CAPÍTULO V SISTEMAS DE PARTÍCULAS

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Juana Quintana Sánchez
hace 6 años
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1 CAPÍTULO V SISTEAS DE PARTÍCULAS

3 3 SISTEAS DE PARTÍCULAS La mayo pate de los objetos físcos no pueden po lo geneal tatase como patículas. En mecánca clásca, un objeto enddo se consdea como un sstema compuesto po un gan numeo de patículas puntuales. El estudo que sgue se tanto paa un agegado de patículas lbes como pueden se los fagmentos de una ganada, como paa un sóldo ígdo en cuyo caso las patículas se mueen mantenendo dstancas fjas ente s. Sea un sstema de patículas de masa m. Sobe cada patícula actúan dos tpos de fuezas. Las fuezas llamadas ntenas poenen de las otas patículas del sstema. j epesenta la fueza que actúa sobe la patícula debda a la pesenca de la patícula j. De acuedo a la tecea ley. ) j j Paa este estudo nos lmtaemos al caso de fuezas centales; j esta dgda a lo lago de la línea que une la patícula con la j. Ello mplca descata el caso patcula de fuezas ntenas que dependen de la elocdad elata de las patículas. El segundo tpo de fuezas poenen del eo del sstema. Llamaemos a la esultante de las fuezas enas que actúan sobe la patícula. Las ecuacones ce ewton paa la patícula establecen que ) m & j Sumando paa toda j m & j j y obseando que j 0, ya que las fuezas ntenas se cancelan de a paes, esulta j que 3) m & R

4 4 donde R es la esultante de las fuezas enas. Recodando que la masa total es masas o bacento m y defnendo el ecto poscón del cento de 4) m esulta & R 5) El cento de masas se muee como lo hace una patícula con la masa del sstema completo sobe la cual actúa una fueza gual a la esultante de las fuezas enas. Conocda la poscón y elocdad ncales de las patículas del sstema, la ecuacón 4) y su deada pemten calcula la poscón y elocdad del cento de masas en el nstante ncal. La ecuacón 5) detemna su eolucón en el tempo, un ez conocda R. Po ejemplo, s la únca fueza ena es el peso R gk, el cento de masas seguá una tayectoa paabólca, no mpota cuan complcada sea la dstbucón de patículas. El sstema de ecuacones ) contene mucha más nfomacón que la ecuacón 5). S las fuezas enas dependen de la poscón y/o elocdad de las patículas del sstema (, &, t), no se puede detemna el momento del cento de masa sn analza el momento de cada patícula del sstema. La ecuacón 5) es la pmea ecuacón fundamental de un sstema de patículas. Relacona la deada del momentum lneal total P m. con la esultante de las fuezas enas. dp La segunda ecuacón fundamental elacona la deada del momentum angula total con el momento total o toque total del sstema de fuezas. Sea un punto abtao, entonces el momentum angula total es R

5 5 ( ) m L Su deada especto al tempo ( ) ( ) m a m ( ) j j donde hemos usado la ecuacón ), la defncón del cento de masas y el hecho de que 0. Las fuezas ntenas una ez más no contbuyen ya que ( ) ( ) ( ) 0 j j j j j ya que po hpótess las fuezas ntenas son centales. Po consguente ( ) El últmo sumando es el momento total especto de de las fuezas enas. ( ) o sea L d que es la segunda ecuacón fundamental de un sstema de patículas. La ecuacón se smplfca en tes casos patculaes. a) 0. Se toman momentos especto a un punto fjo. b) es colneal con.

6 6 c). Se toman momentos especto del cento de masas. En los tes casos en patcula Paa un sstema de patículas cualquea las dos ecuacones fundamentales no bastan paa detemna la eolucón del sstema. Son solo ses ecuacones y el sstema tene 3 coodenadas ndependentes. Sn embago eemos que en un sóldo ígdo solamente ses coodenadas bastan paa detemna su poscón y en este caso las dos ecuacones fundamentales son sufcentes. La smplfcacón fundamental que popoconan estas ecuacones se debe a la posbldad de elmna las fuezas ntenas. Paa que ello sea posble se debe cumpl que: S dos patículas ejecen fuezas mutuas, estas son guales en ntensdad, su línea de accón es la línea que une dchas patículas y sus sentdos son opuestos. Este enuncado se toma muchas eces como la tecea ley de ewton. (Véase po ej. Synge y ffth. La msma ale esencalmente cuando el sstema no noluca patículas cagadas en momento). Cuando se anulan R y se consea el momentum lneal total P y el momentum angula total L. En patcula ambas cantdades se consean paa un sstema lbe de fuezas enas. Concluemos este estudo hacendo algunas consdeacones sobe la enegía de un sstema de patículas. La enegía cnétca de un sstema de patículas puede expesase como la suma de la enegía cnétca del bacento más la enegía cnétca especto de él. T m & defnmos ρ entonces ( & & & ρ & ) T m ρ obseando que m m m ρ 0 y po lo tanto m ρ& 0

7 7 esulta T & m & ρ S las fuezas enas dean de un potencal U ( )... se puede ntoduc U ( ) U ( ) sstema. y U. U es la enegía potencal total del Independentemente del tpo de fuezas en juego se puede elacona la potenca de las fuezas con la aacón de la enegía cnétca. P d d j m m j T Veemos más adelante que en el caso patcula de un cuepo ígdo es posble una ez más elmna las fuezas ntenas que tenen potenca nula. De modo que pa un cuepo ígdo se cumple que P T la potenca total de las fuezas enas es gual al tmo de aacón de la enegía cnétca. Ejecco: Poba que s se cumple la pmea ecuacón fundamental de un sstema de patículas y la segunda especto a un punto, se cumple la segunda especto a un punto cualquea L. dt dt

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