8. Espacio vectorial con producto escalar

Transcripción

1 Depto de Álgebra, curso Espaco vectoral con producto escalar Productos escalares Ejercco 8 Demuestre que s P es una matrz nvertble n n sobre C y P es su matrz traspuesta conjugada entonces la aplcacón sguente es un producto escalar, C n C n C, v,w v P Pw Ejercco 8 Determne qué propedades de un producto escalar satsfacen las sguentes aplcacones: Consdérense el espaco vectoral V = K[x] y un escalar α K, V V K, p, q pqα Sea V = M n n, K el espaco vectoral de matrces n n sobre K, V V K, n A,B a b S K = R y V es el espaco vectoral de funcones contnuas [, ] R, V V R, f, g = f xg xd x Ejercco 8 Demuestre que una matrz D dagonal real n n defne un producto escalar, R n R n R, v,w v t Dw, s y solamente s todos los números de la dagonal son reales y postvos Norma Ejercco 84 Para los vectores calcule x= 4,y= + 4 x, y, x y, y x C4, Ejercco 85 Sean a,, a n,b,,b n,c,,c n números reales, con c > para todo =,,n Pruebe que la aplcacón defnda en R n R n como es un producto escalar a a n b b n n = c a b Deduzca, medante la desgualdad CBS aplcada a este producto escalar, que = n n n c a b c a c b = = = Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 88

2 Depto de Álgebra, curso 7-8 Ejercco 86 Sean a, b, c números reales postvos Con el producto escalar estándar en R, aplque la desgualdad CBS a los vectores v= a+ b+ c a+ b a+ c b+ c yw= Deduzca que a+ b a+ b+ c + a+ c a+ b+ c + b+ c a+ b+ c 6 Ejercco 87 Sean a, c R Consderemos la matrz D = y el producto escalar en R defndo por v w =w t D t Dv Aplque la desgualdad CBS a los vectores a, c para deducr que ac+ a+ c+ a + a+ c + c+ Ejercco 88 Sea f EndV, con V un espaco vectoral con producto escalar S exste c R,< c < tal que f v c v para todov V, entonces f + d V es nyectva Ejercco 89 Sea A n n una matrz compleja hermtana no nula Pruebe que A k O para todo entero postvo k Ejercco 8 Sea V = M n n, K el C-espaco vectoral de matrces n n sobre C, donde defnmos V V K, A,B trazaa B= Pruebe que es un producto escalar y A = n = n j= a j Ortogonaldad n = j= n a j b j Ejercco 8 Con el producto escalar estándar, determne cuáles de los sguentes pares de vectores son ortogonales en el espaco ndcado,,4 t y,, t en R,+,, t y,+,, t en C 4,,,4 t y 4,,, t en R 4 4 +,, t y,, t en C Ejercco 8 Calcule dos vectores untaros que sean ortogonales a, t Ejercco 8 Consderemos en R 4 el conjunto de vectores w =,w =,w = Con el producto escalar de R 4, verfque que estos vectores son mutuamente ortogonales Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 89

3 Depto de Álgebra, curso 7-8 Calcule un vectorw 4 no nulo tal que {w,w,w,w 4 } sea un conjunto ortogonal Transforme dcho conjunto en una base ortonormal de R 4 Ejercco 84 Calcule las coordenadas del vectorx=,, t R respecto de la base ortonormal B=,, 6 Ejercco 85 Pruebe que el sguente conjunto B es una base ortonormal de R, y escrba el vectorv como combnacón lneal de los vectores de dcha base: 6 B=, 6,,v= Ejercco 86 Consderemos en V = R los vectores 6 u =,u = Calcule un producto escalar en V tal que B= {u,u } sea una base ortonormal Ejercco 87 Se consdera el espaco vectoral { a b V = c y la aplcacón ϕ : V V R defnda por ϕx, Y =trazax t Y Demuestre que ϕ es un producto escalar Se consdera la base de V, { C = U = Es C una base ortonormal de V respecto de ϕ? Matrces untaras } a,b,c R M,R,U =,U = Ejercco 88 Calcule una matrz ortogonal que tenga a los vectoresu,u como sus prmeras columnas, donde u = Ejercco 89 Seav n un vector no nulo La matrz,u = 5 Hv=I n v v v v de orden n se denomna matrz o transformacón de Householder del vectorv S H es una matrz de Householder, entonces es untara, hermtana, e nvolutva H = I Esto es, 5 H = H = H } Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 9

4 Depto de Álgebra, curso 7-8 Sx n es un vector cuya prmera componente x, y s { s x es real, u=x±µ x e, donde µ= x / x s x no es real, se usa para construr la matrz de Householder Hu, entonces Hux= µ x e Ejercco 8 Sea J n la matrz cuadrada de orden n con todos sus elementos guales a Pruebe que la matrz I n n J n es ortogonal Sea H n la matrz cuadrada de orden n cuyas flas son de la forma H n = n, H n k = kk k k, k n Pruebe que H n es ortogonal Sea Ĥ la submatrz de H n formada por las últmas n flas Pruebe que Ĥ Ĥ t = I n y Ĥ t Ĥ = I n n J n Las matrces H n se denomnan matrces de Helmert y se utlzan en dseños de expermentos Ejercco 8 Sea A una matrz real antsmétrca, es decr, A t = A Pruebe que nulli + A= y deduzca que exsten I + A y I A I AI + A = I + A I A U = I AI+ A es ortogonal Ejercco 8 Sean U y V matrces untaras del msmo orden Pruebe que el producto UV es una matrz untara Medante un ejemplo con matrces, calcule matrces untaras cuya suma no sea untara Ejercco 8 Determne las condcones sobre los números reales α y β para que la matrz α+β β α P = α β β+α sea ortogonal Determne las condcones sobre los números reales α y β para que la matrz sea untara U = α β α β β α β α Ejercco 84 Sea x un vector real de n componentes y x = y partmos x en la forma x x= ˆx, donde ˆx es de orden n Pruebe que s x entonces la matrz x ˆx t P = ˆx I α ˆx ˆx t, donde α= x es una matrz ortogonal Deduzca de lo anteror un método para extender un vector untaro a una base ortonormal Ejercco 85 Calcule una base ortonormal de R 4 que contenga al vector untaroa=,,,t Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 9

5 Depto de Álgebra, curso 7-8 Ejercco 86 Sea n> yw R n un vector untaro con todas sus componentes postvas Sea k < n y escrbamos u w = v, dondeu R k yv R n k Sea a= v u y defnmos el vector en Rn dado por w = au a v Pruebe quew w y es untaro Descrba un procedmento que de forma smlar se aplque a los vectores au y a v y permta construr una base ortonormal de vectores {w,w,,w n } Ejercco 87 Sea A una matrz real de orden n tal que la suma de los cuadrados de los elementos de cada fla es gual a y que cada fla es ortogonal a las demás Pruebe que la suma de los cuadrados de los elementos de cada columna es gual a y que cada columna es ortogonal a las demás Método de Gram-Schmdt Ejercco 88 Calcule, medante Gram-Schmdt, una base ortonormal del espaco de columnas de la matrz A= 4 Ejercco 89 Consderemos la aplcacón f lneal defnda por la matrz respecto de la base estándar de R Calcule una base ortonormal de nulla Amplíe dcha base a una base ortonormal B de R Calcule la matrz de f respecto de la nueva base B 4 A= Ejercco 8 Aplque Gram-Schmdt para calcular una base ortonormal del espaco L= x,x,x, donde x =,x =,x = Ejercco 8 Aplque Gram-Schmdt para calcular una base ortonormal en C del espaco S = x,x,x, donde x =,x =,x = Ejercco 8 Calcule una base ortonormal del espaco de columnas de la matrz A= Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 9

6 Depto de Álgebra, curso 7-8 Ejercco 8 Aplque el proceso de Gram-Schmdt a a =,a =,a = Ejercco 84 Calcule, medante Gram-Schmdt, una base ortonormal del espaco de columnas de la matrz A= 4 9 Ejercco 85 Consderemos la aplcacón f lneal defnda por la matrz A= respecto a la base estándar de R Calcule una base ortonormal de nulla Amplíe dcha base a una base ortonormal B de R Calcule la matrz de f respecto de la nueva base B Ejercco 86 Consderemos la matrz Calcule B una base ortonormal de nulla Calcule B una base ortonormal de ColA A= 5 Consderemos L el espaco vectoral generado por B B Pruebe que L R 4 Ejercco 87 En R 4 consderamos los vectores w = 6,w = 4 4,w = 5 5/ Medante Gram-Schmdt, construya una base ortonormal del subespaco vectoral w,w,w Calcule una base ortonormal de R 4 que contenga a dcha base Ejercco 88 Calcule una base ortonormal de nulla, donde 6 A = 4, A = 5 4 [ ] A =, A 4 = A 5 =, A 6 = Ejercco 89 Calcule una base ortonormal del espaco de columnas de la matrz /,, Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 9

7 Depto de Álgebra, curso 7-8 Ejercco 84 Calcule una matrz ortogonal o untara que ncluya a los sguentes vectores ortonormales en sus columnas:,, t,,, t 6 5 4,t, t Ejercco 84 Consderemos las matrces A=,B = Calcule una base ortonormal de cada uno de los espacos de columnas Ejercco 84 Sea V, un espaco vectoral euclídeo y B = {u,u,u,u 4,u 5 } una base ortonormal Consderemos el endomorfsmo defndo con respecto a B por la matrz A= b /5 4/5 b 4/5 /5, con b R Sus autovalores son λ =,λ = ,λ = λ, de multplcdades algebracas,,, respectvamente Calcule la forma canónca compleja de A y una base canónca según los valores de b Determne para qué valores de b la matrz A es ortogonal Consderemos las matrces reales J = a a a a a a a a, J = a a a a a a a a Pruebe que J y J son semejantes medante una matrz ortogonal con coefcentes reales Ejercco 84 Consderemos el sstema Ax = b, donde A= 5,b= Calcule una base ortonormal del espaco de columnas de la matrz A Determne la proyeccón ortogonal debsobre el subespaco ColA Ejercco 844 Consderemos el sstema Ax = b, donde A= 4,b= 8 4 Calcule una base ortonormal del espaco de columnas de la matrz A Determne la proyeccón ortogonal debsobre el subespaco ColA Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 94

8 Depto de Álgebra, curso 7-8 Descomposcón ortogonal Ejercco 845 Calcule una base de W para los sguentes espacos: W =,,, t,,,, t R 4 W =,, t R W =,, t,,, t R Ejercco 846 Calcule el complemento ortogonal del espaco nulo de la matrz Calcule una base ortonormal del espaco L, donde L= v =,v = 7,v = Ejercco 847 Halle una base ortonormal de cada uno de los sguentes subespacos de R 4, con respecto al producto escalar estándar W =,,, t,,,, t,,,, t, W : x x + x 4 =, W = W W Halle tambén una base ortonormal de los complementos ortogonales de estos subespacos Asmsmo, calcule las coordenadas de los generadores de W respecto de su base ortonormal hallada Ejercco 848 Calcule unas ecuacones mplíctas ndependentes de los complementos ortogonales de los sguentes subespacos de R 4, con respecto al producto escalar estándar { x + x + x + x 4 = W : x x + x x 4 = x + x + x 4 = W : x + x + x 4 = x x = W : { x x + x + x 4 = x + x x + x 4 = 4 W : x x x 4 = x x + x 4 = Ejercco 849 Consderemos los subespacos vectorales de R defndos por Calcule U y V Calcule una base B de U +V U =,, t,,, t,v =,, t,,, t Sea A la matrz formada por los elementos de B Calcule una base de nulla t 4 Deduzca una base de U V, a partr de la relacón U V = U +V Ejercco 85 Consderemos los subespacos vectorales de R 4 defndos por Calcule U y V Calcule una base B de U +V 4 U =,,, t,,,, t,v =,,, t,,,, t Sea A la matrz formada por los elementos de B Calcule una base de nulla t Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 95

9 Depto de Álgebra, curso Deduzca una base de U V, a partr de la relacón U V = U +V Ejercco 85 Las matrces con la propedad A A = A A se llaman normales Tanto las matrces hermtanas como las smétrcas reales son normales Pruebe que s A es normal, entonces ColA nulla Ejercco 85 Consderemos los vectores / 6 6 / u =,u = 6 6 / / 6 Pruebe que {u,u } es un conjunto ortonormal Amplíe dcho conjunto a una base ortonormal de R 4 Ejercco 85 Calcule una base ortonormal de R que contenga a las columnas de la matrz / / Q = / / / Ejercco 854 Los sguentes enuncados se referen a vectores en R n con el producto escalar estándar Marque cada enuncado como verdadero o falso, y justfque cada respuesta S dos vectores son ortogonales, entonces forman un conjunto lnealmente ndependente S dos vectores forman un conjunto ortogonal, entonces forman un conjunto lnealmente ndependente S el vectorxes ortogonal a los vectoresuyv, entoncesxes ortogonal au v 4 Su,v y u+v = u + v, entoncesuyv son ortogonales 5 Su,v y u v = u + v, entoncesuyv son ortogonales 6 El conjunto de todos los vectores en R n ortogonales a uno dado es un subespaco vectoral de R n 7 S {v,v,v } es un conjunto ortogonal, y c,c,c R, entonces {c v,c v,c v } es un conjunto ortogonal 8 S una matrz U cuadrada tene sus columnas ortonormales, entonces UU t = I 9 Una matrz cuadrada con columnas ortogonales es una matrz ortogonal Ejercco 855 Decmos que una matrz cuadrada compleja C M n n,c es rango-hermtana s ColC=ColC Pruebe que C es rango-hermtana s y solamente s nullc=nullc Sean A,B M n n,c con r = rangoa=rangob Pruebe que s dmcola ColB=k, entonces dmcola+ ColB=r k Sean A, B M n n,c matrces rango-hermtanas Pruebe que ColA+ColB = nulla nullb 4 Sean A,B M n n,c con r = rangoa = rangob y ambas rango-hermtanas Sean W y W subespacos de C n tales que ColA=ColA ColB W,nullA=nullA nullb W Pruebe que dmw = dmw Ejercco 856 Consderemos la aplcacón lneal f : R 5 R 4 dada por la matrz A=, f v= Av Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 96

10 Depto de Álgebra, curso 7-8 Calcule una base de nulla y otra de ColA Calcule una base de nulla y obtenga una base B de R 5 que la contenga Ejercco 857 Sean A=,b= a Verfque que el sstema A t Ax= A t b tene solucón únca, que llamamosu b Pruebe que A t u es la proyeccón ortogonal debsobre ColA Sea A m n una matrz real con rangoa=n a b Verfque que el sstema A t Ax= A t b tene solucón únca, que llamamosu c Pruebe que A t u es la proyeccón ortogonal debsobre ColA Ejercco 858 Sea V, un C-espaco vectoral de dmensón 4 con producto escalar y T = {v,v,v,v 4 } un conjunto ortogonal en V Pruebe que T es una base v,v v,v 4 = v Ejercco 859 Sea V, un C-espaco vectoral con producto escalar de dmensón fnta n y W V un subespaco, con B W = {w,,w r } una base ortogonal de W Pruebe que s {w,,w r,w r+,,w n } es una base ortogonal de V, entonces {w r+,,w n } es una base de W Isometrías Ejercco 86 Sea V, un R-espaco vectoral euclídeo, donde fjamos un vectory V no nulo Defnmos la aplcacón f y : V V dada por f y v= v+ v y y y y Pruebe que f y es una sometría y calcule f y Ejercco 86 Sea V,, un espaco vectoral euclídeo, con dmv = n S W V es un subespaco vectoral no trval, expresamos cadav V comov=v +v, dondev W,v W Defnmos la aplcacón s W : V V como s W v=v v Pruebe que s W es una sometría Dadoa V no nulo, se defne hv= v+ v a a a a Pruebe que h= s W para W = a Ejercco 86 Sea W el R-espaco vectoral formado por las matrces A M,R tales que A t = A matrces antsmétrcas Pruebe que dmw = Defnmos A B = trazaab t Pruebe que es un producto escalar en W Sea V = R con el producto escalar estándar y f : V W defnda como Pruebe que f es una sometría f : a b c c b c a b a Ejercco 86 S f : V W es un homomorfsmo de espacos vectorales euclídeos de dmensón fnta, sabemos que son equvalentes las condcones de f sometría y f sometría e somorfsmo Sn embargo, esto no es certo en espacos de dmensón nfnta Consderemos V = C[,], donde defnmos el producto escalar f g V = f xg xx d x, y W = C[,] con el producto escalar f g W = f xg xd x Sea F : V W el homomorfsmo defndo por F : f x x f x Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 97

11 Depto de Álgebra, curso 7-8 Pruebe que F es una sometría Pruebe que la funcón f x= x + no pertenece a la magen de F, por lo que F no es somorfsmo Ejercco 864 Sean V = M n n,r y W = R N, con N = n Consderamos en V el producto escalar defndo por A B = trazaa t B y en W el producto escalar estándar Pruebe que s A= a j V, entonces A =,j a j Sea Q una matrz ortogonal de V Pruebe que AQ = Q A = A Defnmos la aplcacónφ : V W dada porφa=veca, donde veca es el vector de W que se obtene aplando las columnas de A Pruebe queφes una sometría Ejercco 865 Sea V, un espaco vectoral euclídeo de dmensón n yu Entonces V = u u y cada vector v V se descompone como v =u +u, con u u,u u = W Defnmos la sometría s W : V V como s W v = u u, que además verfca s W v=v v u u u u Pruebe las sguentes propedades de s W s W es una sometría de determnante gual a s W tene el autovalor con multplcdad n y el autovalor de multplcdad No tene, por tanto, más autovalores Exste una base ortonormal B de V tal que M B s W = I n 4 Exste una descomposcón V = U U, donde U = kerd V s W,U = ker d V s W 5 s W s W = d V 6 S n= y f : V V es una sometría de determnante gual a, entonces exsteu tal que f = s W para W = u 7 S n= y g : V V es una sometría de determnante gual a, entonces g = s W s W para certos W = u,w = u 8 Sea U V un subespaco vectoral con dmu = y f : U U una sometría de determnante gual a Prolongamos a un endomorfsmo f : V V defndo como { f v= f v sv U, v sv U, y se extende por lnealdad Pruebe que f es una sometría de V, con autovalor de multplcdad n y autovalor con multplcdad Ejercco 866 Sea V = R con el producto escalar estándar Encuentre un homomorfsmo f : V V, que no sea sometría, tal que para cualquer base ortogonal B= {u,u } de R se verfca que {f u, f u } es una base ortogonal Ejercco 867 Sea A la matrz compleja A=, y f : C C el homomorfsmo defndo por f v= Av Consderamos el producto escalar estándar en C Es f una sometría? Es f byectvo? Sea V, un R-espaco vectoral con producto escalar de dmensón fnta y f : V V una sometría Sea W V un subespaco nvarante, es decr, f W W Pruebe que f W =W Demuestre que W tambén es un subespaco nvarante Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 98

12 Depto de Álgebra, curso 7-8 * Mínmos cuadrados Ejercco 868 Halle la proyeccón ortogonal debsobre v,v,v, sendo b=, v =, v =, v = Ejercco 869 Sea V, un espaco vectoral de dmensón fnta con producto escalar, W V un subespaco vectoral y v V un vector fjado S B W = {w,,w r } es una base ortogonal del subespaco W, defnmos Pruebe que v p W v W p W v= w v w w + + w r v w r w r Demuestre que sw W, dstnto de p W v, entonces v w > v p W v Ejercco 87 Consderemos C n con la estructura euclídea natural, A m n una matrz yb K n un vector Llamamos solucón mínmo cuadrátca del sstema Ax=b a un vectoru C n que haga mínma la norma Au b, o lo que es equvalente, que mnmce Au b Au b Pruebe los sguentes resultados: Las solucones mínmo cuadrátcas del sstema A m n x=b concden con las solucones del sstema A Ax= A b, que es compatble Este sstema de ecuacones recbe el nombre de ecuacones normales S A es de rango pleno por columnas, esto es, rangoa = n, entonces exste una únca solucón mínmo cuadrátca determnada porx=a A A b Ejercco 87 Consderemos el sstema Ax = b, donde A= Calcule las solucones mínmo cuadrátcas del sstema Ejercco 87 Consderemos el sguente conjunto de datos: Calcule la recta y = α + α t de mejor ajuste Calcule la parábola y = α + α t+ α t de mejor ajuste,b= t,,5,,5, y,,,,,4 Ejercco 87 Consderemos un problema de ajuste por mínmos cuadrados Ax = b, donde la matrz A es de la forma t t A=,tel vector con los datos expermentales,, t t j, j t n Estude la forma de los coefcentes de la matrz de coefcentes del sstema de ecuacones normales Hacemos el cambo y = s t E[y], donde s es la desvacón estándar muestral o de la poblacón, según se quera, para calcular el ajuste α +α y = b Determne los coefcentes de la nueva matrz del sstema de ecuacones normales Ejercco 874 Ajuste el sguente conjuntos de datos: t b Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I 99

13 Depto de Álgebra, curso 7-8 con una aproxmacón lneal, sn centrado prevo y con centrado Ejercco 875 Sea A una matrz de orden m n y b R n Pruebe que x es una solucón mínmo-cuadrátca del sstema Ax=b s y solamente sx es una parte de una solucón del sstema amplado Im m A A t n n x x b = No es extraño encontrar problemas de mínmos cuadrados en los que la matrz A es muy grande pero contene muchos ceros Para esta stuacón, el anteror sstema amplado contendrá menos entradas no nulas que el sstema de ecuacones normales, y evtará los problemas de memora que suelen dar los algortmos de resolucón Además, se evta el cálculo de A t A que, como sabemos, puede producr problemas de mal condconamento Ejerccos de Álgebra Lneal y Geometría I