El Tensor de Deformación

Transcripción

1 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón 4.. Introdccón El Tensor de Deformacón Además de descrbr los esferzos de n cerpo, la mecánca de los sóldos contnos aborda tambén la descrpcón de las deformacones. La deformacón pede edar completamente descrta dando el desplazamento de cada pnto en el cerpo, desde s poscón de elbro hasta la deformada. Esto sgnfca e al dar las tres componentes del vector desplazamento para cada pnto, la deformacón eda completamente defnda. Para peeños desplazamentos, tal como ocrre en mchos problemas elástcos, es convenente sar la deformacón elástca lneal, defnda en térmnos de la dervada de los desplazamentos.. A. A' 4.. Defncón: Fgra. Representacón esemátca del proceso de deformacón. En general: = desplazamento en la dreccón La combnacón de dervadas sadas en la defncón de la deformacón son elegdas así para e los movmentos del cerpo rígdo den na deformacón cero. Eemplo:,, Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH. 4 -

2 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón 4 - Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH z k y ˆ ln ˆ cos ˆ y sen z cos cos y y z y y y sen cos cos 4.. Interpretacón geométrca de la deformacón Fgra. Interpretacón geométrca de la deformacón B A C D B' C' D' A' d d d d

3 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón d dstanca dchas caras. = Dferenca de desplazamento en dos caras separadas por na peeña velocdad de cambo del desplazamento por la dstanca e separa Las deformacones normales dan los cambos relatvos en longtdes de líneas paralelas a los ees coordenados. lm 4.4. Interpretacón geométrca de la deformacón ( ) d B' C' B C A A' D D' d Fgra. Dstorsón anglar de n sóldo deformado. tg tg Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH. 4 -

4 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón 4-4 Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH en e es la deformacón anglar total en el plano 4.5. Matrz de rotacón Fgra 4. Rotacones de n sóldo en torno a. Para peeñas rotacones en la dreccón en la dreccón la rotacón promedo del elemento pede defnrse como: El connto de componentes de rotacón peden representarse como: d d d d

5 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH. 4-5 rotacón de Matrz 4.. Matrz de desplazamento Al smar la matrz de deformacón con la matrz de rotacón se obtene la matrz desplazamento e e e 4.7 Deformacón czallante : Cambo anglar total tg tg Fgra 5.Cambo anglar por deformacón de czalle.

6 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón Cambo anglar total = pero En general además Matrz deformacón en térmnos de la deformacón czallante: 4.8 Interpretacón geométrca de la matrz de rotacón Corresponde a na rotacón rígda sobre n ee coordenado en el plano perpendclar a dcho ee. Por eemplo: z P z 45 O Fgra. Interpretacón geométrca de la matrz de rotacón. corresponde a la rotacón de la dagonal OP en el plano, alrededor del ee, de tal forma e dcha dagonal concda con la bsectrz del cadrante. 4 - Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH

7 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón 4 S la dagonal se gra n ánglo z, para llevarla a 45º de los ees : z 4 con lo cal z Por lo tanto, efectvamente corresponde a la rotacón de la recta OP para hacerla concdr con la bsectrz del plano. 4.9 Ecacones de Compatbldad Se precsan térmnos para descrbr completamente el estado de deformacón en n pnto. Las componentes de la deformacón no son todas cantdades ndependentes, por lo tanto: Las componentes de la deformacón no peden ser defndas en forma arbtrara, deben por lo tanto satsfacer certas relacones, llamadas ecacones de compatbldad. Conocdo el vector desplazamento, se pede calclar el tensor deformacón dervando convenentemente dcho vector. Dado es posble calclar? d () d d () d d () d (4) (5) () El número total de ecacones es El número total de ncógntas es Incógntas : deben cmplrse condcones adconales para Estas condcones adconales, se denomnan Ecacones de Compatbldad Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH. 4-7

8 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón 4-8 Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH Se pede demostrar e: 4. Invarantes del tensor deformacón Para peeñas deformacones, el cambo en el volmen específco de n cerpo dstorsonado es gal a la sma de las tres deformacones normales V V El cambo de volmen de n cerpo pede ser meddo sn referenca a n sstema coordenado, por tanto la sma de las deformacones normales debe ser n nvarante. I Tambén son nvarantes I I

9 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón 4. Descomposcón del tensor deformacón El tensor deformacón pede descomponerse en n tensor asocado al cambo de volmen y no asocado a la dstorsón Matrz devatórca de la Deformacón Matrz asocada al cambo de volmen Cambo de volmen = Dstorsón = ' ' Deformacón devatórca Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH. 4-9

10 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón Eerccos propestos ) En n pnto de n sóldo elástco en el e este n estado tensonado plano, la matrz de tensones, referda a n sstema de ees ortogonales, es: 5 5 Kgf / cm a) Determnar las deformacones prncpales ( ) 85 Resolvendo la ecacón cadrátca se obtenen los esferzos prncpales 84 Kgf cm / Kgf cm / Ahora aplcando las leyes de Hooke, los alargamentos ntaros prncpales son: 84, 9, E, 84 95,4 E, ,5 E Calclar la varacón anglar epermentada por la dreccón a la e corresponde la deformacón transversal ntara máma (en grados) e ndcar la dreccón o dreccones correspondentes La deformacón transversal ntara máma es: má n má G 4 - Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH

11 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón sendo 8 Kgf má / cm E G, 7,7 5 Kgf / cm 8 8 Lego n rad º 4 º 5 5 7,7 7,7 má Como se trata de ánglos my peeños n n P n tg n n 4 º 4 º Plano drector 45º 45º Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH. 4 -

12 Comportamento Mecánco de Sóldos Capítlo IV Tensor de deformacón.- Las poscones de n cerpo ABCD son: A(,) A (,) B(4,) B (5;.5) C(4,5) D(,) C (4,5;) D (-.;) a) Determne los tensores deformacón, rotacón y desplazamento. b) Cál es el cambo de volmen porcental?..- (a) Demostrar e para peeñas deformacones el cambo de volmen ntaro vene dado por V V yy zz en e es la deformacón normal a la cara y en la dreccón b) Demostrar e todo tensor se pede escrbr como la sma de n tensor smétrco más otro antsmétrco..- En n pnto de n sóldo elástco en el e este n estado tensonal plano, la matrz de tensones referda a n sstema de ees cartesanos ortogonales es: 5 5 (Kgf/cm ) Hallar las deformacones prncpales Calclar la varacón anglar epermentada por la dreccón a la e corresponde la deformacón transversal ntara máma (en grados) e ndcar la dreccón o dreccones correspondentes. 4 - Departamento de Ingenería Metalúrgca USACH