5. PROGRAMAS BASADOS EN RELACIONES DE RECURRENCIA.

Transcripción

1 Programacón en Pascal 5. PROGRAMAS BASADOS EN RELACIONES DE RECURRENCIA. Exsten numerosas stuacones que pueden representarse medante relacones de recurrenca; entre ellas menconamos las secuencas y las seres. Ambas son casos partculares de procesos teratvos, que conssten en la repetcón de una accón con pequeñas varacones cada vez. Una secuenca corresponde a un conjunto ordenado de valores, tales que un valor puede obtenerse a partr de los valores anterores. La relacón que permte obtener el valor actual en térmnos de los anterores se denomna relacón de recurrenca. Una sere es una expresón cuyo valor puede calcularse sumando los térmnos que la componen. Los térmnos de una sere son una secuenca. En general puede expresarse como una sumatora. Lo característco de una secuenca es su térmno general, que permte obtener cada uno de los elementos de la secuenca. La observacón del térmno general permte obtener la relacón de recurrenca que genera la secuenca. Empleando notacón matemátca, podemos vsualzar una secuenca como sgue: V0, V1, V2,... V,... Vn Es decr una secuenca de valores, a los cuales puede asocárseles un subíndce, el que establece una relacón de orden. Una sere puede representarse por: S = V 0 j Es decr, la suma ndexada de los térmnos. Nos nteresa desarrollar programas en que una varable tome los valores de una secuenca; y tambén poder almacenar la suma de los térmnos de una sere en el espaco asgnado a una varable. Prof. Leopoldo Slva Bjt

2 Programacón en Pascal 5.1 Secuencas. Antes de desarrollar un esquema general de algortmos que traten esta stuacón, veremos un ejemplo Ejemplo. Factorales a) Algortmo. Sea Fn=n! el térmno general de la secuenca. Tenemos F0 = 1 { valor ncal } F1 = F0*1 F2 = F1* Fj = F(j-1)*j { relacón de recurrenca para j>0 } Debe observarse que es necesaro defnr un valor ncal, ya que la relacón de recurrenca debe, para poder ser evaluada, partr de un valor conocdo. S se observa que los valores: 1, 2, 3,...j tambén forman una secuenca ( sea J), puede escrbrse: J = J(-1) + 1 F = F(-1)*J para >0. Con valores ncales: J0 = 0 F0 = 1 Es fundamental consderar que en el algortmo se dspondrá de una varable para almacenar los valores de la secuenca. En el ejemplo necestamos espaco para dos varables, una para el valor actual de F, y otro para el valor actual de J. En la relacón de recurrenca el subíndce refleja el tempo del proceso. S ndca el valor actual; ( -1 ) está asocado al valor anteror. Prof. Leopoldo Slva Bjt

3 Programacón en Pascal La notacón empleada, hasta el momento, corresponde a la algebraca. No debe confundrse los sgnos gual con la asgnacón o el operador de relacón. A contnuacón veremos un programa que calcula el valor de N!; donde N es un valor que deberá ser sumnstrado por el operador. Nótese que no nteresa almacenar, para un uso futuro, los dferentes valores de la secuenca. S este fuera el caso se necestarían más varables, una por cada valor dferente a recordar. b) Programa. Program factoral; { calcula N! } Var j,f,n:nteger; Begn Read(n); j:=0; f:=1; {ncalzacón de varables} whle j<n do begn j:=j+1; f:=f*j end ; {relacón de recurrenca} wrte(f) end. El programa puede escrbrse fáclmente a partr de la relacón de recurrenca desarrollada anterormente. Nótese que el subíndce, que da el orden en la relacón, ndca cómo deben concatenarse las accones. Específcamente para calcular F es precso conocer J; esto ndca que debe calcularse prmero el valor actual de j a partr de su valor anteror. Demás está destacar que el orden es mportante, y que un cambo en la concatenacón de asgnacones corresponde a la mplementacón de otra relacón de recurrenca Esquema general de secuencas. A partr del ejemplo anteror puede abstraerse el sguente esquema de algortmo: --- V := vo ; whle p(v) do V := f(v); --- {ncacón de varables} {generacón secuenca} V smbolza al conjunto de varables cuyos valores son generados por una relacón de recurrenca; ésta es descrta por: V := f(v), que destaca que para calcular los valores actuales se recurre a los valores anterores. Prof. Leopoldo Slva Bjt

4 Programacón en Pascal p(v) es un predcado; es decr, una condcón que depende de las varables en análss. Establece la condcón de térmno de la teracón Algunas stuacones representadas por secuencas. Todas las fórmulas del cálculo fnancero son representables medante relacones de recurrenca. La dervada e ntegral de una funcón, pueden evaluarse numércamente empleando relacones de recurrenca. Debdo a lo anteror, la descrpcón dnámca de sstemas, que suele modelarse medante ecuacones dferencales, tambén puede tratarse con los métodos desarrollados antes. En este caso específco las relacones de recurrenca se denomnan ecuacones de dferencas. Algunos métodos numércos para el cálculo de raíces tambén se plantean medante relacones de recurrenca. Los algortmos cláscos de multplcacón, dvsón, raíz cuadrada, recíproco y otros suelen tambén plantearse como procesos teratvos, descrtos por relacones de recurrenca Seres. La mayoría de las funcones pueden calcularse, para un valor de su argumento, medante una sere que las aproxma. Este es el caso del seno, coseno, tangente y otras funcones trgonométrcas; tambén se calculan medante seres fntas, las funcones hperbólcas. Logartmos y exponencales tambén suelen estar mplementados medante seres. En los lenguajes de alto nvel, las funcones anterores están dsponbles; es decr están ncorporadas como nstruccones del procesador artmétco que mplementa la máquna vrtual del lenguaje. Debdo a lo anteror, los algortmos para estas seres han recbdo gran dedcacón y suelen estar optmzados, tanto en espaco (número de varables empleadas ) como en tempo (veces que se efectúan las accones). Consderemos la sguente secuenca: S0 = t0 = t0 S1 = t0 + t1 = S0 + t1 S2 = t0 + t1 + t2 = S1 + t Prof. Leopoldo Slva Bjt

5 Programacón en Pascal S = t0 + t1 + t t = S(-1) + t para >0 Se denomna sere a la suma: S = t El térmno general puede descrbrse por la relacón: que genera t1,t2,...t a partr de t0. j 0 tj = f(tj - 1) Entonces la sere puede representarse por la sguente relacón de recurrenca: Esquema general. S0 = t0 S = S-1 + t para > 0 El sguente segmento descrbe el algortmo general para la evaluacón de una sere: t := t0; s := t; {ncalzacón} whle p(s, t) do begn t := f(t) ; s := s + t end; {sere} Sere exponencal. Se tene: 2 3 e x = 1 + x + x + x +... para todo x. 2! 3! Puede comprobarse que el térmno general resulta: Se tene que: t = t(-1)* x/ para > 0; con t0 = 1 Prof. Leopoldo Slva Bjt

6 Programacón en Pascal lm S x = e con S = t j 0 El sguente programa calcula, en forma aproxmada, el valor de exp(x): Program exponencal; var x,s,t,epslon: real; : nteger; begn read(x); t := 1; s := t ; := 0 ; epslon :=1.0E-6; whle t > epslon do begn := + 1; t:= t*x/ ; s:= s + t end; wrte(s) end. La computacón se efectúa empleando números reales; y la detencón de la teracón se logra cuando el térmno general es menor o gual al valor de epslon. El bloque de repetcón se efectúa veces; mayor será este número cuanto menor sea el valor de epslon. Como se verá mas adelante exste un mínmo valor representable como número real, dentro del procesador; el valor de epslon debe ser mayor que este valor. La asgnacón que calcula el térmno general efectúa una mezcla de tpos. Ya que t y x son reales, e es de tpo entero. En Pascal se permte mezcla de tpos en expresones (Report pag 146.). S uno de los operadores es real; entonces, el resultado tambén es real. Un resultado real puede almacenarse en una varable real; pero no en una entera. En la mayoría de los lenguajes tradconales, se acepta la mezcla de tpos en expresones y además se contempla la conversón de tpos en asgnacones. Esta lbertad suele ser fuente de nnumerables errores en programacón; por esta razón los lenguajes modernos mponen la compatbldad de tpos. Suelen emplearse funcones especales que permten convertr un valor de un tpo en otro; a esta operacón se la denomna conversón explícta. Prof. Leopoldo Slva Bjt