Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Facultad de Ciencias de la Computación. Maestría en Ciencias de la Computación

Transcripción

1 Benemérta Unversdad Autónoma de Puebla Facultad de Cencas de la Computacón Maestría en Cencas de la Computacón Determnacón de Efcenca y Factor de Garantía de un Algortmo Basado en Búsqueda Local para el Tratamento del Problema MaxSAT Tess que para obtener el grado de Maestro en Cencas de la Computacón presenta: Davd Eduardo Pnto Avendaño Asesor: Dr. Gullermo De Ita Luna

2 Con todo m amor para m querda esposa... Sofía. Tú que en todo momento has apoyado cada uno de ms pasos y me has hecho ser lo que ahora soy, porque sn t, defntvamente no lo hubese logrado. A ms padres y hermanos... Celso Pnto, Isabel Avendaño y Celso, Aleandro y Maurco Ya que sempre me han alentado a termnar ms metas. A m tía Fanny... Fundamento prncpal de m carrera profesonal. A m asesor... Dr. Gullermo De Ita Luna Por todo el apoyo recbdo y el conocmento transmtdo de manera desnteresada.

3 Resumen En esta tess, estudamos el dseño y análss de algortmos para un problema de satsfactbldad boolena bao un domno dscreto. El problema de Máxma Satsfactbldad es un problema central en la demostracón automátca de teoremas y en la teoría de compledad computaconal, por lo que exste un gran nterés en la búsqueda de algortmos efcentes para la resolucón de éste. Amplamente hablando, nuestro trabao está compuesto de tres partes. En la prmera parte, desarrollamos una sere de algortmos y heurístcas (basados en búsqueda local), que combnados con las técncas de búsqueda Tabú y una nueva propuesta para el control de renco de búsqueda, denomnada antpodales, dan como resultado una nueva propuesta algorítmca a la que denomnamos Búsqueda Tabú No Obva con Antpodales (LS-NTA). Se propone una nueva funcón obetvo (resultado del análss de la funcón obetvo no obva propuesta por Khanna [KhS96]) para LS-NTA. En la segunda parte, mostramos que la funcón obetvo obtene un factor de garantía meor que en la funcón obetvo no obva propuesta por Khanna, esto para el tpo de nstancas que cumplen que W(S 1 ) p W(S 0 ), p R +. Fnalmente, en la últma parte de este trabao, corroboramos los resultados (obtendos matemátcamente), medante un análss empírco documentado a través de tablas y gráfcas. Los resultados obtendos se consderan satsfactoros, ya que el hecho de que MaxSAT sea un problema representatvo de su clase de compledad (APX), mplca que las meoras encontradas a los algortmos que lo resuelven, pueden transformarse en meoras de algortmos que resuelvan los demás problemas de su clase de compledad.

4 INDICE Introduccón 1 Capítulo I Fundamentos teórcos Máqunas de Turng Máquna de Turng determnsta Máquna de Turng no determnsta Clases de compledad defndas por las máqunas de Turng Teoría de los problemas NP-Completos Caracterzacón sntáctca de los problemas en NP Problemas de optmzacón en NP Vsta computaconal de los problemas de optmzacón Problemas SAT y MaxSAT 17 Capítulo II Propuestas algorítmcas para la resolucón del problema MaxSAT Técnca de búsqueda local Búsqueda local aplcada al problema SAT y MaxSAT Búsqueda local no obva Funcón obetvo no obva propuesta Búsqueda tabú Búsqueda tabú no obva con antpodales 27 Capítulo III Elementos para el análss de algortmos Introduccón Métodos para determnar el factor de garantía de los algortmos Modelos para construr nstancas de fórmulas booleanas 35 Capítulo IV Determnacón del factor de garantía y análss expermental Determnacón del factor de garantía Análss expermental 46 Conclusones 62 Bblografía 65 Lsta de acronsmos 68

5 Introduccón La aparcón de una gran cantdad de problemas en los últmos años que han demostrado estar dentro de la categoría de problemas denomnados NP (los cuales son reconocdos por requerr de una gran cantdad de recursos y tempo para que su resolucón se cumpla) ha motvado el buscar algortmos efcentes para su resolucón; sn embargo, a menos que P = NP, no habrá algortmos de tempo polnomal para soluconar tales problemas. En este trabao se presentan dversas heurístcas para resolver efcentemente, aunque de manera aproxmada dos problemas cláscos NP-Completos: SAT y MaxSAT. SAT y MaxSAT son dos problemas crucales para el desarrollo de la demostracón automátca de teoremas (DAT) en el cálculo proposconal, su planteamento puede resumrse en la forma sguente: Dada una fórmula booleana F en forma normal conuntva (FNC), el problema SAT consste en decdr s F es satsfactble. El problema de optmzacón MaxSAT consste en determnar el número máxmo de cláusulas que pueden satsfacerse smultáneamente. A la fecha, como para todo problema NP-Completo, no se ha construdo algortmo efcente que resuelva a SAT y/o MaxSAT. Una alternatva en la búsqueda de resolver efcentemente los problemas de optmzacón es el desarrollo de algortmos de aproxmacón, es decr, algortmos que trabaando dentro de cotas polnomales de tempo encuentren solucones cercanas al valor óptmo, y especalmente que garantcen que las solucones halladas se encuentran dentro de un factor multplcatvo de la solucón óptma. En este trabao, se exploraron las técncas de búsqueda local como algortmos de aproxmacón para resolver MaxSAT. Es conocdo que el factor de garantía de una búsqueda local para MaxSAT es de /+1, donde es el número máxmo de lterales que hay en alguna cláusula de la fórmula booleana de entrada [HaP90]. Khanna propone un procedmento de búsqueda local con una nueva funcón obetvo llamada funcón no obva que obtene un factor de garantía de (2-1)/2, sendo, al gual que el caso anteror, el número máxmo de lterales que hay en alguna cláusula de la fórmula booleana de entrada [KhS96]. Como resultado de nuestras nvestgacones, proponemos una nueva funcón obetvo que utlzada dentro del procedmento de búsqueda local obtene un meor factor de garantía que el de la funcón obetvo propuesta por Khanna, esto para certa clase de fórmulas booleanas. En este documento presentamos la demostracón matemátca para la obtencón de este nuevo factor de garantía y corroboramos el resultado teórco a través de un análss empírco sobre un unverso de fórmulas booleanas generadas aleatoramente. 1

6 Adconalmente se dseñaron dos estrategas, una basada en una arreglo tabú para acelerar la búsqueda de óptmos locales y la otra basada en el uso de elementos antpodales como procedmento para re-ncar la búsqueda después de arrbar a óptmos locales. Ambas estrategas se mplementaron a la búsqueda local basada en la funcón obetvo que propusmos. El algortmo resultante, según el análss empírco, obtuvo meores resultados dentro de tempos comparables con los demás algortmos probados. La organzacón del documento es la sguente: En el capítulo I se revsa una sere de conceptos báscos que son el preámbulo teórco del trabao, estos conceptos ncluyen: máqunas de Turng, clases de compledad, teoría de los problemas NP-Completos, y una descrpcón acerca de los problemas SAT y MaxSAT. Posterormente, en el capítulo II se presentan dversas técncas de aproxmacón basadas prncpalmente en la búsqueda local, en el capítulo III se revsan los elementos necesaros para el análss de algortmos; en el capítulo IV se determna la efcenca y factor de garantía del algortmo propuesto, además, se realza el análss de los algortmos medante pruebas computaconales, tablas y gráfcas comparatvas. Por últmo se presentan las conclusones obtendas de la nvestgacón y se proponen dferentes trabaos a futuro en esta línea del dseño y análss de algortmos de aproxmacón para MaxSAT. 2

7 Capítulo I Fundamentos teórcos 1.1 Máqunas de Turng Alan Turng [TuA36] desarrolló un modelo matemátco smple conocdo con el nombre de máquna de Turng; este modelo matemátco ha servdo como base para poder expresar en térmnos sencllos lo que un mecansmo de computacón puede o no hacer. En la actualdad, es muy común decr que cualquer problema que es resoluble bao una máquna de Turng será resoluble tambén por cualquer otro mecansmo de cómputo, e nversamente, problemas que no pueden resolverse por máqunas de Turng tampoco serán resueltos por cualquer otro mecansmo de cómputo. Es mportante entonces revsar el funconamento de este modelo matemátco que parece ser sencllo y a la vez muy poderoso. Se defnen dferentes máqunas de Turng de acuerdo a la manera en que trabaan, así, exsten máqunas de Turng determnstas y máqunas de Turng no determnstas, cada una de éstas está orentada a resolver un tpo especal de problemas Máquna de Turng determnsta Las máqunas de Turng determnstas (MTD) constan de un control fnto, una cabeza de lecto-escrtura y una cnta dvdda en un número nfnto de celdas; dchas celdas son etquetadas usando números enteros. Una representacón esquemátca de una máquna de Turng determnsta puede observarse en la fgura 1.1. CONTROL FINITO Cabeza de lecto-escrtura CINTA Fgura 1.1 Representacón esquemátca de una máquna de Turng determnsta 3

8 De manera formal, se puede defnr una máquna de Turng determnsta M por un sstema de la forma: M=<Q, Σ, t, q 0, F>, donde: Q: es un conunto fnto de estados; cada uno de tales elementos ndca un estado en el que puede estar el control fnto. Este conunto de estados ncluye dos estados dstngudos de parada: q y y q n y el estado de nco q 0. q 0 : es el estado dstngudo en el que arranca la máquna de Turng. Σ: es el alfabeto de símbolos. Tales símbolos son usados en la codfcacón de la cadena de entrada así como para codfcar los símbolos que pueden colocarse en la cnta de la máquna de Turng. F: subconunto de Q, F={q y, q n } que denota a los estados fnales o de paro de la máquna de Turng. t: es la funcón de transcón, t:(q-f) Σ Q Σ {-1, 0, 1}. La funcón de transcón codfca al programa que va a ser eecutado por la máquna de Turng. Dado un alfabeto Σ, se defne a una cadena x como una secuenca fnta de símbolos, donde cada símbolo que conforma a la cadena es un elemento del alfabeto. Los térmnos sentenca y palabra son utlzados como snónmos de cadena. La longtud de una cadena x, x, es el número de símbolos que conforman a tal cadena. La cadena vacía, que denotaremos por λ, es una cadena especal de longtud cero. Sean x, y cadenas, la concatenacón de x y y, que denotaremos por xy, es la cadena resultante de concatenar y a x. En este sentdo, la cadena vacía es el elemento dentdad bao la operacón de concatenacón. Sea Σ un alfabeto, se tene que: Σ 0 = {λ} es el conunto que contene sólo a la cadena vacía. Σ 1 = Σ es el alfabeto msmo. Σ = Σ -1 Σ es Σ concatenado consgo msmo -1 veces. Σ * = Σ 0 Σ 1 es el conunto de cadenas de cualquer longtud que pueden formarse con elementos de Σ. A Σ * se le llama el lenguae dervado (o dcconaro) del alfabeto Σ. En este sentdo, un lenguae es un conunto de cadenas defndas sobre el alfabeto. El funconamento de una máquna de Turng determnsta es smple y se descrbe a contnuacón: Incalmente la máquna de Turng M tene al símbolo b en cada una de las celdas de su cnta, excepto para un certo número de casllas en donde se encuentra escrta la cadena x, llamada la cadena de entrada, x Σ*. Esta cadena x se coloca en las casllas numeradas de zquerda a derecha a partr de la celda 1 y hasta la longtud de la cadena de entrada x, habendo un símbolo de la cadena de entrada por celda. La cabeza de lecto-escrtura de la máquna de Turng se coloca ncalmente en el símbolo más a la zquerda de la cadena de entrada y el estado del control fnto se encuentra en el estado ncal q 0. 4

9 En cada nstante, el comportamento de la máquna de Turng se rge por el programa codfcado a través de la funcón de transcón t, s M lee el símbolo a Σ, el control fnto está en el estado q Q y se tene defnda t para q y a, por eemplo: t(q,a )=(q, a, m ), sgnfca entonces que se susttuye en la cnta el símbolo a por el a, el control fnto pasa al estado q, la cabeza de lecto-escrtura pasa a examnar la celda que está a su zquerda o no se mueve o examna a la celda que está a su derecha, según el valor de m (-1, 0,1) respectvamente. Se defne una descrpcón nstantánea como una palabra XqY, donde X e Y están en Σ*, y q es un estado de Q. XqY sgnfca que en la cnta está escrta la palabra XY, el control de la máquna de Turng está en el estado q, y su cabeza de lecto-escrtura se encuentra examnando al prmer símbolo de Y. Un paso de cómputo de una máquna de Turng se pasa denota por el par ordenado (d 1, d 2 ) y suele escrbrse d 1 > d 2, donde d 1 y d 2 son descrpcones nstantáneas de M. Tal paso de cómputo denota que en un solo paso, la máquna de Turng pasa de la descrpcón nstantánea d 1 a la d 2. La relacón pasa es llamada tambén un paso de cómputo. Formalmente sgnfca que s d 1 = XqY, d 2 = X q Y, y supóngase que X = x 1 x 2 x l, Y = y 1 y 2 y y que está defnda la transcón t(q, y 1 ) = (p,λ,m). Entonces se tene q = p y tres posbles casos según el valor de m: S m = -1 entonces X = x 1 x l-1, Y =x l λy 2 y. S m = 0 entonces X = X, Y =λy 2 y. S m = 1 entonces X = x 1 x l λ, Y = y 2 y. Una vez defnda la relacón pasa > entre confguracones, se defne la relacón sgue > sgue (sgue) como su cerradura transtva. Entonces, d 1 > d 2 denota que d 2 sgue de d 1 por uno o más pasos de cómputo. A una sucesón de descrpcones nstantáneas relaconadas medante pasos de cómputo se le llama una computacón. Una computacón que lleva a que la máquna de Turng acepte la entrada x, es una secuenca C 0, C 1,..., C t de pasos de cómputo, tal que C 0 =q 0 x es la descrpcón nstantánea de arranque, y para 0 < t, C pasa > C +1, q en C, q no es un estado fnal, y el estado q en C t es el estado fnal q y. El lenguae aceptado por una máquna de Turng, representado por L M es el conunto de palabras x Σ*, que hacen que la máquna de Turng llegue al estado de aceptacón q y, cuando nca con x en su cnta de entrada: L M = {x Σ * q 0 x sgue > uq y v, u, v Σ *, q y F} Todas las cadenas que pertenezcan al lenguae aceptado por la máquna de Turng hacen suponer que harán detenerse a la máquna en algún momento, sn embargo, para aquellas cadenas que no pertenezcan al lenguae, no es posble determnar s la máquna se detendrá en algún momento o no. Obvamente, para que un programa de la máquna de 5

10 Turng sea un algortmo, es necesaro que posea una condcón de paro al procesar cualquer cadena del alfabeto de entrada. Las defncones anterores están orentadas al reconocmento de un lenguae, sn embargo, se puede corresponder dchas defncones a la resolucón de problemas, especalmente hablando de problemas de decsón. Un problema de decsón (PD) se plantea como una pregunta general que acepta como respuesta sólo una de dos opcones: la respuesta SI o la respuesta NO. En forma abstracta, un problema de decsón es una estructura del tpo PD:<D, S>, donde D es el domno de nstancas del problema y S D es el conunto de aquellas que lo resuelven afrmatvamente. El planteamento del PD es: SI x D : PD(x) = NO s x S en otro caso En estos térmnos, se dce que una máquna de Turng M resuelve el problema de decsón PD:<D, S> s M se detene para toda x en D y L M = S (L M es el lenguae reconocdo por M). Usando el modelo de máqunas de Turng, se dce que el espaco de una computacón de aceptacón es el número de casllas utlzadas por la máquna de Turng durante el cómputo de aceptacón y el tempo es el número de pasos de computacón que realza la máquna de Turng durante el cómputo de aceptacón. Sea F:N R una funcón y M una máquna de Turng, se dce que M acepta su entrada en tempo (espaco) F(n) s para cada x en L M hay una computacón que lleva a aceptacón de M sobre x tal que el tempo (espaco) de la computacón de aceptacón no excede F(n), con n = long(x), donde long(x) es la longtud de la entrada x. En térmnos de problemas de decsón, la compledad en tempo de M se plantea de la sguente manera: PD:<D, S> tal que L M = S. La funcón de compledad de tempo ƒ M :Z + Z + se defne como: ƒ M (n) = max{m x S, n=long(x), y m es el tempo de la computacón de aceptacón de x} En este sentdo, se dce que el programa de una máquna de Turng tene compledad polnomal en tempo, s exste un polnomo p tal que, para todo n Z +, ƒ M (n) p(n). En térmnos de los algortmos, se dce que un algortmo A es efcente cuando su funcón de compledad en tempo se puede acotar por un polnomo. Es decr, s ƒ A (n) es la funcón de compledad en tempo del algortmo A y exste un polnomo p tal que, para todo n Z + ƒ A (n) p(n), entonces se convene en decr que A es un algortmo efcente. 6

11 1.1.2 Máquna de Turng no determnsta El modelo de máquna de Turng no determnsta (MTND), defndo en [GaM79], tene la msma estructura que una máquna de Turng determnsta, excepto que se le adcona un módulo de advnanza, el cual tene su propa cabeza de sólo escrtura y se usa con el solo propósto de que escrba la cadena que advna. Una representacón esquemátca de este modelo se presenta en la fgura 1.2. MODULO QUE ADIVINA CONTROL FINITO CINTA Fgura 1.2 Representacón esquemátca de una máquna de Turng no determnsta El funconamento de la máquna de Turng no determnsta se descrbe a contnuacón: Al nco, se escrbe una cadena x Σ* en las celdas numeradas de 1 hasta x de la cnta (y las demás celdas contenen el símbolo blanco), la cabeza del control fnto está posconada en la celda 1 y el control fnto está nactvo. La prncpal dferenca de este modelo con el de la máquna de Turng determnsta estrba en que el reconocmento de la cadena x toma lugar en dos fases: la fase de advnacón y la fase de revsón. Fase de advnacón: el módulo que advna mueve su cabeza de sólo escrtura una celda a la vez para dear escrto a partr de las celdas etquetadas desde -1 hasta - w, una cadena w Σ*, pasando posterormente a la fase de revsón en donde ahora el módulo que advna permanecerá nactvo. La eleccón de la cadena w a escrbr es realzada por el módulo que advna de una forma totalmente arbtrara, y por tal razón, puede nclusve nunca parar al estar generando a w. Fase de revsón: nca cuando el control de estados fntos es actvado en el estado q 0. A partr de este momento, la computacón contnúa en exactamente la msma forma en que trabaa la máquna de Turng determnsta, puesto que no ntervene en esta fase el 7

12 módulo que advna. Aunque ben es posble que la cabeza del control fnto vste la cadena w escrta por el módulo que advna. La computacón de la máquna de Turng no determnsta M se detene cuando el control fnto pasa a un estado fnal, y se dce que es una computacón de aceptacón s el control fnto se detene en el estado de aceptacon q y. Nótese que para alguna combnacón de la cadena wbx, M puede nunca parar. En general, M tene un número nfnto de posbles computacones para una entrada x dada, una computacón por cada cadena w generada por el módulo que advna. Se dce que M acepta a x s al menos exste una cadena w que hace que M llegue a un estado de aceptacón. El lenguae reconocdo por M es entonces: L M = {x Σ* w generado por el módulo que advna tal que M acepta a x} El tempo requerdo por una máquna de Turng no determnsta M que acepta a una cadena x L M, se defne como el máxmo (sobre todas las computacones de aceptacón de M sobre x), del número de pasos que ocurren tanto en la fase de advnacón como de revsón, hasta que esta últma fase llega a un estado de aceptacón. La funcón de compledad de tempo T M :Z + Z + para M es: T M (n) = max({1} {m x L M, long(x) = n, M acepta a x en m pasos de computacón}) Nótese que la funcón de compledad de tempo para M depende sólo del número de pasos que ocurren en una computacón de aceptacón, y que por convencón, T M (n) es gual a 1 cuando nnguna entrada de longtud gual a n es aceptada por M. Se dce que más que hallar una solucón al problema de decsón PD, M comprueba solucones para el PD, ya que dada una nstanca x del PD, el módulo que advna propone una propuesta de solucón w, y M debe comprobar s w es realmente una solucón En este sentdo, la máquna de Turng no determnsta M es usada como un mecansmo de verfcacón o comprobacón de propuestas de solucón. Se dce que un programa corre en tempo polnomal para la máquna de Turng no determnsta M, s exste un polnomo p tal que T M (n) p(n) para todo n Clases de compledad defndas por las máqunas de Turng Con el fn de clasfcar el esfuerzo computaconal que se requere al resolver problemas de decsón, orgnalmente se usaron las máqunas de Turng como el modelo formal de computacón [HaJ65]. El concepto clave fue defnr una clase de compledad en térmnos de los lenguaes que reconoce una máquna de Turng con recursos acotados (se consderan aquí solo los recursos de tempo y espaco). Las clases de compledad permten clasfcar los lenguaes (problemas) según la compledad ntrínseca computaconal 8

13 requerda para reconocerlos (resolverlos). De partcular nterés son las clases de compledad defndas por recursos acotados logarítmcamente (salvo se ndque lo contraro, se hablará de logartmos base 2) o polnomos sobre la varable n, donde n es la longtud de las nstancas de entrada. Las prmeras clases de compledad defndas sobre MTD s fueron: DLOG = {L Σ * x L, x es aceptada en espaco logarítmco} P = {L Σ * x L, x es aceptada en tempo polnomal} PSPACE = {L Σ * x L, x es aceptada en espaco polnomal} Tambén se pueden defnr las clases de compledad en térmnos de problemas de decsón, de la manera sguente: DLOG = {PD M MTD que resuelve PD usando espaco logarítmco} P = {PD M MTD que resuelve PD en tempo polnomal} PSPACE = {PD M MTD que resuelve PD usando espaco polnomal} A pesar de que estas clases de compledad se defnen en térmnos de máqunas de Turng, hasta ahora, todos los modelos reales de computacón estudados como máqunas de Turng de varas cntas, máqunas de acceso aleatoro (RAM), Intérpretes de lenguaes como Básc, Pascal, Lsp, etc., son equvalentes con respecto al comportamento de compledad polnomal en tempo. Se cree entonces que cualquer otro modelo razonable de cálculo compartrá esta equvalenca. Por tanto, la clase de compledad P defnda anterormente no será afectada s es cambado el modelo de computacón, así que se puede selecconar uno u otro modelo de cómputo según convenga sn sacrfcar la generaldad de los resultados. La hpótess de que el concepto ntutvo de computabldad puede dentfcarse con lo que una máquna de Turng puede realzar, es conocda como la tess de Church-Turng. Y aunque no podemos esperar una demostracón de esta tess, puesto que el concepto de calculable sgue sendo algo nformal, se puede proporconar evdenca de su carácter razonable [HoJ93]. son: Las clases de compledad defndas usando máqunas de Turng no determnstas NLOG={PD M MTND que comprueba solucones de PD usando espaco logarítmco} NP = {PD M MTND que comprueba solucones de PD en tempo polnomal} NPSPACE ={PD M MTND que comprueba solucones de PD usando espaco polnomal} 9

14 A contnuacón se descrbe en térmnos de lenguaes solo a la clase NP, ya que la defncón para las clases de compledad NLOG y NPSPACE son equvalentes. NP = {L Σ* M MTND: (L = L M ) & ( x L, x es aceptada por M en tempo polnomal)} Nótese que verfcacón o comprobacón en tempo polnomal, no mplca resolubldad en tempo polnomal. Al decr que se puede comprobar que una cadena w es o no una solucón al problema, no se está realmente consderando el tempo nvertdo en encontrar dentro de un espaco potencalmente grande de posbldades a la cadena w propuesta como solucón al problema. Correspondendo a esta nocón de modelos no determnstas, un algortmo que se eecuta en tales modelos, será no determnístco, y en este sentdo, estará compuesto de dos fases separadas: la fase que advna y la fase que revsa. Dada una nstanca x de un problema de decsón PD, la prmera fase advna una estructura w que se propone como solucón. Entonces la nstanca x y la cadena w serán la entrada a la segunda fase (fase de revsón) que procede en forma determnsta para termnar con una respuesta SI o NO o, caer en un cclo nfnto. Un algortmo no determnsta resuelve un problema de decsón PD:<D, S> s se cumplen las sguentes propedades para todas las nstancas I del problema de decsón: 1. S I tene una solucón, entonces exste alguna cadena w que es advnada y que conduce a la fase de revsón a que responda SI. 2. S I es una nstanca del PD sn solucón, entonces no exste cadena w que pueda generar el módulo que advna tal que conduzca a la fase de revsón a responder SI. Por eemplo, un algortmo no determnsta para el problema del agente vaero puede construrse usando un estado de advnacón, que smplemente proponga una secuenca arbtrara sobre las cudades. El estado de revsón se encargará de verfcar que la suma de las dstancas de las cudades en la secuenca dada cumpla la cota exgda. Un algortmo determnsta que resuelve el problema de decsón PD se dce que es de tempo polnomal s exste un polnomo p tal que para toda nstanca I del PD, exste una cadena w que conduce a la fase de revsón a responder SI, en tempo acotado por p(long(i)). Nótese que esta cota mpone tambén límtes en la longtud de w. Puesto que a cualquer modelo de cómputo se le puede adconar el módulo que advna con posbldad de sólo escrtura, tal y como se ha realzado en este apartado para las máqunas de Turng, se podría reproducr la defncón de no determnsmo con cualquer otro modelo de computacón. Las versones resultantes de defncón de clases no determnstas serán equvalentes en los otros modelos de computacón y partcularmente, 10

15 todos estos modelos son equvalentes en lo que respecta al tempo polnomal, y por tal, a la defncón de la clase NP. DTIME(F(n)) (DSPACE(F(n))) denota la clase de problemas que son aceptados por máqunas de Turng determnstas que reconocen su entrada dentro de un tempo (espaco) F(n). En tanto que NTIME(F(n)) (NSPACE(F(n))) denota la clase de problemas aceptados por máqunas de Turng no determnstas que aceptan dentro de tempo (espaco) F(n). Al especfcar las cotas de clases, muchas veces se usa la notacón de la funcón de orden O. S G(n) es una funcón, G:N R, O(G(n)) es el conunto de funcones G que satsfacen G (n) c G(n) para alguna constante real postva c y para toda n n 0, donde n 0 depende de G. Nótese que s n 0 es cero, entonces se cumple para todo n N. La notacón O es usada dentro de las clases NTIME, DTIME, etc. Por eemplo, DTIME(2 O(n) ) denota la unón de DTIME(2 cn ) tomadas sobre todas las constantes c. Tambén se usa la notacón poly(g(n)) que abreva a O(G(n) O(1) ), esta es la clase de funcones acotadas superormente por algún polnomo de funcón de G, ya que O(1) denota a cualquer constante real postva. Usando esta notacón, podemos reescrbr a las clases de compledad como: DLOG = DSPACE(log(n)), NLOG = NSPACE(log(n)), P = DTIME(poly(n)), NP = NTIME(poly(n)) y PSPACE = DSPACE(poly(n)). Las clases P y NP se pueden tambén dentfcarse de la sguente manera: P es la clase de problemas que poseen algortmos determnstas de resolucón que tardan tempo polnomal. NP es la clase de problemas que tenen un algortmo determnsta de resolucón que corre en tempo exponencal, pero para los cuales, tambén exste un algortmo no determnsta que corre en tempo polnomal. A los problemas de la clase P se les reconoce como problemas tratables, puesto que para cualquera de sus nstancas, éstas se resuelven por algortmos que corren en un tempo acotado polnomalmente. Se dce que un problema no ha sdo ben resuelto hasta que es hallado un algortmo determnsta de tempo polnomal que lo resuelve [GaM79]. Se le asgna a un problema el térmno de ntratable, s este se ha mostrado tan dfícl que no se ha encontrado algortmo determnsta con compledad polnomal en tempo que lo resuelva, es decr, no se ha hallado algortmo efcente que lo resuelva. Entonces una prmera clase de compledad que contene problemas ntratables es la clase NP. 11

16 Todo algortmo cuya funcón de compledad de tempo no pueda acotarse por una funcón polnomal, se dce que es un algortmo de compledad exponencal en tempo, aún cuando debe notarse que esta defncón ncluye certas funcones de compledad de tempo, tales como, n log(n), las cuales normalmente no son consderadas como funcones exponencales. El térmno ntratable, reflea el punto de vsta de que los algortmos de tempo exponencal no son consderados buenos algortmos y que, generalmente, tal clase de algortmos reflean varacones de búsquedas exhaustvas, mentras que algortmos de tempo polnomal generalmente son construdos sólo a través de explotar las estructuras nternas e nherentes del problema. Exsten algortmos de tempo exponencal que han sdo muy útles en la práctca. La compledad de tempo de un algortmo tal y como se ha defndo, es una medda para el peor de los casos, y el hecho de que un algortmo tenga compledad exponencal, sgnfca que exste al menos una nstanca del problema que requere mucho tempo, aún y cuando muchas de las nstancas del msmo problema se resuelvan en la práctca en tempo polnomal. Aún y cuando certos algortmos de compledad exponencal para determnados problemas tenen un buen comportamento en la práctca, esto no ha detendo el avance de las nvestgacones por buscar algortmos de tempo polnomal que resuelvan los msmos problemas. Y de hecho, el comportamento general de los algortmos exponencales, lleva a la sospecha de que hace falta capturar alguna propedad crucal del problema cuyo refnamento pueda llevarnos a meores métodos. Un área de gran nterés es sobre técncas generales que permtan dseñar algortmos determnstas de tempo polnomal, ya sea para los problemas ntratables o para varacones de éstos. La habldad de algortmos no determnstas, de poder revsar un número exponencal de posbldades en tempo polnomal, genera la sospecha de que este tpo de algortmos son estrctamente más poderosos que los algortmos determnstas de compledad polnomal. Sn embargo, contra todos los esfuerzos realzados, no se ha poddo demostrar esta especulacón. La pregunta P = NP? es uno de los problemas abertos más mportantes en la cenca de la computacón. Aún más, sabendo que se cumple la sguente erarquía entre las clases de compledad: DLOG NLOG P NP PSPACE, sgue sendo una pregunta aberta decdr cuáles de estas contencones son propas, aún cuando se sabe que DLOG PSPACE [StL87]. 1.2 Teoría de los problemas NP-Completos Incemos presentando una defncón de la clase NP dada por Khanna [KhS96]. 12

17 Defncón 1.1 Un lenguae L Σ* está en NP s exste máquna de Turng determnsta M que trabaa usando cotas polnomales de tempo y se tene una constante c tal que para todo x Σ*: x L y Σ* con y = O( x c ) y tal que M reconoce al par (x, y) cuando se le da como entrada. x L y Σ*, M rechaza el par (x, y) cuando se le da como entrada. Una nterpretacón natural de la defncón anteror sgnfca que la cadena y es la prueba para la aseveracón de que x L y la máquna M es el verfcador de tal prueba. La teoría sobre los problemas NP-Completos fue desarrollada orgnalmente para estudar problemas de decsón; Coo [CoS71] y Levn [LeL73] estableceron que todos los lenguaes en NP son reducbles al problema 3-SAT (el problema de decdr s una formula en 3-FNC es o no satsfactble), un poco después, Karp [KaR72] mostró que el problema 3-SAT es equvalente a una gran varedad de problemas de decsón NP. A contnuacón se formalzarán las nocones de reduccón y equvalenca. Defncón 1.2 Un lenguae L 1 Σ 1 * es reducble en tempo polnomal a otro lenguae L 2 Σ 2 * (denotado como L 1 α p L 2 ) s exste una funcón computable en tempo polnomal ƒ:σ 1 * Σ 2 * tal que para todo x Σ 1 *, x L 1 s y solo s ƒ(x) L 2. Esta nocón de reduccón es llamada reduccón en tempo polnomal de muchos a uno o smplemente reduccón Karp. Un lenguae L 1 es equvalente en tempo polnomal a otro lenguae L 2 s: L 1 α p L 2 y L 2 α p L 1. A partr de ahora, obvaremos α p con α. Defncón 1.3 Un lenguae L es NP-Dfícl s para cualquer lenguae L NP: L α L. Defncón 1.4 Un lenguae L es NP-Completo s L NP y L es NP-Dfícl. El resultado de Coo y Levn establecó que el problema 3-SAT es NP-Completo. Karp mostró que el problema 3-SAT es reducble a muchos otros problemas mportantes de decsón en NP, tales como: determnar s un grafo es -coloreable, verfcar s hay cclos hamltonanos en un grafo, verfcar s un grafo tene un clque de al menos tamaño, y de aquí, que estos problemas son tambén NP-Dfícles. Se tene que, o ben todos estos problemas son dfícles (es decr, P NP), o todos ellos son fácles (es decr, P=NP). La teoría de los problemas NP-Completos proporcona un ambente de trabao para el estudo de la compledad de otros problemas que pueden plantearse como problemas de optmzacón Caracterzacón sntáctca de los problemas en NP La nocón de compledad parece encontrarse nherentemente lgada a los modelos computaconales y recursos acotados en tempo y espaco. Pero sorpresvamente, cas 13

18 paralelamente con el desarrollo del punto de vsta de la teoría de los problemas NP-Completos orentada a la computacón, se desarrolló un punto de vsta descrptvo o sntáctco de las clases de compledad. Tales esfuerzos están basados en una ntucón smple, en la cual se dce que un problema que es dfícl de decdr es probablemente tambén un problema dfícl de expresar, y vceversa. Un resultado clásco en esta dreccón fue establecdo por Fagn [FaR74] y se presenta en el teorema sguente. Teorema 1.1 NP se conforma precsamente por los problemas de decsón que pueden ser expresados en la lógca exstencal de segundo orden y que se expresan como: S Φ(I, S) donde Φ es una fórmula de prmer orden, S es una estructura (es decr, una varable de segundo orden que recorre relacones con ardad fa bao un unverso de entrada), y I = (U; P) es la estructura de entrada comprendda de un unverso U y un conunto fnto de predcados P de ardad constante. Este es un teorema que vale la pena remarcar, ya que una clase de compledad que fue defnda en térmnos de la computacón que realza una máquna de Turng tambén puede ser descrta sn referenca tanto a la máquna como a los recursos. Esta caracterzacón expresa la estructura lógca de los lenguaes en NP. Usando esta caracterzacón de NP es una tarea relatvamente ntutva establecer 3-SAT como un problema NP-Completo. La facldad de descubrr de manera natural problemas completos es un atrbuto muy deseable, el cual parece dsponble con clases defndas sntáctcamente, pero es una tarea dfícl cuando una clase está defnda en base a su comportamento computaconal. En las últmas dos décadas, dversos poneros (como Immerman y otros) han trabaados sobre caracterzacones sntáctcas de muchos otras clases, por eemplo, PSPACE y NSPACE (ver [ImN95]) Problemas de optmzacón en NP La clase de problemas de optmzacón que se dervan de problemas de decsón en NP es llamada NPO, como un acrónmo para desgnar que son problemas de optmzacón dervados de problemas en NP. Defncón 1.5 Un problema Π en NPO se conforma por una 4-tupla <D, S, V, meta> tal que: D es el conunto de nstancas de entrada que son reconocbles en tempo polnomal. Dada cualquer entrada x D, S(x) denota el conunto de solucones factbles, tales que, hay un polnomo p tal que para todo y S(x) y p( x ). Más aún, exste un predcado π computable en tempo polnomal tal que π(x, y) es verdadero, sí y solamente sí, y S(x). Dada y S(x), V(x, y) denota el valor de la funcón obetvo, el cual es calculado en tempo polnomal. 14

19 Fnalmente, meta {max, mn} y se usa para denotar cuando Π es un problema de maxmzacón o mnmzacón. Los problemas en NPO pueden transformarse en problemas de decsón al utlzar cotas que satsfagan la funcón obetvo. El problema de decsón que resulta es al menos tan dfícl como el problema de optmzacón orgnal, y muchas veces, la compledad de ambos problemas se relacona solamente a través de un factor polnomal. Conforme pasan los años, se ha mostrado que más y más problemas de optmzacón tenen asocado un problema de decsón NP-Completo. Así que, la teoría de NP-Completos ha sdo usada para establecer la ntratabldad de los problemas en NPO. En la época de los 70 s, se empezó a creer por una comundad bastante ampla, que las dos clases P y NP son dstntas y que por lo tanto, no hay algortmos de tempo polnomal que resuelvan exactamente a problemas en NPO. Sn embargo, dado que muchos de estos problemas tenen fuertes aplcacones en la práctca, determnar la tratabldad computaconal de ellos es muy mportante, por lo que fue natural que muchos nvestgadores comenzarán a consderar relaacones de tales problemas para obtener versones que fueran tratables. La prmera relaacón consderada fue la de la condcón de optmabldad ; así que el enfoque fue puesto en la construccón de algortmos que calcularan solucones cercanas al óptmo, es decr, solucones que garantzaran estar dentro de un factor multplcatvo de la solucón óptma. Defncón 1.6 Un algortmo A es un algortmo de aproxmacón para un problema Π en NPO s dada una nstanca de entrada Ι, éste calcula una solucón factble S para la entrada Ι. Por supuesto, el valor de la solucón factble puede estar aleado del valor óptmo, así que el nterés se encuentra en dseñar algortmos que construyen solucones con un valor garantzado de cercanía al óptmo, lo cual nos lleva a consderar algunas defncones que nos ayudarán a caracterzar a los algortmos de aproxmacón. Se usará la notacón OPT(I) para denotar el valor óptmo de la funcón obetvo en la nstanca I y V(I, A(I)) para denotar el valor obtendo por el algortmo A al evaluar la nstanca I en la funcón obetvo. Defncón 1.7 Se defne el cocente de aproxmacón de un algortmo A, denotado por C A, para una nstanca I de un problema de optmzacón Π (con I = n) como: C A V ( I, A( I )) OPT( I) = mn, OPT( I) V ( I, A( I )) Nótese que C A es: sempre menor o gual a 1 y el factor de garantía r A del algortmo A para Π será: r A = mn{c A para toda I de Π} 15

20 A una solucón que está dentro de un factor multplcatvo r A del valor óptmo se le conoce como una r A -aproxmacón, y decmos que un problema NPO es aproxmable dentro de un factor r A s éste tene un algortmo de aproxmacón de tempo polnomal con factor de garantía r A. A medados de los 70 s, Johnson [JoD74] estudó la propedad de aproxmabldad en tempo polnomal de problemas en NPO y descubró que mentras es posble encontrar buenas aproxmacones en tempo polnomal para dversos problemas de optmzacón NP-dfícles, hay muchos otros que ressten ser aproxmados dentro de factores constantes. Los trabaos subsecuentes realzados por dversos nvestgadores solamente han confrmado lo observado por Johnson. En la actualdad, se tenen dversos resultados que muestran que muchos problemas de optmzacón NP-dfícles no pueden ser ben aproxmados, a menos que P = NP. La dfcultad de hallar buenas aproxmacones podría deberse a que las reduccones usadas con los problemas de decsón no preservan la caldad de las solucones aproxmadas, por lo que se hace necesaro desarrollar un ambente de trabao que permta estudar los problemas de optmzacón, sn elmnar sus característcas esencales Vsta computaconal de los problemas de optmzacón Un esquema de clasfcacón basado en la aproxmabldad computaconal de los problemas en NPO fue usado mplíctamente en el trabao de Johnson. Así, se tene la conformacón de clases como: APX y PTAS. Defncón 1.8 Un problema Π esta en la clase APX s exste un algortmo de tempo polnomal para Π cuyo factor de garantía está acotado por una constante. Defncón 1.9 Un problema Π está en la clase PTAS s para cualquer raconal ε > 0, exste un algortmo de aproxmacón de tempo polnomal para Π cuyo factor de garantía esta acotado por (1 + ε). Sea f una funcón, f-apx denota la clase de problemas en NPO que son aproxmables dentro de un factor f, así, se obtene una erarquía de clases de compledad. Por eemplo, poly-apx y log-apx son las clases de problemas en NPO los cuales tenen, respectvamente, algortmos de aproxmacón con un factor de garantía acotado polnomalmente y logarítmcamente, con respecto a la longtud de la entrada. La fortaleza de esta clasfcacón radca en la habldad de capturar problemas que tenen un umbral específco de aproxmabldad. Podríamos estar nteresados en restrngr nuestra atencón a subconuntos polnomalmente acotados de estas clases. Defncón 1.10 El subconunto polnomalmente acotado de la clase de problemas C, con C APX, denotado como C-PB, es el conunto de problemas Π C tal que para toda nstanca I, n= I, exste un polnomo p(n) tal que OPT(I) p( I ). 16

21 Entonces, APX-PB denota la clase de problemas en NPO que son aproxmables dentro de factores constantes y que tenen valores óptmos acotados polnomalmente. Los problemas SAT y MaxSAT son problemas NP-Completos, en partcular MaxSAT es un problema de la clase APX-PB. Ambos problemas son centrales para la Demostracón Automátca de Teoremas (DAT) y para la teoría de la compledad computaconal, por lo que es mportante realzar un análss a detalle de estos dos problemas. En la sguente seccón se hará una descrpcón general de estos problemas y posterormente, en el sguente capítulo, se presentará un análss extenso de algortmos aplcados en la resolucón de ellos. 1.3 Problemas SAT y MaxSAT El problema de decsón asocado al problema de satsfactbldad (SAT) de una fórmula proposconal en forma normal conuntva, puede expresarse como: Notacón: Asgnacón: Lteral: Frase: Cláusula: Instanca: Un conunto U = { u 1,..., u n } de varables booleanas y una coleccón F = { C 1,..., C m } de cláusulas defndas sobre U. Pregunta: Exste una asgnacón de valores de verdad a los elementos de U, que haga que todas y cada una de las cláusulas de F tomen valor verdadero? Es una funcón t: U { Falso, Verdadero }. Las constantes Falso, Verdadero o una expresón de la forma u o u, donde u es elemento de U. Es una conuncón de lterales F = l 1... l. Una frase es verdadera s todas sus lterales lo son. Es una dsyuncón de lterales, C = l 1... l. Una cláusula es verdadera s alguna de sus lterales lo es. Forma normal conuntva (FNC): Es una conuncón de cláusulas. Una -FNC, N, es una FNC con exactamente lterales en cada cláusula. Forma normal dsyuntva (FND): Es una dsyuncón de frases. Una -FND, N, es una FND con exactamente lterales en cada frase. Proposcón 1.1: Toda fórmula proposconal es lógcamente equvalente a una FNC, y de hecho, la FNC equvalente es algorítmcamente calculable [GaJ87] Una FNC F es satsfactble s y solo s exste una asgnacón de valores de verdad para U, que smultáneamente satsfaga a cada una de las cláusulas en F. 17

22 Por eemplo, una nstanca específca del problema SAT puede ser la sguente fórmula F, sobre la que se cuestona s es o no satsfactble: F (x 1,..., x 7 ) = ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 3 x 4 ) ( x 5 x 3 ) ( x 5 x 6 ) ( x 1 x 6 x 7 ) ( x 5 x 7 ) (x 2 ) ( x 3 x 7 ) La fórmula anteror es satsfactble con la asgnacón: t(x 1 ) = t(x 3 ) = t(x 5 ) = t(x 6 ) = Falso ; t(x 2 ) = t(x 4 ) = t(x 7 ) = Verdadero ; Toda asgnacón que satsface a una fórmula F se dce que es un modelo para F. El problema SAT consste en decdr, s dada una fórmula F de entrada, que sn pérdda de generaldad puede suponerse en FNC (de acuerdo a la proposcón 1.1), se determne s acaso exste una asgnacón de U que haga que F tome el valor verdadero. F = { C 1,..., C n } - Conunto clausular ALGORITMO PARA ALGORITPARA SAT F es satsfactble F no es satsfactble SI NO Fgura 1.3 Planteamento del problema SAT El prmer problema que se demostró ser NP-Completo fue el problema SAT [CoS71]. Coo utlzó el problema SAT para delmtar la clase de los problemas NP-Completos. SAT es el clásco problema ntratable, lo que sgnfca que todos los algortmos hasta ahora presentados requeren de mucho tempo de cómputo o de mucho espaco para su resolucón en la práctca, excepto quzás, para algunos casos trvales. Es una pregunta aberta hasta ahora, demostrar s acaso SAT podría ser un problema tratable, es decr, saber s se podrán construr algortmos que resuelvan SAT de manera efcente (en tempo polnomal). Otro problema que se ha demostrado ser ntratable, es la versón de optmzacón para el problema de satsfactbldad, conocdo como el problema de máxma satsfactbldad MaxSAT, que consste en encontrar una asgnacón a las varables que maxmce el número de cláusulas que se satsfacen smultáneamente. Por eemplo, s el conunto orgnal de cláusulas es nsatsfactble, entonces MaxSAT busca conocer la asgnacón de valores vertatvos que permtan que un número máxmo de cláusulas se satsfagan smultáneamente. MaxSAT es NP-Completo aún cuando cada cláusula contenga a lo más dos lterales (Max-2-SAT) [GaM76]. 18

23 Uno de los puntos mportantes al trabaar con los problemas SAT y MaxSAT, es el que, como representantes de clases de compledad, el hallar meoras a los algortmos que los resuelvan, mplca que tales meoras pueden extenderse al tratar a los demás problemas de su clase de compledad. Por eemplo, s se hallase un algortmo determnsta de compledad polnomal en tempo para resolver SAT, entonces todo problema de la clase NP podría resolverse por algortmos determnstas con compledad de tempo polnomal, y de hecho, entonces P = NP. El problema a tratar en esta nvestgacón es el problema MaxSAT, así, en el sguente capítulo se proponen dversos algortmos, todos ellos basados en la técnca de búsqueda local para el tratamento de este problema y en el capítulo III se presentan dversos elementos para el análss de las propuestas realzadas. 19

24 Capítulo II Propuestas algorítmcas para la resolucón del problema MaxSAT 2.1 Técnca de búsqueda local Entre los procedmentos de aproxmacón, una técnca que ha resultado efcente para hallar una asgnacón que satsfaga a una fórmula satsfactble, es la técnca de búsqueda local [GuJ93]. Para aplcar la búsqueda local a un problema partcular es necesaro especfcar el crtero de vecndad a un punto, la funcón obetvo y un procedmento que permta obtener los puntos ncales de búsqueda. En general, todos los algortmos a presentar aquí, se pueden analzar a partr de la estructura <S 0, f, H>, donde: S 0 - procedmento para generar el punto ncal de búsqueda, f - funcón obetvo, H - métrca que defne la dstanca entre puntos del domno. En cada uno de los algortmos a presentar, el procedmento de búsqueda opera sobre el espaco dscreto de posbles asgnacones de la fórmula de entrada, se usa como punto ncal de búsqueda un punto del domno generado aleatoramente, y como métrca entre puntos del domno se usa la dstanca conocda con el nombre de Hammng, que denotaremos con H. Denotemos con N(x) la vecndad del punto x, N(x) se calcula como: N(x) = {y en el domno / H(x,y)=1}. Es decr, dos puntos del domno son vecnos s dferen sus cadenas de bts en a lo más un bt. Para una constante d, la d-vecndad a un punto x, es el conunto de puntos del domno que dferen de x (bao la métrca H) en a lo sumo d-bts. Entonces, un d-vecno de una asgnacón dada es el conunto de todas las asgnacones donde camba el valor lógco de a lo más d varables. Se presenta en la fgura 2.1 un algortmo de búsqueda local conocdo como GSAT [GuJ94]. Este algortmo muestra como se verfcan todos los vecnos de una certa asgnacón T (generada aleatoramente) buscando un valor que satsfaga a una fórmula F, s después de repetr esta búsqueda durante un certo número de teracones (determnado desde el nco del proceso), tal asgnacón no se encuentra, entonces se envía un mensae que ndca que no se encontró una asgnacón de satsfactbldad, y en cambo, regresa el número máxmo de cláusulas que logró satsfacer de manera smultánea. Para un punto x, denotamos por com(x,) al complemento de x en la dreccón, a saber, a la asgnacón que concde con x salvo en la -ésma entrada, en donde tene asocado el complemento de (x). Dada una d-vecndad a un punto x, el algortmo de búsqueda local puede decdr verfcar en cada uno de los d-vecnos del punto y de ellos escoger el que produzca un meor valor de acuerdo a la funcón obetvo f, o solamente buscar hasta encontrar una 20

25 asgnacón que meore el valor de f. En todos los algortmos mplementados, se elgó la estratega de pasar nmedatamente a un vecno que meora la funcón obetvo, en lugar de revsar por un óptmo de la vecndad, ya que en la práctca, se ha vsto que ambas estrategas alcanzan smlares aproxmacones, pero sn embargo, la prmera de éstas estrategas, reduce la compledad del tempo promedo del algortmo. Procedure GSAT() begn m = 0; for (=1; <=MAX-INTENTOS; ++) begn S := Una asgnacón generada aleatoramente for (=1; <=MAX-FLIPS; ++) begn f S satsface F then return (S, F ) S := com(s, ) m := max{m, # de cláusulas satsfechas por S} end end return ( Número máxmo de cláusulas que se logró satsfacer es:, m) end Fgura 2.1 Pseudocódgo del algortmo de búsqueda local [GuJ94]. 2.2 Búsqueda local aplcada al problema SAT y MaxSAT Como funcón obetvo se puede usar el polnomo que se obtene de artmetzar la fórmula booleana F. Sea F la fórmula en FNC, entonces: F = l 1 m 1 lc El polnomo que codfca a F, y que es funcón obetvo en la búsqueda local es: f = m l c = 1 = 1 m( l ) con m(l ) = (1 - l ) s l = x, y m(l ) = l s l = x. Así por eemplo, s F( x1, x2, x3) = ( x1 x2) ( x1 x2 x3), el polnomo que codfca a F es: f px ( 1, x2, x3 ) = ( 1 x1) x2 + x1( 1 x2)( 1 x 3). 21

26 Para una asgnacón dada, el polnomo f cuenta el número de cláusulas que son nsatsfechas por la asgnacón. Así pues, decdr la satsfactbldad de F es propamente equvalente a mnmzar f. Entonces F es satsfactble s y sólo s el mínmo de f sobre el domno de asgnacones de F es cero. Una explcacón más ampla del proceso de artmetzacón se puede ver en [DeG95]. Entrada: Salda: F - fórmula booleana, con n - No. de Varables, m - No. de cláusulas. xv - asgnacón hallada, Valor = número de cláusulas que logró satsfacer. Varables globales: Iter = Número de teracones, MAX_ITER = Cota que ndca el número máxmo de teracones a realzarse. Procedure LS() begn x = AsgnaconAleatora(); /* Se obtene una asgnacón aleatora */ Valor = f(x); /* Aplca funcón obetvo a la asgnacón x */ Iter = 1; whle (Valor < m) and (Iter < MAX_ITER) do begn Iter = Iter + 1; whle (!SenaMn) begn /* Cclo prncpal */ SenaMn = VERDADERO; /* Supóngase haber llegado a un mínmo */ for (=1; <=; ++) begn /* - posbles cambos de bts */ f (f(com(x,)) > Valor) begn /* Se meoró a MaxSAT? */ x = xv = com(x, ); /* Intercambo del -ésmo bt de x */ Valor = f(x); /* Cambar valor de la meor asgnacón */ SenaMn = FALSO; /* Segur buscando */ end end end end return(xv, Valor); /* Regresa meor asgnacón y su valor */ end Fgura 2.2 Búsqueda local obva. La búsqueda local mplementada (LS) comenza a partr de un punto ncal x 0 construdo de forma aleatora, se determna la vecndad del punto actual de búsqueda N(x ), y aplca un proceso teratvo tal que en cada teracón se obtenga un nuevo punto x +1 en N(x ) de manera que f(x +1 )< f(x ) (o, alternatvamente, f(x +1 )>= f(x ) s se tratase de maxmzar), s tal punto exstese, y en tal caso, éste se converte en el nuevo punto solucón y se retera el proceso. En otro caso, se retene a x como óptmo local. Un algortmo con este mecansmo de búsqueda se observa en la fgura