Tema 3. DINÁMICA DE UN SÓLIDO RÍGIDO.

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1 Tema 3. DINÁMICA DE UN SÓLIDO RÍGIDO. CONTENIDOS: 3.1 Intoduccón 3. Cnemátca de la otacón alededo de un eje fjo. 3.3 Momento de una fueza y de un sstema de fuezas. 3.4 Momento angula del sóldo ígdo. 3.5 Calculo de momentos de neca Aplcacones Teoema de los ejes paalelos o de Stene Teoema de los ejes pependculaes Rado de go. 3.6 Enegía cnétca de otacón. 3.7 Cuepos odantes. 3.8 Movmento goscópco. Nota: El contendo de estos apuntes petende se un esumen de la matea desaollada en el cuso. Po ello, el alumno debe de completalo con las explcacones y dscusones llevadas a cabo en clase y con la bblogafía ecomendada. 1

2 3.1 Intoduccón. Sóldo ígdo: Es un caso especal de un sstema de muchas patículas, y consdea que la dstanca ente las patículas de estos cuepos pemanece constante (R constante), o sea son absolutamente ndefomables. Planteemos el movmento geneal de un sóldo ígdo especto a un obsevado necal O, (ve fgua). La poscón P de un punto P del sóldo puede ponese en funcón del cento de masas del sóldo C como: P C + R donde C es el vecto de poscón del cento de masas del sóldo y R el vecto que va del cento de masas al punto P. R es un vecto cuyo módulo es constante. Un sóldo ígdo se caacteza po se ndefomable, las poscones elatvas de los puntos del sóldo se mantenen fjas aunque se aplquen fuezas al msmo. S se deva especto del tempo se obtene: v v + ω x R p c El pme témno es la velocdad del punto P, el segundo la velocdad del cento de masas y el teceo es la velocdad del punto P especto del cento de masas. Como el vecto R tene módulo constante, el únco movmento posble de P especto de C es una otacón con velocdad angula ω alededo de un eje nstantáneo que pase po C, tal como se ve en la fgua de la deecha. Po tanto, el movmento de un punto P del sóldo se puede consdea como la suma de un movmento de taslacón del cento de masas más una otacón alededo de un eje nstantáneo que pasa po el cento de masas. Los cuepos ígdos tenen como movmento geneal una composcón de un movmento de taslacón más oto de otacón. Sempe es posble enconta un sstema de efeenca en taslacón peo no otante especto del cual el movmento del cuepo paezca solo de otacón.

3 Paa un cuepo ígdo, s se conoce dónde está en un momento detemnado una patícula y el ángulo θ de otacón del cuepo especto a la poscón ognal, conocemos el esto de las poscones de los puntos. El movmento geneal de un sóldo ígdo es la composcón de un movmento de taslacón del cento de masas y de un movmento de otacón alededo de un eje que pasa po el cento de masas. En el movmento de taslacón, todos los puntos del sóldo se mueven en tayectoas paalelas. La velocdad de un punto del sóldo es la msma que la velocdad del cento de masas. En el movmento de otacón alededo de un eje que pasa po el cento de masas, la velocdad de un punto del sóldo es popoconal la ado de la ccunfeenca que descbe, y su deccón es tangente a dcha ccunfeenca. 3. Cnemátca de la otacón alededo de un eje fjo. Sea una patícula genéca de masa m, petenecente a un dsco, a una dstanca del cento del dsco, y cuyas coodenadas polaes venen dadas po, θ ι. La poscón o coodenada angula θ, de una patícula móvl que se encuenta en el nstante t en el punto P está dada po el ángulo θ, que hace el vecto CP y el ogen de ángulos CO, sendo C el cento del dsco. En el nstante t' la patícula móvl se encontaá en la poscón P' dada po el ángulo θ '. Todos los puntos que están en la ecta CP tenen la msma coodenada angula θ, y cuando la ecta CP se ha desplazado θ θ' -θ en el ntevalo de tempo t t'-t, (donde θ ' es la poscón angula de la ecta CP en el nstante t') la velocdad angula meda del cuepo es gual al cocente ente le desplazamento y el tempo: ω θ t La velocdad angula nstantánea, en módulo, es el límte del desplazamento angula cuando el ntevalo de tempo tende a ceo, o sea la devada de θ especto al tempo: 3

4 ω θ lm t 0 t dθ La velocdad angula es un vecto cuyo módulo vale y su deccón es pependcula al plano descto po las patículas gando, o sea la del eje de go, y cuyo sentdo vene dado po la egla de la mano deecha. S llamamos ds el desplazamento de la patícula m en el ntevalo de tempo se tene que la velocdad v de la patícula es: v ds La elacón ente ds y d θ es: d θ ds La aceleacón angula nstantánea es el límte de la velocdad angula cuando el ntevalo de tempo tende a ceo, o sea la devada de ω especto al tempo, o sea: α ω lm t 0 t La elacón ente l a velocdad lneal y la velocdad angula es: ds dθ v ω 4

5 vectoalmente: v ω x La elacón ente la aceleacón tangencal a t y la aceleacón angula α es: dv dω a t a ω x La elacón ente la aceleacón adal (o nomal) a n y la velocdad angula ω es: t α v a ω En el S.I.: ángulo en adanes, la velocdad angula en adanes / segundo y la aceleacón angula en ad/s. Donde, como ya se sabe, adán (undad natual de medda de ángulos) es la elacón ente el aco y el ado. El ángulo θ se obtene dvdendo la longtud del aco s ente su ado :, s s θ, Las fómulas del movmento ccula son smlaes a las elacones ente las vaables del movmento de tanslacón de las patículas. En foma geneal son: dθ ω dω α t t 0 α t0 t0 θ θ ω ω -ω0 En el movmento ccula unfome la velocdad angula ω 0 es constante y, po tanto, la aceleacón angula es ceo. La poscón angula θ 0 del móvl en el nstante t se calcula ntegando en las ecuacones anteoes: θ -θ 0 ω (t-t 0 ) Las ecuacones del movmento ccula unfome son: α 0 ω cte θ θ + ωt 0 El movmento ccula unfomemente aceleado es aquél cuya aceleacón α es constante. La aceleacón angula se obtene del cambo de la velocdad angula ω especto del tempo t: 5

6 ω ω α( t 0) 0 t Las fómulas del movmento ccula unfomemente aceleado son: α cte ω ω + αt 0 θ θ 1 t 0 + ω0 t + α Relacón ente la velocdad lneal v y la velocdad angula ω y ente la aceleacón lneal a y la aceleacón angula α en foma vectoal: ds dθ ds dθ v ω dv d (ω ) dω d a v + ω a α + ω v α ut ω u N 3.3 Momento de una fueza y de un sstema de fuezas. Todo cuepo que expementa una aceleacón es debdo a una fueza, peo cuál es la causa de una otacón?. La espuesta a esta pegunta es: el momento de una fueza. Sea un cuepo ígdo que puede ga alededo de un eje fjo que pasa po el punto O y tal que se aplca una fueza exteo F en el punto A (tal como se ndca en la fgua). El momento de una fueza F especto de un punto O (o especto de un eje que pase po O ) es un vecto M 0 que es gual al poducto vectoal de dos vectoes y F, o sea: F M o 6

7 S las coodenadas de los puntos son O(x o,y o,z o ) y de aplcacón de la fueza A(x A,y A,z A ), el vecto momento M 0 tene la expesón: M o x A x F x o y A F j y y o z A k zo F z y s las coodenadas de O son O(0,0,0). M o x F A x y F j A y z F k A z El módulo de M 0 es gual a F senφ, sendo φ el ángulo fomado ente el vecto y el vecto F. La cantdad senφ, es la dstanca d ente el punto O y la línea de accón de la fueza. Po tanto la componente de la fueza pependcula (F senφ ) al vecto de poscón es la que ntevene ealmente en el momento de la fueza. El tabajo ealzado po la fueza F a medda que el cuepo ecoe una dstanca nfntesmal ds dθ en el tempo es: dw F d F senφ dθ F senφ es la componente tangencal de la fueza, la componente de la fueza a lo lago del desplazamento (y pependcula al vecto de poscón). La componente adal de la fueza no apota momento de go n ealza tabajo, ya que es pependcula al desplazamento. 7

8 El momento de la fueza es el poducto de la componente tangencal de la fueza po el ado y la expesón del tabajo se puede escb como: dw F d F senφ dθ M La componente de la fueza pependcula al vecto de poscón es la que ealmente ntevene en la otacón. El momento de un sstema de fuezas F especto de un eje (que pase po O ) es un vecto M 0 sea: que es gual a la suma de los poductos vectoales de los vectoes y dθ F, o M o N F 1 Cuando el punto de aplcacón de las momento de la esultante de las fuezas M F es el msmo, el momento total es gual al F R o F R 3.4 Momento angula del sóldo ígdo. El momento angula de una patícula se defne como el poducto vectoal del vecto poscón po el vecto momento lneal m v. L m v Las patículas de un sóldo ígdo en otacón alededo de un eje fjo descben ccunfeencas centadas en el eje de otacón con una velocdad que es popoconal al ado de la ccunfeenca que descben: v ω (v ω senθ ω R ). El vecto momento angula L de una patícula de masa m cuya poscón está dada po el vecto y que descbe alededo del eje fjo una ccunfeenca de ado R con velocdad v, vale: L m v El módulo del vecto momento angula es: L m v 8

9 y su poyeccón sobe el eje de otacón Z (ve fgua) es: L z m v cos(90º- θ ) m ( senθ ). (ω R ) es dec, L m R ω z La poyeccón L z del vecto momento angula a lo lago del eje de otacón es: L z n n Lz m 1 1 ω El témno ente paéntess se denomna momento de neca I n I m 1 El momento angula de todas las patículas del sóldo vale: L L En geneal, el vecto momento angula L no tene la deccón del eje de otacón, es dec, el vecto momento angula no concde con su poyeccón L z a lo lago del eje de otacón. Cuando concden se dce que el eje de otacón es un eje pncpal de neca. Los momentos de neca elatvos a los ejes pncpales de neca se denomnan momentos pncpales de neca. Paa los ejes pncpales de neca la elacón ente el momento angula L y la velocdad angula ω (son dos vectoes que tenen la msma deccón, la del eje de otacón) es: L I ω El momento de neca es una cantdad caacteístca cuyo valo depende de la poscón del eje de otacón (no como son la masa o el volumen). Cuando el eje de otacón pasa po el cento de masas el momento de neca es mínmo. En geneal, paa un sóldo ígdo consdeado como un sstema de patículas de masa total m el momento angula de todas las patículas del sóldo L tenendo en cuenta el momento angula nteno especto al cento de masas L es: 9

10 O ben: L L + m1 + m ( L L + m m ) n x v x v En dnámca de taslacón, la fueza F es gual a la vaacón del momento lneal dp especto al tempo: F De gual modo, en dnámca de otacón el momento de las fuezas M es gual a la devada tempoal del momento angula L (ve demostacón en clase). S además se tene en cuenta que dl M L I ω y que M I α dl M, se obtene: El cambo del momento angula especto al tempo es gual al momento de las fuezas exteoes y tambén gual al poducto del momento de neca po la aceleacón angula. S se deva el momento angula del sóldo L tenendo en cuenta el momento angula nteno especto al cento de masas L, se tene: dl dl d + m xv + m dv x Tenendo en cuenta que el segundo témno es el poducto vectoal de dos vectoes paalelos y que dv m F, se obtene: ext dl dl v + xf ext Consevacón del momento angula El pncpo de consevacón del momento angula dce que s el momento de las fuezas exteoes sobe un cuepo ígdo es ceo (lo que no mplca que las fuezas exteoes sean ceo, que sea un sstema aslado), el momento angula total se mantene constante. 10

11 dl M ext, s M ext 0 entonces L cte S M ext 0, mplca que I ω constante y s el momento de neca es constante (I constante) ello mplca que ω es constante. Un cuepo ígdo que ga alededo de un eje pncpal se mueve con velocdad angula constante cuando no se aplcan momentos extenos. 3.5 Cálculo de momentos de neca. Como ya se ha vsto, el momento de una see de fuezas F aplcadas a un sóldo especto de un eje (que pasa po O) y cuyos ados vectoes son es un vecto M que vale: N M F 1 Y s se tene en cuenta la componente tangencal F T y la componente adal F R de la fueza se tene: N N N N N M F ( F + F ) F + F m α 1 T R T R M N 1 m α N M ( m ) α 1 I α Paa sstemas dscetos el momento de neca se defne como I N es la dstanca de la patícula al eje de otacón. 1 m, donde Los cuepos eales están fomados po tal cantdad de pequeñas patículas que se les supone contnuos. El momento de neca de cuepos eales contnuos donde se supone una dstbucón contnua de masa es: I M dm S la dstbucón de masa es contnua y volumétca: I ρdv V donde dm es un elemento de masa stuado a una dstanca del eje de otacón. Las undades del momento de neca son el kgm. 11

12 El momento de neca es paa la otacón el análogo de la masa paa una tanslacón Aplcacones: Momento de neca de una valla Cálculo del momento de neca de una valla de masa M y longtud L especto de un eje pependcula a la valla que pasa po el cento de masas. La masa dm del elemento de la valla compenddo ente x y x+dx es: El momento de neca de la valla es: Momento de neca de un dsco. Calculemos el momento de neca de un dsco de masa M y ado R especto de un eje pependcula al plano del dsco y que pasa po su cento. Tomamos un elemento de masa (que dsta x del eje de otacón) que es un anllo de ado x y de anchua dx. Dcho anllo s lo extendemos, se convete en un ectángulo de longtud πx y anchua dx, cuya masa es: 1

13 El momento de neca del dsco es: Momento de neca de un clndo Sea un clndo de masa M, ado R y longtud L, el momento de neca especto de su eje se obtene del sguente modo: Tomamos un elemento de masa que dsta x del eje de otacón. El elemento es una capa clíndca cuyo ado nteo es x, exteo x+dx, y de longtud L, tal como se muesta en la fgua. La masa dm que contene esta capa es El momento de neca del clndo especto de su eje es: Momento de neca de una placa ectangula. Sea una placa ectangula delgada de masa M de lados a y b, el momento de neca de especto de su eje se obtene del sguente modo: Tomamos un elemento de masa (que dsta x del eje de otacón) que es un ectángulo de longtud a de anchua dx. La masa de este ectángulo es: 13

14 El momento de neca de la placa ectangula es: Momento de neca de un dsco especto de uno de sus dámetos. Sea un dsco de masa M y ado R, calculemos el momento de neca especto de uno de sus dámetos. Tomamos un elemento de masa que dsta x del eje de otacón. El elemento es un ectángulo de longtud y de anchua dx. La masa de este ectángulo es : El momento de neca del dsco es: Hacendo el cambo de vaable: x R cosθ y R senθ Que podemos expesa como: Momento de neca de una esfea Sea una esfea de masa M y ado R, el momento de neca de especto de uno de sus dámetos se obtene: Se dvde la esfea en dscos de ado x y de espeso dz. El momento de neca de cada uno de los dscos elementales es.. La masa de cada uno de los dscos es: 14

15 El momento de neca de la esfea, es la suma de los momentos de neca de todos los dscos elementales. Usando la elacón de la vaable x con la z, x + z R, se obtene: Momento de neca de un clndo Sea un clndo de masa M, ado R y longtud L, el momento de neca de especto de un eje pependcula a su geneatz y que pasa po su cento se obtene: Dvdmos el clndo en dscos de ado R y espeso dx. el momento de neca de cada uno de los dscos especto de uno de sus dámetos es: El momento de neca del clndo es: 15

16 3.5. Teoema de Stene o de los ejes paalelos. El teoema de Stene nos pemte calcula el momento de neca de un sóldo ígdo especto de un eje de otacón que pasa po un punto O, cuando conocemos el momento de neca especto a un eje paalelo al anteo y que pasa po el cento de masas. Esta elacón es: I I + m d donde I es el momento de neca del cuepo especto al eje paalelo al ognal, I es el momento de neca del eje que pasa po el cento de masas, m es la masa total del cuepo y d es la dstanca ente estos ejes paalelos. Deduzcamos este teoema. S el momento de neca del sóldo especto de un eje que pasa po O es: y el momento de neca especto de un eje quepasa po C es:. S se elaconan y R medante la expesón: El témno ntemedo en el segundo membo es ceo ya que obtenemos la poscón x C del cento de masas desde el cento de masa. El momento de neca de un detemnado cuepo se puede detemna sabendo que: 1. La smetía del cuepo pemte a veces ealza sólo pate del cálculo.. Como el momento de neca es avo el cálculo de un momento de neca de un cuepo compuesto se puede toma como la suma de los momentos de neca de sus pates. 3. Muchas veces se obtene el momento de neca de un cuepo especto a un ceto eje medante el momento especto a oto eje usando el teoema de Stene. Ejemplo: El momento de neca de un paalepípedo usando el teoema de Stene. Sea un paalepípedo de masa M y de lados a, b y c especto de un eje pependcula a una de sus caas. 16

17 Dvdmos el paalepípedo en placas ectangulaes de lados a y b y de espeso dx. El momento de neca de cada una de las placas especto de su eje de smetía es Aplcando el teoema de Stene, se calcula el momento de neca de esta placa especto de un eje paalelo stuado a una dstanca x es: El momento de neca del sóldo en foma de paalepípedo es: Teoema de los ejes pependculaes. El momento de neca de una placa delgada (ve fgua) especto a un eje pependcula a la placa es gual a la suma de los momentos de neca de dos ejes que estén contendos en el plano de la placa, que coten al eje pependcula y sean todos pependculaes ente sí. Es dec, dado el dbujo de la fgua tendemos que: I I + I. z y x El teoema de los ejes pependculaes sólo se aplca a las fguas planas y pemte elacona el momento pependcula al plano con los momentos de otos dos ejes contendos en el plano de la fgua. 17

18 3.5.4 Rado de go. El ado de go de un cuepo especto a un eje es la dstanca al eje a la que debeía esta un punto mateal, de la msma masa que el cuepo, paa que se vefque que el momento de neca del cuepo y del punto mateal con especto al eje sean guales. Dstbucón de masa puntual: I n m 1 MR g MR g Dstbucón de masa contnua: I dm MRg Rg M M M dm Ejemplos: 1.- Demosta que el ado de go de una valla delgada y homogénea de longtud L L especto a un eje pependcula a ella y que pasa po el cento es: R g. 3.- Demosta que el ado de go de una esfea homogénea de ado R especto a un eje que pasa po su cento es: R g 5 R 3.6 Enegía cnétca de otacón Al gual que un cuepo con una ceta velocdad v tene una enegía cnétca gual a 1 m v, los cuepos que otan tenen una enegía cnétca asocada a esta otacón. Las patículas del sóldo descben ccunfeencas centadas en el eje de otacón con una velocdad popoconal al ado de la ccunfeenca que descben v ω R. La enegía cnétca total es la suma de las enegías cnétcas de cada una de las patículas, que puede expesase en funcón del momento de neca y de la velocdad angula de otacón como: 18

19 S se consdea un cuepo ígdo de masa total m que tene un movmento de taslacón, sendo v la velocdad del cento de masas, que además está gando con especto a un eje que pasa po su cento de masas, la enegía cnétca total es gual a la de taslacón del cento de masas más la de otacón, es dec: 1 E c mv + 1 I ω Tabajo, enegía e mpulso angula en el movmento de otacón. Cuando se vo el tabajo ealzado po una fueza F de un cuepo que ga cuando ecoe una dstanca nfntesmal ds dθ en el tempo ea: dw F d F senφ dθ y que el momento de la fueza ea el poducto de la componente tangencal de la fueza po el ado: dw F d F senφ dθ M dθ El tabajo total cuando el sóldo ga un ángulo θ es: El tabajo de los momentos de las fuezas que actúan sobe un sóldo ígdo en otacón alededo de un eje fjo es gual a la vaacón de su enegía cnétca de otacón. S se aplcan una see de fuezas duante un tempo t el momento de las fuezas que se aplcan duante un tempo t a un sóldo ígdo en movmento de otacón alededo de un eje fjo es gual a la vaacón del momento angula del sóldo en otacón. 19

20 Analogías ente dnámca de taslacón y de otacón. Paa faclta el estudo de la dnámca de la otacón se tenen en cuenta las sguentes analogías con la dnámca nomal. taslacón Rotacón 3.7 Cuepos odantes Cuando un cuepo ueda sn deslza exste una elacón (una lgadua, en lenguaje físco), ente el ángulo que ota y la dstanca que avanza, que paa un cuepo edondo (p.e. un ao, un clndo o una esfea) es: s Rθ, sendo R el ado del cuepo. La fueza de ozamento (paa que el cuepo uede sn deslza) no ealza un tabajo neto, po lo que la enegía mecánca se conseva. Sn embago, s el movmento de odadua es con deslzamento, la natualeza de la fueza de ozamento camba de estátca a cnétca y ealza además un tabajo que se tansfoma en una dsmnucón de la enegía fnal del cuepo. La velocdad y la aceleacón del cento de masas están elaconadas con la velocdad y la aceleacón angulaes de otacón espectvamente como: 0

21 S tenemos un caso de un cuepo smétco que ueda especto a un eje que pasa po su cento de masas y todas las fuezas extenas son consevatvas, se puede aplca el teoema de consevacón de la enegía: en este caso, además se cumple que: Movmento de un cuepo a lo lago de un plano nclnado. Estudemos el movmento de un cuepo (un ao, un clndo o una esfea) que ueda a lo lago de un plano nclnado. Las fuezas que actúan sobe el cuepo (ve fgua) son: El peso La eaccón del plano nclnado. La fueza de ozamento en el punto de contacto ente la ueda y el plano. S se descompone el peso en una fueza a lo lago del plano y ota pependcula al plano nclnad, las ecuacones del movmento son la sguentes: Movmento de taslacón del c.m.: m g senθ - F m a Movmento de otacón alededo de un eje que pasa po el c.m.: F R I c α. Relacón ente el movmento de taslacón y otacón (sn deslza): a α R. S se conoce el ángulo de nclnacón θ y el momento de neca I c del cuepo que ueda, se pueden calcula a y el valo de la fueza de ozamento F como: donde el momento de neca I c k mr y k es un facto geométco (que vale /5 paa la esfea, 1/ paa el clndo y 1 paa el ao) que se expesa como: 1

22 k I c m R Luego la aceleacón del cuepo (que es la de su cento de masas) es ndependente de la masa y del ado del objeto, solamente depende de de su foma. Paa calcula la velocdad del cuepo después de habe ecodo una longtud x a lo lago del plano nclnado, patendo del eposo, empleamos las ecuacones del m.u.a.: La velocdad fnal v c del c. m. del cuepo al llega al fnal del plano nclnado es Sendo h la altua de patda del cuepo especto a la poscón fnal, h x senθ. De nuevo se tene que la velocdad del cuepo (que es la de su cento de masas) es ndependente de la masa y del ado del objeto, solamente depende de de su foma. La enegía cnétca de un cuepo que ueda es la suma de la enegía cnétca de taslacón del c.m. y la enegía cnétca de otacón alededo del c.m. El tabajo total de las fuezas que actúan sobe el cuepo que ueda es la suma del tabajo en el movmento de taslacón más el tabajo en el movmento de otacón: W W t + W donde W t (m g senθ - F ) x m g h - F x W M φ F R φ F x Luego el tabajo total es: W m g h

23 La fueza de ozamento en el movmento de oda poduce dos tabajos de la msma magntud peo de sgnos opuestos. Esta es la azón po la que el tabajo neto de la fueza de ozamento es ceo y no nfluye en el balance de enegía. El tabajo de la esultante de las fuezas que actúan sobe un cuepo modfca su enegía cnétca (de taslacón del c.m. y de otacón alededo de un eje que pasa po el c.m.) y es ota foma de calcula la velocdad fnal v c del c. d. m. La velocdad fnal v c del c. m. del cuepo al llega al fnal del plano nclnado (que es la msma que se ha calculado a pat de las ecuacones dnámcas) es: El cuadado de la velocdad del c.m. v c es popoconal a la altua ncal h peo en todo caso < g h. 3.8 Movmento goscópco. Los cuepos en otacón se caactezan po posee dos popedades que son la neca goscópca o gdez en el espaco y la pecesón. La gdez en el espaco es la tendenca que tenen todos los cuepos en otacón a segu gando en el msmo plano y sobe el msmo eje. La pecesón es el movmento geneado al camba la oentacón del eje (o plano) de otacón, poducto de una fueza extena que actúa pependculamente a la vaacón. Exsten dvesos tpos de goscopos, de uno, dos o tes gados de lbetad, dependendo de las deccones en que se mueve el eje de otacón, y el sstema de sopote que utlza. S obsevamos la sguente fgua se pueden dstngu tes movmentos patculaes. El de go de la ueda alededo del eje de otacón, la pecesón de dcho eje y un movmento cclode (como de cabeceo o tambaleo), denomnado nutacon. Veamos el ogen de los dos últmos fenómenos 3

24 Rotacón alededo de un eje móvl. Tompo, goscopo y Tea. Cuando a un sóldo que está gando se le aplca un momento M en la deccón del eje de go, dcho momento poduce una vaacón del momento cnétco d L M, tambén en la deccón del eje, que da luga a una vaacón de la aceleacón angula α. S el cuepo es una ueda (po ejemplo de bccleta) (contenda en el plano YZ) la cual ga con velocdad angula ω 0 alededo del eje X y le aplcamos en dos puntos de dcho eje un pa de fuezas F, y F paalelas al eje Z, el momento que poducen sólo tene componente según el eje Y. En un tempo t la vaacón poducda en el momento cnétco po el momento M v es: sendo L 0 e L M t y L L + L 0 L pependculaes ente sí. En consecuenca L estaá en el plano XY peo desplazado un ángulo θ; como L tene que a lo lago del eje de go, éste tambén habá gado un ángulo θ y lo msmo ha ocudo con el plano de la ueda. De esta manea, el pa de fuezas F, y F no oblga a la ueda a levanta su eje po la pate posteo y a hacelo descende po la anteo como ocuía s la ueda no gase sno a que le oblga a ga (su pate posteo ga haca la zqueda y su pate anteo haca la deecha) sempe en tono al eje Y. A este movmento de otacón se le llama pecesón, sendo Ω dθ/ su velocdad angula de pecesón. Supongamos ahoa que la ueda que ga es el moto y la hélce de un aeoplano que se mueve a lo lago del eje X. S el ploto desea va haca la zqueda, o sea camba la deccón del eje de otacón de L 0 a L, los cojnetes del moto y de la hélce tenen que ejece un pa sobe el eje, equvalente al poducdo po el pa F y F. En vtud del tece pncpo el eje ejeceá un pa sobe los cojnetes que tende a eleva el moo del avón y a baja la cola, efecto que ha de se contaestado po los tmones de pofunddad. De la msma manea s el avón va a la deecha, baja el moo y sube la 4

25 cola. Recípocamente un cambo en la altua de vuelo haá va al avón a la zqueda s sube o a la deecha s baja. Paa calcula la velocdad angula de pecesón Ω en el movmento goscópco supongamos θ lo sufcentemente pequeño como paa que L y L 0 tengan el msmo módulo aunque dstnta deccón, el momento cnétco no vaaá en módulo: L L 0 La únca alteacón se poduce en la deccón de L 0. El pa camba la deccón peo no la magntud de L de manea análoga a la foma de actua de la fueza centípeta sobe la velocdad tangencal en el movmento ccula. S el ángulo θ es pequeño: sen θ θ y θ L L M t L la velocdad de pecesón seá entonces: θ Ω t M L y s además el eje de go es el de smetía L I ω y Ω M Iω El góscopo. En 1851, Foucault deó un dspostvo paa pone de manfesto la otacón de la Tea el góscopo (gyos, otacón; scopos, vese o pone de manfesto). El góscopo consste en un sóldo ígdo smétco que se fja al cento de masas, peo se le pemte cualque otacón en tono a éste. El sstema de fuezas de lgadua se educe a una fueza únca que pasa po el cento de masas. Cuando el sóldo ga a alta velocdad, la otacón ncal está dgda según el eje de evolucón, esta otacón se mantene y es estable. Una pequeña petubacón en las condcones ncales o debda a nteaccones se taducía en una otacón póxma a una deccón fja. El góscopo es un nstumento mecánco cuyo elemento fundamental es un sóldo ígdo de evolucón con un punto fjo que ga con gan velocdad alededo de un eje muy cecano al de evolucón; es muy páctco paa pone en evdenca s la otacón del msmo pemanece constante especto a la Tea o, po el contao, evolucona especto a ésta, evdencando su otacón. El góscopo de Foucault funcona como una bújula y como un sextante, pues dado que el eje del msmo ga en tono al eje teeste, evdenca la deccón del msmo. El ángulo que foma dcho eje con el plano hozontal detemna la lattud y su poyeccón sobe dcho plano epesenta la deccón N-S. En 1908 el noteamecano Elme Spey patentó una bújula goscópca que buscaba el note y poco después desaolló el establzado goscópco paa buques. Desde 5

26 entonces se han desaollado multtud de aplcacones de los góscopos, como p. e. plotos automátcos o como establzadoes de tenes monoaíl, etc. Un góscopo es un apaato en el cual una masa que ga velozmente alededo de su eje de smetía, pemte mantene de foma constante su oentacón especto a un sstema de ejes de efeenca. Cualque cuepo sometdo a un movmento de otacón acusa popedades goscópcas, po ejemplo una peonza. Paa fabca un góscopo, el elemento gatoo debe esta constudo con un mateal pesado o de muy alta densdad, con su masa epatda de foma unfome y que además ote a gan velocdad con el mínmo posble de esstenca po fccón. Este elemento gatoo se monta sobe un sstema de ejes que confeen al góscopo dstntos gados de lbetad de movmentos, sendo el más comúnmente utlzado el denomnado montaje unvesal, en el cual el góscopo es lbe de movese en cualque deccón sobe su cento de gavedad. Un góscopo de este tpo se dce que tene tes planos o tes gados de lbetad. Un góscopo básco es como el que se muesta en la fgua, y consta de una suspensón Cadan con dos macos (m 1 azul y m ojo) de foma que m 1 ga lbemente en tono al eje e 1 y m ga lbemente en tono al eje e de m 1. Fnalmente, el sóldo σ (amallo) ga lbemente en tono al eje z de m. Los góscopos popoconan unos planos fjos de efeenca, planos que no deben vaa aunque cambe la poscón del avón (o del baco, etc.). Gacas a esto, el ploto dspone de nstumentos que le popoconan la poscón espacal del avón con especto a dstntos ejes o planos de efeenca. Estos nstumentos son: ndcado de acttud tambén llamado "hozonte atfcal", ndcado de go y vajes denomnado tambén "bastón y bola", e ndcado de deccón. Un góscopo es, po tanto, un apaato consttudo po un cuepo de gan momento de neca (un dsco D en la fgua a) que ga a gan velocdad alededo del eje AA. Cuando el dsco D está stuado hozontalmente y el cículo B tene la poscón de la fgua, no exste momento de las fuezas exteoes y, po tanto, el momento angula ( I ω) ) seá constante en módulo y deccón. Como el momento de neca del dsco no 6

27 camba, la velocdad angula del dsco ω seá constante. La expeenca muesta que, efectvamente, el eje de otacón AA se mantene fjo y es necesao ejece un pa, paa modfca su deccón. S ponemos el góscopo como ndca la fgua b, suspendéndole de un hlo fjo en A, actúa un pa debdo al peso del popo góscopo. Se obseva entonces que da vueltas en tono al eje Z efectuando un movmento de pecesón. La pecesón es poducda po el pa o momento M, po tanto s se loga anula este pa, hacendo que se equlbe el eje de otacón ponendo un peso detemnado del lado contao de la ueda, nuesto dl seá ceo y po tanto la ueda seguá otando sempe en la msma deccón, ndependente que el sopote vaíe su poscón. Incluso la otacón del globo teeste no afecta al goscopo, cuyo eje seguá oentado en su deccón ognal (lo que vene sendo una pueba de la otacón de la Tea). Además, s esta deccón concde con el eje note-su de la Tea, el fenómeno anteo pemte utlza el goscopo como una bújula. El movmento de pecesón es el msmo movmento que se obseva cuando una peonza ga alededo de un eje AA que no concde con la vetcal. En este caso el pa de fuezas que poduce la pecesón son su peso m g aplcado en el c.d.g. y la fueza de eaccón m g que apaece en el punto de apoyo O, el cual se consdea fjo. S no exstese el efecto goscópco la peonza caeía nstantáneamente al suelo po accón pecsamente de este pa de fuezas (m g, m g ) que se genea (ve fgua sguente). En la ealdad, la peonza acaba po cae al suelo poque, debdo al ozamento que no hemos tendo en cuenta, el ángulo φ se hace cada vez mayo. 7

28 La msma Tea puede consdease como un gan góscopo que ga con una velocdad angula de 7,9 x 10-5 ad/s. Como no es una esfea pefecta, la fueza de ataccón del Sol no está aplcada en el cento O de la Tea sno en un punto P, apaecendo entonces un momento. Su eje descbe como en los casos anteoes, un movmento de pecesón. Cada ventsés ml años descbe un cono, de tal manea que su deccón, que es ahoa la de la estella pola, estaá dgda haca la estella Vega de la constelacón de La dento de años. 8