Trabajo Práctico de Laboratorio N 2. Líneas de campo eléctrico

Transcripción

1 Tabajo Páctco de Laboatoo N Líneas de campo eléctco En este tabajo páctco se quee detemna el vecto campo eléctco debdo a la aplcacón de una dfeenca de potencal ente dos zonas del espaco (electodos). Paa ello se detemnaán epementalmente valoes de dfeenca de potencal en una glla de puntos y luego se calculaá el campo eléctco (módulo y deccón). Tambén se tomaán líneas equpotencales con las que se podá nfe la deccón del campo. Se compaaán los esultados epementales con los obtendos a pat de la esolucón analítca de un dpolo fomado po dos cagas puntuales y oto fomado po dos dstbucones lneales y unfomes de caga. En la segunda pate, se utlzaá un método numéco paa compaa los esultados teócos con los epementales. Cada gupo debe tae calculadoa, po lo menos dos hojas mlmetadas tamaño ofco, egla y lápces de coloes. Intoduccón: Campo eléctco, dfeenca de potencal y ecuacón de Laplace y de Posson Como se ha vsto en Análss II, cuando un campo vectoal E es consevatvo este una funcón escala V llamada funcón potencal tal que E dl = dv = v () V V y cuyo valo es ndependente del camno que se haya elegdo paa desde el punto al punto, sempe que y y el camno que los une (cualquea) petenezcan al domno en el cual el campo E es consevatvo. S epesamos la ec.() en coodenadas catesanas tenemos: E = E ˆ + E ˆ y j + E kˆ z dl = d ˆ + dy ˆj + dz kˆ dv = d + dy + dz y z () Po lo que esulta: dz (3) y z E d + E ydy + Ezdz = d + dy + E dl = V dl E = V (4) La epesón (4) detemna la elacón ente el campo y el potencal eléctcos. Peo no esuelve dectamente las stuacones donde se conoce la dstbucón de cagas. Paa ello debemos llega a una epesón que vncule el potencal con la confguacón de cagas. Es dec, se tata de vncula el potencal y no el campo eléctco con la dstbucón de cagas Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca

2 debdo a la smplcdad que pesenta el potencal po su natualeza escala. Además, una vez obtendo el potencal, puede hallase el campo po smple devacón. Consdeando la ley de Gauss Q E ds = ρ dvol = enc (6) ε Vol S ε y aplcando el teoema de Stokes a la ntegal del pme membo de la ec.(6) se llega a ρ E dvol = ρ = ε dvol E (7) Vol Vol ε Entonces s se eemplaza la epesón (4) en (7) se obtene ρ ( V ) = V = (8) ε donde ρ es la densdad volumétca de caga. La ecuacón escala (8), que es una funcón de punto, se denomna ecuacón de Posson y cuando está gualada a ceo (en ausenca de cagas), se la llama ecuacón de Laplace. Estas son ecuacones dfeencales en devadas pacales que, con las condcones de contono coespondentes, esuelven el poblema electostátco. Es dec, conocendo la dstbucón espacal de caga y esolvendo (8) se llega a una epesón de la funcón potencal. A pat de la msma y aplcando (4) se obtene la epesón del campo eléctco en todo el espaco. La esolucón de un poblema electostátco (detemna el campo eléctco dada una dstbucón de cagas o la dfeenca de potencal ente los puntos del espaco, o la dstbucón de cagas dado el campo eléctco) se puede hace (dependendo de cuáles son los datos ) a pat de la Ley de Coulomb o a pat de la esolucón de la ecuacón de Posson (y la elacón ente el potencal y el campo eléctco). Paa ello es necesao conoce la dstbucón de cagas en todo el espaco. Además, una esolucón analítca del poblema puede obtenese en pocos casos deales: en la mayoía de los casos (aunque sean deales) las ecuacones dfeencales o ntegales sólo admten solucón numéca. Po ota pate, la dstbucón de cagas en un poblema eal no es fácl de detemna. Lo que se puede med no son cagas sno sus efectos, como po ejemplo, la dfeenca de potencal que se genea ente dos puntos del espaco debdo a su pesenca. En esta epeenca se detemnan dfeencas de potencal epementalmente y a pat de los datos obtendos, se puede nfe la foma del campo eléctco y la dstbucón de cagas que lo podujo. Paa detemna el campo eléctco se usaá el método de dfeencas fntas, que no es más que una esolucón numéca de la ec.(4). Análss gáfco Las líneas equpotencales y las líneas de campo son un modelo de epesentacón gáfco del poblema electostátco. Este modelo gáfco daá una dea de cómo son el potencal y el campo en una egón del espaco. Línea de campo: Es una línea magnaa dbujada de modo tal que su deccón en cada punto (es dec, la deccón de su tangente) sea la msma que la deccón del campo en ese punto. Ahoa ben, supongamos que tenemos una caga puntual de valo +Q que, como se sabe, es fuente de campo eléctco. Po lo tanto, cuántas líneas de campo seía coecto asgnale? Convene eleg la epesentacón tdmensonal A o la B? Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca

3 La espuesta es que se puede eleg cualquea de las dos. Peo, lmtando adecuadamente el númeo de líneas dbujadas, éstas pueden utlzase no sólo paa ndca la deccón del campo sno tambén la magntud del msmo. Cómo? Espacando las líneas de foma tal que el númeo de las que atavesen la undad de supefce pependcula a la deccón del campo, sea gual, en cada punto, al poducto de ε po la ntensdad del campo eléctco en dcho punto. Depende este númeo de la supefce ceada elegda? Veámoslo en un dbujo en el plano tomando dos supefces dstntas (cote de las supefces ceadas en el espaco) En la pmea salen 4 líneas, y en la segunda salen 5 y enta, es dec, son 4 las que salen de la supefce. Es dec, no depende de la supefce elegda. Así, en un áea A, pependcula a las líneas de campo, el númeo de líneas seá N=ε E A. Consdeando una supefce esféca de ado que odee a una caga puntual Q y consdeando que el campo eléctco que genea está dado po la Ley de Coulomb, esulta N=Q.Es dec, el númeo de líneas de fueza que atavesan la supefce es gual a la caga stuada en su nteo. Y este númeo es ndependente del ado de la esfea. Tambén se deduce de esto que nnguna línea comenza o temna sobe la supefce esféca. Entonces se llega a que la ntensdad del campo eléctco se matealza en nuesta epesentacón gáfca según la densdad de líneas de campo que vsualcemos en la zona. Pegunta : Las líneas de campo se pueden cota ente sí? Po qué? Supefces equpotencales: La funcón potencal se defne especto de la vaables espacales, po lo tanto una supefce equpotencal esponde a V(,y,z)=cte. El gadente del potencal seá otogonal a la supefce equpotencal e gual,según la elacón hallada (4), peo en sentdo contao al campo eléctco. Po lo tanto las líneas de campo eléctco son otogonales a las supefces equpotencales. Además, como el gadente cambado de sgno ndca (como se vo en Análss II) la deccón de mayo dececmento de la funcón V, entonces sabemos que s nos movemos en la deccón del campo eléctco nos dgmos a zonas de meno potencal. Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca 3

4 Esto es coheente a la defncón de enegía potencal que se venía manejando de Físca I. Al deposta una caga en una zona del espaco afectado po un detemnado campo eléctco (con detemnada enegía potencal) esta se desplazaá de manea tal que dsmnuya su enegía potencal. Aclaacón: s cotamos las supefces equpotencales con un plano, sobe el msmo tendemos líneas equpotencales. Pmea Pate: Epeenca En un ecpente plástco (que llamaemos cuba ) con dos electodos (dos chapas metálcas de foma no egula) colocados en dos esqunas en dagonal, se ntoduce agua de ed hasta una altua de unos dos centímetos. Los electodos son conectados al bone negatvo (nego) y postvo (ojo) de una fuente de almentacón ajustada paa que la dfeenca de potencal ente sus bones sea de unos V. A contnuacón se conecta el voltímeto con el que se mden las dfeencas de potencal. Este es un apaato complejo a pesa de su apaenca smple y puede ealza vaas meddas dstntas. En el pesente caso, dado que nteesan las dfeencas de potencal, se ubca la pella selectoa sobe la leta V. La msma tambén apaeceá en el dsplay. Ahoa se conecta el cable nego del voltímeto al temnal nego de la fuente y el cable ojo se usa paa med en dstntos puntos dento de la cuba. Conectado de esta manea, las lectuas del voltímeto seán sempe postvas. ANTES DE PRENDER LA FUENTE, O ANTE CUALQUIER DUDA, CONSULTAR AL DOCENTE PARA QUE VERIFIQUE LAS CONEXIONES. Se medá la dfeenca de potencal ente el electodo conectado al cable nego y un punto de la cuba ntoducendo el cable ojo del voltímeto en el agua de la cuba (vetcalmente, cudando el paalaje) apoyándolo sobe la base de la msma. Es dec, se medá sobe una zona cuas-plana (bdmensonal en pmea apomacón). Se detemnaá el campo eléctco en dstntos puntos de la base de la cuba pocesando los datos obtendos (dfeencas de potencal). Paa esto se detemnaá la dfeenca de potencal sobe toda la supefce de la cuba a tavés del pme método. Con el segundo método se buscaán puntos dento de la cuba donde la dfeenca de potencal tome cetos valoes constantes, lo que daá una dea de la oentacón de las líneas de campo. MÉTODO : Se medá la dfeenca de potencal a ntevalos egulaes. Como estos ntevalos no pueden se detemnados a po (sn habe meddo po lo menos algunas veces), se tomaán lectuas de la dfeenca de potencal cada cm. Se obtendá así una matz de datos. MÉTODO : Se detemnaán los lugaes geométcos donde la dfeenca de potencal con el electodo conectado al bone nego del voltímeto sea de 4 V y de 8V. Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca 4

5 Pegunta : En el segundo método, cuántos puntos son necesaos y/o adecuados paa detemnalos? Los datos obtendos po ambos métodos se dbujan en el msmo papel mlmetado. Pegunta 3: Po qué no se puede establece a po el númeo de puntos que se deben med? Nota: Es convenente sstematza la toma de datos. Paa ello toma dos hojas mlmetadas ofco y maca los ejes coodenados,y en dos de sus mágenes (en las dos hojas). Coloca una de ellas centada bajo la cuba (ve esquema) macando los electodos. En la ota hoja mlmetada anota los datos que vayan obtenendo de las medcones. Se obtendá una matz de datos de apomadamente 3, Se ecomenda saca una fotocopa de la hoja de datos, o, en su defecto escb los datos con bome o tnta, ya que luego se dbujaá sobe la hoja. Pegunta 4: Po qué se usa agua en esta epeenca? Se podía med la dfeenca de potencal en el ae? Seía mejo o peo usa agua destlada? Pocesamento de datos En pme luga se estudaá la dstbucón de potencal. Paa ello, y sobe la hoja mlmetada con los datos meddos, pnta fanjas de potencal. El gupo debe dscut con agumentos, que se deben nclu en las conclusones de este tabajo, el ntevalo de estas fanjas (po ejemplo: ancho de fanja de Volt, entonces la pmea fanja seá de V-V, la º de V-V, la 3º de V-3V y así la últma seá de nv-v). Como es sabdo, el campo eléctco cumple la elacón E = V que en foma catesana, y paa el plano, equvale a E = ˆ + ˆj. y Sn embago, no se dspone de la funcón potencal en foma analítca sno de puntos de ella en una glla dsceta (la hoja mlmetada). Se necesta entonces ecu a una apomacón dsceta de las devadas. Es dec, a pat de datos epementales de dfeenca de potencal Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca 5

6 y medante una esolucón numéca de una ecuacón dfeencal, se obtendá el campo eléctco en dstntos puntos del espaco. Pegunta 5: eon que las dstbucones de caga cean campos eléctcos. Qué es lo que poduce el campo eléctco que se quee detemna en este caso? S se tene una funcón V f (, y) = y se cota con un plano a y=cte (como muesta la fgua), el valo de su devada en el punto puede calculase numécamente de dvesas fomas Se puede toma la pendente de la ecta ente las abscsas + y, con lo que se obtene la que se denomna apomacón en avance: V + + Es posble tambén calcula la pendente de la ecta ente las abscsas y -, lo que da la llamada apomacón en etoceso: V Peo tomando el pomedo de ambas, se obtene una apomacón de mejo caldad llamada apomacón centada. En el caso en que los puntos sean equdstantes (dstanca d), se obtene: + d o sea que cuando los puntos son equdstantes el pomedo de las pendentes en avance y etoceso no es más que la pendente de la secante que pasa po los puntos ( -, V - ) Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca 6

7 ( +, V + ). En consecuenca, la componente del campo eléctco estaá dada po + E d En los bodes de la glla, donde no se dspone de alguno de los datos de avance o de etoceso, las epesones apomadas son (esto no se demostaá): Apomacón bode zquedo: Apomacón bode deecho: d V V 4 d V 3 + Nota: Paa obtene la componente E y es el msmo tatamento y epesones, tan sólo eemplazando po y. Luego esta tan sólo compone la suma vectoal E = E ˆ + E y ˆj Pegunta 6: El modelo más smple y útl paa descb una coente es que son cagas en movmento. En la epeenca, el voltímeto mde una coente. Se puede habla, entonces, de campo electostátco?. Calcula y gafca a escala el vecto campo eléctco (ambas componentes) sobe la hoja de los datos (donde ya estaán macadas las fanjas de potencal) en puntos, de los cuales uno, po lo menos, debeá se del bode. Poblema : Se tene un dpolo fomado po dos cagas puntuales con q =, nc y sepaados 3cm. Hace un esquema de las líneas equpotencales en la egón compendda ente las cagas (se ecomenda hace 5), ndcando los valoes de potencal en cada una de ellas. Tambén dbuja líneas de campo eléctco ndcando el cteo usado paa dbujalas. Indca oden de magntud del campo eléctco. Cudado con las undades! Poblema : En la cuba, cómo debe se el vecto campo eléctco especto de las líneas equpotencales? Cuánto vale el tabajo necesao paa lleva un ón (cuas estátcamente y debdo sólo a fenómenos eléctcos) de Cl- o de Na+ de un electodo a oto? (caga de un electón=,6. -9 C, sepaacón ente los electodos=3cm). Consdea que la dfeenca de potencal ente los electodos es de V. Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca 7

8 Compaa cualtatvamente los esultados obtendos en esta páctca con los obtendos en una de las confguacones del Tabajo Páctco No. Dscut los esultados obtendos. Segunda pate: Compaacón de esultados (método epemental y método numéco) Se smulaá la dstbucón de campo dento de la cuba con el pogama Qfeld paa compaa luego los esultados obtendos po ambos métodos: Luego de nca el pogama, se debe defn un nuevo poblema de tpo electostátco con smetía -y y un ecnto de las dmensones de la cuba. Luego se dbujan los electodos utlzados apomándolos como una sucesón de segmentos ectos. A los electodos se les asgnan potencales de y V, y al contono una densdad de caga supefcal de caga nula. Al esolve el poblema, se dbujaán las líneas de campo y un mapa de coloes de la dstbucón de potencal. Se compaaán los esultados epementales con los devueltos po el pogama Qfeld cualtatva y cuanttatvamente (el campo tan solo en los 5 puntos macados anteomente). Paa una eplcacón más detallada se puede consulta, po ejemplo Electcdad y Magnetsmo de Seas. Nota: Las seccones en tálca son tabajo pevo al día de la páctca 8

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