plano tangente a la superfce, mentras ue la reaccón esta ortogonal a este plano (ver Fg.0). Por esta razón AR R r 0 Fg. 0. Un sóldo lbre en el espaco 3D. Un sóldo no tene nngunas otras lgaduras excepto las ue sugeren la nvaranca de las separacones entre dos cualueras puntos ue forman este cuerpo. Estas lgaduras afectan los puntos del cuerpo rígdo medante las fuerzas ue se llaman nternas. En consecuenca de ue las fuerzas nternas entre cualueras dos puntos vecnos de un cuerpo rígdo según la tercera ley de ewton tenen el msmo valor, pero las dreccones opuestas F F, mentras ue los desplazamentos vrtuales concden r r. La condcón (8) para las lgaduras deales en este caso se cumplen automátcamente. 3. Un cuerpo rígdo puede grar alrededor del pvote O (Fg. ) En este caso A R 0 ya ue el punto a ue se aplca la fuerza de la reaccón es nmóvl y por eso r 0 4. Un cuerpo rígdo puede grar alrededor de un ee nmóvl. Este caso es smlar al eemplo anteror Fg. y por la msma razón A R Dos cuerpos rígdos artculados en el punto O (Fg.). En este caso R R y r r. Por eso A R r R r R r r R 0 En mecánca clásca nosotros consderamos solamente los sstemas con las lgaduras deales, mentras ue sstemas con las lgaduras de tpo dferentes se analzan en otras áreas, por eemplo en la teoría de resstenca de materales y otras. Consderemos ahora un sstema de partículas en un estado de eulbro cuando F R ;,,,. S ahora multpluemos ambas partes de la gualdad por los vectores de los desplazamentos correspondentes y sumemos estos productos para todas las partículas obtendremos: n A F r R r (9) Tenendo en cuenta ue para sstemas con las lgaduras deales la últma suma según la ecuacón (8) es gual a cero se obtene la fórmula (7) la cual es el contendo del Prncpo de los Trabaos Vrtuales: En el estado de eulbro de un sstema con las lgaduras deales la suma de trabaos vrtuales de las fuerzas adconales realzados medante desplazamentos vrtuales es gual a cero Extenderemos ahora este prncpo para el caso cuando el sstema no está en el estado de eulbro. En este caso las partículas con las masas Fg. m bao la accón de las fuerzas adconales y de las reaccones se desplazan desde sus poscones de eulbro con las aceleracones w, las cuales según la segunda ley de ewton satsfacen las gualdades: m w F R F m w R,,,, (0) Ahora multplcaremos ambas partes de esta gualdad por los vectores de los desplazamentos vrtuales correspondentes y sumemos estos productos para todas las partículas. Entonces tenendo en cuenta la gualdad (8) para las lgaduras deales obtenemos la relacón: F m w r 0 () Esta últma ecuacón es práctcamente déntca al prncpo de los trabaos vrtuales (7) a excepcón del últmo térmno el cual podemos nterpretar como las fuerzas de nerca. De esta manera para los sstemas de partículas con las lgaduras deales en movmento el prncpo de los trabaos vrtuales (7) se transforma en sguente Prncpo de D Alembert: Un movmento real dfere de todos otros movmentos posbles en la condcón ue para este y solamente para este movmento en cualuer 7

8 nstante del tempo la suma de trabaos de las fuerzas adconales y las fuerzas de nerca realzada medante desplazamentos vrtuales es gual a cero Los prncpos de los trabaos vrtuales y de D'Alembert representan unos leyes fundamentales de Mecánca Clásca ue forman una parte de los Prncpos Varaconales sobre los cuales hablaremos más detalladamente en los sguentes capítulos. En la Físca contemporánea estos prncpos srven como un punto de partda para dervar las ecuacones dferencales ue descrben el comportamento de dferentes sstemas de partículas en la Físca Atómca y uclear, Teoría de Relatvdad y Cosmología, de los campos en la hdrodnámca, teoría de elastcdad, teoría electromagnétca, etc. A contnuacón mostraremos como una lustracón de la utldad de los prncpos varaconales un eemplo en el cual deducremos a partr del prncpo de D Alembert la ecuacón dferencal de Lagrange ue descrbe un sstema de partículas con lgaduras...7 Prncpo de D Alembert y ecuacones de Lagrange Consderemos un sstema de partículas bao de accón de las fuerzas adconales F y las fuerzas de reaccón R,,,. Según segundo ley de ewton la dnámca de estas partículas se descrbe a través de 3 ecuacones dferencales (euvalentes a ecuacones dferencales en la forma vectoral): d r m F R,,,, () dt Además suponemos además ue este sstema satsface s lgaduras: f ( r, r,..., r 0;,,3,..., s (3) Se ve ue para analzar el comportamento de este sstema es necesaro resolver un sstema de 3+s ecuacones. Ya sabemos ue en muchos casos cuando el número de lgaduras es grande la mayoría de las varables en estas ecuacones no son ndependentes y esto nos dea la posbldad de dsmnur el número de ecuacones elmnando las varables dependentes. El camno natural para lograr este obetvo es el uso en lugar de las coordenadas cartesanas r las coordenadas generalzadas, las cuales ya automátcamente tenen en cuenta las condcones de las lgaduras. Para deducr las ecuacones dferencales correspondentes para las coordenadas generalzadas partmos desde el prncpo de D Alembert () en la forma: dv r r dv r F r m r Q m 0 (4) dt dt La segunda doble suma en esta gualdad puede ser smplfcada usando sguentes transformacones algebracas: d m v r d r d r r r r m v m v dt dt dt Auí d v r r r r m v m v dt dt T mv v d T T es la energía cnétca del sstema y en las transformacones algebracas fue utlzada la dentdad la cual se demuestra a contnuacón: dr s s r d r v r v dt dt Al susttur (5) en (4 obtendremos: d T T d T T Q Q r r r r dt dt 0 (5) r v, Como esta últma gualdad debe cumplrse para cualuer conunto de los desplazamentos de las coordenadas generalzadas, cuales además son ndependentes, de auí sgue ue las expresones dentro de los paréntess deben ser guales a cero, es decr: d T T dt Q ;,,, r; r 3 s; T m v Estas ecuacones se llaman de Lagrange y ya no se necestan las lgaduras, ya ue estas se tenen en cuenta medante del uso de las coordenadas generalzadas. En el caso partcular de ausenca de lgaduras (s = 0) las ecuacones (6) automátcamente se reducen a las ecuacones de ewton, en lo contraro (s > 0) el número de las ecuacones de Lagrange es sempre menor ue el número de las ecuacones de ewton y el uso de las ecuacones de Lagrange trae varas ventaas. Pero el estudo más detallado de estas ecuacones es el tema de sguente capítulo. (6) 8