11. EL SPIN. El momento angular intrínseco. La evidencia espectroscópica. 11. El Spin

Transcripción

1 11. EL SPIN El momento angular ntrínseco Hasta aquí nos ocupamos de la descrpcón cuántca de una partícula, consderada como una masa puntforme sn estructura nterna. En consecuenca supusmos que el estado de la msma se puede especfcar por completo medante la funcón de onda Ψ, que es una funcón escalar de las varables espacales x, y, z y del tempo. Es certamente notable que esta magen tan smple permte explcar muchos aspectos de la físca del átomo y del núcleo. Sn embargo, estos logros no nos deben hacer perder de vsta que este modelo sólo explca los aspectos más gruesos del átomo y del núcleo. Muchos detalles se puderon entender recén a partr del descubrmento que muchas partículas, ncluyendo electrones, protones y neutrones no están completamente descrptas por el modelo de masa puntforme sn estructura 1. En otras palabras, el estado de esas partículas no está especfcado por completo por una funcón escalar de las coordenadas y del tempo. En efecto, la evdenca empírca muestra que es necesaro atrbur a esas partículas un momento angular ntrínseco o spn, y asocado con él, un momento magnétco ntrínseco. La evdenca espectroscópca Menconaremos prmero la evdenca espectroscópca acerca del spn y del momento magnétco ntrínseco, dado que fue a partr de ella que se ntrodujeron esos atrbutos del electrón. La expresón que obtuvmos para los nveles de energía del átomo de hdrógeno (ec. (10.17)) no explca por completo el espectro observado, por cuanto muchas de las líneas muestran desdoblamentos en varas componentes, dando lugar a una estructura fna de los nveles de energía que no se puede explcar medante la teoría que desarrollamos en el Capítulo 10. En 1916, en el marco de la Teoría Cuántca Antgua, Sommerfeld do una explcacón aparentemente satsfactora de la estructura fna (ver el Capítulo 5), basada sobre las correccones relatvístcas, en vrtud de las cuales la energía de los nveles (que en el caso no relatvístco depende sólo del número cuántco prncpal) pasa a depender tambén del número cuántco azmutal. La separacón de los nveles así obtenda concde con la que se observa en el hdrógeno y el helo onzado y tambén con la que se observa en las líneas de rayos X de los átomos pesados. Por ese motvo la explcacón de Sommerfeld fue aceptada durante varos años. Sn embargo, poco antes del desarrollo de la Mecánca Cuántca, apareceron problemas con la teoría de Sommerfeld, en relacón con el espectro de los átomos alcalnos. El estado fundamental de un átomo alcalno tene una estructura electrónca muy smple, y su espectro óptco se puede nterpretar suponendo que el átomo consste esencalmente de un on nerte alrededor del cual se mueve el únco electrón de valenca. Por lo tanto se comporta báscamente como un átomo de hdrógeno, con la salvedad que el potencal en el que se mueve el electrón de valenca no es Coulombano, pues la carga del núcleo está apantallada por los electrones del on. Entonces, aún sn tener en cuenta el efecto relatvístco (que en este caso se puede desprecar), la energía de los nveles depende del número cuántco azmutal. Sn embargo, en los átomos alcalnos se observa que los nveles correspondentes a valores dados de ambos números cuántcos (prncpal y azmutal) aparecen a veces desdoblados ulteror- 1 Por mucho tempo los protones y neutrones se consderaron elementales. Hoy sabemos que son compuestos. 138

2 mente. Tambén se encontró que las separacones de esos dobletes se pueden representar (formalmente) medante la fórmula relatvístca de Sommerfeld. Pero Mllkan y Bowen, y tambén Alfred Landé, que hceron este descubrmento en 194, señalaron que dcha fórmula no se podía aceptar en este caso, por cuanto el número cuántco azmutal es el msmo para ambas componentes del doblete y por lo tanto la causa del fenómeno no se podía explcar. La hpótess de Uhlenbeck y Goudsmt En 196 Samuel A. Uhlenbeck y George E. Goudsmt, dos estudantes graduados, explcaron del mstero y mostraron que las dfcultades se resolvían s se atrbuía al electrón una nueva propedad: la de poseer un momento angular S y un momento magnétco M s ntrínsecos, tal como ocurrría s un cuerpo cargado eléctrcamente grara alrededor de un eje que pasa por él. La evdenca espectroscópca muestra que la magntud del momento angular ntrínseco del electrón está dada por S = ss+1 ( )h (11.1) donde s, el número cuántco de spn, vale s = 1/ (11.) y que la componente S z del momento angular ntrínseco alrededor de un eje z de orentacón arbtrara sólo puede tomar los valores S = h m, m = ± s = ± 1/ (11.3) z s s Para explcar los desdoblamentos de la estructura fna y del efecto Zeeman, se encontró que el momento magnétco ntrínseco asocado con el spn del electrón debe valer M s e = S (11.4) µ c de manera que ( β B = eh / µ c ndca el magnetón de Bohr, ec. (10.61)): e gsβb =, gs = (11.5) µ c h y por lo tanto el factor gromagnétco de spn es el doble del factor gromagnétco orbtal. En breve tempo Uhlenbeck y Goudsmt (y otros como Wolfgang Paul, Hesenberg, Jordan, Sommerfeld, etc.) mostraron que la ntroduccón del spn resuelve todas las dfcultades entonces conocdas y por lo tanto este nuevo atrbuto del electrón se aceptó, junto a los ya conocdos de carga y masa. En efecto, se encontró que la aparcón de dobletes en el espectro de los metales alcalnos se debe exclusvamente a la nteraccón entre el momento magnétco orbtal y el momento magnétco ntrínseco del electrón de valenca. En cuanto a la estructura fna de los nveles de los átomos hdrogenodes, se vo que resulta de una partcular combnacón de los Se puede menconar que en 191 Compton había ya especulado sobre la posbldad que el electrón tuvera un momento angular y un momento magnétco ntrínsecos, pero no elaboró ulterormente la dea. 139

3 la relatvdad, que por una curosa concdenca dan un resultado déntco al que obtuvo orgnalmente Sommerfeld a partr de la Teoría Cuántca Antgua. El spn quedó así ncorporado a la Mecánca Cuántca como un postulado adconal, que es perfectamente compatble con los demás postulados de la teoría pero no es una consecuenca lógca de los msmos, sno que se ntroduce en base a la evdenca expermental. Hay que aclarar aquí que el spn del electrón no se puede magnar como el resultado de la rotacón de una dstrbucón de cargas. Es mposble formular un modelo de ese tpo sn ncurrr en graves dfcultades. Además, la evdenca expermental más recente tende a ndcar que el electrón es una partícula puntual 3. Por consguente no es lícto nterpretar el spn en térmnos de modelos cláscos, como esferas de carga en rotacón o cosas parecdas. Posterormente (198) Drac desarrolló una teoría relatvístca del electrón, en la que no es precso postular el spn sno que éste aparece en forma natural como una consecuenca de la nvaranca Lorentz de las ecuacones que lo descrben. La ecuacón de Drac tambén predce correctamente el valor del factor gromagnétco 4. Estos resultados muestran que el spn está íntmamente relaconado con la relatvdad. Con la teoría de Drac el spn adquró una frme base teórca. El expermento de Stern y Gerlach S ben en su momento no se tuvo concenca de ello, en realdad el momento magnétco ntrínseco del electrón ya había sdo meddo en 19 por Otto Stern y Walter Gerlach, en un expermento muy nteresante que lustra varos conceptos mportantes para la nterpretacón de la Mecánca Cuántca. En el expermento se ntentaba medr el momento magnétco de átomos y moléculas hacendo pasar un haz atómco (o molecular) colmado a través de un campo magnétco fuertemente nhomogéneo (Fg. 11.1). De acuerdo con la físca clásca, sobre un momento magnétco M sometdo a un campo magnétco no unforme B se ejerce una fuerza dada por S spn arrba F = ( M B) (11.6) N spn abajo Fg Esquema del expermento de Stern y Gerlach. La fuerza (11.6) es la únca que actúa sobre un átomo ya que éste es neutro. En el expermento, las partículas se hacían pasar por una regón en la cual la varacón de la dreccón de B era muy pequeña, pero su magntud varaba muy fuertemente con la poscón. En ese caso la (11.6) nos da (aproxmadamente) F = MB B (11.7) donde M B ndca la proyeccón de M en la dreccón de B. 3 La cota superor del tamaño del electrón que resulta de los expermentos de dspersón a muy altas energías es menor que cm. 4 Al orden más bajo en la constante de la estructura fna. El valor exacto de g s se calcula por medo de la Electrodnámca Cuántca. 140

4 La deflexón se mde estudando las trazas que el haz de partículas deja en una pantalla, y a partr de ella se puede determnar F y de ahí fnalmente M B. Los resultados de los expermentos fueron notables. Cláscamente se esperaría obtener en la pantalla una traza contnua, correspondente a los valores de M B entre M y +M. En cambo, se observaron varas trazas equdstantes. Este resultado es una clara demostracón de la naturaleza cuántca del momento magnétco del átomo. Puesto que el vector M puede asumr solamente certas dreccones dscretas en el espaco, dcho fenómeno se denomna cuantfcacón espacal. Stern y Gerlach tambén obtuveron resultados cuanttatvos (aunque de poca precsón). Encontraron que los valores permtdos de M B varaban en pasos guales desde un mínmo M a un máxmo +M. Por convencón, se suele desgnar al valor máxmo de la proyeccón de M como el momento magnétco de la partícula. De acuerdo con la ley de Ampère el movmento de los electrones atómcos, además de producr el momento angular orbtal L, tambén produce un momento magnétco M que cumple la relacón clásca M = e µ c L (11.8) Aplcando el prncpo de correspondenca, esperamos entonces que en Mecánca Cuántca valga la relacón e g M = L = L β B L µ c h (11.9) Puesto que cualquer componente de L tene l + 1autovalores esperamos que los autovalores de M B sean M B m = 0, ± 1, ±,, ± l (11.10) glβb glβb glβb m l g LβB = = 0, ±, ±,, ± (11.11) h h h h y como en el expermento de Stern y Gerlach l es entero, esperamos un número mpar de trazas. Sn embargo, en un expermento clásco realzado con átomos de Ag (que tene un únco electrón de valenca) se observaron dos trazas, esto es, un número par, y el valor del momento magnétco resultó ser eh M = = β B (11.1) µ c Las extraordnaras mplcacones de este expermento no fueron comprenddas de nmedato. En cambo se ntentó nterpretar los resultados en térmnos de las relacones (11.9) y (11.10), suponendo que el electrón de valenca estaba en un estado P (con l = 1) y que por alguna razón el estado con m = 0 no se presentaba. Se trataba así de explcar porqué se observan solamente dos trazas. Esta hpótess tan artfcosa tene la vrtud que tambén explca el valor del momento magnétco meddo, pero gualmente es mplausble, pues normalmente el estado de más baja energía de un átomo no es P sno S. 141

5 Antes de prosegur convene examnar la valdez de algunos de los argumentos que usamos para nterpretar los resultados del expermento de Stern y Gerlach. La ec. (11.7) es puramente clásca y podría caber la duda que no sea lícto aplcarla al momento magnétco cuantfcado. La respuesta a esta duda es que en todo expermento hay aspectos que se descrben correctamente medante las leyes cláscas, pues éstas son las leyes que gobernan lo que expermentan nuestros sentdos, por medo de los cuales (en últma nstanca y en forma ndrecta) nos relaconamos con lo que sucede en los átomos y los núcleos. Puesto que las partículas del haz empleado en el expermento de Stern y Gerlach tenen masa grande, es correcto representarlas medante paquetes que se dspersan muy lentamente y por lo tanto ese movmento se puede descrbr medante las leyes cláscas. Ese es el motvo por el cual el electrón, que es en realdad el objeto de estudo en el expermento, debe vajar junto al átomo. S se ntentara realzar el msmo expermento con electrones lbres, los efectos de nterferenca cuántca destrurían el patrón de trazas y no se podría obtener un resultado útl. Volvendo a los resultados del expermento de Stern y Gerlach con átomos de Ag, las varas nterpretacones que se ntentaron al prncpo fueron harto nsatsfactoras y solamente la hpótess de Uhlenbeck y Goudsmt permtó dar una explcacón adecuada. En efecto, s suponemos que el átomo de Ag está en un estado S (como es lógco), entonces, puesto que l = 0, la (1.1) mde en realdad el valor máxmo de la componente (en la dreccón de B) del momento magnétco ntrínseco. Pero a dferenca del momento magnétco orbtal, en vrtud de (11.3) y (11.4) el momento magnétco ntrínseco puede tener solamente dos proyeccones: e MB =± h µ c (11.13) Por lo tanto se explca tanto la aparcón de dos trazas como su separacón. Esta nterpretacón quedó confrmada en 197 con el expermento de Phpps y Taylor, quenes emplearon la técnca de Stern y Gerlach para medr el momento magnétco de átomos de hdrógeno. Este expermento es muy sgnfcatvo, pues la teoría del átomo de hdrógeno es ben conocda y predce sn lugar a dudas que el estado fundamental es un estado S y entonces el únco valor posble de m es m = 0. Por lo tanto, en ausenca de otro momento magnétco dferente del que provene del movmento orbtal del electrón, se tendría M B = 0 y el campo magnétco no afectaría al haz. Sn embargo Phpps y Taylor encontraron que el haz se separa en dos componentes desvadas smétrcamente. Se puede descartar que el momento magnétco debdo al cual se produce la dvsón del haz provenga del núcleo, puesto que un momento magnétco nuclear tendría una magntud del orden de eh /µ Nc, donde µ N es la masa del núcleo 5 (del protón en el caso del hdrógeno). Pero el momento magnétco nuclear es tres órdenes de magntud menor que el que mderon Phpps y Taylor. Por lo tanto es nevtable conclur que el momento magnétco responsable de la separacón del haz resde en el electrón. El spn como una varable dnámca De acuerdo con lo anteror vamos a ntroducr el spn en la teoría, para lo cual agregamos a las varables dnámcas x, y, z que descrben la poscón del electrón una cuarta varable de spn, que 5 La cantdad β N = eh/µ N c se denomna magnetón nuclear. 14

6 ndcaremos con σ. A σ le asgnamos sentdo físco asocando las dos posbles proyeccones del momento magnétco ntrínseco M s que se mden en el expermento de Stern y Gerlach con dos dferentes valores de σ. De esta forma asocaremos (arbtraramente): σ =+ 1 con eh MsB, = µ c σ = 1 con eh MsB, =+ µ c (11.14) Frecuentemente se dce spn arrba para ndcar a σ =+1 y spn abajo para ndcar a σ = 1 (Fg. 11.1). La funcón de onda depende ahora tambén de la varable de spn y suponemos que los postulados de la Mecánca Cuántca se aplcan a la nueva varable ndependente del msmo modo que a las demás varables. Por ejemplo Ψ ( xyz,,, +1, t) dxdydz (11.15) es la probabldad que en el nstante t la partícula se encuentre cerca de x, y, z y que, además, tenga spn arrba, esto es, que la proyeccón de su momento magnétco ntrínseco en la dreccón de B sea M sb, = β B. Esta pequeña generalzacón de la teoría es sufcente. Todas las fórmulas de los Capítulos precedentes se pueden extender sn dfcultad a la Mecánca Cuántca con spn. Donde antes ntegrábamos sobre las varables espacales, ahora tenemos que ntroducr tambén una suma sobre los dos valores que puede asumr la varable de spn. Por ejemplo, la normalzacón de la funcón de onda es ahora dxdydz Ψ ( x, y, z, σ, t) = σ + = dxdydz Ψ( x, y, z, + 1, t) dxdydz Ψ( x, y, z, 1, t) 1 (11.16) Igual que antes, a cada varable dnámca le corresponde un operador lneal Hermtano. Entre todos los estados estaconaros ψ( xyz,,, σ) hay una clase especal que es muy fácl de tratar. Son aquellos en que ψ es separable en la forma ψ( xyz,,, σ) = ϑ( xyz,, ) χ( σ) (11.17) Nos nteresan dos partculares funcones χσ ( ) que llamamos α( σ) y βσ ( ) y que se defnen como χσ ( ) = ασ ( ) s χ( + 1) = 1, χ( 1) = 0 χσ ( ) = βσ ( ) s χ( + 1) = 0, χ( 1) = 1 (11.18) Es decr, α corresponde a spn arrba y descrbe una partícula con un valor defndo σ = 1. Análogamente β corresponde a spn abajo y descrbe una partícula con σ = 1. El estado más general es una combnacón lneal de estados separables, cosa que permte enormes smplfcacones. Por lo tanto, para una ψ( xyz,,, σ) arbtrara tendremos ψ( xyz,,, σ) = ψ( xyz,,, + 1) α( σ) + ψ( xyz,,, 1 ) β( σ) (11.19) 143

7 De todo esto podemos extraer una mportante conclusón: las varables espacales por un lado, y la varable de spn por el otro, se pueden estudar por separado y reunr en cualquer estado del proceso. Los spnores y la teoría del spn en forma matrcal Por dcho anterormente podemos dejar de lado por el momento las varables de poscón y desarrollar una mecánca cuántca de spn para una partícula cuyo estado está determnado por una funcón χσ ( ) que depende solamente de la varable de spn. Esta teoría es smple porque σ toma solamente dos valores, pero muy útl pues es el paradgma para la descrpcón cuántca de cualquer sstema cuyos estados se pueden representar como la superposcón de un número fnto de estados ndependentes (dos en el caso del spn), y hay muchos problemas de la Mecánca Cuántca en los cuales un formalsmo de dos estados es una buena aproxmacón. Para desarrollar esta teoría es muy convenente usar matrces. Para ello representaremos los estados especales α y β como matrces de una columna: α 1 0 β 0, 1 (11.0) y el estado general de spn χσ ( ) como En la (11.1) hemos puesto χ( + 1) χσ ( ) = = χ( + ) α + χ( ) β = α β χ( ) c1 1 1 = c1 + c (11.1) 1 c c = χ( + 1), c = χ( 1) (11.) 1 donde c1, c son números complejos, el cuadrado de cuyo módulo representa la probabldad de encontrar la partícula con spn arrba y abajo, respectvamente. Por lo tanto la normalzacón de χσ ( ) es c * * c1 c + = ( c1, c) c 1 = 1 (11.3) La matrz (11.1) de una columna y dos flas se denomna spnor 6, y es un ente matemátco con peculares y ben defndas propedades de transformacón bajo rotacones. Se lo puede consderar como un vector de componentes complejas en un espaco vectoral lneal de dos dmensones. Esta últma denomnacón no debe llevar a confusón ya que χσ ( ) no es un vector en el espaco ordnaro. S defnmos el spnor adjunto de χ como la (11.3) se puede escrbr como χ c * c * ( 1, ) (11.4) 6 Los spnores fueron ntroducdos en 191 por Éle-Joseph Cartan al estudar las representacones del grupo de las rotacones. 144

8 χ χ = 1 (11.5) Dados dos spnores χ, χ, su producto escalar (complejo) se defne como χ χ * * c1 = ( c1, c) = cc 1 * 1 + cc * (11.6) c Dos spnores son ortogonales cuando su producto escalar es nulo. Por ejemplo α y β son dos spnores ortonormales. Todo par de spnores ortonormales forma una base, en térmnos de la cual se puede representar cualquer otro spnor (ver la ec. (11.1)). Hemos postulado que las magntudes físcas se representan medante operadores lneales Hermtanos. Consderemos prmero los operadores lneales en general. S F es un operador lneal, su efecto sobre cualquer spnor se puede defnr en térmnos de su efecto sobre los spnores báscos α y β: Fα = F α + F β, Fβ = F α + F β (11.7) Es nmedato verfcar que los coefcentes Fj (, j = 1, ) caracterzan por completo a F. En efecto ξ = Fχ = c Fα + c Fβ = c ( F α + F β) + c ( F α + F β) = dα + d β (11.8) donde d 1 y d son las componentes de ξ. La ec. (11.8) se puede escrbr en forma matrcal como d d 1 F = F F F c1 (11.9) c y por lo tanto Fξ se representa medante la ecuacón matrcal (11.9). De aquí en más usaremos el msmo símbolo para desgnar el estado y el spnor que lo representa y tambén el msmo símbolo para desgnar la magntud físca y el operador y la matrz que la representan. El operador adjunto o conjugado Hermtano F del operador F se defne como el operador cuya matrz es la matrz transpuesta y conjugada de F: F * * = F F 11 1 * * F F 1 (11.30) El valor esperado de F se defne como F * * F = χ Fχ = ( c1, c) F F 11 1 F 1 c 1 c (11.31) El valor esperado de una magntud físca F en cualquer estado debe ser real. Es fácl verfcar que la condcón necesara y sufcente para que esto ocurra es que la matrz F sea Hermtana. Todos los resultados que ya conocemos para los operadores Hermtanos (Capítulos 7 y 8) se pueden trasladar las matrces Hermtanas, smplemente reemplazando la palabra operador por 145

9 matrz. En efecto, dada una base en el espaco de los spnores, exste una correspondenca bunívoca entre los operadores lneales y las matrces de. En realdad el presente formalsmo es más smple que el de los Capítulos 7 y 8 porque el número máxmo de spnores lnealmente ndependentes es y por lo tanto no surgen problemas con la complettud y por supuesto tampoco con el espectro contnuo. Spn y rotacones La prmera magntud físca que vamos a consderar es el momento magnétco ntrínseco 7 M s, y en partcular su componente en la dreccón del campo magnétco B. Tomaremos el eje z en la dreccón de B y en consecuenca la componente z de M s está representada por la matrz Hermtana M sz 1 0, = β B 0 1 (11.3) puesto que sus autovalores son mβ B y sus autovectores son α y β. Nos preguntamos ahora cómo se representan las demás componentes de M s. Para determnar las matrces M sx, y M sy, vamos a estpular que las tres componentes del valor esperado M s del momento magnétco ntrínseco se deben transformar por efecto de una rotacón del msmo modo que las tres componentes de un vector. Para mponer esta condcón debemos determnar prmero cómo se transforma un spnor bajo una rotacón. Consderemos una rotacón de un ángulo θ alrededor del eje ˆn y sean χ = χ c1 c1, = (11.33) c c el spnor antes de la rotacón y el spnor rotado, respectvamente. Claramente la relacón entre χ y χ debe ser lneal, para preservar la superposcón lneal de dos estados, y por lo tanto estará representada por una matrz U: χ = U χ (11.34) cuyos elementos dependen solamente de los parámetros de la rotacón, esto es θ y ˆn. Puesto que χ debe estar normalzado s χ lo está se debe cumplr que y como χ es arbtraro la (11.35) mplca que χ χ = χ UU χ = χ χ (11.35) UU = 1 (11.36) donde con 1 (en cursva) ndcamos la matrz dentdad. Una matrz que cumple la (11.36) se dce untara. 7 Procedemos así porque M s es una magntud que se puede medr drectamente, cosa que no ocurre con el momento angular ntrínseco. Es mejor dejar para más adelante la dscusón de cómo se ntroduce en la teoría el momento angular ntrínseco. 146

10 De la (11.36) resulta que el determnante de una matrz untara es un número complejo de módulo 1: y que la nversa de U es det U = 1 (11.36) U = 1 U (11.37) Se acostumbra decr que la matrz untara U, que corresponde a la rotacón (θ, ˆn) en la cual χ χ, representa dcha rotacón. S U 1 representa una rotacón R 1, y U representa una rotacón R, entonces la matrz U U 1 representa la rotacón que resulta de realzar prmero R 1 y luego R. Pero el msmo efecto se puede obtener drectamente efectuando una únca rotacón R 3, representada por U 3. Por lo tanto, las matrces untaras que representan rotacones deben tener la propedad grupal U 3 1 = e ϕ U U (11.38) donde hemos ntroducdo una fase arbtrara, dado que todos los spnores e ϕ χ representan el msmo estado. Consderemos ahora una rotacón nfntesmal (dθ, ˆn). Tal rotacón debe dferr muy poco de la matrz dentdad. Por lo tanto hasta el orden dθ tendremos: UR = 1 d θ ˆn σ (11.39) donde con σ ndcamos tres matrces Hermtanas constantes σ x, σ y, σ z, aún no determnadas (deben ser Hermtanas para que U R sea untara al prmer orden en dθ ; en cuanto al factor 1/, lo hemos puesto por convenenca). S conocemos estas tres matrces podemos construr U para cualquer rotacón fnta por aplcacón sucesva de muchas rotacones nfntesmales, es decr por ntegracón de la (11.39). Efectvamente, gracas al Teorema de Euler (que establece que para cualquer rotacón dada en tres dmensones se puede sempre encontrar un eje fjo de modo que la rotacón se puede reducr a una rotacón alrededor de dcho eje) es sufcente consderar rotacones fntas alrededor de un eje fjo ( ˆn constante). Entonces la (11.39) se ntegra fáclmente y da U R = θ lmn 1 nˆ σ N N = e θ nˆ σ (11.40) Para que la matrz (u operador) (11.40) represente una rotacón aún falta satsfacer la condcón (11.38), que mpone fuertes restrccones sobre la forma de las matrces σ x, σ y, σ z aún desconocdas. Pero en vez de proceder drectamente elaborando dcha condcón, es mejor segur una vía alternatva que nos llevará al msmo resultado, y se basa en estudar las propedades de transformacón bajo rotacones de un operador vectoral, esto es, un operador A tal que A = xˆax + yˆay + zˆ Ay se transforma como un vector ordnaro. Es mportante observar que σ es un operador vectoral. En efecto, para una rotacón nfntesmal tenemos que 147

11 S tomamos el producto escalar de la (11.41) por χ resulta 11. El Spn = χ 1 d θ ˆn σ χ (11.41) χ χ χ χ θ χ χ χ = d nˆ σ = χ d θnˆ σ (11.4) donde el valor esperado de σ se toma respecto del estado χ. Consderemos ahora el efecto de realzar una rotacón fnta arbtrara de χ y χ. Los productos escalares χ χ y χ χ son nvarantes bajo la transformacón untara que representa esta rotacón. Por lo tanto el producto escalar ˆn σ es tambén nvarante ante rotacones. Puesto que ˆn es un vector, eso sgnfca que tambén σ es un vector y por lo tanto σ es un operador vectoral. Un operador vectoral A debe satsfacer certas relacones matemátcas que vamos a obtener ahora msmo. Una rotacón R se representa en el espaco ordnaro por medo de una matrz ortogonal R R R R = R R R R R R xx xy xz yx yy yz zx zy zz (11.43) Bajo la msma rotacón, los spnores se transforman medante la correspondente matrz untara U R, esto es Por lo tanto se debe cumplr que Esto es: χ = U R χ (11.44) χ Aχ = χ URAUR χ = Rχ Aχ (11.45) χ URAxURχ χ U A U χ R y R χ U AU χ R z R R R R = R R R R R R xx xy xz yx yy yz zx zy zz χ Ax χ χ Ay χ χ A χ z (11.46) de donde obtenemos R x R xx x xy y xz z χ ( U A U ) χ = χ ( R A + R A + R A ) χ (11.47) y ecuacones semejantes para χ ( URAyUR) χ y χ ( URAU z R) χ. Puesto que χ es arbtraro, resulta fnalmente R x R xx x xy y xz z U A U = R A + R A + R A R y R yx x yy y yz z U A U = R A + R A + R A R z R zx x zy y zz z U AU = R A + R A + R A (11.48) 148

12 Las (11.48) valen para cualquer rotacón. Consderemos ahora una rotacón nfntesmal de un ángulo ε alrededor del eje z, para la cual 1 ε 0 R= ε , UR = 1 εσz (11.49) S susttumos (11.49) en (11.48) vemos que las componentes de un operador vectoral deben satsfacer las sguentes condcones necesaras: σ A A σ = A z x x z y σ A A σ = A z y y z x σ A Aσ = 0 z z z z (11.50) Del msmo modo, consderando rotacones nfntesmales alrededor del eje x y del eje y obtenemos las condcones: σ A A σ = A x y y x z σ A Aσ = A x z z x y σ A A σ = 0 x x x x (11.51) y σ A Aσ = A y z z y x σ A A σ = A y x x y z σ A A σ = 0 y y y y (11.5) En partcular, como σ msmo es un operador vectoral, ponendo A σ en las (11.50)-(11.5) obtenemos las sguentes relacones de conmutacón entre las matrces σ x, σ y, σ z : σσ σσ = σ x y y x z σσ σσ = σ y z z y x σσ σσ = σ z x x z y (11.53) Estas relacones se suelen escrbr en forma compacta como σ σ = σ (11.54) Las relacones fundamentales (11.53) son las condcones que deben cumplr las matrces σ x, σ y, σ z, para que matrces del tpo U R θ ˆn σ = e (11.55) representen rotacones. Se puede mostrar que estas condcones son necesaras y sufcentes. 149

13 Es mportante destacar que, en realdad, los argumentos que presentamos en esta dscusón de las rotacones (desde la ec. (11.34) en adelante) no dependen de la dmensonaldad de las matrces χ, χ, σ y U R. Es decr, valen tambén s χ y χ son matrces de n flas y una columna y entonces σ y U R son matrces de n n. Por lo tanto nuestros resultados son generales y valen para todos los operadores de momento angular. Las matrces de Paul Nos restrngmos ahora al caso n = y nos ocuparemos de determnar las matrces Hermtanas σ x, σ y, σ z de que satsfacen las relacones de conmutacón (11.53). Claramente, σ z está determnada en gran medda por nuestra eleccón de los spnores báscos α y β. En efecto, α corresponde a spn arrba y descrbe una partícula con un valor defndo σ = 1 (es decr M sb, = β B ) y β corresponde a spn abajo y descrbe una partícula con σ = 1 (o sea M sb, =+β B ). Por lo tanto en un estado cualquera χ = c1 c (11.56) c 1 y c 1 son las probabldades de encontrar spn arrba y spn abajo, respectvamente. Es obvo que una rotacón alrededor del eje z (que por convencón hamos tomado en la dreccón del campo magnétco) no tene nngún efecto sobre estas probabldades. Por lo tanto s realzamos una rotacón nfntesmal de un ángulo ε alrededor del eje z, c 1 y c 1 no deben cam- bar. Eso sgnfca que U R = 1 εσ (11.57) z es una matrz dagonal, luego tambén σ z es dagonal. Además, s tomamos la traza de la prmera de las (11.53) obtenemos puesto que Tr( AB) = Tr( BA). Por consguente σ z tene la forma Tr( σ z ) = 0 (11.58) σ z = λ 0 0 λ, ( λ real ) (11.59) Para determnar σ x, σ y y el valor de λ convene defnr las matrces auxlares no Hermtanas σ = σ + σ, σ = σ σ = σ (11.60) + x y x y + Se verfca fáclmente que estas matrces cumplen las sguentes reglas de conmutacón [ σ, σ ] = σ z [ σ, σ ] = σ z + + [ σ, σ ] = 4σ + z (11.61) Ahora ponemos 150

14 σ + = a c b d 11. El Spn (11.6) con a, b, c, d a determnar, y susttumos (11.59) y (11.6) en la prmera de las (11.61). Resulta: 0 λb a b λc 0 = (11.63) c d Por lo tanto debe ser a = d = 0, ( λ 1) b = 0 y ( λ + 1) c = 0. De estas ecuacones nfermos que λ puede valer +1 ó 1. La eleccón es arbtrara pues el otro valor está presente en la (11.59). Elegmos entonces λ =+1 y por lo tanto resulta c = 0. Obtenemos así σ+ = σ σ+ 0 b = = 0 0, 0 0 b* (11.64) 0 Por últmo, susttuyendo estas matrces en la últma de las (11.61) encontramos que b = 4. La fase de b no se puede nferr de las relacones de conmutacón fundamentales (11.53) y por consguente es arbtrara. Elegmos entonces b = y de esta forma llegamos al resultado fnal: σx = σy σz , =, = (11.65) Las (11.65) son las matrces de spn de Paul. Están completamente determnadas (a menos del orden de flas y columnas, que corresponde a la eleccón entre λ =+ 1y λ = 1, y a menos de la fase de b) por las relacones de conmutacón (11.53) y por nuestra eleccón de los autospnores α y β de σ z como spnores báscos. Es fácl verfcar (lo dejemos como ejercco) las sguentes propedades de las matrces de Paul: x y z 1 σ = σ = σ = σσ = σ, σσ = σ, σσ = σ x y z y z x z x y (11.66) Vemos entonces que las matrces de Paul además de Hermtanas son tambén untaras y que tenen traza nula (por las (11.65)). Asmsmo, cualquer par de matrces de Paul dferentes antconmutan, por ejemplo σσ + σσ = 0 (11.67) x y y x Además las cuatro matrces 1, σ x, σ y, σ z son lnealmente ndependentes, y por lo tanto cualquer matrz A de se puede expresar como A λ0 λxσx λyσy λzσz λ0 = = 1+ λ σ (11.68) S A es Hermtana, todos los coefcentes deben ser reales. S U es untara, se puede mostrar (con un poco de pacenca) a partr de la (11.68) que se la puede expresar sempre en la forma U = e γ ( 1cosω + nˆ σ sen ω) (11.69) 151

15 donde γ y ω son ángulos reales y ˆn es un versor. Se puede tambén mostrar que la (11.69) se puede escrbr en la forma U = e γ + ω ˆn σ (11.70) Cualquer matrz untara de se puede escrbr de esta forma. Comparando estas expresones con la (11.40) vemos que cualquer matrz untara de la forma (11.69) u (11.70) con γ = 0 representa una rotacón de un ángulo θ = ω alrededor del eje ˆn. Para γ = 0 se tene detu = 1 y se dce que U es unmodular. El conjunto de todas las matrces untaras y unmodulares de consttuye el grupo SU(). Usando la (11.69), la matrz (11.40) que representa una rotacón se puede escrbr en la forma θ nˆ σ UR = e = θ θ 1cos nˆ σ sen (11.71) Una consecuenca nmedata de la (11.71) es que para una rotacón de π se obtene U = 1, es decr, una rotacón de 360 alrededor de cualquer eje camba el sgno de todas las componentes de un spnor, a dferenca de lo que ocurre con los vectores (y tensores en general) que vuelven a sus valores orgnales al dar una vuelta completa. Debe notarse que esta propedad no afecta los valores esperados n los elementos de matrz pues éstos dependen cuadrátcamente de los spnores. Para comparar el dferente comportamento de spnores y vectores bajo rotacones consderemos por ejemplo lo que ocurre para una rotacón de un ángulo θ alrededor del eje x: para un spnor se tene de (11.71), (11.45) y (11.34): = θ θ c 1 c1cos csen c = c θ + c θ 1sen cos (11.7) mentras que para un vector se tene A = A x x A = A cosθ A senθ y y z A = A senθ + A cosθ z y z (11.73) Hemos vsto prevamente que σ es un operador vectoral. Se puede mostrar que en el espaco de los spnores σ es el únco operador vectoral, a menos de un factor constante. En efecto, tomando la traza de las (11.50)-(11.5) se verfca que la traza de todas las componentes de un operador vectoral cualquera A es nula. A partr de ahí se encuentra que A = kσ, k = cte. (11.74) Operadores de momento magnétco y momento angular ntrínseco Puesto que el operador vectoral σ es esencalmente únco, a partr de la (11.3) conclumos que el momento magnétco ntrínseco está dado por 15

16 M s = β B σ (11.75) Hasta ahora no hemos hablado todavía del momento angular ntrínseco, que tambén fue postulado por Uhlenbeck y Goudsmt. Esto se debe a que, a dferenca del momento magnétco, no es una magntud que se pueda medr en forma drecta con facldad, y no qusmos entrar en el detalle de los argumentos orgnales de Uhlenbeck y Goudsmt, pues se fundan en aspectos de la teoría de los espectros atómcos que no hemos estudado. Pero con base a lo que ya vmos, podemos presentar dos argumentos que muestran que el electrón debe poseer un momento angular ntrínseco: Tene un momento magnétco, y s este momento magnétco provene de alguna clase de corrente nterna debda a la crculacón de matera cargada, entonces cabe esperar que junto con el momento magnétco exsta tambén un momento angular. S el electrón que se mueve alrededor del núcleo tene un momento magnétco, no se puede conservar el momento angular, a menos que posea un momento angular ntrínseco además del momento angular orbtal. Veamos más en detalle el segundo de estos argumentos. Un momento magnétco que se mueve en un campo eléctrco expermenta una fuerza que derva de una energía potencal dada por V = Ms v E (11.76) c Para un campo central, E = f(), r r y entonces V es proporconal a Ms v r o, lo que es equvalente, a V s s B M r p = M L = β σ L (11.77) en vrtud de la (11.75). El factor de proporconaldad depende solamente de la coordenada radal r. De resultas de esto, además del potencal central, aparece en el Hamltonano un térmno de nteraccón proporconal a Ms L, que mplca que la energía del electrón depende de la orentacón relatva del momento magnétco y del momento angular orbtal L. Es evdente entonces que L, cuyas componentes no conmutan entre sí, no es una constante del movmento. Por lo tanto el momento angular no se conservará, a menos que el electrón partcpe en el balance del momento angular en vrtud de un momento angular ntrínseco asocado con M s. Un térmno del Hamltonano proporconal a σ L se suele llamar nteraccón spn-órbta, y como djmos al comenzo del Capítulo, esta clase de nteraccón aparece en los átomos como una correccón magnétca y relatvístca al potencal electrostátco central. En los núcleos aparece tambén una nteraccón spn-órbta, pero su orgen es dstnto que en el átomo, pues provene de la nteraccón fuerte entre los nucleones y tene por consguente efectos muy mportantes. Veamos ahora cómo debe ser el momento angular ntrínseco para que haya conservacón del momento angular en presenca de la nteraccón spn-órbta. Puesto que sabemos que L no es constante del movmento, procuraremos defnr el momento angular ntrínseco S de modo tal que el momento angular total J = L+ S (11.78) 153

17 sea una constante del movmento. Dado que S debe ser un operador vectoral, tene que ser proporconal a σ. Ponemos entonces S = aσ (11.79) Para entender como opera J, recordamos que la funcón de onda del electrón es un spnor de la forma ψ ψ = 1( xyz,, ) ψ ( xyz,, ) (11.80) y en consecuenca la (11.78) sgnfca que J = L1+ aσ (11.81) Por lo tanto el operador L actúa sólo sobre las coordenadas x, y, z mentras que σ acopla las dos componentes del spnor. Claramente L y σ conmutan. Determnamos ahora a requrendo que J conmute con σ L, lo cual asegura que sea una constante del movmento. Por ejemplo, para la componente z tenemos [ σ L, J ] = σ [ L, L ] + σ [ L, L ] + a[ σ, σ ] L + a[ σ, σ ] L z x x z y y z x z x y z y = hσ L + hσ L aσ L + aσ L x y y x y x x y = ( a h)( σ L σ L ) = 0 x y y x (11.8) Por consguente debemos tener a = h /, lo que nos da S = h σ (11.83) Por lo tanto, como ya antcpamos al comenzo de este Capítulo, cualquer componente del momento angular ntrínseco tene los dos autovalores m h, m =± s =±1/ (11.84) s El máxmo valor de una componente del spn S es s = 1/ (en undades de h), y por eso se dce que el electrón tene spn 1/. Usando la prmera de las (11.66) obtenemos tambén que S h s 3h = σ σ = ss ( + 1) h 1= 1 (11.85) 4 4 y por lo tanto cualquer spnor es autospnor de S con autovalor 3 4 h / A partr de las relacones de conmutacón de la matrces de Paul es nmedato verfcar que las componentes de S cumplen las relacones de conmutacón 154

18 SS SS = S h x y y x z SS SS = S h y z z y x SS SS = hs z x x z y (11.86) y que las relacones de conmutacón entre las componentes del momento angular total J son J J J J = hj x y y x z JJ JJ = J h y z z y x JJ JJ = J h z x x z y (11.87) Tanto las (11.86) como las (11.87) son déntcas a las relacones de conmutacón (10.4) del momento angular orbtal L. En general el operador que representa el momento angular de cualquer sstema cuántco satsface reglas de conmutacón de la forma (11.87). El operador untaro que transforma la ψ de un electrón con spn bajo una rotacón nfntesmal está dado por UR = 1 = = εnˆ σ εnˆ L 1 εnˆ S εnˆ L 1 εnˆ J (11.88) donde hemos usado la (10.4) y la (11.39). La (11.88) muestra que cuando se toma en cuenta el spn, el generador de rotacones nfntesmales es el momento angular total J, y la conservacón del momento angular (total) es smplemente una consecuenca de la nvaranca del Hamltonano bajo rotacones. Para una rotacón fnta tendremos U R = e θ ˆn J (11.89) Para cualquer sstema cuántco el operador momento angular J es por defncón el generador de rotacones nfntesmales y toda rotacón fnta se puede expresar de la forma (11.89). 155