Teoría de Elección Social

Transcripción

1 Teoría de Eleccón Socal Hemos vsto que las asgnacones del mercado, bajo certas condcones, son efcentes. Sn embargo, exsten otras consderacones mportantes sobre las característcas de dcha asgnacón (dstrbucón, justca, etc). En las sguentes clases estudaremos cómo un Planeador Socal puede abordar el dseño y la mplementacón de decsones colectvas. Empezaremos estudando s, a partr de preferencas ndvduales, un planeador socal puede tomar decsones colectvas que satsfagan un mínmo de condcones. El sguente paso, será abordar esta msma cuestón desde el punto de vsta de la utldad. Esto nos restrnge a pensar que podemos comparar las utldades de los ndvduos. Nota: Usualmente las decsones socales se toman medante mecansmos de democraca representatva. Esto es un tema avanzado que no trataremos aquí.

2 . Teoría de eleccón socal: 2 Alternatvas Para empezar, supondremos que exsten dos alternatvas en una socedad: x e y. En nuestra socedad hay un número fnto de ndvduos. Suponemos que tenemos nformacón de las preferencas de estos ndvduos sobre estas dos alternatvas. La famla de preferencas ndvduales entre estas dos alternatvas puede ser descrta de la sguente forma:,..., donde: 0 s s x x y y s y x

3 Defncón : Un funcón de eleccón socal (FES) es una regla F,...,,0,, para cada perfl de preferencas ndvduales,...,,0,. Defncón 2: F,..., posee la propedad de Pareto, s ésta respeta la unanmdad de las preferencas de los agentes, esto es: F,...,,,..., F.

4 Ejemplo : Votacón por pesos. F (.) sgn donde: es un vector de pesos, y,..., sgn a 0 s s a a 0 0 s a 0

5 Un caso partcular es la votacón por mayoría, donde. En este caso F (.) s y solo s el número de agentes que prefere la alternatva x es mayor que el número de agentes que prefere la alternatva y. gualmente, F (.) s y solo s el número de agentes que prefere la alternatva y es mayor que el número de agentes que prefere la alternatva x. Fnalmente, s F (.) 0 hay ndferenca socal. Note que, la FES de votacón por pesos (ncluda la votacón por mayoría) posee la propedad de Pareto (Def. 2)

6 Ejemplo 2: Dctatoral. es dctatoral s exste un agente h, llamado dctador, tal que, para cualquer perfl de preferencas, mplca F (.), y mplca F (.) F (.).,..., h h Note que, la FES dctatoral posee la propedad de Pareto (Def. 2). De los dos ejemplos anterores podemos conclur que la propedad de Pareto no es muy exgente: Tanto la FES de votacón por pesos (y mayoría) como la dctatoral cumplen con este crtero. S no nos gustan las dctaduras, debemos ntroducr más condcones sobre la FES.

7 Algunas condcones que nos gustaría que cumplera la FES: Anónma: es anónma s los nombres de los agentes no mportan. Es decr, s una permutacón de las preferencas sobre los agentes no altera las preferencas socales. F (.) Neutral entre alternatvas: F (.) es neutral entre alternatvas s las preferencas socales son reversbles cuando reversamos las preferencas de los agentes. Es decr F,..., F para todo perfl.,...,,..., Responde postvamente: F (.) responde postvamente s, cuando,..., ',..., ',,..., ',..., ' y F ',..., ' 0, tenemos que F,...,.

8 Proposcón : (Teorema de May) Una FES es de votacón mayortara S Y SOLO S esta es anónma entre los agentes, neutral entre alternatvas y responde postvamente. (Recuerde que la FES tambén cumple con la condcón de pareto) F (.)

9 . Teoría de eleccón socal: El Caso General Ahora estudaremos el problema de agregacón ndvdual de las preferencas sobre cualquer número de alternatvas mayor que 2. Denotaremos por X x,..., x n el conjunto de alternatvas sobre las cuales decde la socedad. Hay agentes. Cada uno de ellos tene una relacón de preferencas raconales sobre X. Denotamos la preferenca estrcta y la ndferenca por y respectvamente. Para cada agente, defnmos dos conjuntos de preferencas: P : el conjunto de todas las posbles relacones de preferencas sobre X. P e : el conjunto de todas las posbles relacones de preferencas sobre X, con la propedad de que no exste ndferenca entre nngún par de alternatvas. Note que P e P.

10 Deseamos defnr ahora una FES como una regla que asgna preferencas socales a un perfl de preferencas ndvduales,..., P Defncón 3: Una FES es una regla F: P P que asgna una relacón de preferencas raconal F,..., P para cualquer perfl de relacones de preferencas raconales ndvduales,...,. Así: P xf,..., lo leeremos como x y es socalmente al menos tan buen como y. xf e,..., lo leeremos como x y es socalmente preferda a y.

11 Empecemos a mrar el tpo de condcones que nos gustaría cumplera la FES. Defncón 4: La FES cumple con la condcón de Pareto s, parar cualquer par de alternatvas x, y X y cualquer perfl de preferencas,..., P tenemos que xf,..., y, sempre que x y para todos.

12 Ejemplo 3: Cuenta de Borda. Dado Pe (no hay ndferenca entre nngún par de alternatvas), asgnamos un número de puntos c x a cada alternatva x X de la sguente forma: c x n s x está en la n-ésma poscón del rankng de. Así, para cualquer perfl P determnamos un orden socal,..., sumando los puntos de cada alternatva sobre los ndvduos,.e.: e xf,..., y s c x c y Se puede mostrar que esta relacón de preferencas es completa y transtva (con funcón de utldad c x c ). x Además esta FES es paretana ya que s x y, entonces c x c y así c x c. y y

13 Arrow (963) sugró que cuando se hace un rankng socal entre x e y, la presenca o ausenca de otras alternatvas dferentes a x e y no debería mportar. Defncón 4: Una FES satsface la condcón de ndependenca de alternatvas rrelevante (A) s la preferenca socal entre cualquer par de alternatvas x, y X depende solamente del perfl de preferencas ndvduales sobre las msmas alternatvas. Formalmente, para cualquer par de alternatvas x, y X y para cualquer par de perfles de preferencas,..., P y ',..., ' P con la propedad de que, para cada : x y x ' y and y x y ' x tenemos que: xf,..., y xf ',..., ' y y yf,..., x yf ',..., ' x

14 Ejemplo 4: la Cuenta de Borda no satsface la A. La razón es que el rankng de las alternatvas depende de la ubcacón de cualquer otra alternatva. Consdere =2 y n=3: x, y, z. Para las preferencas: esto es xf,..., y x y 2 z y ; 2 x z. c,, tenemos c x 3 y y 4 Para las preferencas: x ' y ' z y y ' 2 z ' 2 x tenemos c x 4 y y 3 esto es yf,..., x (note que la propedad x y x ' y se cumple). El ejemplo anteror nos muestra que la A es muy restrctva. c, Una forma de garantzar que la A se cumple es usando votacón mayortara entre pares de alternatvas. Sn embargo, problemas con la raconaldad de las eleccones surgen usando esta FES.

15 Ejemplo 5: Paradoja Condorcet. Consdere las sguentes preferencas ndvduales con =3 y n=3: y z, x y, z x x z 2 2 y 3 3 S hacemos votacón entre x e y, ganará x,.e. xf,..., y S hacemos votacón entre y y z, ganará y,.e. yf,..., z S hacemos votacón entre x y z, ganará z,.e. zf,..., x Esto vola la transtvdad de las preferencas socales. Note que s usamos un mecansmo de votacón de parejas en orden el resultado dependerá de cómo fjemos el orden de las votacones.

16 Llegamos al teorema central de esta teoría: Proposcón 2: Teorema de mposbldad de Arrow. Suponga que: El número de alternatvas socales es mayor o gual a 3. El domno de los perfles de preferencas es A P o A P e Entonces, toda FES F : A P que cumpla la propedad de Pareto y satsfaga la condcón de A es dctatoral en el sguente sentdo: Exste un agente h tal que, para cualquer x, y X y cualquer perfl,..., A, tendremos que x es socalmente preferda a y sempre y cuando x y. h

17 . Extensones Restrngendo el domno de las preferencas se puede evtar el teorema de mposbldad. Aquí veremos el caso en el cual las preferencas son de pco únco (snglepeaked). Necestamos algunas defncones. Defncón 5: Una relacón bnara sobre el conjunto de alternatvas X es un orden lneal sobre X s ésta cumple con las sguentes propedades: () () () xx x (reflexva); xy y yz mplca xz (transtva); Para cualquer x, y X, con x y y dferentes, tendremos xy o yx, pero no ambos (total).

18 Defncón 6: La relacón de preferencas raconales es sngle-peaked con respecto al orden lneal sobre X s exste una alternatva x que representa un pco de satsfaccón y la satsfaccón se ncrementa cuando nos aproxmamos a este pco. Defncón 7: El agente m es un agente medano para el perfl de preferencas,..., P s # : x x m 2 y # : x x m 2 - Con par. S es mpar entonces s # : x x m 2 y # : x x 2 ). m Proposcón 3: Suponga que es un orden lneal de X y consdere el perfl de preferencas,..., P, donde es sngle-peaked para todo. Entonces, x Fˆ m,..., y para todo y X. Esto es, el pco xm no puede ser derrotado por voto mayortaro por nnguna otra alternatva. Más aún, estas preferencas socales son completas y transtvas en cualquer votacón por pares (Además sabemos que cumplen con la A).