[1] [1 ] Esta condición evita que haya rotación del sistema Composición de fuerzas paralelas.

Transcripción

1 Tea 4 Ssteas de partículas 4.. Estátca y equlbro Condcones de equlbro. Las condcones de equlbro conssten en que para que un sstea esté en equlbro, la fuerza total externa aplcada debe ser nula: F ext R 0 Esta condcón evta que haya traslacón del sstea. La otra condcón de equlbro es que la resultante de los oentos de las fuerzas externas sea nula: M 0 M ext Esta condcón evta que haya rotacón del sstea. [] [ ] Y 4... Coposcón de fuerzas paralelas. F r r r3 r c F R F3 La sua vectoral de los oentos de fuerza es: M M r F r uf X u Supongaos ahora un cuerpo que no está en equlbro y que tene aplcadas una sere de fuerzas paralelas (3 en la gráfca). S todas las fuerzas llevan la dreccón de un vector untaro u, se cuple que la resultante R, será: R F Ru F u [a] r F u [b] S se coloca R en la poscón adecuada r c será posble gualar su torque a M (esto es el Teorea de Vargnon). Es decr: R M [c] r c r c Al susttur en [c] las expresones halladas en [a] y [b] teneos: F u r F u, que se puede escrbr coo: r c F u r F u Esta gualdad sólo se satsface s: rc F r F, es decr:

2 r c r F F r F F r F F 4.. El centro de asas (CM) Deternacón del centro de asas. S en el apartado anteror las fuerza paralelas aplcadas son los pesos de un sstea de partículas (SP) entonces la poscón del centro de asas r del sstea vendrá dada por una ecuacón equvalente a [3] donde las fuerzas F se serán los pesos g r r g g Heos consderado los pesos coo fuerzas paralelas (perpendculares al suelo) pero en realdad son radales y drgdos haca el centro de la Terra pero para ssteas de partículas pequeños la aproxacón es buena. Se puede escrbr [4] en coordenadas cartesanas: ya que x x y y r z Para un objeto contnuo de asa M, las suatoras se converten en ntegrales: r d r [3] M M dv x x dv dv y y dv dv z z z dv dv y s el cuerpo es hoogéneo (de densdad constante en toda su extensón): x x dv dv y Para una placa de espesor unfore: x x da da y y dv dv y da da z z zdv dv zda da []

3 El cálculo de centros de asas de volúenes y placas de fora general es un problea coplejo de carácter ateátco. Exsten tablas de centros de asas para fguras típcas de y 3 densones Movento del centro de asas. S dervaos la ecuacón [] obteneos la velocdad del centro de asas: v v M y dervando de nuevo, obteneos la aceleracón del centro de asas: a a M [4] [5] Energía potencal gravtatora de un sstea de partículas. La energía potencal gravtatora de un sstea de partículas (SP) es la sa que la energía potencal que tene el centro de asas Moento lneal de un sstea de partículas Defncón del oento lneal de un sstea de partículas. El oento lneal total del sstea de partículas es la sua de todos los oentos lneales de cada partícula ndvdual: P p v Mv donde se ha utlzado [4] en la últa gualdad. El oento lneal de un sstea de partículas P es coo s toda su asa estuvera concentrada en el CM (centro de asas) y se overa con velocdad v ª ley de Newton para un sstea de partículas. dp Sabeos que Ftotal donde la fuerza total que actúa en el SP ncluye tanto a las fuerza externas aplcadas coo las fuerzas nternas entre partículas: F F total ext F nt

4 pero las fuerzas nternas entre partículas cuplen la ley de accón-reaccón (3ª ley de Newton) de odo que la fuerza que una partícula hace sobre otra es la sa que aquella hace sobre esta. Así, la fuerza que la partícula hace sobre la, es la sa que la fuerza que la partícula hace sobre la con sgno contraro: F F. Cuando se extende esta conclusón a todas las partículas veos que la sua total de las fuerzas nternas se anula: F 0 y entonces: nt dp Ma F ext R [6] Esta ecuacón es uy portante ya que ndca que el cabo de oento lneal en un SP sólo puede ser producdo por las fuerzas externas. Tabén ndca que las fuerzas nternas no pueden cabar el oento lneal del sstea y, por tanto, tapoco su poscón Conservacón del oento lneal de un sstea de partículas. dp S un sstea de partículas está aslado entonces 0 P cte decr, su CM está en reposo o se ueve con velocdad constante. ó P 0, es Ssteas de referenca: Centro de Masas y Laboratoro. Podeos fjar un sstea de referenca cuyo orgen esté en el so centro de asas del sstea de partículas que llaareos sstea de referenca centro de asas CM. A un sstea de referenca fjo y exteror al sstea de partículas le llaareos sstea laboratoro L. Las poscones y las velocdades de las partículas del sstea referdas al CM serán desgnadas por pras, r y v. Las poscones y las velocdades de las partículas referdas al sstea L serán desgnadas sn pras r y v. En el propo sstea CM el centro de asas no se ueve y, por tanto, su velocdad será nula, luego al aplcar la ecuacón [4] teneos: v 0 M esto plca que v 0

5 En el sstea CM la poscón del centro de asas es nula puesto que está en su orgen, luego por []: r 0 y entonces r 0 Debdo a lo explcado en.6, para cualquer partícula del SP se cuple la sguente relacón para las poscones: r e gual para las velocdades. v r v r v 4.4. Energía cnétca de un sstea de partículas Conservacón de la energía para un sstea de partículas. Sea dek F d Ek Ek v, y s calculaos su dferencal: v v v dv dv dr a dr F dr dw dw ext nt k dr dv que expresado en fora ntegral queda: E W W [7] ext Esta ecuacón es uy portante ya que ndca que el cabo en energía cnétca de un SP depende del trabajo efectuado tanto por las fuerzas exterores coo por la nterores (sn ebargo el cabo de oento dado por [6] sólo dependía de las exterores). S las fuerzas exterores son conservatvas, el trabajo realzado por ellas se puede expresar coo un cabo de energía potencal (cabado de sgno): E k E p nt W es decr, s exste un estado ncal y un estado fnal : E nt k E p Ek E p Wnt [7 ] que quere decr que la energía total en el estado fnal es gual a la energía total en el estado ncal ás el trabajo realzado por las fuerzas nterores.

6 4.4.. Teorea de Köng de la energía cnétca. Coo heos dcho se cuple v v v, de odo que: E k v v v v vv v Mv v v v donde el últo térno se anula v 0 0 coo vos. Luego: E k Mv v [8] expresón conocda coo teorea de Köng de la energía cnétca (prer teorea de Köng) Consecuencas del teorea de Köng de la energía cnétca. El prer térno de [8] representa la energía cnétca del CM referda al sstea L y sólo puede ser producda por fuerzas exterores. El segundo térno de [8] representa la energía cnétca de la cada una de las partículas del SP referda al CM y es producda por fuerzas nternas. Así cuando se lanza una granada y explota en el are, el prer térno representa la energía cnétca de la granada coo s no hubera explotado y el segundo térno representa la energía cnétca de los trozos respecto al CM. Cuando no hay fuerzas exterores, heos vsto en que la velocdad del centro de asas es nula o constante en el sstea L. Esto plca que en un sstea aslado (sn fuerzas exterores) sólo podrá cabar la energía cnétca relatva al CM y ese cabo es producdo úncaente por fuerzas nternas. Por ejeplo, en una granada en reposo que explota, la energía cnétca del centro de asas es nula antes y después de la explosón. Sn ebargo, las fuerzas nternas (energía quíca) producen energía cnétca en cada partícula después de la explosón. De odo que, después de la explosón, la granada (sus trozos) tene energía cnétca, es decr, el sstea de partículas ha obtendo energía cnétca procedente de las fuerzas nternas. Después de la explosón, la energía cnétca del centro de asas sgue sendo nula pero ya no lo es la energía cnétca del sstea ya que sus trozos se ueven.

7 En un sóldo rígdo (que tratareos en el próxo capítulo), las fuerzas nternas no pueden realzar trabajo ya que las dstancas entre partículas se antenen constantes. Esto plca que en un sóldo rígdo aslado no puede haber cabos de energía cnétca s no hay fuerzas exterores aplcadas Colsones. En las colsones sepre se conserva el oento lneal. Sn ebargo, la energía cnétca sólo se conserva en los choques elástcos. En los choques nelástcos hay una pérdda Q de energía (noralente en calor y elastcdad en deforacón). Se el estado antes del choque se desgna por y el estado después del choque por f: P P f (en cualquer tpo de choque) [9a] E E k k E (sólo en los choques elástcos) [9b] k f E Q (en los choque nelástcos) [9c] k f Colsones frontales (elástcas e nelástcas). Las colsones frontales son aquellas en las que los vectores velocdad de abas partículas están en la sa línea y están alneados con los centros de los cuerpos, es decr, son choques sn ángulo. Los sentdos de las velocdades pueden ser contraros, en una colsón propaente dcha, o pueden tener el so sentdo en una colsón por alcance. a) Colsón perfectaente nelástca (o plástca): Se llaa así a la colsón totalente nelástca donde los cuerpos se quedan undos después del choque. Después del choque abos cuerpos poseen a sa velocdad que es la velocdad del CM. v f v f v Y ya que sepre se cuple la conservacón de P: v v v b) Colsón elástca: Se conserva adeás la energía: v f v f v v

8 que se puede escrbr: v v v v o ben: f f v v v v v v v v f f f f [a] De la conservacón de P: v f v f v v es decr, v v v v f f [b] Dvdendo [a] entre [b] resulta: v v v v f f v f v f v v que se reordena a: [0] Esta ecuacón ndca, que para choques perfectaente elástcos, la velocdad relatva de retroceso es gual a la velocdad relatva de aproxacón cabada de sgno. Noralente los choques no todos los choques elástcos son perfectaente elástcos y exste sepre una coponente nelástca que vene dada por el llaado coefcente de resttucón e: e v f v v v f v v retorceso aproxa [] Los casos extreos son: S e = colsón perfectaente elástca. S e = 0 colsón perfectaente nelástca (plástca) Colsones no frontales (elástcas e nelástcas). Las colsones no frontales tenen lugar cuando los centros de abos cuerpos no están alenados con sus velocdades y chocan forado un ángulo. a) Colsón perfectaente nelástca (o plástca): Se conserva el oento lneal. Antes del choque el oento de cada partícula es: p v ; p v. Después del choque el oento total debe ser a la sua vectoral de abos oentos antes del choque: P p p P y coo los objetos quedan pegados: v

9 p p P p p Antes del choque Después del choque b) Colsón elástca: Sólo estudareos la stuacón ás splfcada de este tpo que es cuando una partícula está en reposo y la otra ncde sobre ella pero apuntando fuera del centro de la sa. La dstanca b entre centros edda en perpendcular a la dreccón de v, se denona paráetros de pacto. Se deben conservar las coponentes del oento lneal tanto en vertcal coo en horzontal: p (coponentes vertcales) f sn p f sn p f cos p f cos Conocdos θ y θ se puede hallar pf y pf (coponentes horzontales) v Dentro de este tpo de colsones en ángulo, en que una de las asas está parada, tene especal nterés el caso en que abas asas son guales, = =. De la conservacón del oento, teneos: v v f v f v v f v f De la conservacón de la energía: v v f v f v v f v f

10 v vf vf v vf Antes choque vf Después choque Únca posbldad Abas ecuacones de conservacón sólo se pueden cuplr s vf y vf están en ángulo recto, es decr, después del choque abas partículas tenen trayectoras perpendculares Moento angular de un sstea de partículas. Según vos en.6. ecuacón [9] se defne el oento angular de una partícula coo: LA ra v, dl y la ª ley de Newton para la rotacón (ecuacón [0]) A Extendeos el resultado a un sstea de partículas: L L r v [] y al dervar: dla A dr A A dv v r v v r a 0 donde el prer térno se anula al ser el producto vectoral de dos vectores paralelos. Pero a F ext F nt, de odo que: dla r F ext r F nt 0 el segundo térno se anula por el sguente otvo: r F nt r F r F r F r F

11 r r F 0 ya que r r es paralelo a F porque abos van el la línea de accón de la partícula a la. Es decr: dla r F ext M A [3] Esta ecuacón ndca que el cabo de oento cnétco del sstea respecto a un punto fjo A concde con el oento resultante de las fuerzas externas respecto a dcho punto Teorea de Köng del oento angular. Utlzareos el so procedento que en el teorea de Köng de le energía cnétca: r r r v v v LA LA ra v r r v v r v r v r v r v v r v r v r v r 0 donde los térnos centrales se anulan por ser v 0 0 y r 0 r M v L sendo L r v Resulta fnalente: LA r M v L [4] que es la expresón conocda coo teorea de Köng del oento angular (segundo teorea de Köng) El prer térno representa el oento angular externo relatvo al sstea L coo s toda la asa estuvera concentrada en el CM. El segundo térno es el oento angular nterno relatvo al sstea CM. Así, cuando un lanzador arroja una pelota rodando, el oento angular debdo a la rotacón está dado por L, entras que el oento angular debdo a la traslacón está dado por r v. bola

12 4.6.. Consecuencas del teorea de Köng del oento angular. S dervaos [4]: dl A dl d Mr y por [3]: dl A dl dv dr M A M v M r dl M v v r M a 0 (paralelos) pero sabeos que Ma F ext R, luego: dl M A r R M r F y sabeos que r v y ya que sabeos por [3] que A ext r r dl entonces r F ext r F ext y necesaraente se debe cuplr que: dl r F ext M [5] que es una ecuacón equvalente a [3] y representa el oento resultante de las fuerzas externas respecto al CM. Esta es la ecuacón que habtualente se utlzará (junto con la ecuacón [6]) para resolver probleas de rotacón y traslacón, y tene la partculardad que es válda aunque el CM no sea un punto fjo (coo ocurría en [3] con A)