I Coordenadas generalizadas Constricciones y coordenadas generalizadas Desplazamientos virtuales... 3

Transcripción

1 .1 Parte I Mecánca de Lagrange Índce I 1 1. Coordenadas generalzadas Constrccones y coordenadas generalzadas Desplazamentos vrtuales Ecs. de Lagrange Prncpo de d Alembert Ecs. de Lagrange Prncpo de mínma accón 4 4. Fuerzas de constrccón 5 5. Cantdades conservadas Símetrías y constantes Sstemas dspatvos Teoremas de conservacón para N partículas El sóldo rígdo Coordenadas generalzadas 1.1. Constrccones y coordenadas generalzadas Sstemas constreñdos y fuerzas de reaccón. Sstema de N partículas: 3N grados de lbertad {x } n=3n =1, 3 dreccones de translacón por partícula: = (1, 2, 3, ), (4, 5, 6),, (n 2, n 1, n). En presenca de constrccones el # de grados de lbertad es reducdo por fuerzas de reaccón: ṗ = F a + R, = 1,, 3N, con p -esma componente momentum (según x ), F a fuerza de reaccón. fuerza aplcada y R.3 1

2 Constrccones holonómcas Constrccones holonómcas: se pueden escrbr como k ecuacones, f j (x 1,., x n, t) = c j, j = 1, 2,, k. Ejemplos: partícula constreñda a una superfce 2-D z = f(x, y), o a una curva x = f(s), doble péndulo planar con largos fjos (dos grados de lbertad, θ 1, θ 2 )..4 Constrccones no-holonómcas No hay ecuacón lgando los {x }. Ejemplo: partícula que resbala en el campo g sobre una esfera, r R. Dentro de las constrccones no-holonómcas estan las constrccones no-ntegrables: h dx = 0. Ejemplo: clíndro que rueda sn resbalar..5 Coordenadas generalzadas Consderemos N partículas con k constrccones holonómcas: hay 3N k grados de lbertad. Elegmos {q } 3N k =1 coordenadas ndependentes que caractersan el sstema. {q } 3N k =1 coordenadas generalzadas. Ejemplos: s en x = f(s), θ 1, θ 2 en el doble péndulo planar. Hay que especfcar el tempo en el caso de constrccones holonómcas tempodependentes. Relacón con coordnadas cartesanas: x = x (q 1,, q n k, t), = 1,, 3N..6 Estado mecánco. Los {q j } 3N k j=1 son varables ndependentes que determnan la poscón de un sstema. Pero los {q j } 3N k j=1 no bastan para determnar el estado mecánco del sstema, porque para determnar la poscón en un nstante sguente se necestan las velocdades { q j } 3N k j=1. La experenca ndca que dados {q j } 3N k j=1 y { q j } 3N k j=1, en t, queda determnado el estado mecánco, lo cual en prncpo permte predecr el movmento futuro, suponendo que se puede resolver el problema mecánco. En otras palabras, dados {q j } 3N k j=1 y { q j } 3N k j=1 quedan determnados { q j } 3N k j=1. Las varables ndependentes de un problema mecánco son {q j, q j, t}, j = 1,, 3N k..7 2

3 1.2. Desplazamentos vrtuales Desplazamento vrtual {δx } 3N =1: nfntesmal, nstantáneo (constrccones fjas), consstentes con constrccones. δx = n k l=1 x q l δq l Ecs. de Lagrange 2.1. Prncpo de d Alembert Las fuerzas de constrccones no trabajan en desplazamento vrtuales. Prncpo de d Alembert: (F a ṗ )δx = 0. (1) Notar que en el caso sn constrccones, se reduce a 2nda ley de Newton. Notar ausenca de fuerzas de reaccón Ecs. de Lagrange Trabajo de las fuerzas externas en un desplazamento vrtual: δw = 3N =1 F δx = 3N k σ=1 Q σ δq σ, con Q σ 3N =1 F x, fuerza generalzada. Introducendo la energía cnétca, T 1 2 3N m ẋ 2, se puede reescrbr el prncpo de d Alembert Ec. 1, en las Ecs. de Lagrange: d T T = Q σ, σ = 1,, 3N k. (2) dt q σ.10 3

4 Fuerzas conservatvas, Lagrangeano Fuerza externa F = x V ({x }, t), y Q σ = V ({q j } 3N k j=1, t), Introducmos Lagrangeano, L = T V, y Ec. 2 da la Ec. de Euler-Lagrange: Ejemplos d L L = 0, σ = 1,, 3N k. (3) dt q σ Péndulo. Masa en un anllo grando en un plano. Establdad, bfurcacones: masa en un anllo grando con eje de rotacon que pasa por su centro y es paralelo a g Prncpo de mínma accón Cálculo de varacones Consderemos una funcón y(x), y I x 2 x 1 φ(y, y, x)dx, donde φ es un funconal de y y y. La funcón y(x) que extrema I, dado condcones de bordes fjas en x 1 y x 2, es solucón de las ecuacones de Euler, d φ dx y φ y = 0. (4).13 Prncpo de Hamlton Smltud de Ecs. de Euler, Ec. 4, sugere que Ecs. de Euler-Lagrange, Ec. 3, dervan de un prncpo varaconal. Para 1-D: x t y(x) q(t) y ṫ φ(y, y, x) L(q, q, t) Defnmos la accón S = t2 t 1 Ldt, y el prncpo de mínma accón arroja las Ecs. de Euler-Lagrange, Ec

5 Lagrangeano de la partícula lbre Ppo. de Hamlton formulacón fundamental de la mecánca. Consderacones fundamentales en relatvdad Galleanaa conducen al Lagrangeano de la partícula lbre, L = 1 2 mv Fuerzas de constrccón Modfcacón de las Ecs. de E.-L. Tenemos k constrccones: f j ({q σ }, t) = c j, j = 1,, k {q σ }no ndependentes t2 t1 dt n f j δf j = δq σ = 0. q σ=1 σ ( n L δq σ d L + dt q σ j σ=1 d L L = dt q σ j λ j f j ) λ j f j (5) En que rotulamos los q σ ndependentes con σ = 1,, n k. Los otros q σ no son ndependentes. Pero elegmos λ 1,, λ k de manera a que se anulen los coefcentes de δq n k+1,, δq n..16 Fuerzas de constrccón Comparacón de E.L. modfcada, Ec. 5 con ecuacones de Lagrange, Ec. 2, d T T = Q σ, σ = 1,, 3N k. dt q σ nspra dentfcar Ejemplo: péndulo. Q σ = V + k j=1 λ j f j } {{ } Q r σ (6).17 5

6 5. Cantdades conservadas 5.1. Símetrías y constantes Constantes de movmentos E.L. orden 2 2n 1 constantes de ntegracón que se pueden despejar en funcón de los {q σ, q σ, t}. La especfcacón de las constantes de movmento resuelve en problema mecánca..18 Momentum generalzado p L q E.L. ṗ = L q. Reconocemos la 2nda ley de Newton para el caso de sstemas con L = T (v 2 ) V ( q): ṗ = Q, con Q = V q, fuerza generalzada..19 Smetrías y constantes S una coord. gen. q σ no aparece en L, el correspondente momentum gen. es constante que da la ec. de mov en σ: L = 0 ṗ σ = 0. S L/ = 0 se dce que q σ es cíclca. L( q, q, t) L q σ ( q, q, t) y p σ =Cte entrega una prmera ntegral, una relacón entre q, q, y t. S L es nvarante ante alguna transformacón contínua de coordenadas, asocamos una coordenada generalzada con esa smetría q σ (ej: z en un sstema con smetría plano-paralela). Entonces L/ = 0, y p σ es Cte. la exstenca de una smetría contínua mplca la presenca de un momentum generalzado conservado..20 6

7 Ejemplos Movmento 3-D en potencal 1-D funcón de z ṗ x = ṗ y = 0. Movmento en un potencal central p φ =Cte, correspondente a la magntud del momentum angular. Smetrías para un sstema cerrado. Homogenedad del espaco L no depende de q, s no dependería del orgen conservacón de momentum lneal y angular..21 El Hamltonano H p q L. S L t = 0 dh dt = 0 en las trayectoras solucones de la ecuacón de movmento. H = E = T + V para sstemas en los cuales n V n las constrccones dependen de t. H es una funcón de q σ y p σ, es la transformada de Legendre de H en p Sstemas dspatvos Roce: detalles mcro muy complcados usar prescrpcón macro: F d = k vˆv. Para ntroducr F d en mecánca analítca ntroducmos la funcón dspatva de Raylegh: R = 1 k ẋ 2, donde F d = R = k ẋ. 2 ẋ Agregando a las ecuacones de movmento: En coordenadas generalzadas, d L L = F d dt ẋ x = R x d L L + R = 0. dt q σ q σ.23 Ejemplo: aro que rueda sn resbalar..24 7

8 5.3. Teoremas de conservacón para N partículas Homogenedad de t Hamltonano de un sstema cerrado es cantdad conservada. Homogenedad del espaco momentum total P de un sstema cerrado es conservado, P = L. v a a El momentum total se anula en el sstema centro de masa, R = a m a r a / a m a. Isotropía del espaco momemtum angular L es cantdad conservada: L = a r a p a El sóldo rígdo Cuerpo rígdo con N partículas, 6 grados de lbertad (3 de translacón, 3 de rotacón) 3N 6 constrccones holonónmcas r r j = Cte..26 Velocdad angular Sea R el orgen de un sstema S lgado al cuerpo, con velocdad V = d R/dt en un sstema nercal S. Las normas de los vectores poscones del cuerpo son constantes en S, el cuerpo descrbe una rotacón en S. En S, para un punto en el cuerpo v = V + Ω r, donde r es meddo en S, v es la velocdad en S, y Ω es la velocdad angular. Ω es ndependente del orgen R: s elgmos otro orgen R, tambén lgado al cuerpo, con a = R R, r = r + a, y v = V + Ω r, entonces V = V + Ω a y Ω = Ω (7) De Ec. 7, vemos que exste un a tal que V = 0. En este sstema S el cuerpo descrbe una rotacón pura con un eje de rotacón llamado eje nstantáneo de rotacón, que pasa por el orgen O, en R..27 8

9 Tensor de nerca, Lagrangeano En S, energía cnétca: T = N 1 m 2 v 2 = d 3 xρ( x) 1 v 2 ( x) 2. Escrbendo T observado en S en funcón de las cantdades meddas en el sstema S lgado al cuerpo, T = 1 m 2 V + Ω r 2. S ubcamos el centro de S en el centro de masa, T se puede escrbr T = 1 2 MV 2 + 3,j=1 1 2 I jω Ω j, con I j = N m σ (δ j rσ, 2 r σ, r σ,j ). σ=1 Caso contínuo, I j = d 3 xρ( x)[x 2 δ j x x j ]..28 Propedades del tensor de nerca I j es smétrco. Toda matrz smétrca se puede dagonalzar. Los autovalores I 1, I 2, I 3 se llaman momentos prncpales de nerca, y las dreccones correspondentes del sstema S lgado al cuerpo se llaman los ejes prncpales de nerca. Trompo asmétrco: I 1 I 2 I 3 Trompo smétrco: dos momentos guales. Teorema de los ejes paralelos: puede resultar más cómodo calcular I j en un sstema S centrado en un orgen O dstnto al centro de masa, pero con ejes paralelos a S. Entonces r = r + a, y I j = I j + M(a 2 δ j a a j ). Momentum angular en sstema nercal lgado a C.M.: L = N a=1 m a( r a v a ) = 3 k=1 I kω k. Notar L y Ω NO paralelos..29 Movmento del trompo lbre, Ecuacones de Euler Lagrangeano en el sstema nercal S : L = 1I 2 jω Ω j + E.L. L k = 0, k = 1, 2, 3. Para pasar a una descrpcón usando componentes en el sstema lgado al cuerpo usamos da = d A + Ω dt dt A, nercal cuerpo para cualquer A y donde Ω es el vector velocdad rotacón angular. nercal L k = 0 = Ω L, y cuerpo d L dt I 1 Ω1 = Ω 3 Ω 2 (I 2 I 3 ) I 2 Ω2 = Ω 1 Ω 3 (I 3 I 1 ) I 3 Ω3 = Ω 1 Ω 2 (I 1 I 2 ).30 9

10 Osclacones del trompo smétrco Supongamos que I 1 = I 2 I 3 Ω 3 = Cte, y Ω 1 = AΩ 2 Ω 2 = AΩ 1, con A = Ω 3 (I 3 I 1 )/I 1. Vemos que Ω 1 y Ω 2 ejecutaran osclacones armóncas. S en t = 0, Ω esta en el plano (ê 1, ê 2 ), formando un ángulo θ con ê 3, Ω 1 (t) = Ω sn(θ) cos(at) Ω 2 (t) = Ω sn(θ) sn(at) Ω 3 (t ) = Ω cos(θ) Cte. (8) En el caso del planeta Terra, θ rad o un desplazamento de 4 m del polo Norte, y A Ω/305,.e. una precesón de 305 días