Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2008 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

Transcripción

1 Físca General 1 Proyecto PMME - Curso 8 nsttuto e Físca Faculta e ngenería UelaR TTUO CONSERVACON DE MOMENTO ANGUAR AUTORES gnaco Oyarbe, eonaro arrea, Macarena Martínez NTRODUCCÓN En este nore esarrollareos sobre la conservacón el oento angular es un sstea que consta e os boltas, una varlla y esta sostena por un resorte Este estuo constara e una parte teórca y un ejercco práctco que ue el propulsor el estuo FUNDAMENTO TEORCO MOMENTO ANGUAR DE A PARTÍCUA En cursos anterores enos la canta e ovento lneal, en el cual relaconábaos las asas e las partículas con la veloca que tenían Poeos establecer una relacón slar en un ovento crcular; para lo que enos coo el oento angular e la partícula respecto al orgen O coo: l r p (1) Coo l es un vector, su oulo está ao por: l r p senθ () one θ es el ángulo entre r y p Dervano respecto al tepo l ( r p) t t (3) Desarrollano en (3) obteneos que: l τ (4) t MOMENTO ANGUAR DE UN SSTEMA DE PARTÍCUAS En el caso e un sstea e partículas, el oento angular total el sstea, es la sua vectoral e toos los oentos angulares e caa partícula Haceno un razonaento análogo, con el hecho para el oento angular e partículas, obteneos: neto t τ (5) os torques ejercos entre partículas no aectan la varacón e Por lo tanto: - 1 -

2 ext t τ (6) CONSERVACON DE MOMENTO ANGUAR DE UN SSTEMA DE PARTCUAS Ahora, s sobre el sstea que estuaos no actúa nngún torque externo neto, entonces el oento angular no caba con el tepo, t cte (7) Cuano el torque externo neto que actúa sobre un sstea sea nulo, el vector el oento angular total el sstea peranece constante El oento angular e las partículas puee cabar pero el total sgue constante S nos encontraos en un cuerpo rígo sétrco, teneos que: (8) S se conserva el oento angular, entonces peranece constante, por lo que s caba, entonces necesaraente varía, (9) - -

3 OBJETVO: Observar cóo nluyen los stntos paráetros en el ovento el sstea ETRA DE PROBEMA (Problea 3, pregunta 5 el Exaen e Febrero 5): ĵ Too el esquea presentao en la gura está en el plano horzontal Una varlla e asa 3 y longtu 3, seno la stanca el centro e la varlla a una asa puntual aosaa a ella El sstea está ncalente en reposo pero puee grar alreeor e un eje perpencular que pasa por su centro (punto O) y está uno a un resorte e constante k que ncalente no está n copro n estrao Una seguna asa se acerca a la varlla perpencularente con veloca v, choca contra la varlla y quea aosaa a ella Debo a la presenca el resorte el sstea orao por la varlla y las asas coenza a osclar Too el bujo está en el plano horzontal El oento e nerca (respecto e su centro) e una varlla e asa M y largo, es: M 1 PREGUNTA 5 Cuál es la veloca angular el sstea varlla-asas en un nstante posteror al choque? Para la resolucón el ejercco, usaos una stanca y un largo e varlla no correlaconaos; y una asa e varlla no correlaconaa con las asas e las boltas A oo e vercacón toaos las relacones planteaas en el ejercco RESOUCON: Conseraos α y lla β Coo τ ext cte var, por lo tanto + lvar lla+ asa l y coo el sstea varlla-asa se encuentra ncalente en l var lla+asa l r p v r senφ, one r senφ, por lo que nos quea: v reposo, por lo tanto: Entonces, Coo se trata e un sstea sétrco vsto ese su centro e asa, poeos ecr que ss ; var lla ss + var lla +, Susttuyeno por las relacones entre las asas y las longtues obteneos: 1-3 -

4 sstea βα βα βα 1 gualano, nos quea: v 4 + βα 1 4 1v + βα 1v (4 + βα ) S le haceos un análss ensonal obteneos: s 1 [ ] s o Toano los atos que nos a el ejercco obteneos: 1v v (4 + 3( 3) 5 En la resolucón e ejercco, no conseraos la no conservacón e la canta e ovento Este actor no nluye en la resolucón el so pero es algo nteresante e estuar porque eja nula toa posble especulacón sobre el estao e reposo el sstea Nosotros ncalente veos que el sstea tene una canta e ovento aa por la bolta que traos, por lo que teneos: p v ˆj Pero luego el choque, la bolta quea una al resto el sstea, y el centro e asa e éste quea en reposo, por lo que se puee asur: p Esta no conservacón e la canta e ovento puee explcarse por la aparcón, en el nstante e la colsón, e una uerza aplcaa sobre la varlla, coo una reaccón al choque prouca por el eje F ext en valor e esta uerza e oo que: p t, en ora aproxaa poeos calcular F ext p t p F ext p p v kˆ F v ext kˆ t tepo que ura el choque Otra conseracón a tener en cuenta es la varacón e la stanca (e la asa que traos al centro e la varlla) anteneno constante la stanca (e la asa ja a la varlla al centro e la varlla) as concones ncales el sstea no varían, pero a pror poríaos ecr que las nales varían ya que el cuerpo ejaría e ser un - 4 -

5 rígo sétrco, concón que usaos en la resolucón el ejercco cuano Pero a contnuacón vereos que gual lo poeos conserar coo s uera un rígo sétrco Por encón e oento angular vsto ese el centro e asa o un punto jo sabeos: r p r v r Toas las partículas escrben oventos crculares v r De aquí concluos que hay cuerpos no sétrcos para los cuales, gualente se puee usar la relacón que se eujo cuano el caso era sétrco Pero esto no plca que a too cuerpo no sétrco se le puea aplcar la sa relacón En otras palabras, hay cuerpos no sétrcos para los cuales stntas partículas rotan a stntas velocaes, por lo que no poríaos susttur la veloca coo lo hcos en este razonaento Volveno a nuestro sstea, e ser `, la resolucón sera: Seguos conserano α y lla β var laeos a la stanca e la bolta ja al centro e la varlla y a la stanca e la bolta que traos con el centro e la varlla Coo τ ext cte, por lo tanto + lvar lla+ asa l y coo el sstea varlla-asa se encuentra ncalente en l var lla+asa sgue seno: v reposo, por lo tanto: Entonces, Coo vos anterorente, en este caso sera un cuerpo no sétrco, en el cual poeos usar la relacón que se eujo cuano el caso era sétrco, por lo tanto:, ahora en este caso, el ss + + var lla ss + + var lla 1 Susttuyeno por las relacones entre las asas y las longtues obteneos: sstea + βα [ 1 + ( 1 + βα )] - 5 -

6 gualano, nos quea: v 1 [ 1 + ( 1 + βα )] 1v [ 1 + ( 1 + βα )] 1v [ 1 + ( 1 + βα )] A contnuacón ostrareos grácaente las stntas eas que ueron esarrollaas analítcaente: Graco e jos; en uncón e α para stntos valores e β ; con v o cte ; B1 B B3 seno B β B1 B B3 α Graco e en uncón e α para stntos valores e β ; con y ; v o cte ; B1 B B3 seno B β, jos B1 B B3 α - 6 -

7 Graco e en uncón e α para stntos valores e β ; con y ; v o cte ; B1 B B3 seno B β, jos B1 B B3 α Algo tabén uy nteresante para estuar en el coportaento el resorte luego e la colsón Nosotros no toaos en cuenta este enóeno porque sepre conseraos el nstante espués el pacto Por coo es el sstea que teneos, que esta jo al pso eante un eje, el cual le proporcona ovla a la varlla, no a a pensar que luego e la colsón el resorte epezará a osclar a causa el pacto Consereos la energía ncal el sstea coo la energía cnétca rotaconal el sstea Entonces, poeos ecr que la energía cnétca rotaconal el sstea, se transora totalente en energía potencal elástca, al oento e áxa copresón De esta ora: E 1 1 kx M EM EM K r U pe Susttuyeno con los valores e e para ` nos quea: βα 1 1v ( 4 + βα ) 6v 4 + βα 6v 4 + βα 1 kx Despejano nos quea que la copresón áxa el resorte es: x 1v k ( 4 + βα ) BBOGRAFA: kpeaorg FSCA PARTE -RESNK, ROBERT y HADAY, DAVD - 7 -