E. P. E. T. N 20 CUADERNILLO DE MATEMÁTICA TERCER AÑO PROFESORAS: JIMENA CARRAZCO MARÍA ANGÉLICA NETTO

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1 E. P. E. T. N 0 CUADERNILLO DE MATEMÁTICA TERCER AÑO PROFESORAS: JIMENA CARRAZCO MARÍA ANGÉLICA NETTO

2 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Undad N I: Epresones algebracas PROGRAMA DE MATEMÁTICA 0 TERCER AÑO Revsón: operacones con polnomos. Regla de Ruffn. Teorema del resto. Factorzacón de polnomos. Epresones algebracas fracconaras: smplfcacón. Operacones: suma, resta, multplcacón y dvsón. Ecuacones fracconaras de prmer grado. Undad N II: Números reales Revsón de las propedades de la potencacón y la radcacón de números reales. Números rraconales. Etraccón de factores. Reduccón a mínmo común índce. Multplcacón y dvsón de radcales. Suma algebraca de radcales. Raconalzacón de denomnadores. Eponente raconal. Operacones combnadas. Undad N III: Números complejos Necesdad de su creacón. Propedades y gráfco. Formas: cartesana, bnómca, polar y trgonométrca. Representacón gráfca. Operacones: suma, resta, multplcacón y dvsón. Ejerccos y problemas de aplcacón. Undad N IV: Funcones y ecuacones de segundo grado Revsón: funcón lneal: pendente y ordenada al orgen. Representacón gráfca y análss (Domno, Imagen, raíz, crecmento). Ecuacón de segundo grado completa e ncompleta. Ceros o raíces. Propedades de las raíces. Reconstruccón de la ecuacón de segundo grado. Ecuacón factorzada. Problemas de aplcacón. Funcón de segundo grado: gráfca. Formas polnómca, factorzada y canónca. Pasaje de una forma a otra. Coordenadas del vértce. Raíces reales y complejas. Domno e magen. Eje de smetría. Parámetros. Intervalos de crecmento. Interseccón con otras funcones. Problemas de aplcacón. Undad N V: Matrces Defncón. Tpos de matrces. Operacones y propedades. Matrz dempotente. Trasposcón de matrces. Determnantes. Regla de Cramer. Problemas de aplcacón. Undad N VI: Funcones trgonométrcas Funcones trgonométrcas: ampltud, período, ángulo de fase, ceros, domno, magen. Representacón gráfca de las funcones: seno, coseno y tangente. Resolucón de trángulos oblcuángulos. Problemas de aplcacón. Págna de

3 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO UNIDAD Nº I - EXPRESIONES ALGEBRAICAS ) Etraer factor común: a) + b) 7 + c) d) 8 y y e) 9y + y y y f) a + b c g) ) Descubran cuales de las sguentes epresones algebracas son dferencas de cuadrados y a las que lo sean eprésenlas como producto de la suma por la dferenca de las bases: a) b) 9 c) 9 0 d) + 9 e) + 8 f) 9 y b) h) a ) 9 + ) Epresen los sguentes trnomos como cuadrados de bnomos cuando sea posble: a) + + b) 9 c) 8 + d) e) 9a + ab + b f) + g) + 9 h) + y + y Suma y resta de potencas de gual eponente: P () n a n Dvsor/es n mpar n + a n ( + a) n - a n ( - a) n par n - a n ( + a) ( + a) n + a n No tene dvsores de la forma ( a) ) Tenendo en cuenta la tabla anteror factoreen los sguentes polnomos: a) P () 7 + b) P () c) P () - d) P() - 8 e) P () 8 + Págna de

4 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Págna de ) Factorcen los sguentes polnomos: a) b) + c) d) e) + + f) g) + h) + ) 9 + j) + k) 7 l) - + m) 8 00 n) + o) p) + q) m + 9m n + 8m n + 8n r) m 8 y s) 0y + y t) ( y) ( y) + u) + ) Smplfca las sguentes epresones: a) 8 b) c) 7) Resuelve las sguentes epresones algebracas: a) b) c) d) + + e) 0 f) g) 8 0 h) ) 9 9 j) k) l) 9

5 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO 8) Indquen la condcón de estenca y resuelvan las sguentes ecuacones: a) + + b) c) + + d) + e) f) + 9 UNIDAD Nº II - NÚMEROS IRRACIONALES ) Completar la sguente tabla: - 0 π N Z Q R I ) Etraer factores del radcal: ) Resolver las sguentes sumas a) a a) b) 7 y 8 c) a b 7 d) z 8 b) 8 + c) 80 d) e) 7 8 a e) n f) n f) 0, 8 g) a (a + a ) h) a b c 0,0 87 0,000 g) h) ) j) ) Resolver las sguentes multplcacones y dvsones de radcales: a) b) a c) a d) a 8 ³. a 7. 8 : a. a f) ay g). 7. b y : 9. y a Págna de

6 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO e) 7y. 9 y h) ( 7 + ) : 8 y y 0 y y z 8 y ) Raconalzar los denomnadores: a) b) c) d) f) a + a g) ab h) a ) a e) ) Resolver: j) a a a) ( )² d) ( + ).( - ) b) ( + )² e) ( - )³ c) ( 0 )² 7) Hallar el valor del perímetro y de la superfce de un rectángulo dadas las meddas de sus lados en cm: Base: - Altura: 9 + 8) Resolver aplcando propedades de la potencacón: a) :. b) 0, : 0 : 00 0 c). d).. e) : (. )². 9) Resolver las sguentes stuacones: a) Calcular el perímetro de un trángulo cuyos lados mden:, y. b) Calcular la hpotenusa y el área de un trángulo rectángulo cuyos catetos mden: y c) Calcular la dagonal de un rectángulo cuyos lados mden: y. Además calcular el perímetro y el área. d) En un cuadrado cuya dagonal mde, calcular el perímetro y el área. e) Calcular la dagonal de un cuadrado de lado f) Calcular el valor del perímetro y de la superfce de un trángulo sósceles sabendo que la base es de cm y cada uno de los lados guales mden cm. Págna de

7 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO UNIDAD Nº III - NÚMEROS COMPLEJOS ) Epresar los sguentes números complejos en forma bnómca, trgonométrca y polar: Representar gráfcamente. a) Z (; ) b) Z ( ; -) c) Z (- ; ) d) Z e) Z ( ; ) f) Z ) Calcular las sguentes sumas algebracas: a) ( + ) + ( +) b) ( ) + c) + (- + ) d) ( ) + ( + ) e) ( ) ( + ) f) ( + ) ( ) h) g),, ) j) 8 k) ) Calcular los sguentes productos: a) ( ) (- + ) b) ( + ) (- ) c) d) e) f) 9 g) 8 ) h) j) Págna 7 de

8 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Págna 8 de ) Calcular los sguentes cocentes: a) b) c) d) e) f) g) h) ) j) k) ) Calcular las sguentes potencas: a) 8 b) c) 8 d) 87 e) 9 7 f) 0 0 g) 9 0 ) Resolver las sguentes epresones: a) b) c) d) 7) Hallar el valor de C que satsface las sguentes ecuacones: a) 0 b) 8 c) d)

9 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO UNIDAD Nº IV - ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO RAÍCES ) Resuelvan las sguentes ecuacones de º grado: a) 0 0 b) 7 c) 8 7 e) 9 d) 9 f f f) y ) Calculen el valor del dscrmnante y marquen con una X el tpo de raíces de f a b c a B c b ac Raíces reales guales Raíces reales dstntas No tene raíces reales a) - - b) c) - - d) 0 - e) ) Sn calcular sus raíces, ndquen el número de solucones reales (dos, una o nnguna) de cada una de las sguentes ecuacones: a) 0 b) 0, 0 0 c) 9 0 d) 0 e) 0 f) 9 0 POSICIONES RELATIVAS DE LA PARÁBOLA CON RESPECTO AL EJE DE LAS ABSCISAS. USO DEL DISCRIMINANTE ) Completen con >, < ó, según corresponda en cada caso: Págna 9 de

10 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO a) 0 b) 0 c) 0 GRÁFICA DE LA PARÁBOLA ) Identfquen según la gráfca cual es la epresón correspondente a) y b) y y y y y y y ) Representen la curva y señalen en el gráfco el vértce y el eje de smetría de cada una de las sguentes funcones cuadrátcas: a) f b) f ) Completen las sguentes oracones correspondentes a la gráfca y a) Los coefcentes de los térmnos de la funcón son a... b... c... b) El vértce de la parábola es el punto... c) El eje de smetría de la parábola es la recta... d) La ordenada al orgen de la funcón es el punto... e) Las raíces de la funcón son... y... Págna 0 de

11 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO ) Completen el sguente cuadro: Funcón a b c Raíces Vértce Eje smetría de Ordenada al orgen a) y 9 b) y c) y ) Representa gráfcamente las parábolas del ejercco anteror con los datos obtendos apromadamente. ) Hagan los cálculos necesaros y completen el cuadro: Forma polnómca Forma factorzada A b c f () - g - - h (-) (+) 7) Hallen la epresón de la funcón de segundo grado que cumple con las condcones peddas en cada caso y grafíquenla: a) Su gráfco pasa por el punto (; -); su eje tene ecuacón - y la ordenada del vértce es. b) El vértce es el punto (; ) y su ordenada al orgen es. c) Una raíz es y la otra es 0. El vértce es (; -). 8) Hallen la epresón polnómca de la funcón de segundo grado que cumple con las condcones ndcadas en cada caso. a) La suma de sus raíces es ; el producto de ambas es y tene ordenada al orgen. b) La ordenada al orgen es ; la suma de las raíces es y el producto. c) El coefcente prncpal es ; la suma de raíces es y el producto es 0. Págna de

12 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO MÁXIMOS Y MÍNIMOS 9) Completen las frases que fguran debajo de cada uno de los gráfcos: a) b) La funcón alcanza un...en ; La funcón alcanza un...en -; Crece en el ntervalo... y Crece en el ntervalo... y Decrece en el ntervalo... Decrece en el ntervalo... PROBLEMAS DE APLICACIÓN 0) Los ngresos mensuales de un fabrcante de zapatos están dados por la funcón I. 000z z, donde z es la cantdad de pares de zapatos que fabrca en el mes. Realcen el gráfco apromado de la funcón y respondan. a) Qué cantdad de pares debe fabrcar mensualmente para obtener el mayor ngreso? b) Cuáles son los ngresos s se fabrcan pares de zapatos? Y 7 pares? c) A partr de qué cantdad de pares comenza a tener pérddas? ) En el crco Mundo Rodante actúa el malabarsta Evarsto. La fórmula que permte calcular la altura en funcón del tempo que alcanzan los objetos que lanza Evarsto en su número es: Dt, t, t 0, 7, (donde D es la altura medda desde el pso, en metros, y t es el tempo, en segundos, tomado a partr del nstante en el que el objeto es lanzado). a) Confecconen el gráfco de la funcón. Págna de

13 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO b) Busquen las coordenadas del vértce. c) Cuál es la altura máma alcanzada por los bolos que lanza Evarsto? d) Desde qué altura son lanzados? ) La empresa Santagueña S.A. es una mportante productora de cestos de mmbres del mercado naconal. El costo promedo (en $) por undad al producr una cantdad de cestos es C 0 0, 0 0, 000. a) Qué número de cestos producdos mnmzaría el costo promedo? b) Cuál sería el costo promedo s se produjera dcha cantdad? ) Cuál es el tempo empleado por un móvl anmado con M.U.A. para recorrer 0 m, s parte con una velocdad ncal de V 0 cm/seg y se mueve con una aceleracón 0 de cm/seg. La fórmula para calcular la dstanca en el M.U.A. es: d V 0 t a. t ) Cuánto tarda un móvl, anmado con M.U.A., en adqurr una velocdad ( V f velocdad fnal) de m/seg, s parte con una velocdad ncal ( V 0 ) de m/seg y se mueve con una aceleracón ( a ) de 0, m/seg. La fórmula de la aceleracón es: V f v0 a. Además calcular la dstanca que recorre en ese tempo. Usa la fórmula t del ejercco anteror. ) Observen las gráfcas y completen el cuadro: Dom: Im: Raíces: a Vértce: Ordenada al orgen: Má ó Mn: Crec: y Decrec: C+ y C- Forma factorzada, polnómca y canónca. Págna de

14 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Dom: Im: Raíces: a Vértce: Ordenada al orgen: Má ó Mn: Crec: y Decrec: C+ y C- Forma factorzada, polnómca y canónca. ECUACIÓN POLINÓMICA, CANÓNICA Y FACTORIZADA ) Epresen cada una de las sguentes funcones en la forma que se pde: f en forma canónca a) f en forma polnómca f en forma polnómca b) c) d) f en forma canónca 7) Escrban las sguentes funcones en la forma más convenente, de acuerdo con los datos dados y luego hallen las epresones polnómcas de cada una. a) El vértce es (-; -) y el coefcente prncpal es a. b) Las raíces son y el coefcente prncpal es c) El vértce es (- ; ) y pasa por el punto (0 ; 7) d) Corta al eje X en ( ; 0) y (; 0) y pasa por el punto ( ; ). UNIDAD Nº V MATRICES Matrz Las matrces se utlzan en el cálculo numérco, en la resolucón de sstemas de ecuacones lneales, de las ecuacones dferencales y de las dervadas parcales. Tenen tambén muchas aplcacones en el campo de la físca. Págna de

15 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Matrces Una matrz es una tabla ordenada de escalares a de la forma a a... a n a a... a n a m a m... a mn La matrz anteror se denota tambén por A j,... m, j... n, o smplemente por (a ). Los térmnos horzontales son las flas de la matrz y los vertcales son sus columnas. Una matrz con m flas y n columnas se denomna matrz m por n, o matrz m n. Las matrces se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las msmas por mnúsculas, a, b,... Ejemplo: La sguente matrz es una matrz de : donde sus flas son (, -, ) y (0,, -) y sus columnas Ejemplo de aplcacón: -, y 0 - Clases de matrces Según el aspecto de las matrces, éstas pueden clasfcarse en: Págna de

16 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Matrces cuadradas Una matrz cuadrada es la que tene el msmo número de flas que de columnas. Se dce que una matrz cuadrada n n es de orden n y se denomna matrz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrces - A 0 - B - - Entonces, A y B son matrces cuadradas de orden y respectvamente. Matrz dentdad La matrz n-cuadrada con unos en la dagonal prncpal y ceros en cualquer otra poscón, denotada por I, se conoce como matrz dentdad (o undad). Para cualquer matrz A, A I I A A. Matrces trangulares Una matrz cuadrada A (a j) es una matrz trangular superor o smplemente una matrz trangular, s todas las entradas bajo la dagonal prncpal son guales a cero. Así pues, las matrces son matrces trangulares superores de órdenes, y. Matrces dagonales Una matrz cuadrada es dagonal, s todas sus entradas no dagonales son cero o nulas. Se denota por D dagonal (d, d,..., d nn). Por ejemplo, son matrces dagonales que pueden representarse, respectvamente, por dagonal(,-,7) dagonal(,-) y dagonal(,,0,-). Traspuesta de una matrz La traspuesta de una matrz A consste en ntercambar las flas por las columnas y se denota por A T. Así, la traspuesta de - A Es Págna de

17 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO A T En otras palabras, s A (a j) es una matrz m n, entonces A T (a T j) es la matrz n m. La trasposcón de una matrz cumple las sguentes propedades:. (A + B) T A T + B T.. (A T ) T A.. (ka) T ka T (s k es un escalar).. (AB) T B T A T. Matrces smétrcas Se dce que una matrz real es smétrca, s A T A; y que es antsmétrca, s A T - A. Ejemplo: Consderemos las sguentes matrces: - A B C Podemos observar que los elementos smétrcos de A son guales, o que A T A. Sendo así, A es smétrca. Para B los elementos smétrcos son opuestos entre sí, de este modo B es antsmétrca. A smple vsta, C no es cuadrada; en consecuenca, no es n smétrca n antsmétrca.. Fuente: "Fscanet".: Operacones con matrces Suma y resta de matrces Para poder sumar o restar matrces, éstas deben tener el msmo número de flas y de columnas. Es decr, s una matrz es de orden y otra de, no se pueden sumar n restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los térmnos que ocupan el msmo lugar en las matrces. Ejemplo: Sean las matrces: A y Págna 7 de

18 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO - B Entonces: - A + B A B Para sumar o restar más de dos matrces se procede gual. No necesaramente para poder sumar o restar matrces, éstas tenen que ser cuadradas. Ejemplo: Sean A - 0 -, B. y C A + B + C A - B + C Ejerccos: Págna 8 de

19 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO Producto de matrces Para poder multplcar dos matrces, la prmera debe tener el msmo número de columnas que flas la segunda. La matrz resultante del producto quedará con el msmo número de flas de la prmera y con el msmo número de columnas de la segunda. Es decr, s tenemos una matrz y la multplcamos por otra de orden, la matrz resultante será de orden. ( ) ( ) ( ) Se puede observar que el producto de matrces no cumple la propedad conmutatva, ya que en el ejemplo anteror, s multplcamos la segunda por la prmera, no podríamos efectuar la operacón. por, puesto que la prmera matrz no tene el msmo número de columnas que flas la segunda. Supongamos que A (a ) y B (b ) son matrces tales que el número de columnas de A concde con el número de flas de B; es decr, A es una matrz m p y B una matrz p n. Entonces el producto AB es la matrz m n cuya entrada j se obtene multplcando la fla de A por la columna j de B. Esto es, a... a p b... b j... b n c... c n a... a p c j a m... a mp b p... b pj... b pm c m... c mn donde c j a b j + a b j a p b pj Ejemplo:.. Determnantes A cada matrz n-cuadrada A (a j) se le asgna un escalar partcular denomnado determnante de A, denotado por det (A), A o a a... a n a a... a n a m a m... a mn Una tabla ordenada n. n de escalares stuada entre dos líneas vertcales, llamada determnante de orden n, no es una matrz. La funcón determnante aparecó por prmera vez en el estudo de los sstemas de ecuacones lneales. Veremos que es una herramenta ndspensable en el estudo y obtencón de éstas. Determnantes de orden uno y dos Los determnantes de orden uno y dos se defnen como sgue: a a Págna 9 de

20 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO a a a.a - a.a a a Así, el determnante de una matrz A (a ) es el propo escalar a, es decr, det (A) a a. Ejemplos: a) Dado que el determnante de orden uno es el msmo escalar, tenemos det (), det(-) -, det ( +) +. b) ().() - ().() ().(-) - (-).() -8 - (-) Determnantes de orden tres Consderemos una matrz arbtrara A (a j). El determnante de A se defne como sgue: det(a) a a a a a a a a a a.a.a + a.a.a + a.a.a - a.a.a - a.a.a - a.a.a Obsérvese que hay ses productos, cada uno formado por tres elementos de la matrz. Tres de los productos aparecen con sgno postvo (conservan su sgno) y tres con sgno negatvo (camban su sgno). Para calcular los determnantes de orden tres, el sguente dagrama puede ayudar a resolverlos: (Para los tres productos postvos) (Para los tres productos negatvos) Ejemplo: Calcular el valor del determnante: ().().() + ().(-).(-) + (0).().() - (-).().() - (0).().() - ().(-).() (-) (-) + + El determnante de la matrz A (a ) puede reescrbrse como: det (A) a (a a - a a ) - a (a a - a a ) + a (a a - a a ) a. a a a a a a - a. + a. a a a a a a Págna 0 de

21 E. P. E. T. N 0 MATEMÁTICA AÑO que es una combnacón lneal de tres determnantes de orden dos, cuyos coefcentes (con sgnos alternantes) consttuyen la prmera fla de la matrz dada. Esta combnacón lneal puede ndcarse de la forma sguente: a. a a a a a a a a a a a a - a. a a a + a. a a a a a a a a a a a a Nótese que cada matrz se obtene suprmendo en la matrz ncal la fla y la columna que contenen su coefcente. Ejemplo: Para demostrar que la propedad anteror se cumple, trabajaremos con: (8+) -.(0-0) +.(0+) Propedades de los determnantes Las propedades báscas del determnante son las sguentes: - El determnante de una matrz A y el de su traspuesta A T son guales, es decr, A A T - Sea A una matrz cuadrada, - S A posee dos flas (columnas) guales, necesaramente A 0. - S A es trangular, esto es, A sólo tene ceros por encma o por debajo de la dagonal prncpal, entonces A es gual al producto de los elementos de la dagonal. - Supongamos que B se ha obtendo de A medante una operacón elemental entre flas o columnas, - S se han ntercambado dos flas (columnas) de A, B - A. - S se ha sumado un múltplo de una fla (columna) a otra, entonces B A. - S se ha multplcado una fla (columna) de A por un escalar k, B k. A. Ejercco: cálculo de determnantes Calcular los sguentes determnantes: -, , -7, Págna de

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