Cantidad de movimiento. Conservación de la cantidad de movimiento

Transcripción

1 Sstea de partículas Sstea de partículas..- Introduccón..- Cantdad de ovento. Conservacón de la cantdad de ovento.3.- Movento del centro de asa.4.- Sstea de coordenadas centro de asa.5.- Poscón del centro de asa en algunos casos.6.- Sstea aslado de dos partículas: asa reducda.7.- Energía ecánca.8.- Trabajo de las fuerzas nterores. Energía de foracón.9.- Trabajo y energía en un sstea aslado de dos de partículas.0.- Descrpcón energétca de un sstea de partículas..- Introduccón Los capítulos anterores han tratado del ovento y las nteraccones de una partícula. La segunda ley de Newton, F = a, da la relacón entre el ovento de la partícula y sus nteraccones. Noralente es convenente el estudo de ssteas ás coplejos: gases, líqudos, ssteas de sóldos,...; quereos poder explcar o predecr el ovento de tales ssteas. Partreos de lo que se ha vsto que le sucede a una partícula para adqurr conocentos del ovento e nteraccones en ssteas coplejos y obtener leyes ás generales aplcables a los ssteas. La palabra sstea se usa aquí coo snóno de un conjunto de partículas selecconado para su estudo. Es decr dvdos el unverso en dos partes: una consttuda por todas las partículas del sstea, la otra por todas las partículas fuera del sstea. Las partículas del sstea pueden nteracconar entre sí edante fuerzas nterores, o con el resto del unverso edante fuerzas exterores...- Cantdad de ovento. Conservacón de la cantdad de ovento Consdereos un conjunto de N partículas, que constturán el sstea objeto de nuestro estudo, y tal que la -ésa partícula tene una asa, está en la poscón r y se ueve a una velocdad v ; las coponentes de los vectores r y v están eddas en un sstea de referenca nercal que denonareos S, o sstea de referenca del laboratoro (en adelante SL). Sobre la partícula -ésa actúa una fuerza resultante, a ella contrbuyen dos tpos de fuerzas: la resultante, F ext,, de las fuerzas de nteraccón de la partícula con todas las partículas exterores al sstea y la resultante de las fuerzas nterores f + f f j f N = j f j = F nt, donde f j es la fuerza que ejerce la partícula j sobre la ; la letra grega sga ayúscula ndca sua de los N vectores f j, fíjese que queda excludo el caso = j que correspondería a la nteraccón de la partícula consgo sa. F ext, f j f f j j F ext,j f j f fj f j f j j Fg...a. Fuerzas exterores e nterores que actúan sobre las partículas, y j del sstea Fg...b. f j y f j tenen por recta soporte la que une la partícula y la partícula j Así, la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es: F ext, + F nt,

2 Físca I y la segunda ley de Newton aplcada a la partícula sería F ext, + F nt, = dp = a s suaos las N gualdades correspondentes a las N partículas del sstea Donde F ext + F nt = F ext = d p = a F y F ext, nt = F nt, Son, respectvaente, la sua de las fuerzas que actúan sobre todas las partículas del sstea por la nteraccón con todas las partículas exterores al sstea y la sua de las fuerzas que actúan sobre todas las partículas del sstea por la nteraccón con todas las partículas pertenecentes al sstea. S las fuerzas nterores obedecen la tercera ley de Newton, la fuerza que actúa sobre la partícula debdo a la nteraccón con la partícula j es opuesta a la fuerza que actúa sobre la partícula j debdo a la nteraccón con la partícula, es decr f j = f j y por lo tanto la sua de todas las fuerzas nterores se anula F nt = F nt, = j f = 0 j Así, la resultante de las fuerzas aplcadas sobre un sstea ateral es gual a la sua de las fuerzas exterores y podeos escrbr una segunda ley de Newton para el sstea coo F ext = d p = a S defnos la cantdad de ovento P de un sstea ateral coo la sua de las cantdades de ovento de las partículas que lo coponen P = v = p (.) coo d p dp = podeos escrbr la ecuacón de ovento del sstea coo dp F ext = (.) Es decr: la dervada teporal de la cantdad de ovento de un sstea ateral es gual a la resultante de las fuerzas exterores aplcadas sobre el sstea. Una característca portante de esta ley es que sólo ntervenen las fuerzas exterores, no porta el papel de las fuerzas nterores; por lo tanto, da una vsón senclla de un sstea por coplejo que sea. Cuando se pueda decdr la eleccón del sstea lo hareos de tal anera que las fuerzas que no nos nteresan sean nternas. Una eleccón adecuada del sstea es el prer paso en la resolucón de probleas.

3 Sstea de partículas Conservacón de la cantdad de ovento S la resultante de la fuerzas exterores es nula, F ext = 0, la cantdad de ovento del sstea ateral se antene constante o, lo que es lo so, se conserva: P = constante. Esto sucede en dos casos: cuando el sstea ateral no nteractúa con nngún otro, decos entonces que es un sstea ateral aslado, y tabén sucede cuando el sstea está soetdo a fuerzas exterores F pero tales que su resultante es nula. S una coponente de F ext según una dreccón es cero, la coponente de P según esa dreccón peranece constante, caben o no las otras..4.- Movento del centro de asa La fora de la ecuacón. es gual a la de la segunda ley de Newton para una partícula; para dar sentdo a la analogía en la gualdad F ext = Σ a Introducos una aceleracón proedo ponderada por la asa, así <a> = a donde M = Σ es la asa total del sstea. Con esta aceleracón proedo y la asa equvalente o total del sstea podeos escrbr = F ext = M<a> Que resulta una expresón senclla que nos dce que la resultante de las fuerzas exterores es gual a la asa total del sstea por una aceleracón proedo que, aunque ben defnda foralente, vaos a procurar adqurr una dea ejor de su sgnfcado. Para ello defnos tabén una velocdad proedo gualente ponderada v v P <v> = = = M M es nteresante ver que la cantdad de ovento del sstea se puede expresar coo la cantdad de ovento de una partícula de asa la total del sstea desplazándose a la velocdad proedo, que adeás podeos coprobar que verfca d < v > = <a> y por últo podeos ntroducr un vector poscón proedo, gualente ponderado, de los r del sstea a M Coo tabén se verfca que <r> = r = d < r > = <v> r M (.3) podeos resur dcendo que teneos una asa, M, equvalente a la asa del sstea, stuada en un punto <r> que se ueve a una velocdad tal que su cantdad de ovento es P y su aceleracón cuple que: F ext = M<a> Es habtual llaar <r> = R c o poscón del centro de asa o poscón de la asa puntual M equvalente a la del sstea. Podeos escrbr tabén dr P = M c

4 4 Físca I que establece el hecho de que la cantdad de ovento total de todas las partículas del sstea es gual a la cantdad de ovento de una partícula de asa M, gual a la asa total del sstea, desplazándose a una velocdad <v> o velocdad del centro de asa, <v> = v c P = Mv c (.4) Que podeos llaar cantdad de ovento del centro de asa; gualente, hacendo <a> = a c, escrbos F ext = Ma c (.5) En defntva, agnaos la exstenca de una partícula de asa gual a la total del sstea, stuada en la poscón R c, con una aceleracón consecuenca de la accón de la resultante de las fuerzas exterores, a c = F ext /M, y con una cantdad de ovento gual a la del sstea. Dcho a la nversa: el ovento del centro de asas de un sstea ateral es el que tendría una partícula de asa gual a la total del sstea bajo la accón de la resultante F ext de las fuerzas exterores. Veos que en ausenca de fuerzas exterores, la cantdad de ovento total del sstea de partículas peranece constante o, lo que es equvalente, su centro de asa se ueve a velocdad constante; tabén se ueve a velocdad constante s exsten fuerzas exterores pero su sua es nula..5.- Sstea de coordenadas centro de asa S la resultante F de las fuerzas exterores es nula la ecuacón (.) ndca que la cantdad de ovento del sstea es un vector constante y por lo tanto, según la ecuacón (.4), tabén es constante la velocdad del centro de asa, así que podeos toar este punto coo orgen de un sstea nercal de referenca. z z' P r r O x x' CM y y Fg.. Ssteas de referenca laboratoro y centro de asa El vector de poscón de un punto genérco, P, será r (x, y, z, t) en el sstea de referenca del laboratoro SL y r' (x', y', z', t) en la referenca centro de asa, (en adelante SCM). Así r = r' + R c Tenendo en cuenta la defncón de centro de asa, R c = M r = ( c + = c + R r' ) R r' M M De donde y dervando respecto del tepo r = 0 ' dr ' = p = P' = 0 ' es decr, el vector cantdad de ovento total del sstea es nulo eddo en el SCM. Esta propedad puede toarse coo defncón de sstea de referenca centro de asa.

5 Sstea de partículas 5 Ejercco. De un sstea aslado de dos partículas sabeos que = 0 g y v = 9 + j (/s), que = 40 g y que la velocdad del centro de asa es v c = - j (/s). Calcule la velocdad de la partícula. R: 9j (/s).6.- Poscón del centro de asa en algunos casos a) sstea de dos partículas S las poscones de todas las partículas se den en un sstea de referenca que tenga coo orgen el centro de asa, y no desde un orgen arbtraro, el vector de poscón del centro de asa es cero, coo acabaos de ver 0 = Σ r En el caso de un sstea de dos partículas de asas y, toando coo orgen el centro de asa 0 = r + r de donde r = r así los vectores r y r tenen sentdos opuestos, lo que ndca que las partículas están stuadas en lados opuestos del centro de asa, o s se quere el centro de asa está entre las dos partículas; las dstancas r y r de las partículas al centro de asa son nversaente proporconales a las asas de las partículas. b) sstea de partículas con setría Un sstea de partículas tene un plano de setría s para cualquer partícula stuada a un lado del plano exste otra de gual asa al otro lado del plano y a la sa dstanca de él; toando el plano de setría coo plano yz, para cada partícula de asa stuada en x exste otra partícula de asa stuada en x ; la contrbucón de este par genérco a la sua x es nula. Por lo tanto podeos decr que s un sstea de partículas tene un plano de setría, su centro de asa debe estar localzado en este plano. La aplcacón de esta conclusón a ssteas con setrías perte deternar fáclente su centro de asa. Coo ejeplo, consdereos un paralelepípedo hecho de un ateral hoogéneo; un plano paralelo a un par de caras paralelas del cuerpo y que pase por el centro geoétrco es un plano de setría geoétrca y ateral, coo hay otros dos planos perpendculares entre sí y perpendculares al anteror, pasando por el centro geoétrco, éste tabén es el centro de asa del paralelepípedo. c) sstea forado por dos subssteas de asa y centro de asa conocdos Consdereos un sstea forado por dos objetos de asas A y B ; la asa del sstea es A + B y R c el vector poscón de su centro de asa. Se debe cuplr: el segundo ebro se puede descoponer así ( A + B )R c = Σ r Σ r = Σ A r + Σ B r donde se ha escrto el suatoro para todas las partículas del sstea coo sua de todas las partículas de la parte A del sstea as la sua de todas las partículas de la parte B. Cada uno de los suandos de la derecha podeos relaconarlo con el vector poscón del centro de asa de su parte, así ( A + B )R c = A R c,a + B R c,b de donde R c = R A c,a A + R + B B c,b

6 6 Físca I Es decr, el cálculo del centro de asa de un sstea que podaos consderar coo consttudo por varas partes, se puede hacer toando cada parte coo s fuera una partícula de asa la de la parte localzada en el centro de asa de la parte. Ejercco. El clndro y la esfera son hoogéneos y están hechos de tal anera que sus asas son guales, el centro de asa del sstea clndro-esfera está stuado en el plano xy que es plano de setría de abos cuerpos, deterne su poscón. R: (,75R,,5R).7.- Sstea aslado de dos partículas: asa reducda y 3R R R 3R R x El sstea está ahora consttudo por dos úncas partículas que nteracconan entre sí, lbres de fuerzas exterores. Toareos coo sstea de referenca el SCM ya que puede ser el orgen de un sstea de referenca nercal; en él, r + r = 0 r r CM Fg..3 Vectores de poscón de las dos partículas que foran el sstea donde r y r son los vectores de poscón en el SCM. Dervando esta gualdad respecto del tepo u + u = 0 obteneos, de nuevo, que la cantdad de ovento del sstea de partículas aslado es nula en el SCM. En el caso de dos partículas adeás p = p y por tanto p = p = p. Aplcando la segunda ley de Newton a cada partícula d r f = d r y f = de las dos ecuacones y tenendo en cuenta la tercera ley de Newton, f = f d r d r = f f = + f El prer ebro se puede escrbr coo: ( d r d r d r = r ) d r = = a donde a es la aceleracón de la partícula edda desde la. Podeos ntroducr una asa equvalente que dé a la ecuacón una aparenca foral seejante a la ª ley de Newton, así hacendo = µ + donde µ recbe el nobre de asa reducda del sstea, queda f = µa (.6) Es decr, el ovento relatvo de dos partículas que sólo están soetdas a fuerzas de nteraccón entre sí, es equvalente al ovento de una partícula, de asa gual a la asa reducda del sstea, bajo la accón de la fuerza de nteraccón. El problea se reduce al del ovento de una

7 Sstea de partículas 7 partícula, así podeos descrbr el ovento de la partícula, vsto desde la, coo s estuvese en el orgen de un sstea de referenca nercal, spleente cabando por µ. En la dnáca de una partícula, heos consderado que la partícula estaba soetda a la accón de una fuerza central, por ejeplo; es decr la fuerza no era consecuenca de una nteraccón explícta con otro objeto sno que exstía una fuerza. En realdad toda fuerza es consecuenca de la nteraccón con el resto de objetos del unverso. Así, s consderaos que la partícula Terra está soetda a una fuerza F = [ GM Sol M Terra /r 3 ]r, estaos consderando la nteraccón Sol-Terra, desprecando las nteraccones con el resto del unverso y consderando el Sol coo una partícula stuada en un punto fjo, que toaos coo orgen de una referenca. Por lo que veos ahora, hay que consderar el sstea Sol-Terra coo un sstea aslado de dos partículas, y la ecuacón.6 nos adverte de que se debe toar la asa reducda del sstea y no la asa de la Terra. Podeos calcular el error que se coete al consderar una de las dos partículas coo fja y por lo tanto orgen de un sstea de referenca nercal; veaos que esta aproxacón sólo tene sentdo s la asa que se consdera fja es ucho ayor que la otra. La asa reducda es µ = + El error que se coete al toar en lugar de µ es: µ = = + µ µ = Así, en el caso: >>, tene sentdo la aproxacón Por ejeplo, para el par Terra Sol M Terra /M Sol = 3 0-6, lo que supone un error del 0,0003 %, evdenteente desprecable en la ayor parte de aplcacones. Para el par electrón-protón, toar la asa del protón, en lugar de la asa reducda, en un odelo solar de átoo supone un error del 0,06 % fáclente detectable experentalente. Ejercco.3 Dos asas, = y = 3, están undas por un uelle elástco lneal de constante k. La separacón en equlbro es a y el sstea de asas y uelle se apoya en una superfce horzontal lsa; deterne la frecuenca de osclacón R: (k/3) ½.8.- Energía ecánca La eleccón del SCM supone una splfcacón puesto que separa lo que es nterno al sstea de partículas, de lo externo al so; vereos ahora que la energía ecánca toa su aparenca ás sple en el SCM. La energía potencal U del sstea es la sua de las energías potencales de todas las partículas del sstea; puede consderarse coo sua de una energía potencal nterna U nt y otra externa U ext U = U nt + U ext la energía potencal nterna es sua de las energías potencales de todas las partículas del sstea en su nteraccón con todas las otras partículas del sstea, entras que la U ext es sua de las energías potencales de todas las partículas del sstea en su nteraccón con todas las partículas de fuera del sstea. Coo U depende de la dstanca de separacón entre las partículas y ésta es ndependente de la transforacón de Galleo, la energía potencal es la sa en cualquer sstea de referenca, U(SL) = U(SCM). La energía cnétca del sstea es la sua de las energías cnétcas de cada una de las partículas; en el SL E k,sl = E k, v =

8 8 Físca I coo r = R c + r' y por lo tanto v = v c + u, la energía cnétca puede expresarse en funcón de la velocdad del centro de asa E k,sl = (v c + u ) = v c + u v c + u el prer suando es la energía cnétca de la asa total del sstea ovéndose a la velocdad del centro de asa, el segundo suando resulta nulo ya que u = 0 es la cantdad de ovento en el SCM, el tercer suando corresponde a la energía cnétca del sstea de partículas edda en el sstea centro de asa, que podeos llaar E k,sc, así E k,sl =½Mv c + E k,sc (.7) En el caso partcular de un sstea forado por dos partículas asladas, sabeos que en el SCM la cantdad de ovento del sstea es nula: p + p = 0, por lo que podeos escrbr p = p = p. La energía cnétca de cada partícula es cóodo escrbrla coo E k =½v = p / así la energía cnétca del sstea de dos partículas edda en la referenca del centro de asa, E k,sc, se puede expresar coo donde µ es la asa reducda del sstea. E k,sc =p / + p / = p /µ.9.- Trabajo y energía en un sstea de partículas Coo sobre la partícula actúa la fuerza resultante de las fuerzas exterores al sstea aplcadas a ella y la resultante de la nteraccón con las otras partículas F + j el trabajo realzado por estas fuerzas produce una varacón de la energía cnétca de la partícula de k, = (F + f j ) dr j suando para todas las partículas e ntegrando desde velocdades y poscones ncales hasta un estado fnal arbtraro, podeos escrbr f j E k = W ext + W nt (.8) es decr, la varacón de energía cnétca de un sstea de partículas es gual al trabajo realzado sobre el sstea por las fuerzas exterores y por las nterores. S todas las fuerzas exterores son conservatvas podeos defnr una energía potencal asocada a ellas dw ext = F d r = du ext ntegrando desde las poscones ncales hasta las de un estado fnal arbtraro W ext = U ext Lo so para las fuerzas nterores s son conservatvas: W nt = U nt En general, la energía ecánca del sstea E = E k + U es la sua de las energías cnétca y potencal. S tanto las fuerzas exterores coo las nterores son conservatvas, tendreos:

9 Sstea de partículas 9 que tabén podeos escrbr así: E = 0 E k = U ext U nt que expresa la conservacón de la energía ecánca y que podeos escrbr coo E k + U ext + U nt = constante S adeás el sstea está aslado la energía ecánca se reduce a E k + U nt = constante; s la energía cnétca se de en el sstea centro de asa E k,sc + U nt = constante = E c (.9) Coo la energía potencal es la sa en los dos ssteas de referenca, SCM y SL, podeos escrbr para la energía ecánca total, sua de la energía potencal y de la energía cnétca E = E c + ½Mv c (.0) sendo E la energía total edda en el sstea de referenca del laboratoro y E c = U + E k,sc la energía total edda en el sstea centro de asa. E c recbe el nobre de energía nterna del sstea. En general, para cualquer sstea de partículas E = W no con (.) donde W no con es el trabajo realzado por todas las fuerzas de nteraccón no conservatvas. Evdenteente W no con puede escrbrse coo sua de los trabajos hechos por las fuerzas exterores no conservatvas y por los de las fuerzas nterores no conservatvas..0.- Trabajo de las fuerzas nterores Para tratar con algún detalle el caso de las fuerzas nterores, consdereos ncalente un sstea forado por dos partículas, el trabajo de las fuerzas nterores es: dw = f dr + f dr = f (dr dr ) = f dr = f dr f f Fg..4 Trayectoras de dos partículas que nteracconan donde r = r r es el vector de poscón de la partícula relatvo a la partícula y dr es el desplazaento nfntesal de la partícula relatvo a la partícula. Así, el trabajo de la nteraccón utua entre las dos partículas depende sólo del desplazaento relatvo de una partícula respecto a la otra. El trabajo es el so que s una partícula estuvera en reposo y la otra se overa respecto a la prera. S la fuerza de nteraccón es conservatva entonces: dw = f dr = du nt (r ) por lo que veos que la funcón U nt depende sólo de la poscón relatva de las dos partículas; o ejor, de su dstanca de separacón r, tal coo habíaos coentado anterorente. Coo la dstanca entre dos puntos es ndependente del sstea de referenca, en el arco geoétrco en el que se desarrolla la Mecánca Newtonana, hace que U sea la sa en el SL que en el SCM. S toaos coo orgen de potencales el de energía potencal nula para una separacón nfnta

10 0 Físca I Entonces donde r f dr U nt (r = ) = 0 r = du ( r ) = U nt (r ) U nt (r ) = U nt = Energía potencal nterna Para un sstea de N partículas la energía potencal nterna vene defnda coo la sua de las energías potencales de todos los pares de partículas U nt = U j todoslos pares = (/) U (.) j El factor / es necesaro para no contar dos veces el so par. Para aclarar esto consdereos el caso de un sstea de tres partículas; para N = 3 la energía potencal nterna es s desarrollaos el doble suatoro U nt = j todoslos pares j U = U + U 3 + U 3 j j j U y coo U j = U j se tene j = j [U + U + U 3 ] = (U + U 3 ) + (U + U 3 ) + (U 3 + U 3 ) j j U j = U nt La energía potencal nterna, U nt, consecuenca de la nteraccón entre las partículas del sstea, depende sólo de su poscón relatva. Así, en un sstea de dos partículas que nteracconan entre sí, la energía potencal es la sa que la de una partícula consderando a la otra en reposo. Esta es la consderacón plícta que heos hecho en la dnáca de una partícula soetda a la accón de una fuerza conservatva que, necesaraente, debe su exstenca a la nteraccón con alguna otra. Muchos ssteas están consttudos por partículas cuyas dstancas entre ellas peranecen constantes, en buena aproxacón. Por ejeplo, los que llaaos cuerpos rígdos, coo una barra etálca o un plar de ceento; tabén los líqudos son cas ncopresbles y su voluen no caba, así la dstanca entre partículas vecnas peranece constante. En estos casos coo dr j = 0 la energía potencal nterna tapoco caba U nt = Trabajo y energía en un sstea aslado de dos partículas La energía potencal consecuenca de la nteraccón entre las partículas del sstea depende sólo de su poscón relatva. Así, en un sstea aslado de dos partículas la energía potencal es la sa que la de una partícula consderando a la otra en reposo. Esta es la consderacón plícta que se ha hecho en la dnáca de una partícula soetda a una fuerza conservatva, que, necesaraente, debe su exstenca a la nteraccón con alguna otra partícula. La energía cnétca del sstea en la referenca del centro de asa se puede escrbr así: E k,sc = (½) u u +(½) u u Donde las u son las velocdades de las partículas eddas en el SCM. Coo u = + ( + )u = + ( u + u )= + (u u )= µv sendo v la velocdad de la partícula edda desde la. Coo: u + u = 0

11 Sstea de partículas u = u = µv (.3) Susttuyendo en la anteror expresón de la energía cnétca E k,sc = (½)µv u (½)µv u = (½)µv (u u ) = (½)µv v Y por tanto E k,sc = (½)µv (.4) Tabén aquí la energía cnétca del sstea es equvalente a la de la partícula, ovéndose a la velocdad v y cabando su asa por la asa reducda...- Descrpcón energétca de un sstea de partículas Los ssteas de partículas habtuales son ssteas acroscópcos, pero sabeos que están consttudos por undades croscópcas: átoos o oléculas. La densón atóca es del orden de 0-0, un objeto acroscópco pequeño, por ejeplo un cubo de un centíetro de lado, ás o enos un dado, presenta un voluen de ; un dado de densones atócas presentaría un voluen de , por tanto un dado acroscópco está forado por 0 4 dados atócos. Un núero nagnable, o quzás pueda agnar el taaño de un súper-dado forado por 0 4 dados de un centíetro de lado. La energía ecánca de un sstea sepre podreos separarla en dos partes: una energía acroscópca y la restante. La energía acroscópca corresponde a energía ecánca que puede dentfcarse desde un punto de vsta acroscópco. Por ejeplo: (½)Mv c y las energías cnétcas correspondentes a partes del sstea que se ueven respecto a otras o tabén energía potencal correspondente a nteraccones elástcas acroscópcas. La energía restante, es decr la total enos la energía acroscópca puede nclur dversas foras de energía. Sepre habrá la energía térca que está asocada al ovento aleatoro de las partículas, átoos o oléculas. En lo que posterorente llaareos gas deal, esta energía térca corresponde solaente a las energías cnétcas de las oléculas, obvaente eddas en el SCM; en un gas real, fundaentalente a esta sa energía cnétca. En un líqudo habrá que consderar adeás la energía potencal de nteraccón entre oléculas. En un sóldo, la energía cnétca será la de vbracón de los átoos entorno de las poscones de equlbro, adeás de la energía potencal de nteraccón. En un sóldo rígdo la dstanca entre partículas no caba y, por tanto, no hay varacón de la energía potencal nterna. La energía potencal de nteraccón de los átoos que consttuyen una olécula es de naturaleza electroagnétca, suele recbr el nobre de energía quíca. La energía de nteraccón de las partículas que foran el núcleo de los átoos, consttuye la energía nuclear. Aquí nos vaos a preocupar úncaente de la energía térca y de cóo se transfere de un sstea a otro. Ejeplo. Dos partículas están soetdas solaente a fuerzas de nteraccón utua, que son newtonanas. En t = 0, conoceos lo sguente: Partícula, = kg, r (0) = j, () v (0) = 3,0 4,0j, ( s - ) Partícula, = kg, v (0) = -,5 + 5,0j, ( s - ) Sstea R c = 0 + 0j, donde los vectores están eddas en el sstea de referenca del laboratoro (SL). En el SL, calcule: a. - r (0) a. - la velocdad del centro de asa, v c a.3 - la cantdad de ovento del sstea de partículas, P a.4 - la energía cnétca del sstea de partículas, E k/sl En el sstea de referenca del centro de asa (SCM) calcule: a.5 - las velocdades, u (0) y u (0) de las partículas a.6 - la cantdad de ovento del sstea de partículas, P' a.7 - la energía cnétca del sstea de partículas, E k/scm

12 Físca I En t = 4 s, sabeos que la velocdad de la partícula, edda en el SCM es de la fora u (4) = +u y que la nteraccón es tal que la energía potencal U(4) U(0) = 3, J, edda en el SCM. En el SLAB, calcule: b. - la energía cnétca del sstea de partículas, E k/sl b. - las velocdades, v (4) y v (4) de las partículas b.3 - la varacón de la energía potencal U(4) U(0) b.4 - R c (t = 4) Solucón a..- a..- a.3 - a.4.- ( + )R c = 0 = r + r r (0) = 5 r (0) = j, () v c = v + v 0 0 (3, 0 4, 0j) (, 5 + 5, 0) j = =,0 j, (/s) P = ( + )v c = j, (kg s - ) E k/sl = ½ v + ½ v = ½ ½ = J = 4,0 J 5 a.5.- Coo, u = v - v c u (0) = (3,0 4,0 j ) ( j) = 3,0 6,0 j, u (0) = (,5 + 5,0 j) ( j) =,5 + 3,0 j ( s - ) a.6 - P' = 0 a.7.- E k/scm = E k/sl ½( + )v c = ½ = J = 3,4 J b. y b.3.- En ausenca de fuerzas exterores E k/sl = E k/c = W nt ; coo las fuerzas nterores son, en este caso, conservatvas: W nt = U, que es ndependente del sstea de referenca, (b.3). E k/sl (t = 4) = E k/lab (t = 0) U = = J = 0,9 J E k/scm (t = 4) = E k/c (t = 0) U = = J = 0,3 J b..- Coo en el SCM se verfca que p' = p' = p' p' E k/c = + = Donde µ es la asa reducda del sstea. De ahí p' µ p' = µek/c = ± kg s - coo u (4) = +u toareos la raíz postva y u (4) = ( s - ) En el SCM se verfca p' + p' = 0, por lo que u (4) = ( s - ) u (4) = En el SLAB: v (4) = + j, ( s - ) v (4) = + j, ( s - ) b.4.-coo no hay fuerzas exterores, el centro de asa se desplaza a velocdad constante, así R c (t = 4) = R c (t = 0) + v c t =,0j 4 = 8j, ()

13 Sstea de partículas 3 Ejeplo. Dos partículas de asas =,0 kg y = 4,0 kg stuadas, en una referenca nercal SL y en un certo nstante, en las poscones r = j y r = (3,0 ) y con las velocdades v = 6,0 /s y v = 3,0 j /s. Llaando O X Y a la referenca de su centro de asa (SCM), calcule en ese nstante: a) el vector poscón r c de su centro de asa y los vectores de poscón, r y r, de las partículas en el SCM b) la velocdad v c del centro de asa y las velocdades, u y u, de las partículas en el SCM c) dbuje un croqus cualtatvo de la poscón de las dos partículas r y r en el plano O X Y ; ndque sobre el croqus sus velocdades u y u ; deduzca los valores de sus velocdades radales u r y u r y transversales u θ y u θ, eddas en el SCM d) calcule la velocdad angular ω de abas partículas eddas en el SCM e.) calcule la energía de traslacón del sstea, es decr la energía cnétca asocada al ovento del centro de asa e.) deterne la energía cnétca del sstea edda en el SCM, calculando por separado la asocada a la rotacón y la asocada a la velocdad radal f) calcule el oento cnétco del sstea respecto del orgen del sstea de referenca ncal, SL S abas partículas están undas por un uelle de longtud natural (sn deforar) l 0 = 4,0 y de rgdez k = 0 N/, calcule para ese nstante g.) su energía potencal elástca U g.) la energía nterna E nt del sstea o energía total edda en el SCM Solucón a) r c = Σ r /Σ = /6= r = r r c r = r r c =, r = r r c = b) v c = Σ v /Σ = [ + j]/6= ( + j) /s u = v v c u = v v c = 6 ( + j) = 4 j (/s) u = v v c = 3j ( + j) = + j (/s) c) La velocdad radal es la coponente paralela al vector poscón: r r CM u u v r= r u/r v r= r u /r = 4 /s v r= r u /r = /s En este nstante las velocdades radales son las coponentes en el eje X con el sgno adecuado y se pueden obtener por nspeccón sobre el croqus. u r = 4 /s u r = /s Las velocdades transversales son las perpendculares al vector poscón. Se pueden obtener a partr de las velocdades radales: u θ = (u u r ) /, o por sple nspeccón del croqus, donde se ve que en este nstante las velocdades transversales son las coponentes de la velocdad en el eje Y con el sgno adecuado (postvo s gra en el sentdo anthoraro) u θ = /s u θ = /s d) ω = u θ /r = /= rad/s ω = u θ /r = /= rad/s e.) E c = ½ (Σ )v c = ½ 6(4 + 4) = 4 J e.) E k/scm = Σ ½ u = = Σ ½ [u r + u θ ] = = 30 J f) L O = Σr v = r v = 36 k (J s) g.) U = ½ k[ r r l 0 ] = ½ 0 (3 4) = 0 J g.) E nt = U + E k/scm = 40 J Ejeplo.3 La gráfca uestra la energía potencal U(x) de una partícula de asa = 500 g. La energía ecánca de es E = 0. Cuando está en x = + c un ecanso nterno la dvde en dos partes guales, proporconando al sstea una energía E = 8,0 J. (Para splfcar, suponga que U(x) peranece la sa para cada uno de los dos trozos). 40 U(J) 0 x(c) Alguna de las dos partes podrá salr del pozo de potencal de la derecha?, saldrían las dos partes s E = 36 J?

14 4 Físca I Solucón Para saber s las partes pasarán o no la barrera de potencal hay que calcular la energía ecánca que tendrá cada una de ellas después de la actuacón del ecanso nterno; para splfcar los cálculos supondreos que la accón del ecanso se realza cuando la energía cnétca del sstea es áxa, x =,, lo que resulta equvalente para nuestros fnes. S la energía ecánca de es E = 0, la energía cnétca áxa del sstea es E k,lab = 4 J = ( / )v c. En el sstea de referenca del centro de asa los ódulos de los vectores cantdad de ovento de cada parte son guales y coo las asas son guales W nt = E k/scm = E = p' / p' = El trabajo de las fuerzas nterores ncreenta sólo la energía cnétca edda desde el centro de asa y no la asocada a v c ya que en la poscón consderada no hay fuerzas exterores; cada trozo gana la sa energía cnétca, adqurendo una velocdad en el sstea de referenca del centro de asa v,c = ± E Las velocdades extreas de las partículas en el sstea laboratoro serán: v, lab =v c ± E = E k, lab ± E La velocdad del CM = velocdad áxa de la partícula antes de escndrse es: Las velocdades extreas de las partículas serán E k/sl = ½v c = 4 J, de donde v c = 9,8 /s v c ± E = 9,8 ± E La energía cnétca ína necesara para pasar del pozo de la derecha al de la zquerda es: E k/sl (n) = 36 J = ¼ v n, de donde v n = 7 /s para E = 36 J v = 9,8 + =,8 /s y v = 9,8 =, /s Saldría el prer trozo después de reflejarse en la barrera de la derecha. Para E = 8,0 J y no saldría nngún trozo. v = 9,8 + 5,7 = 5 /s

15 Sstea de partículas. Moento cnétco 5 Moento cnétco de un sstea de partículas..- Moento cnétco..- Conservacón del oento cnétco.3.- Caso partcular: rotacón alrededor de un eje fjo.4.- Moento cnétco con respecto al centro de asa.5.- Moento cnétco de un sstea de dos partículas..- Moento cnétco El oento cnétco de un sstea de partículas con respecto a un punto fjo O vene dado por la sua de los oentos cnétcos de cada una de las partículas del sstea con respecto a O dervando respecto del tepo dl O L O = Σr v (.) dr = Σ dv v + Σr Cada suando del prer térno es v v = 0; entras que para los del segundo y según la segunda ley de Newton dv Σr = Σr [F + f j ]= Σr F = M j O = M O donde heos tendo en cuenta que el oento de las fuerzas nterores es nulo, ya que podeos agruparlas por parejas, f j = f j, cuyo oento resultante es nulo ya que la fuerza f j tene la dreccón del vector (r r j ) que une los puntos de aplcacón de las dos fuerzas; r f j + r j f j = (r r j ) f j = 0 f j F r r -r j F j f j r j O Fg.. Moento de las fuerzas exterores e nterores respecto de O queda, pues, M O = M O, oento resultante de las fuerzas exterores y dl O = MO (.) Es decr, la dervada teporal del oento cnétco de un sstea ateral respecto a un punto fjo O es gual al oento resultante de las fuerzas exterores aplcadas al sstea respecto al punto O...- Conservacón del oento cnétco El oento cnétco de un sstea de partículas es una constante del ovento s M O = 0. En partcular, en un sstea aslado de fuerzas exterores el oento cnétco con respecto a un punto O cualquera es una constante del ovento. Tabén se conservará el oento cnétco cuando sobre el sstea actúen fuerzas exterores cuyo oento resultante respecto a O sea nulo.

16 6 Físca I.3.- Caso partcular: rotacón alrededor de un eje fjo Un cuerpo rígdo es un sstea de partículas que cuplen que la dstanca entre dos cualesquera de ellas peranece nvarante en el tepo. Así, en un cuerpo rígdo, s sus partículas gran con la sa velocdad angular alrededor de un eje fjo, el z por ejeplo, entonces la velocdad de cualquer partícula se puede escrbr coo v = ω r z ω L R v θ r x y Fg.. Cualquer partícula descrbe una trayectora crcular alrededor del eje z y el oento cnétco de la partícula es L O = r v Los vectores r y v son perpendculares, así que L O = r v ; el vector oento cnétco L O es perpendcular al plano forado por r y v y está en el plano deternado por r y el eje de rotacón z; coo se uestra en la fgura., por tanto L O fora con el eje z un ángulo copleentaro de θ. La coponente de L O según el eje z es L Oz = r v senθ r senθ = R es el rado de la trayectora crcular de la partícula alrededor del eje de rotacón; podeos escrbr L Oz = R v [Esta expresón tabén es el oento respecto del eje z. El oento de un vector V respecto de un eje se defne coo: u (OP V), donde u es un vector untaro según el eje, O es un punto cualquera del eje y P un punto de la recta soporte de V] Coo v = ωr, teneos L Oz = R (ωr ) = R ω y suando para todas las partículas L Oz = ΣL Oz = Σ R ω = I z ω donde I z = Σ R recbe el nobre de oento de nerca del sstea de partículas respecto al eje fjo de rotacón. En el caso de un cuerpo rígdo I es una agntud fja. S la dstrbucón de partículas podeos consderarla contnua, la sua se converte en una ntegral: I z = r d, donde r es la dstanca de d al eje de rotacón. S la dstrbucón es hoogénea, adeás de contnua, d = ρdv, ρ = densdad = asa por undad de voluen, I z = ρ r dv. No calculareos aquí nnguna de estas ntegrales pero en la tabla se dan algunos ejeplos Tabla Moentos de nerca de algunos cuerpos rígdos hoogéneos cuerpo Clndro Esfera Varlla z z l/ l/ z oento de nerca I z = ½R I z = (/5)R I z = (/)l

17 Sstea de partículas. Moento cnétco Moento cnétco con respecto al centro de asa El centro de oentos ha sdo, hasta aquí, el punto fjo O que heos toado coo orgen del sstea de referenca; s el centro de oentos es el centro de asa, el oento cnétco se llaa oento cnétco ntrínseco del sstea ateral, L c, y es L c = Σr' u en funcón de las velocdades relatvas al SCM o, ndstntaente, al SL, coo veos a contnuacón L c = Σr' u = Σr' (v v c ) = Σr' v donde se ha tendo en cuenta que Σ r' v c = 0 v c = 0. z z' P v r r' O x x' R c CM Fg..3 y y' Veaos la relacón entre los oentos cnétcos referdos al orgen del sstea laboratoro y al centro de asa; coo r = r' + R c se tene Así L O = ' + R ) v = Σr' v + R c Σ v ( r c L O = L c + R c P (.3) El oento cnétco total puede expresarse coo la sua del oento cnétco ntrínseco ás el oento cnétco del centro de asas. Puede deostrarse que para el centro de asa se cuple dl c = M c (.4).5.- Moento cnétco de un sstea de dos partículas Consdereos de nuevo el sstea consttudo por dos úncas partículas que nteracconan entre sí, lbres de fuerzas exterores; toando coo sstea de referenca el de centro de asa, el oento cnétco del sstea respecto del centro de asa es: L CM = r u + r u = r u + r ( u ) = (r r ) u = r u Recordando las ecuacones (.3): u = µv y u = µv = µv y substtuyendo L CM = r µv por lo que el oento cnétco del sstea respecto del centro de asa se puede obtener toando oento respecto a la poscón de la partícula, de la velocdad de la partícula edda desde la y consderando la asa reducda en lugar de.

18 8 Físca I Ejeplo. Para las dos partículas del ejeplo., calcule en t = 0 s y en t = 4 s, el oento cnétco del sstea de partículas respecto: a) al orgen, L O b) al centro de asa, L c Solucón a) En t = 0 s L O = r v + r v = 6,0 0-5 k 3,0 0-5 k = 9,0 0-5 k, (kg s - ) y L c = L 0 R c P = L 0 Ya que R c (t = 0 s) = 0 b) Coo no hay fuerzas exterores, su oento respecto al orgen es evdenteente nulo por lo que dl O = MO = 0 por lo que L O es un vector que no varía con el tepo, L O (4) = L O (0). Es evdente que la sa nvaranca debe verfcarse para L c, podeos coprobarlo vendo que R c P = 0, ya que R c (t) = v c t y P = ( + )v c tenen la sa dreccón en cualquer nstante

19 Sstea de partículas. Colsones 9 3 Colsones 3. Colsones entre partículas 3. Energía en la colsón 3.3 Colsón de dos partículas 3.3. Colsón elástca de dos partículas 3.3. Colsón nelástca de dos partículas 3.4 Un odelo de choque nelástco undensonal 3. Colsones entre partículas Se llaa colsón o choque entre dos, o ás, partículas a una nteraccón utua entre ellas, que tene lugar de tal anera que el tepo de nteraccón es sufcenteente corto para que s exsten fuerzas exterores su pulso sea desprecable y que se realce en una regón ltada del espaco. En estas condcones podeos consderar el sstea de partículas coo s estuvera aslado. Con esta hpótess, la cantdad de ovento del sstea de partículas es una agntud vectoral que se conserva, así coo la energía. Hasta un deternado nstante t, la nteraccón entre las partículas es desprecable, es decr la energía potencal es nula, consderando coo referenca el estado en que la dstanca entre ellas es uy grande y cada partícula se desplaza a velocdad v constante. Durante un ntervalo de tepo corto, t < t < t f, las partículas están sufcenteente próxas, caban sus velocdades y hay energía potencal de nteraccón. Para t > t f las partículas ya no nteracconan y se desplazan a velocdades fnales v' constantes. U U fg.3. a x t t f t fg. 3. b fg. 3.a Energía potencal de nteraccón entre dos partículas que chocan en funcón de la dstanca entre ellas fg. 3.b Energía potencal de nteraccón entre dos partículas que chocan en funcón del tepo de colsón En una colsón entre dos partículas, la fuerza que ejerce cada partícula sobre la otra partícula puede ser uy ntensa y por tanto la cantdad de ovento de cada partícula puede sufrr un cabo aprecable aún cuando la duracón t de la nteraccón sea uy pequeña; en este caso, aunque caben las velocdades de las partículas, coo t es tan pequeño las poscones apenas caban. Coo las fuerzas ntensas que se ejercen utuaente las partículas son fuerzas nternas, no caban la cantdad de ovento del sstea; s las fuerzas externas no son ntensas, coparadas con las fuerzas nternas, su efecto será desprecable s t es lo bastante pequeño y por lo tanto la varacón de la cantdad de ovento del sstea tabén lo será frente a la varacón de la cantdad de ovento de cada partícula. Por tanto, s la duracón de la colsón es sufcenteente breve será buena aproxacón consderar que se conserva la cantdad de ovento del sstea, ncluso s las fuerzas externas no son nulas. En el análss de una colsón estaos nteresados, prortaraente, en relaconar las velocdades de las partículas antes de la nteraccón con las de después de la nteraccón, pero la energía tabén puede ser un paráetro que nos nterese. 3. Energía en la colsón S la nteraccón es, por ejeplo, de dos partículas, el trabajo realzado por las fuerzas de nteraccón durante la colsón es: t f [ v W = f v + f ] = de k = E' k E k t donde consderaos que la nteraccón es desprecable antes de un deternado nstante t y vuelve a anularse a partr del nstante t f. Según sea el valor de W, las solucones se clasfcan en dos categorías:

20 0 Físca I s W = 0 se dce que la colsón, o choque, es elástca; la energía cnétca del sstea es la sa antes y después de la colsón cuando W 0 y ya que heos consderado el sstea coo aslado, la dferenca en la energía cnétca debe estar alacenada necesaraente en las sas partículas. Una colsón nelástca entre partículas puede ocurrr sólo entre partículas que tengan una estructura nterna y sean capaces de etr o absorber energía. Las foras de energías que pueden ntervenr son: la energía cnétca, E k + E k y la energía potencal nterna: U nt (), que s depende sólo de la dstanca r entre las partículas resulta ndependente del sstea de referenca. Coo consderaos el sstea coo s estuvera aslado durante el tepo de colsón: U ext = 0. Coo la energía antes y después de la colsón debe ser la sa E k + E k + U nt = E k + E k + U nt S U es la varacón de energía nterna del sstea: U = U nt U nt = E k que resulta ndependente del sstea de referenca, ya que el so valor de U se de en el sstea de referenca del centro de asa que en cualquer otro sstea de referenca nercal. S U < 0 hay un auento de la energía cnétca a expensas de la energía nterna y teneos una colsón exoenergétca. S U > 0, E k < 0 y un auento de la energía potencal nterna; esta colsón nelástca es endoenergétca. Un caso partcular extreo es cuando las partículas colsonan elástcaente, E k = 0 = U El otro caso extreo es cuando las partículas colsonan quedando undas después de la colsón, se dce, entonces, que la colsón es copletaente nelástca; la energía cnétca antes de la colsón, edda en el sstea de referenca del centro de asa, es E k,sc y después de la colsón: E k,sc = 0, así U = E k = (0 E k,sc ) = E k,sc Corresponde al valor áxo de U; en cualquer otro caso 0 < U < U(ax) = E k,sc 3.3 Colsón de dos partículas La conservacón de la cantdad de ovento del sstea de dos partículas proporcona una gualdad vectoral en dos densones y, por tanto, dos ecuacones escalares que lgan los cuatro coponentes de las velocdades de antes de la colsón, supuestos conocdos, con los cuatro coponentes de después de la nteraccón. El conocento de la elastcdad del choque, es decr conocdo U, proporcona una ecuacón escalar. Dsponeos, pues, de tres ecuacones y cuatro ncógntas, los cuatro coponentes de las velocdades de después de la colsón; para conocer totalente el coportaento después de la colsón debeos tener alguna nforacón ás Colsón elástca de dos partículas En el caso partcular de dos partículas que colsonan elástcaente, E k,sl = E k,sc = U = 0 E k,sc = E k + E k = E k + E k Donde las ndcan cantdad después de la colsón. Recordeos que coo en el SCM p = p = p, la energía cnétca edda en la referenca del centro de asa se puede expresar coo: E k,sc = p /µ Donde µ es la asa reducda de las dos partículas; al ser la energía cnétca gual antes y después del choque, resulta que p = p o sea: el ódulo de la cantdad de ovento de cada partícula p no caba en el SCM, sólo pueden cabar dreccón y sentdo. La velocdad relatva de las dos partículas, gual en el SL que en el SCM, es: v = u u = p + p = µ

21 Sstea de partículas. Colsones y coo p = p = p, el ódulo de la velocdad relatva no caba coo consecuenca de un choque elástco, sólo caba el sgno: u u antes = u u después. Es obvo que tabén en el SL se cuple. Así, las partículas se separan una de otra después del choque a la sa celerdad relatva a la que se acercaban antes del choque. S las dos partículas, adeás de colsonar elástcaente, son déntcas = = y una está ncalente en reposo, v = 0, la conservacón de la cantdad de ovento da: y por ser elástco v = v + v v = v + v Estas dos ecuacones aen dos tpos de solucón: a) v = 0, y por tanto v = v Choque undensonal SL antes después SCM Fg.3. Choque elástco de dos partículas de gual asa, caso a) b) v 0, las dos ecuacones oblgan a que las dos partículas déntcas se uevan, después de la colsón, con velocdades de dreccones perpendculares entre sí. Choque bdensonal SL v v v φ=π/ φ v v antes después Fg.3.3 Choque elástco de dos partículas de gual asa, vsto desde el laboratoro, caso b) v SCM u u u = u = u = u u u v v V c u u v Fg. 3.4 Choque elástco de dos partículas de gual asa, vsto desde el centro de asa, relacón entre las velocdades después de la nteraccón en las dos referencas, caso b) En resuen, s sabeos que el choque es undensonal el estado del sstea después de la colsón queda totalente defndo, corresponde a la solucón a); s es bdensonal, no queda defndo el ángulo que gra la dreccón de ovento, vsta en la referenca centro de asa; sabeos que los extreos de v y v defnen el dáetro de una crcunferenca, coo se uestra en la fgura 3.4, pero no sabeos la orentacón de ese dáetro; el dáetro corresponde a la celerdad relatva de una partícula respecto de la otra, tanto en el SL coo en el SCM Colsón nelástca de dos partículas El otro caso extreo sucede cuando las dos partículas colsonan quedando undas después de la colsón; se dce, entonces, que la colsón es copletaente nelástca. La energía cnétca antes de la colsón, edda en el sstea de referenca del centro de asa, recuerde que es: E k,sc = p /µ y después de la colsón: E k,c = 0, así: U = E k = E k,sc = p /µ

22 Físca I SL Choque undensonal SCM p p = - p p = 0 v > v v v c antes después antes después Fg. 3.5 Choque totalente nelástco de dos partículas Por tanto, después de la colsón y en el SL, las dos partículas van undas, a la velocdad del centro de asa, y su energía ecánca es: E = ( + )v c / Ejeplo 3. Una partícula de asa = 0 g se drge haca una pared vertcal lsa. Justo antes de chocar con la pared lleva una velocdad de ódulo 4 /s y que fora un ángulo de 30º con la noral a la pared. a) S el choque se puede consderar elástco, cuál es el cabo en la cantdad de ovento de la partícula? b) S el choque no es elástco y la coponente de la velocdad noral a la pared, después del n v choque, es el 90 % de su valor antes del choque, calcule el ódulo y dreccón de la velocdad de la partícula nedataente después de rebotar en la pared. Fg. 3.6 Solucón: a) Obvaente podeos consderar que la asa de la partícula es ucho enor que la de la pared, así s la ncdenca fuera noral y el choque elástco la partícula rebotaría en la pared nvrtendo el sentdo de su velocdad. Al no ser ncdenca noral podeos consderar el vector velocdad en sus coponentes noral a la pared v n y según la tangente a la pared v t. La nteraccón partícula-pared la representaos por una fuerza acroscópca que tene sólo coponente noral, ya que es una pared vertcal lsa, es decr con rozaento desprecable, por tanto la varacón de la cantdad de ovento de la partícula, gual al pulso recbdo, plca que v n caba su sgno, entras que v t no caba. Por tanto: p = v n n ( v n n) = v n n = cos30 n = (0,49 N s)n v t v n antes I = Fn v n después fg 3.7 Colsón de una partícula con una pared lsa b) S el choque no es elástco y tal que v n = 0,90v n = 0,90 4cos30 = /s; entras que la coponente tangencal v t no caba ya que no hay pulso tangencal: v = [v n + v t ] / = [ + 4 sen 30 ] / = 3 /s y el ángulo que fora v con la noral es tal que tgφ = v t /v n = 4sen30/ = 0,64 que corresponde a φ = 33º Ejeplo 3. Dos partículas de asas A =,0 kg, y B = A / chocan. Desde el sstea de referenca centro de asa, SCM, las velocdades ncal y fnal de la partícula A son u (A) =,(/s)j y u f (A) = 0,6(/s)j. Desde el SCM, calcule: a) las cantdades de ovento ncal p (B) y fnal p f (B) de la partícula B b) las energías cnétca ncal y fnal del sstea de partículas, así coo el trabajo realzado en el choque. c) y d) La velocdad ncal de la partícula A es la sa pero el choque es ahora totalente nelástco c) en el SCM: cuánto valdría la energía cnétca fnal del sstea?, y el trabajo realzado en el choque? d) s el centro de asa tene una velocdad respecto a la terra de,0(/s), deterne, respecto a terra, las energías cnétca ncal y fnal del sstea Solucón: a) En el choque se conserva la cantdad de ovento del sstea de partículas y en el SCM se verfca: P = p(a) + p(b) = 0 v t

23 Sstea de partículas. Colsones 3 y por lo tanto: p (B) = p (A) = p =,4 kg /s, y p f (B) = p f (A) = p f =, kg /s b) la energía cnétca ncal del sstea de dos partículas es: Y la energía cnétca fnal El trabajo realzado en el choque E k/sc, = p + A E k/sc,f = / A = 3p = 4,3 J 3p f =, J A A W = E k = E k/sc,f E k/sc, =, 4,3 = 3, J c) y d) c) en el SCM las dos partículas quedan undas en una sola y en reposo E k/sc,f = 0 W = E k = E k/sc,f E k/sc, = E k/sc, = 4,3 J d) Coo las energías cnétcas eddas en los dos ssteas de referenca se relaconan por: Teneos y E k/sl = E k/sc +½ ( A + B )v c E k/sl, = 4,3 + ½ 3,0,0 = 4,3 + 6 = 0,3 J E k/sl,f = ½ ( A + B )v c = 6 J Ejeplo 3.3 Dos partículas A y B, de asas A y B, deslzan sn rozaento sobre un plano horzontal y chocan entre sí. Antes del choque A tene velocdad v A = v 0 y B está en reposo. Obtenga las expresones de las velocdades de A y B después del choque en los sguentes supuestos: a) Choque totalente nelástco. Obtenga tabén la expresón de la pérdda de energía cnétca b) Choque elástco y adeás se produce de fora tal que las coponentes transversales de velocdad (según y) resultantes de la colsón son las áxas posbles. Solucón a) que el choque sea totalente nelástco sgnfca que abas partículas quedan undas ovéndose a la velocdad del centro de asa v c que, coo en cualquer choque, peranece nvarante; su expresón es: Y la de la pérdda de energía cnétca v c = A v 0 /( A + B ) E k = ½ ( A + B )v c ½ A v 0 = ½ ( A + B ) A A = ½ A A + B B v 0 = B A + B E k, + B v 0 ½ A v 0 = b) que el choque sea elástco sgnfca que se conserva la energía cnétca. Coo en el sstea de referenca centro de asa la cantdad de ovento del sstea es nula se cuple que p = p = p y por tanto E k,sc = p / A + p / B = p /µ Coo este valor es el so antes y después del choque necesaraente el ódulo de la cantdad de ovento de cada partícula es el so antes y después del choque e gual a p. La nteraccón, vsta desde el centro de asa, nverte el sentdo de la velocdad relatva, antes se acercan, después se alejan entre sí, y puede grar la dreccón del ovento, coo de una fora genérca se presenta en la fgura 3.8 La velocdad de una partícula en el sstea de referenca laboratoro, v, y la referda al sstea de referenca centro de asa, u, están relaconadas por: p p antes antes - p -p después p después - p fg 3.8 Interaccón vsta desde el centro de asa, coo el choque es elástco p = p p - p fg 3.9 Coo el choque es elástco: p = p