MECÁNICA ANALÍTICA (Docencia Reducida)

Transcripción

1 MECÁNICA ANALÍTICA (Docenca Reducda) Pofeso: José Manuel Donoso Dto. Físca Aplcada. Mateal: Apuntes ETSIA de la asgnatua (Pof. Jave Sanz) Calfcacón: Examen Fnal (convocatoa ofcal según odenacón) Dos poblemas (0+0) sn lbos n apuntes Opcón de test teóco a medados de cuatmeste

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3 Intoduccón Mecánca de Newton. Leyes de consevacón. Consevacón del momento cnétco. Consevacón de la enegía mecánca (fuezas consevatvas) Qué tenen en común? 3 3

4 Intoduccón a las ecuacones de Lagange

5 Ecuacones de Lagange paa una patcula (catesanas) x x 3 F P 3 3 = xe M + xe + xe 3 3 x Tedo físco (3-D) F = Fe + Fe + Fe M d = F. dt Mx,. = F =,,3., T= Mv = Mx 3 =, d dt T x Mx, d dt T = x =,,3. F, d T T = dt x x =,, 3. F, Ecuacones de Lagange

6 Ecuacones de Lagange paa una patcula (coodenadas abtaas) x3 P F F = Fe + Fe + Fe 3 3, = xe + xe+ x3e3. x = ϕ( q, q, q3, t), q(), t q(), t q3()? t M =,,3. q Coodenadas genealzadas x Tedo físco (3-D) a =, =,,3. Base de vectoes x q tangentes 3 3 d q ( v =, q, q3, t)! = + q = + qa, dt t = q t = v( q, q, q3, q, q, q3, t) T = M v T( q, q, q3, q, q, q3, t), q Velocdades genealzadas d T T d = Q Q F a, M = F. dt q q Componente dt genealzada de la fueza =,,3. 3

7 Demostacón dv M F, dt = dv M a Q, dt = v = + t da d = dt dt 3 = q q d da M ( v a ) v = Q, v, a = =, = q + q q q t q q q d v v Mv Mv = Q dt q q, dt dt a q t = q + q d v v dt q q = v = q M M Q, d T T = dt q q =,,3. Q, 4

8 Ec. De Lagange: Patcula movendose sobe cuva (sn ozamento) x = ϕ( qt, ), x = ϕ( qt, ), x3 = ϕ3( qt, ), N a x = ϕe + ϕe + ϕ3e q 3 3. F P aq = Tangente a la cuva q x M v = dv dt = d dt x F. F = F + N dv M aq F a dt = q = + + qa t q t dv d da d T T M aq = M v a v dt dt dt dt q q v daq v aq,, q dt q q, q ( q), q = F a Q T = Mv T q q t (,, ), q d T T = Q dt q q, 5

9 Ec. De Lagange: Patcula movendose sobe supefce (sn ozamento) x F 3 x = ϕ( q, q, t), x = ϕ( q, q, t), x3 = ϕ3( q, q, t), = ϕe + ϕe + ϕ3e x 3. Tangentes a la N P a =, a =, F = F q + N, q supefce x a a dv dv M F. dt = M a F a dt = = F a Q dv M a F a dt = = F a Q d, d T T v= = + qa = Q, + qa dt t dt q q T = Mv T( q, q, q, q, t), d T T = Q, dt q q 6

10 Resumen: Ecuacones de Lagange paa una patcula x3 P F 3 = ϕ( q, q, q3,) te = M =,,3. q Coodenadas genealzadas x a =, =,,3. Base de vectoes Tedo físco (3-D) q tangentes x T = M v T( q, q, q3, q, q, q3, t), q Velocdades genealzadas d T T = dt q q =,, 3. Q, Q F a Componente genealzada de la fueza Casos patculaes: Movmento sobe cuva: ϕ = ϕ( q, t), =,, 3. ϕ = ϕ( q, q, t), =,, 3. Movmento sobe supefce: 7

11 Potencal genealzado de fuezas Una fueza F deva de un potencal genealzado Uvt (,,) cuando : d U U F = dt v d U U U U U U + + k + + k, d x t y z x y z Uxyzxyzt (,,,,,, ) Obseva que!!!!!!!

12 Eemplos: Fueza de neca: dω FI = M a o + ω ( ω ) + + ω v, dt ( ( ) U M a ( = ) ), o ω v ω Fueza de campo magnétco constante (po sencllez): F = qv Bk 0, mag e e 0 e 0 Compobalo!!!!!!! U = q ( B k ) v q B ( yx xy ), Compobalo!!!!!!!

13 Componentes genealzadas de las fuezas Uvt (,,) que devan de un potencal genealzado : q (, q, q3,) t a q d U U Q = a dt v d U v U v U = d tv q v q q d U U da U dt v v dt = a a = d U U =, dt q q U(, qqt,) Obseva que!!!!!!!

14 Ec. de Lagange paa una patícula en un campo de las fuezas que deva Uvt (,,) de un potencal genealzado : Patícula sn lgaduas: q (, q, q, t), 3 T( qqt,, ), U( qqt,, ), Defncón: Lqqt (,,) = T U a d T T d U U = dt q q dt q q, =,,3. q, Funcón de Lagange o Lagangana de la patícula 3 gados de lbetad d L L = dt q q 0,

15 Patícula con lgaduas geométcas deales (holónomas deales): Sobe cuva (sn ozamento): T( q, q, t), U( q, q, t), d L L dt q q = Sobe supefce (sn ozamento): qt (, ), T( q, q, q, q, t), U( q, q, q, q, t), 0, d L L 0, dt q q = d L L 0, dt q q = Lq (, q,) t = T U q (, q, t), gado de lbetad gados de lbetad L= T U

16 Defncón de sstema lagangano: Una patícula sn lgaduas (o con lgaduas holónomas deales) bao la accón de una fueza que deva de un potencal genealzado se dce que es un sstema lagangano. Un sstema físco cuya evolucón en el tempo ( detemna a pat de las ecuacones paa una ceta funcón lagangano. d L L = 0, =,,3, dt q q Lqqt (,,) q ( t), =,, 3,, se dce que es un sstema ) se

17 x q Lgaduas no holónomas x 3 P M = ( qt, ), = q, q, q, 3 x Tedo físco (3-D) Tabao en un desplazamento pequeño Coodenadas genealzadas: x = x ( q, q, q,) t, a 3 3 = A(,) tx+ A(,) t = 0, CN f = µ ( A(,) te+ A(,) te+ A3(,) te3) µ b, b= A(,) te+ A(,) te + A(,) te, 3 3 Lgadua no holónoma deal 3 CN = µ = µ = f vdt A e ( x e x e x e ) dt A dt, 3 = B(,) qt q + B(,) qt = 0, x x B(,) qt A, B(,) qt A A, t 3 3 = = + = q = 33

18 Teoema: x 3 P M 3, δ =, =, b B a a a = = 0,, ( =,,3; =,,3) x x Tedo físco (3-D) Demostacón: x b A ( e a) = A ( e ) = A B, a = B = = = q = q b a = B =, b a = B =, 3 3 f b, b B a, a a, B(,) qt q B(,) qt 0, 3 3 CN µ δ = = = = + = 34

19 x Ecuacones de Lagange paa una patícula con una lgadua no holónoma (deal): x 3 P M x Tedo físco (3-D) 3 gados de lbetad = + CN CN CN f a = µ B, f a = µ B, f a = µ B, * CN F F f 3 3 Lqqt (,,) = T U, d L L = µ B, =,, 3. dt q q 3 = B(,) qt q + B(,) qt = 0, Incógntas: 3 q ( t), q ( t), q ( t), µ ( t), 35

20 x Ecuacones de Lagange paa una patícula con dos lgaduas no holónomas (deales): x 3 P M x Tedo físco (3-D) 3 gados de lbetad = + * CN F F f, 3 = B(,) qt q + B(,) qt = 0, =, f f f b b CN CN CN = +, = µ + µ f a = µ B + µ B, f a = µ B + µ B, f a = µ B + µ B, CN CN CN d L L = µ B, =,,3. dt q q = Incógntas: q ( t), q ( t), q ( t), µ ( t), µ ( t), 3 3 = B(,) qt q + B(,) qt = 0, =, 36

21 Ecuacones de Lagange paa una patícula movendose sobe una supefce sn ozamento y con una lgadua no holónoma (deal): CN f x x 3 P F a a gados de lbetad x N = B(,) qt q + B(,) qt = 0, f = µ b, b= Ba+ Ba, CN d L L = µ,, B = dt q q Incógntas: q ( t), q ( t), µ ( t), = B(,) qt q + B(,) qt = 0, 37

22 Eemplo (lgaduas no holónomas deales): Una patícula de peso Mg se mueve en un tedo necal x,y,z bao la accón de la fueza de un muelle deal de constante elástca K y longtud natual despecable. El vecto velocdad de la patícula es paalelo en cada nstante al vecto = + ω + ω + + ω sendo ω una constante conocda. Obtene las ecuacones de Lagange que descben el movmento de la patícula. ut ( ) ( sn t ) (3 cos t) (4 sn tk ), z x Mg y 38

23 Solucón (lgaduas no holónomas deales): Coodenadas genealzadas x,y,z, v paalelo a ut () v = x + y + zk x y z = =, + snωt 3 cosωt 4 + snωt lgaduas no holónomas: B = (3 cos ωt), B = ( + sn ωt), () : (3 cos ωtx ) ( + sn ωty ) = 0, B3 = B = 0, () : (4 + sn ωty ) (3 cos ωtz ) = 0, B = (4 + sn ωt), B3 = (3 cos ωt), B = B = 0, T = M( x + y + z ), U = Mgz + K( x + y + z ), L= T U, d L L CN = f = ( µ ) ( B + B + B3k) + µ ( B + B + B3k), dt x x d L L CN = f = ( µ ) ( B + B + B3k) + µ ( B + B + B3k), dt y y d L L CN = f k = ( µ ) ( B + B + B3k) + µ ( B + B + B3k) k, dt z z 39

24 Solucón (lgaduas no holónomas deales): Mx + Kx = µ (3 cos ω t), My + Ky = µ ( + sn ω t) + µ (4 + sn ωt), Mz + Kz + Mg = µ (3 cos ω t), (3 cos ωtx ) ( + sn ωty ) = 0, () (4 + sn ωty ) (3 cos ωtz ) = 0, () xt ( ), yt ( ), zt ( ), µ ( t), µ ( t), Incógntas: Condcones ncales: xt ( 0), yt ( 0), zt ( 0), xt ( ), yt ( ), zt ( ), Compatbles con () y ()!!

25 Extensón a sstemas de patículas o sstemas con 3N gados de lbetad: Fomulacones vaaconal y geométca de la Mec. de Lagange. Fomulacón vaaconal de la Mecánca: Pncpo de Hamlton

26 Cálculo de vaacones. Pncpos Vaaconales Poblema: extensón del poceso de mnmza (maxmza) una funcón f(x) a mnmza (maxmza) un FUNCIONAL, ntegal defnda sobe x de una funcón de f(x), df/dx y de x. Del msmo modo que en cálculo odnao se busca x paa que f(x) sea extemo analzando el entono de x: Una funcón (contnuous and dfeencable) de n vaables pesenta un extemo en x m s paa toda vaacón nfntesmal δ x en tono al punto es nula: z F x x x n = (,,, ) x = xm x m, xm, K, xn m, δ n F F z z F( xm ) ; δ x = 0, = 0, =, K, n. = x x m m

27 Valo estaconao de un funconal Consdeemos la ntegal defnda de la foma: y I t = F( y, y&, t) dt, t Donde es funcón de e. t y& = I tene valo que depende de la functon y( t) evalua la ntegal, Se llama funconal de I dy dt y b a usada paa y( t) + h( t) y( t) t t t S se busca ahoa la funcón y( t) que cumpla y que haga estaconao el funconal, I y( t ) = a, y( t ) = b δ I = I( y + h) I( y) = 0 3

28 t = F( y + h, y& + h&, t) dt F( y, y&, t) dt ; t t ; ( F + F ) yh + Fyh dt F( y, y, t) dt t t t t t t t t & & & ( F ) yh y& = F hdt + F dh = F hdt + F h y y& y y& h t t t t t t t = + F h& dt = t y& h dt = t df dt = t t d F F dt y& y ( h( t) = h( t) = 0) y hdt = 0, b a y( t) + h( t) y( t) Tambén suele tomase h con vaacón paamétca t t t 4

29 Y como tambén necesao) Paa t n h( t) es abtao, la ntegal es ceo s (es sufcente y d F F = 0, dt y& y vaables la genealzacón es nmedata: I = F( y, K, y, y& K, y&, t) dt, t y( t) La funcón funconal. n que satsface tal l ecuacón se dce extemo del n y ( t ) = a, y ( t ) = b, =, K, n. d F F δ I = 0, = 0, =, K, n. dt y& y y ( t) Las funcones son los extemos (estaconaos) del funconal. I I 5

30 Eemplo.Enconta la cuva que mnmza la dstanca ente dos puntos Halla y( x) tal que la dstanca ente los puntos ( xa, y A) y ( xb, yb) sea mínma B xb AB = = + ( ), ( A) = A, ( B) = B, A x s ds y x dx wth y x y y x y F A + y ( x) d F F = 0, dx y y d dx = 0, + y = + y y cte, y = c + c x, y y y y B A B A y = ya xa + x xb xa xb xa 6

31 El Pncpo de Hamlton Paa un sstema mecánco exste una funcón y velocdades q y del tempo q& L( q, q&, t) de las poscones llamada lagangana, tal que el funconal S, llamado accón t S = L( q, K, q, q&, K, q&, t) dt, t n Es tal que sus extemos son las solucones de las ecuacones (de Lagange) : d L L δ S = 0, = 0, =, K, n. dt q& q Cuál es L? es únca? pueden obtenese las ecuacones de Newton? n Em L = m & U c U ( ) V on =, 7

32 8

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34 El Pncpo de Hamlton establece que: De todas las tayectoas posbles (compatbles con posbles lgaduas) un sstema dnámco de desplaza en el tempo de un estado a oto sguendo sólo la tayectoa que mnmza la ntegal tempoal de T-U. Em. Osclado amónco y péndulo smple. La lagangana (aquí sstema consevatvo newtonano) es escala y fomulable en coodenadas GENERALIZADAS No se usan vectoes, no apaecen fuezas El cálculo de vaacones pemte extende las ecuacones de Eule- Lagange ncluyendo condcones en las vaables, LIGADURAS, y más allá de sstemas consevatvos. 0

35 .- No necestan se devadas de pncpos vaaconales, peo hoy es más guoso (Lagange 788, Hamlton 834, Jacob (837) Weestass, etc.- No da una teoía nueva, peo sí una fomulacón nueva po qué usala? Está asocada a poblemas de MINIMOS usuales en Físca. 3.- Manea un escala L, da ecuacones de movmento sn pasa po F, no usa dea de fueza (fuezas a veces mposbles de detemna s lgaduas en Newton). 4.- L es nvaante (no camba en sstemas coodenados), las vaables pueden no se poscones de espaco físco (em. ángulos, enegía...) 5.-Enegía vesus Fueza: en físca modena pesste "enegía", como en Cuántca, Hamlton elacona hoy físca clásca y modena. 6.- Vola pncpo de causaldad? lo lleva a pncpo más últmo. 7.- Idea ya avanzada en la Antgüedad en óptca -Heón. II AC de dstanca mínma) y posteomente Femat 657 (Ley de Snell). En Mecánca "ímpetu mínmo" de Maupetus 747, luego hasta hoy conectando Newton y teoía de campos.

36 .Ley de Newton en el espaco de confguacón 3N-D x 3 3 Ve atículo: J. Casey, Am. J. Phys. 6 (9), 994. F ( n) = M ( n) && x ( n) =,,3; n =,, KN x Espac.físco 3D x F ( n), F ( n), F ( n) 3 P 3N-dmensonal Espaco confguacón catesano. P { 3 4 3N,,,,, x x x x x { x (), x (), x (), K, x ( N), x ( N), x ( N) } 3 3 }

37 P 3N-D 3N-Dcatesano Se asocan 3N masas catesanas según : { 3 K 3 m, m m,, m } N { M (), M (), M (), K, M ( N), M ( N), M ( N) } Y 3N componentes de una fueza f : { 3 K 3 f, f f,, f N { F (), F (), F (), K, F ( N), F ( N), F ( N) } 3 3 } 3

38 P Las componentes de f en el espaco de confguacón son : 3N-dmensonal La enegía Cnétca: N T = M ( n) ( x& ( n) + x& ( n) + x& 3( n) ) = n= f k = m && x k k =,, K, 3 N, k, 3N k = m k k ( x& ) La coespondencaente ambos espacos se loga enumeando índces: x n x con n N 3n 3+ ( ) =, =,,..., F ( n) = f, donde =,,3 3n 3+ M ( n) = m = m = m, 3n 3n 3n 4

39 Espaco vectoal de confguacón: P 3N-dmensonal Se defnen coodenadas de un punto P: Conla masa total x% m = x m, m M ( ), k k k N = Y una métca (noma) en espaco 3N-D: = P puede epesenta un vecto de poscón confguacón Con la base otonomal 3N k = x% e % k k =, d ( x ) m ( x ), 3N 3N k k OP = % k k = m k = { e% }, e%, K, e% 3N = d OP en el espaco de. 55

40 Espaco de confguacón: P Y con un pa de bases fas ecípocas { e k } { e k } e = e k % m / m, e = e % m / m, k k k k k e e = δ, = K = K (,,,3 N; k,,,3 N) Poscón y velocdad de P son : d 3N k = x e 3 N k, v = = k = dt k = k & k x ek, k lo que pemte constu la fueza del espaco de confguacón sobe una patícula como 3N k f = fke, k = 66

41 Lo que lleva a elacones de patícula en el espaco de confguacón, con su métca ds, como las de una patícula en espaco 3D (fomalmente déntco al caso del movmento una patícula) : dv f = m, dt mv v = m x x e e T 3N 3N k & & k k = =, dt f v =, dt T ds = d d = dt m, 77

42 Vaedades en el espa. De conf. y geometía S P S las N patículas se someten a M lgaduas holónomas (geométcas) φ (, t) = 0, ( =,, K, M < 3 N ) Cada elacón defne una hpesupefce de dmenson 3N-. La nteseccón de ellas es un subconunto S de dmensón f = 3N - M. P pemanece en S descto con un mínmo númeo de vaables f paa localza a P en t en S. Las f coodeandas gaussanas se llaman vaables genealzadas, y f es el númeo de gados de lbetad del sstema. S es una vaedad con geometía de Remann. q t = =,, K,. (, ), q q q q f =,, K, f. a = q, 88

43 Y con las elacones de la Seccón I..3, la enegía cnétca se puede descompone según: ( q, t) v = q& a +, T = T + T + T, 0 t = T 0 m t. f T = m ( a ) q&, t = f f T = m ( a a β ) q& q& β 0, = β = T métca ds a a dq dq dt f f : = ( β ) β = 0, = β = m T es funcón homogénea de gado, foma cuadátca defnda postva. T debe concd con la enegía cnétca de las N patículas: u u N f n n T = m ( q& + ) q t n= = Se llega a las ecuacones de Lagange como se hzo paa una patícula. 99

44 S P Con los vectoes del espaco tangente como base: (Secc. I..4, pág. 5) f a = mv& a, a Q = f a d da m v a = ( mv a ) mv, dt dt, S Y de v da v d v v a = =, =, Q = ( mv ) mv, q q& dt q dt q& q d T T Q = ( ), dt q& q * U d U f = +, dt v Se defnelalagangana L( q, q&, t) = T ( q, q&, t) U ( q, q&, t) d L L ( ) = 0, =, L, f. dt q& q 00

45 Así, paa el caso de un sstema de N patículas, puede seguse una fomulacón análoga al de una patícula, cuya poscón de especfca con 3N vaables catesanas. S el númeo de lgaduas holónomas es M, se pueden eleg f=3n-m vaables genealzadas, es el númeo de gados de lbetad, paa que tales lgaduas se cumplan automátcamente. φ (,...,, t) = φ (, t) = 0, l =,,..., M l, N l Suponendo 3N vaables {q} (de las que M pueden se constantes de movmento) Las ecuacones de Lagange se obtendán, como paa una patícula, peo ahoa va de a N. El esultado es el msmo que el obtendo medante la devacón clásca en témnos de tabaos vtuales y Pncpo de D Alembeg (ve Goldsten).

46 La devacón geométca smplfca la notacón y demostacones teócas y complementa la agumentacón po pncpos vacaconales (no sempe útl). Intoduccón de las lgaduas: como paa el caso de una patícula. En geneal, no todas las fuezas devan de un potencal genealzado U. Hay que pat de la ecuacón geneal de Lagange paa T y descompone cada Q en contbucones. Las lgaduas mplcan fuezas sobe el sstema Cuáles? A) S sólo hay M lgaduas holónomas éstas pueden usase paa defn 3N-M=f vaables ndependentes {q}, el Pncpo Vaaconal da las ec. de Lagange como en ausenca de lgaduas y con f gados de lbetad, peo se pede nfomacón de fuezas asocadas. φ (,...,, t) = φ (, t) = 0, l =,,..., M l, N l Oto pocedmento: Con el Pncpo vaaconal condconado suge el método de multplcadoes de Lagange. Em. Caso en dos vaables. L = L( q, q, q&, q&, t) δ I = 0 = δ t t d L L Ldt = [ ( ) ] δ q dt dt q& q = Peo las dos δ q no son ndependentes s hay una lgadua φ φ φ l ( q, q ) = 0 δ q + δ q = 0 l l q q

47 Hay que elmna una vaacón de q en funcón de la ota paa tene una vaable Independente. Así, se elge: d L L NOTACIÓN ( opeado): l ( L) = ( ) dt q& q l φ φ ( L)( ) = l ( L)( ) = λ ( t) q q Da dos ecuacones, más la de lgadua paa tes ncógntas. En geneal: l l d L L φ ( L) = ( ) = λ, =, dt q& q q d L L φ ( q, t) ( L) = ( ), =,...,3 N dt q& q M l = λ l ( t) l = q Se tenen 3N+M ecuacones (de Lagange más lgaduas) e ncógntas. Sgnfcado físco: se obtenen las msmas ecuacones que s se hubea usado el lagangano ) L = L + λ l ( t) φ l ( q, t) l Los multplcadoes están elaconados con las fuezas genealzadas de lgadua (nomales a supefces defndas po lgaduas, no hacen tabao vtual). l φ l ( q, t) φ l (, t) CH λ l ( t) = λ l ( t) = F, ( esp. confg.) q q q l

48 Se obtenen así las fuezas de lgadua en sstema holónomo de lagangana L B) Lgaduas anholónomas. No hay pocedmento geneal, podía opease gual peo estas lgaduas tenen a las velocdades Y en el cálculo vaaconal no se pescben las vaacones vtuales de las velocdades. S se consdease el Lagangano: φ ( q, q&, t) = 0, =,..., L ) L = L + µ ( t) φ ( q, q&, t) l l Como en el caso holónomo, apaeceían devadas pmeas de los multplcadoes, de los que no se conocen condcones ncales, el pocedmento no es extensble al caso no-holónomo. LUEGO: Cada caso ha de estudase ndependentemente. Un caso patcula smple es el de lgadua semholónoma o (=,,...,L) lgaduas deales, como paa una patícula: = f = Po compaacón y extensón del caso holónomo, pueden ntoducse multplcadoes l B ( q, t) q + B ( q, t) = 0 (57)

49 Se obtenen así las fuezas de lgadua en sstema holónomo de lagangana L B) Lgaduas anholónomas. No hay pocedmento geneal, podía opease gual peo estas lgaduas tenen a las velocdades Y en el cálculo vaaconal no se pescben las vaacones vtuales de las velocdades. S se consdease el Lagangano: φ ( q, q&, t) = 0, =,..., L ) L = L + µ ( t) φ ( q, q&, t) l l Como en el caso holónomo, apaeceían devadas pmeas de los multplcadoes, de los que no se conocen condcones ncales, el pocedmento no es extensble al caso no-holónomo. LUEGO: Cada caso ha de estudase ndependentemente. Un caso patcula smple es el de lgadua semholónoma o (=,,...,L) lgaduas deales, como paa una patícula: = f = Po compaacón y extensón del caso holónomo, pueden ntoducse multplcadoes l B ( q, t) q + B ( q, t) = 0 (57)

50 En esumen, y de foma geneal: Convene descompone (s es posble) las fuezas según pocedenca y pat de las ecuacones geneales de Lagange paa la T. d T T ( T ) = ( ) = Q + Q + Q + Q U CH CN * dt q q En geneal, paa ntoduc una componente de una fueza genealzada en un sstema de N patículas, s F(n) y (n) son la fueza y poscón de la n-ésma patícula, se aplcaá: N N 3 ( n) x ( n) Q = F ( n) = F ( n) q q n= n= = Y s se ncopoan todas las fuezas de lgadua (M+L) deando en T los 3N gados de lbetad: d T T φ ( ) = Q + λ + µ B, =, K, n 3 N gados, dt q& q q M L k = = 3N = B ( q, t) q& + B ( q, t) = 0, =, K, L, L < 3 N M ;

51 Fuezas de lgadua deales Las ecuacones de Lagange se pueden plantea con coodenadas genealzadas sobe una vaedad de confguacón de dmenson n con 3N M n 3N, dependendo del nº de lgaduas holónomas que tomemos en la paametzacón. Las fuezas de lgadua no holónomas (los ) sempe apaecean cualquea que sea la dmensón de la vaedad de confguacón. Las fuezas de lgadua holónomas (los ) no apaecean s se escoge la vaedad de confguacón de dmensón mínma posble:. Supongamos que queemos detemna la fueza de lgadua hónoma eecda po CH la lgadua, po eemplo, = M : fm = λ M φ M φ (, ) 0, q = q, q, K, qn ; n = 3N + M. t = =,, K, M. ( q, t), a, =,, K, n d T T φ k ( ) = Q + λ + µ B, =, K, n 3 N gados, dt q& q q = B ( q, t) q& + B ( q, t) = 0, =, K, L; λ µ n = n 3N M

52 Supongamos que queemos detemna la fueza de lgadua hónoma eecda po la lgadua, po eemplo la númeo M, con fueza asocada: F = λ φ CH M M M Sólo un multplcado apaece paa esa lgadua y quedaán 3N-(M-) gados de lbetad: d T T ( ) = Q + λ M ( φ M a ) + µ B, =, K, n 3N + M, dt q& q ( en nuevas B con f vaables) B ( q, t) q& + B ( q, t) = 0, =, K, L < n; y φ M ( q, t) = 0, =

53 Fuezas posbles : las fuezas actvas sobe el sstema que pueden se devadas de un potencal genealzado o de oto tpo, como las dspatvas de Rayegh, goscópcas etc. a las que se sumaían las fuezas no actvas o asocadas a lgaduas holónomas y/o anholónomas. Algunos casos de fuezas: (Secc. I..7) a) goscópcas, aquellas de potenca nula, es dec con caso patcula de potencal genealzado: b) dspatvas a aquellas cuya potenca es negatva y pueden deva de una funcón W (potencal de Raylegh) : f W = bk q q k f k, k = Qq < 0 W ( q, q, t) = f Q = bk Q = k = = = S el sstema es holónomo y todas las fuezas devan de potencales genealzados se dce SISTEMA LAGRANGIANO y s es newtonano se le dce NATURAL. = f = f = Q q = q 0 U ( q, q ) = Π ( q) q dando Q U = l ( U ) q k

54 Em. Potencal de fuezas goscópcas Def: Se denomnan fuezas goscópcas a aquellas cuya potenca es nula: q = q, q, K Q q& Eemplo: El potencal genealzado 0 U ( q, q& ) = Π ( q) q& β β β es goscópco. d Π β d Q = + Π β ( q) q& β = q& β + Π q dt q& β β q dt Π β Π Π Π β = qβ + qβ γ β qβ ; γ β ; γ β = γ β ; & & β q β q & β β β qβ q Q q& = γ β q& β q& 0. β 4

55 Defncón de sstema lagangano: U sstema de patículas sn lgaduas (o con lgaduas holónomas deales) bao la accón de unas fuezas que devan de un potencal genealzado se dce que es un sstema lagangano. Un sstema físco cuya evolucón en el tempo ( detemna a pat de las ecuacones paa una ceta funcón lagangano. d L L = 0, =,,3, K dt q & q L( q, q&, t) q ( t), =,, 3, K, se dce que es un sstema ) se

56 Sstemas Laganganos, sus ecuacones de movmento devan de un lagangano de foma geneal L=L 0 +L +L : f f L c q t q q L c q t q L c q t (, ), (, ), (, ) = = = k k 0 0, k = = y sus ecuacones de movmento son: Em. L=T-U(). Constantes del Movmento. Smetías y Consevacón. Constante del movmento,ntegal pmea: Cualque funcón que pemanece constante duante el movmento del sstema. Em. S una coodenada no apaece explíctamente en L, se dce cíclca o gnoable, entonces su momento genealzado asocado en constante: d dt L( q, q, t) q = 0 L( q, q, t) q p = cte.

57 Defncón: leyes de consevacón o constantes del movmento. constante del movmento o ntegal pmea : q = q, q, K ϕ ( q, q&, t) ϕ ( q, q&, t) S (una funcón no constante) es una ntegal pmea debeá vefca : d ϕ ϕ q ϕ q ϕ = + + = dt t & && q q & q( t) q = q ( t ) donde son las tayectoas o solucones de las ecuacones del movmento del sstema en estudo (puede no se ntegal pmea paa oto sstema, oo). 0, 7

58 Casos elementales de leyes de consevacón Enegía ) Supongamos un sstema con la lagangana, L( q, q& ), ndependente del tempo, y sometdo a dos, una o nnguna lgadua no holónoma deal sn témno ndependente, es dec B ( q, t) q & = 0. Bao estas condcones la funcón L E( q, q& ) = q& L, q& es una constante del movmento o ntegal pmea. Demostacón: S B ( q, t) q& = B ( q, t) = 0, El sstema de ecuacones que detemna el movmento es d L L = µ B, y devando E se obtene dt q& q de L d L L L L = q&& + q& q& q&& dt q& dt q& q q& t d L L = q& = µ Bq = µ B dt q q & & = 0, 8

59 Caso patcula de ) S L = T U, con U = U ( q) (funcón solo de las q) y T ( q, q& ) una funcón cuadátca homogénea de las velocdades genealzadas, es dec, T = c ( q) q& q&, entonces E( q, q& ) T + U. Demostacón:, L T = = c k ( q) q& q& q& k k L E( q, q & ) = q & T + U = c ( q) q q T + U = T T + U = T + U, q& & & S L = T U, con U = V ( q) + q & Π ( q) Seá T+U constante? lo seá T+V? T = c ( q) q& q& E( q, q& ) T + U?????, β β β 9

60 Defncón de momento canónco conugado a una coodenada. q Supongamos un sstema lagangano con lagangana. El momento canónco, p, conugado a la coodenada q es la funcón de q, q&, t, defnda po: p L ( q, q&, t) =. q& Defncón: En un sstema lagangano se denomna coodenada cíclca a aquella coodenada genealzada que no apaece explíctamente en la expesón de la lagangana. Ley de consevacón: El momento canónco conugado a una coodenada cíclca es una constante del movmento. L Demostacón: sea qk la coodenada cíclca, 0. De la q ecuacón de Lagange coespondente a esa coodenada se tene: d L L = 0, pk ( q, q&, t) = = const. dt q& q& k k L k

61 L( q, q, q, q&, q&, q& ).- Sea 3 3 la lagangana de un sstema lagangano de tes gados de lbetad. Se ntoduce en el sstema las dos lgaduas no holónomas ( q + q ) q + q + ( q + q3 ) q 3 + = 0 y q q q& q& 3 Es coecta la sguente ecuacón: A)Ecuacones del movmento ( + ) + = 0. B)Funcón enegía E. C)Vaacón de E con el tempo.

62 Las leyes de consevacón están elaconadas con smetías y con las llamadas tansfomacones nvaantes del sstema. A veces la Lagangana es ndependente de t, o de una coodenada q sendo entonces L nvaante ante taslacones tempoales o espacales. El IMPORTANTE Teoema de Noethe (Amele Emmy Noethe, ) establece que A cada smetía de la lagangana le coesponde una ley de consevacón S L es nvaante ante taslacones en el tempo, en el espaco o ante otacones, se dan las leyes de consevacón de la enegía, del momento lneal o del angula, espectvamente (consecuencas de la homogenedad del tempo, y de la homogenedad e sotopía del espaco). I..5 Tansfomacones nvaantes. (Teoema de Noethe) Exsten tansfomacones puntuales nvetbles dando ecuacones explctas de Lagange exactamente guales en la nuevas coodenadas: Se dce que las ecuacones son nvaantes a este tpo de tansfomacones (tansfomacones de nvaanca). d L ( q, q, t) L ( q, q, t) = dt q q 0 q ( t) q ( t) q ( q( t), t)

63 Teoema de Noethe Tansfomacones nvaantes. Ventaa de la dnámca Lagangana: la lbetad de escoge el sstema de coodenadas genealzadas. S q es un conunto de coodenadas, cualque tansfomacón nvetble q =q (q,t), defne oto conunto de coodenadas q dando nueva lagangana: L ( q, q&, t) P. de Hamlton d L ' ( q ', q& ', t) L ' ( q ', q& ', t) = d t q& ' q ' L ( q, q&, t ) = L ( q, q&, t ) q q q t δ S t t = δ L( q, q&, t) dt = 0, t 0 (, ) δ S δ L( q, q&, t) dt δ L ( q, q&, t) dt 0, = = = t t t? 3

64 De foma geneal las ecuacones explíctas del movmeento tenen un aspecto muy dfeente en las antguas y en las nuevas coodenadas. Peo paa un sstema Lagangano dado podía exst una tansfomacón en las que las ecuacones explíctas del movmento fuean las msmas en las antguas y en las nuevas coodenanadas. Se dce entonces que el sstema es nvaante bao esa tansfomacon. Dcha tansfomacón se llama tansfomacón nvaante. Una tansfomacón es nvaante s la Lagangana es nvaante. Es dec: L ( q, q&, t) = L( q, q&, t) + dψ ( q, t) dt 4

65 S la Lagangana es nvaante: dψ ( q, t) L ( q, q&, t) = L( q, q&, t) + dt dψ ( q, t) L( q, q&, t) = L( q, q&, t) + q > q( q, t ) dt O tambén: dψ ( q, t) L( q, q&, t) = L( q, q&, t) q > q ( q, t + ) dt Cada tansfomacón nvaante se le dce smetía y a cada smetía le coesponde una ley de consevacón (Noethe). 5

66 Como en Temodnámca, pueden aplcase tansfomacones de Legende paa tene funcones con vaables ndependentes dstntas: Em. F es tansfomada de Legende de la enegía ntena U: du = TdS PdV, sea F = U PV df = PdV SdT Análogamente,puede defnse ota funcón H con otas vaables ndependentes dstntas las de la Lagangana: (ve pág. 5) Dfeencando H(q,p,t) se obtendán f ecuacones dfeencales de pme gado: Equvalentemente, puede pasase de H a L: