Centro de Masa. Sólido Rígido

Transcripción

1 Centro de Masa Sóldo Rígdo

2 El centro de masa de un sstema de partículas es un punto en el cual parecería estar concentrada toda la masa del sstema. En un sstema formado por partículas dscretas el centro de masa se calcula medante la sguente fórmula: y m 1 r 1 r 2 m 2 r r m r mr mr m M r n m n z

3 r m r m? y m 1 r 1 r 2 m 2 r r m r n m n z

4 y r 1 r 2 r r n z r mr mr m M

5 Centro de masa de un objeto etenddo El centro de masa de un objeto etenddo se calcula medante la ntegral: y m 1 r rdm M r El centro de masa de cualquer objeto smétrco se ubca sobre el eje de smetría y sobre cualquer plano de smetría. z r

6 Movmento de un sstema de partículas S se derva respecto al tempo el centro de masa de un sstema de partícula se obtene la velocdad del centro de masa: v v dr dt m M v 1 M m dr dt El momento total del sstema es: Mv v p p m tot

7 La aceleracón del centro de masa es: a dv 1 dv 1 m ma dt M dt M De la segunada ley de Newton: Ma a m F Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton: F Ma et dp dt tot El centro de masa se mueve como una partícula magnara de masa M bajo la nfluenca de la fuerza eterna resultante sobre el sstema.

8 N F 1 F R m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3 + Ma? N 1 m a Ma CC 1 M m

9 1 M m O ben m M CC Entonces dd m dd m v M dd CC dd Mv CC dv m dd m a M dv CC dd Ma CC

10 Cuando una fuerza actúa sobre un sstema de partículas, este se comporta de forma que el centro de masas se mueve como s toda la masa del sstema de partículas estuvese concentrada en él rg m M r dr g dt 1 M m d r dt vg m M v g dv dt 1 M m d v dt ag m M a Para un sstema de partículas m 1, m 2,..., m, cada una de ellas estaría sometda a fuerzas ejercdas por las demás, por lo que se denomnan fuerzas nternas y fuerzas del eteror del sstema F nt Por la 2ª ley de Newton F F nt + F et m a F et Un objeto lanzado puede moverse de manera compleja, pero su centro de masas descrbe una parábola Por el prncpo de accón y reaccón Σ 0 F F et m a F et M a F nt G

11 El centro de masas es un punto G que se comporta como una partícula materal, en la que se concentra toda la masa del sstema, tal que su vector de poscón cumple que: rg M g r m r m r rg ( M Σ m ) M z m 1 g m M r 1 G y z g g m M m M y z m 2 r 2 r 3 rg r 4 m 4 y En los sstemas contnuos y homogéneos, el centro de masas concde con el centro de smetría del sstema m 3

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13 1 Centro de masas Z L O Z C X C C Sstema C Y C Y L Defncón: r m r m X L Sstema L Coord. cartesanas: Objetos dscretos: m m y m y m z m z m Objetos contnuos: dm dm y y z dm dm dm z dm

14 r m r m y m 3 m 4 m 2 r 4 m 5 m 1 r 1 r 6 m 6

15 ( et ) R F 0 Ma 0 r ( t) m r m m r M sstema S la F R que actúa sobre el sstema es gual 0, entonces el Centro de Masa del Sstema se mueve con v cte, o está en reposo et F R 0 V cte P sst cte

16 Ejemplo. Se tenen 3 masas guales en los vértces de un trángulo rectángulo. Calcular el vector C.M. y y h d a

17 para una dstrbucón contnua de masa: y m r r z r 1 M rdm

18 y m m m y m y m CC 0 y CC 0 y - m -y CC y CC mm + m( ) 2m mm + m( y) 2m 0 0

19 Se toman los tres cuadrláteros marcados, se calcula su centro de smetría medante el corte de sus dagonales y se concentra en dchos puntos la masa de cada placa, que se epresa en funcón de la densdad superfcal de masa σ r 1 r 2 r 3 1,5 3,5 3,5 + 2 j + 0,5 + 3,5 j j m 1 σ S 1 12 σ m 2 σ S 2 σ m 3 σ S 3 σ r G m M r 12σ (1,5 + 2 j ) + σ (3,5 + 14σ 0,5 j ) + σ (3,5 + 3,5 j ) 1,8 + 2 j r G 1,8 + 2 j

20 Objetos contnuos: dm dm y y z dm dm dm z dm y y

21 Centro de masas Ej. Objetos dscretos: 4 g (-8,2) 3 g 5 g (11,9) (10,-3) Ej. Objetos contnuos: Ej. Objetos contnuos: Ej. Objetos contnuos: 3 m 2 m 4 m

22 Smetras y y - Dsco (S) R 2R Placa (P) Placa Compuesta (C)

23 F eee F 1 + F 2 0 F 1 F 2 V 0?

24 Rotacón

25 Momento de una Fuerza (Torque) El análss del Momento de una fuerza es el análogo rotaconal de las leyes de Newton. Stuacón Equlbro (Sst. Inercal) Fuera del equlbro Lneal Las fuerzas pueden estar en equlbo o fuera del equlbro. Rotacón: los momentos pueden estar equlbrados o desequlbrados. El sstema está en reposo o se mueve con vcte. El sstema está en reposo. NO se mueve en círculos. El objeto posee aceleracon, se mueve en la dreccon de la fuerza eterna neta (resultante). El objeto posee aceleracon angular, rotando alrededor de un eje en la dreccon del momento eterno neto (resultante).

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27 τ F. r. senθ τ r. F. cosθ 0 τ r. F. senθ τ F y yf τ r F

28 τ r F A B B A

29 τ rrr τ r F 0 F 0 τ z 0 F y 0

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