TEMA 4. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Transcripción

1 EMA 4. SISEMAS DE PARÍCULAS. Cento de asas y coodenadas elatvas. Fuezas ntenas y enas.. Consevacón del oento lneal total de un sstea. Ssteas de asa vaable y ejeplos. 3. Consevacón del oento angula de un sstea. 4. Enegía cnétca y potencal de un sstea. Enegía ntena. Consevacón de la enegía ecánca de un sstea. 5. El caso de dos cuepos. 6. Setías de la enegía potencal y leyes de consevacón. 7. eoea del Val. blogafía: [Maon], [Kbble], [AFnn], [Mec-ek], [aols], [Golds] Chantal Fee Roca 008

2 EMA 4. SISEMAS DE PARÍCULAS OA IMPORAE: Los contendos de este docuento epesentan un esquea de los conceptos fundaentales del tea, po lo que en nngún caso se tata de apuntes copletos. Este esquea se copleenta con explcacones, azonaentos, ejeplos y pobleas que se desaollan duante las clases, así coo con alguno(s) de los lbos que se ncluyen en la bblogafía. blogafía: [Maon], [Kbble], [AFnn], [Mec-ek], [aols], [Golds] Chantal Fee Roca 008

3 Intoduccón R c sstea ' CM P Cada patícula tene, v, p sstea consttudo po patículas (ndependentes o ben consttuyendo un cuepo ígdo) El SISEMA, tene,a R, V, P, A, L,, U, l,, U Cada una de estas agntudes se puede obtene coo la sua de las de cada una de las patículas que lo coponen p L L U U PERO.Puede se ás convenente obtenelas coo el valo del CM (cento de asas) y el valo elatvo al cento de asas. L L c L el c el Se vefcan las leyes de ewton Y los pncpos de consevacón & P F & L dl M Chantal Fee Roca 008

4 . Cento de asas y coodenadas elatvas. Fuezas ntenas y enas ' R c sstea R CM c poscón elatva al CM (coodenadas elatvas) F fueza total sobe la patícula, 3ª ley ewton ' F f sstea consttudo po patículas (ndependentes o ben consttuyendo un cuepo ígdo) R M c esultante de las F enas (ogen fuea del sstea) f j f j M V A c c asa total del sstea poscón del cento de asas del sstea & R & R c c Resultante de las F de nteaccón con las otas - patículas del sstea M M f f j j sstea F & & velocdad CM aceleacón CM f j Chantal Fee Roca 008 j

5 . Cento de asas y coodenadas elatvas. Fuezas ntenas y enas R c sstea ' CM sstea F g es ena F F g g es ntena sstea IMPORAE: osostos decdos qué consttuye el sstea y qué queda fuea de él. Y la descpcón físca seá coheente con esa eleccón. F fueza total sobe la patícula, 3ª ley ewton F f esultante de las F enas (ogen fuea del sstea) f j f j Resultante de las F de nteaccón con las otas - patículas del sstea f f j F j sstea f j Chantal Fee Roca 008 j

6 . Consevacón del oento lneal de un sstea sstea CM M ª ley ewton, patícula suando paa todas las patículas p & & p& & P P p & P F d(mv f MV c c F F j ) f j fj f ) 0 ( j < j Moento lneal total del sstea F El CM del sstea se ueve coo s fuese una patícula de asa M (asa total), sobe la que actúan todas las fuezas enas al sstea 0 suadas po paejas Ejeplo, 3 fj f f3 f f3 f3 f3 (f f) (f3 f3) (f3 f3) 0 j R c s F 0 e F P P cte Chantal Fee Roca 008 o hay nteaccón del sstea con lo que hay fuea de él: Sstea Aslado - Consevacón del oento del sstea Deostacón: las fuezas ntenas se cancelan utuaente, no caban el ovento del sstea

7 . Consevacón del oento lneal de un sstea. Ejeplos. FEÓMEOS s F 0 P cte Chantal Fee Roca 008 p p El sstea está consttudo po platafoa-pesona-nto po un lado y gases del nto po oto. b v b g v g otos fenóenos: etoceso de las aas en los dspaos, etoceso de patnado al lanza asa, etc. DEMO: explosón de dos óvles con uedas en nteaccón agnétca epulsva o po edo de un esote PROLEMAS 4., 4., 4.3 a) b)del boletín CUESIOES 44, 45

8 . Consevacón del oento lneal de un sstea. Ejeplos. EJEMPLO Dos asas undas po un uelle. eposo 3. se sueltan. F copesón 4. ovento? EJEMPLO o paabólco sobe una platafoa óvl y v 0 α a) Calcula poscón del CM ncalente y en un t cualquea. b) Velocdad de la platafoa y tepo duante el que se ueve. c) Velocdad áxa del cuepo lanzado paa que caga sobe la platafoa L M x M 3, a 45º y L 00 Chantal Fee Roca 008

9 . Consevacón del oento lneal de un sstea. Ssteas de asa vaable Sstea aslado de patículas consttudo po subssteas cuya asa o núeo de patículas vaía, aunque la asa total del sstea coo conjunto peanezca constante. EJEMPLOS: Depósto de asa vaable (cohete de ocell) Gota que cae en atósfea húeda Depósto de asa vaable con fueza constante aplcada Iágenes de la págna: Lluva que cae en un vagón, que se ueve ncalente con v constante Depósto de asa vaable que ueve uedas. III ac?) efedo po Heón de Alejandía (s. I dc) Chantal Fee Roca 008 Cnta tanspotadoa sobe la que cae contnuaente ateal

10 . Consevacón del oento lneal de un sstea. Ssteas de asa vaable Sstea aslado de patículas consttudo po subssteas cuya asa o núeo de patículas vaía, aunque la asa total del sstea coo conjunto peanezca constante. EJEMPLO 3: cohete a eaccón P MV c v v dp dv d MA c F I dv ( v d ) v vaacón de p v d dv d d dv d v d (v v) F epuje: tasa con la que pede o gana oento cada subsstea F II ( v d sstea d ) v vaacón de p I v II v M F cte suando abas, sstea copleto: F dp p& p & Chantal Fee Roca 008

11 . Consevacón del oento lneal de un sstea. Ssteas de asa vaable EJEMPLO 3a: cohete a eaccón en pesenca de gavedad El subsstea que nos nteesa es el del cohete (II) g dv ud v(t) v(0) dv dv dv u (v v d ) FII F II ud u v v u y v tenen sentdos opuestos t t d (t) u g u ln (0) t 0 t 0 d D El cobustble se quea a un to constante El cohete de epuje constante v(t) v(0) u ln Dt o 0 gt velocdad elatva de los gases cte gt v ax?? x(t) cte v F v v (t) v(0) gt u ln v(t) x(t) x 0 v v(0) Mg En el espaco lbe, g 0 epo que tada en alcanzala? (0) (t) Chantal Fee Roca 008 PROLEMA 4.4 del boletín: cohete con vaas etapas

12 p R 3. Consevacón del oento angula de un sstea. p ' ' Moento angula total del sstea L L CM L P c L R P ' p' L el (pe teoea de Köng) L c L del CM especto al ogen L el L del sstea especto al cento de asas. L el p L L c Movento del CM del sstea sola alededo del cento de la galaxa Moento angula de todos los cuepos del sstea sola (planetas, etc.) especto al CM del sstea sola Moento angula total (sua de los anteoes) Chantal Fee Roca 008

13 L R CM 3. Consevacón del oento angula de un sstea. p ' ' P Moento angula total del sstea Deostacón: ' R ' R MR MR L p p L R P ' p' poscón elatva al CM (coodenadas elatvas) (Poscón del CM especto al CM) ( ' R) ( & & ' R) & ( ' ') (R R) & ( ' ' p' 0 (pe teoea de Köng) L c L del CM especto al ogen L el L del sstea especto al cento de asas. ( ' ') ( ' R) (R ') (R R ) & & & & & & ) R R ( & ' ) (0 R) (R 0) 0 R P L el L c Chantal Fee Roca 008

14 3. Consevacón del oento angula de un sstea. L L (t ) c CM L el M L (t) & L dl consevacón M S & L Chantal Fee Roca 008 M 0, L cte & L Deostacón: dl, j ( p (F & f) F f f j j fj) ( fj) (j f j) ( F f ( fj) 0, j s las f ntenas son de tpo cental, su oento se anula ( F ) ( fj),j ) f j j < j < j 0 nulo M f j j j M f j j

15 3. Consevacón del oento angula de un sstea FEÓMEOS & L dl M Chantal Fee 008 Deostacón expeental en clase punto de sujecón M g L Rueda vsta desde aba L n M Platafoa pesona L fn g L ueda S & L M 0, L cte platafoa gatoa nvesón de la ueda L fn L ueda L pesona

16 4. Enegía cnétca y potencal de un sstea. Consevacón de la enegía ecánca FEÓMEOS Enega cnétca del sstea del CM (de una patícula de asa M que se ueve a la velocdad del CM ) Segundo teoea de Köng. M V c v ' de las patículas ndvduales en elacón al CM Caso patcula: en sóldos ígdos las patículas del sstea antenen las dstancas elatvas fjas y solo pueden ga especto al CM Chantal Fee Roca 008

17 4. Enegía cnétca y potencal de un sstea. Consevacón de la enegía ecánca del CM (coo s fuea una patícula de asa M que se ueve a la velocdad del CM ) de las patículas ndvduales en elacón al CM abajo dnáco que lleva el sstea de la confguacón A a la sguendo tayectoas paa cada patícula t t A dn A ) v d( d F W v ' R V ' v & & R ' R ' R ' v & & & & & & )) (t ) ( (t A ) (t A confguacón A ) (t A t A confguacón ) (t t nulo Deostacón: c ' v M V Enega cnétca del sstea Segundo teoea de Köng. v Chantal Fee Roca 008

18 5. El caso de dos cuepos. Moento angula L L L Lc Lel PROLEMA 4.3 d) y e) L el ' p' ' ' R CM ' L el p' ( µ v) R coodenadas del CM coodenadas elatvas al CM ' R ' R ' ' poscón elatva (de especto a ) Se deuesta que: R R Ide paa las velocdades ' ' v v v' v' ( v) M M velocdad elatva Masa educda µ s >>, µ v v v Chantal Fee Roca 008

19 5. El caso de dos cuepos. Enegía Cnétca el MV ' c v' R CM ' µ v & R & & velocdad del CM & ' & & velocdades elatvas al CM R & & ' & R v & & & & ' & ' velocdad elatva (de especto a ) & & & Se deuesta que: & & & R R & ' & ' v' ( v) ( v) v M M PROLEMA 4.3 c) el µ v velocdad elatva Masa educda µ s >>, µ Chantal Fee Roca 008

20 4. Consevacón de la enegía ecánca. El caso de dos cuepos. F f d dw F d F d f F d W F d F Γ,A Γ,A S fuezas ntenas consevatvas U ( ) Sólo depende de la dstanca elatva W fuezas enas consevatvas W W A U d A,, nt fd Γ,A Γ,A U, d d fd Γ,A f du, W U ) U E ( U F constante d F d fd Enegía potencal ntena del sstea nt W U U Enegía popa del sstea ( U U) E 0 El cabo en la enegía cnétca es gual al tabajo efectuado po las fuezas enas e ntenas sobe el sstea du du A A (U W U nt ) f f f f Chantal Fee Roca 008

21 4. Consevacón de la enegía ecánca. El caso de dos cuepos. E 0 EJEMPLOS: S un sstea está aslado la enegía popa se conseva E ( U ) U átoo de hdógeno aslado constante átoo de hdógeno en un capo de fuezas e E p e k Epopa cte e E p e k Up Ue cte CM el E popa k asas undas po uelle En el seno del capo gavtatoo E E popa Enegía popa CM el kx gh gh cte E ás ejeplos en el tea de potencales centales (poblea de dos cuepos) E U ntena el Chantal Fee Roca 008

22 4. Consevacón de la enegía ecánca Deostacón: fuezas ntenas consevatvas W W F d A, j A W f d W W nt (fj d f j dj) fj dj duj < j A < j A < j A < j F U U d du A A fuezas enas consevatvas f U' j j j U U U CASO geneal j nt Enegía potencal ntena del sstea U nt U U nt U W W nt U U nt ( U nt U ) 0 La enegía total del sstea se conseva E U nt U cte Enegía popa del sstea E E popa c ntena E U ntena el nt en eodnáca se consdea sólo la enegía ntena, sn pota la CM y se cuple que: E ena W W(P) nt Q ª ley de la eodnáca Chantal Fee Roca 008

23 6. Setías de la enegía potencal y leyes de consevacón Paa cada egla de setía en la natualeza exste una ley de consevacón coespondente (vesón pedeste del teoea de oethe). Hoogenedad del espaco : Consevacón del oento lneal nvaanca fente a taslacones espacales δu 0 Ey oethe U U 0 U( δ, δ,..., t) U(,,..., t) δ δ F F F... 0 P cte F.... Hoogenedad del tepo : Consevacón de la enegía U nvaanca fente a taslacones tepoales 0 δu δt t U 0 U(,,..., t δt) U(,,..., t) δt t du U d U & F & de d t du 0 E cte Chantal Fee Roca 008

24 6. Setías de la enegía potencal y leyes de consevacón Paa cada egla de setía en la natualeza exste una ley de consevacón coespondente (vesón pedeste del teoea de oethe) 3. Isotopía del espaco : Consevacón del oento angula x z θ x' y' y x' cosθ y' sn θ z' 0 sn θ cosθ 0 G z ( θ) 0 x 0 y z atz de go alededo del eje z s δθ <<, G z ( δθ) x δθy y δθx z nvaanca fente a gos δu 0 U U U(G,G,..., t) U(,,..., t) ( δθy) ( δθx )... x y 0 M [( F ) ]δθ F ( δθy ) F ( δθx ) x M... 0 L cte de paa gos alededo de otos ejes z z Consevacón de L a pat de un pncpo geneal, sn necesdad de nvoca leyes de ewton z y L cte z Chantal Fee Roca 008

25 6. Setías de la enegía potencal y leyes de consevacón EJEMPLO un sstea de dos patículas se ueve en 3 densones con enegía potencal U(, ) x y (z z ) J Detena las coponentes del oento de la patícula que se consevan Detena las coponentes del oento total que se consevan Detena las coponentes del oento de la patícula que se consevan EJEMPLO un sstea de dos patículas se ueve en 3 densones con enegía potencal U(, ) 3(z z ) (x x ) (y y ) J Calcula la fueza total ejecda sobe el sstea Cóo caba la Enegía potencal bajo un desplazaento del sstea a (,,) Detena las coponentes del oento total que se consevan Detena las coponentes del oento angula total que se consevan Chantal Fee Roca 008

26 7. eoea del Val S son agntudes acotadas (ob. planetaas, ov. peódcos, etc.) p S(t) p acotada Poedo tepoal A τ S(t) & τ S & 0 τ S( τ) S(0 ds τ τ τ ) 0 τ 0 A Chantal Fee Roca 008 S & (t)? ovento peódco: s τ es últplo del peodo, S(τ)S(0) ovento no peódco: S(t) acotada, s τ es sufcenteente lago, Luego F p & p & S las fuezas son consevatvas U F S &(t) 0 Val (Clausus) S hay fuezas ntenas ( F, j f j j ) Rudolph Clausus (8-888)

27 caso : 7. eoea del Val Fueza cental nvesaente popoconal a una potenca de Fueza cental Fueza consevatva F n, U k n Chantal Fee Roca 008 fueza consevatvas U du d k(n ) n n U CASOS PARICULARES con los que este esultado es coheente POECIAL ELÁSICO F k, U k n U POECIAL GRAVIAORIO F A, U A n U Cluste de galaxas Coa V M R En 933, F. Zwcky, aplcando el teoea del val a un cúulo de galaxas, dedujo una asa del cluste uy supeo (00-0 veces) a la obsevada (Pea pedccón de la atea oscua, no aceptada po la coundad centífca hasta 40 años después, con los estudos de Vea Rubn). GM Ftz RV MV U M Zwcky R V velocdad poedo de las galaxas en el cluste G Estacón de la asa del cluste

28 7. eoea del Val Chantal Fee Roca 008 Caso: Sólo contbuyen tes paedes del cubo (aquellas en la que el poducto escala no es nulo): ( F Ecuacón de estado de los gases pefectos Moléculas de un gas contendo en un cubo de lado a. Paa cada paed sn vétce en el ogen: PV, j f j j 3 ) 3 PV 3 F, j, j f j j f 3PV j j GAS IDEAL: fuezas ntenas nulas kτ F (Pa )a fueza de las paedes. Estadístcaente a ellas F F PV S las fuezas nteoleculaes son atactvas, téno negatvo paa una olécula 3 vs kτ paa oléculas 3 vs kτ tepeatua