SIMULACIÓN DE PRESIÓN NO ESTÁTICA EN YACIMIENTOS MEDIANTE SOLUCIONES FUNDAMENTALES

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1 FARAUTE Cens. y Tec., 3(): 4-5, 8. ISSN Depósto Legal PP4CA67 SIMULACIÓN DE PRESIÓN NO ESTÁTICA EN YACIMIENTOS MEDIANTE SOLUCIONES FUNDAMENTALES Smulaton Of Tansent Resevo Pessue Based On Fundamental Solutons CARMEN M. DA SILVA R. y JUAN M. GUEVARA J. Unvesdad Cental de Venezuela, Facultad de Cencas, Escuela de Matemátcas, Caacas, Venezuela. camen.daslva@cens.ucv.ve, mguevaaodan@gmal.com Fecha de ecepcón: 5//7, Fecha de Revsón: /5/8, Fecha de Aceptacón: 5/6/8 Resumen Se pesenta un nuevo método numéco estuctuado en múltples pasos de tempo, denomnado esquema multpaso, el cual pemte apoxma la solucón de la ecuacón no estátca de dfusón y smula la evolucón de la pesón en poblemas elaconados con ngeneía de yacmentos. Este esquema combna el método de las solucones fundamentales, el pncpo de supeposcón y la descomposcón en valoes sngulaes paa obtene una apoxmacón de la pesón en yacmentos homogéneos. Compaacones con solucones analítcas evdencan la convegenca numéca del nuevo método. La aplcacón en el cálculo cuanttatvo de áeas de denae asocadas a pozos poductoes dstbudos en un yacmento petolífeo de foma egula demuesta la vesatldad y alta pecsón del esquema popuesto. Palabas clave: descomposcón en valoes sngulaes, esquema multpaso, pncpo de supeposcón, solucones fundamentales, yacmentos. Abstact A new numecal method based on multple tmes steps s pesented. It appoxmates the soluton of the unsteady dffuson equaton fo the smulaton of pessue n esevo engneeng. Ths scheme combnes the fundamental solutons, supeposton pncple, and sngula value decomposton to obtan pessue appoxmatons n homogeneous esevos. A compaatve study gves evdence that the new scheme s convegent. An applcaton of the method fo computng the danage aea geneated by poductons wells n an egula esevo shows ts hgh accuacy and vesatlty. Key wods: sngula value decomposton, multstep scheme, supeposton pncple, fundamental soluton, esevo. 4

2 Camen M. Da Slva R. y Juan M. Guevaa J.. Intoduccón poblemas de yacmentos de una y dos dmensones. Cuato, se mplementa dcho La smulacón numéca y matemátca de la esquema en un poblema elaconado con un pesón en un yacmento petolífeo vene dada yacmento de foma egula. Fnalmente, se po la ecuacón de dfusón que en el contexto de exponen las conclusones. ngeneía de yacmentos ecbe el nombe de ecuacón de pesón (Dake, 99; Caudle, 996).. Método de Solucones Fundamentales La solucón de esta ecuacón no puede se genealmente obtenda po técncas puamente Un yacmento petolífeo puede se vsto analítcas y po ende se utlzan métodos como un yacmento bdmensonal en el cual su numécos paa loga su apoxmacón. espeso es consdeado elatvamente pequeño en Dvesdad de métodos numécos se han compaacón con la vedadea dmensón del desaollado paa esolve la ecuacón de pesón yacmento. La evolucón de la pesón en un (Caslaw & Jeage, 959; Duchateau & yacmento bdmensonal, con una cantdad de Zachmann, 99). Recentemente, han sdo np pozos en su nteo, y el valo de la pesón en ceados métodos numécos que no dependen de cualque nstante de tempo están modelados po mallas paa apoxma la solucón de ecuacones el sguente poblema de contono (Dake, 99) dfeencales pacales elíptcas, ente los cuales destaca el llamado método de las solucones np c P () fundamentales (Faweathe & Kaageoghs, x, t P( x, t) q x x, x x, y K t Kh 998; Guevaa & Rodíguez, ). En el caso de la ecuacón de dfusón se ha aplcado el método P x, t, s x ( x, y) () de las solucones fundamentales empleando la n tansfomada de Laplace (Chen & Golbeg, 999) P( x,) p, (3) en el tempo. Sn embago, la utlzacón de la tansfomada de Laplace paa esolve ecuacones donde P es la pesón, es el opeado Laplacano en devadas pacales posee cetas defcencas (Duchateau & Zachmann, 99), q es la tasa de debdo a que se necestan algotmos numécos poduccón de un pozo stuado en la paa obtene la tansfomada nvesa de Laplace. coodenada x = (x, y )y es la funcón delta El método numéco desaollado en este atículo de Dac (Habeman, 3). Las contantes,, c, se basa en la solucón fundamental paa la K y h epesentan la poosdad del medo, la ecuacón de dfusón y el pncpo de vscosdad del fludo, la compesbldad del supeposcón paa genea un esquema fludo, la pemeabldad del medo pooso multpaso, que epesenta una ognal extensón sotopco y el espeso del yacmento de (Castllo et al., 6). espectvamente. La expesón () es la ecuacón El contendo de este atículo está dstbudo de de pesón con modelo de múltples pozos, () es la sguente foma. Pmeo, se descbe el método la condcón de bode de tpo Neumann de no- de las solucones fundamentales paa la ecuacón fluo en la cual epesenta el bode de la egón de pesón. Segundo, se pesenta el nuevo método y (3) es la pesón ncal pesente en en el numéco denomnado esquema multpaso. nstante de tempo t =, donde P es un valo Teceo, el nuevo esquema es valdado en constante. FARAUTE Cens. y Tec., 3(). 8. 4

3 Smulacón de pesón no estátca en yacmentos medante solucones fundamentales La solucón al poblema dado po las popocona un eemplo de una egón en foma ecuacones (), () y (3) estaía epesentada po de elpse que posee ocho pozos eales en su sees nfntas que no daían una buena nteo y en la cual se puede apeca la compensón de lo suceddo en x = (x, y) dstbucón de los pozos magnaos asocados a debdo a las fuentes concentadas en x = (x, y ) este yacmento. (Habeman, 3). Po lo tanto, se consdea la solucón del poblema de valo ncal defndo Paa detemna el valo de la tasa de po () y (3) sn condcones de fontea, la cual es poduccón de cada pozo magnao, es necesao consdea una ceta cantdad de puntos en el válda paa todo punto x = (x, y) R. Esta bode del yacmento, llamados puntos de solucón es denomnada solucón fundamental y colocacón, tal como se muesta en la Fg.. Al vene dada po la sguente expesón aplca la condcón de Neumann dada en () utlzando la expesón (5) y evaluala en cada Q punto de colocacón se obtene la sguente (, ), (4) 4 4 c x x P x t p Kh ecuacón Kt en donde () epesenta la funcón exponencal ntegal defnda po e d, es la noma Euclídea (Rudn, 966) y Q es la tasa de donde,denota el poducto nteno en R, x = poduccón de un pozo stuado en la coodenada (x, y ) epesenta la poscón de los puntos x = (x, y ). El método de las solucones de colocacón y n es el vecto nomal untao fundamentales (MSF) plantea, en pncpo, exteo a la fontea del yacmento en cada punto apoxma la pesón P geneada po el poblema de colocacón. Po cada punto de colocacón que (), () y (3), escbéndola como una evaluemos en (6) obtenemos una ecuacón lneal combnacón lneal fnta de solucones en funcón de las vaables Q. De esta foma, se fundamentales. genea un sstema lneal de ecuacones 4 FARAUTE Cens. y Tec., 3(). 8. np (, ) np c x x c x x P x t p.(5) 4 q 4 Q Kh 4 Kt Kt np x x,n Q e x x c x x x x,n e x x (6) AQ = B, (7) con la vaable Q epesentando al vecto columna T La pmea sumatoa en (5) está asocada a np (Q,...,Q np). S npc es el númeo de puntos de pozos poductoes dstbudos en el nteo del colocacón, el sstema lneal (7) posee npc yacmento, denomnados pozos eales, cuyas ecuacones y np ncógntas. tasas de poduccón, q con =,,np, son conocdas. Mentas que, la segunda sumatoa epesenta a la cantdad de np pozos llamados magnaos, cuyas tasas de poduccón son desconocdas y denotadas po Q con =,...,np. Estos pozos magnaos están dspuestos fuea del yacmento smulando su bode paa ayuda a efoza la condcón de no-fluo dada en (). Además, la dstbucón de los pozos magnaos no depende de la poscón de los pozos eales que están dento del yacmento. La Fg. nos Fg.. Dstbucón de pozos eales, pozos magnaos y puntos de colocacón en el yacmento. 4Kt np q c x x 4Kt.

4 Camen M. Da Slva R. y Juan M. Guevaa J. El MSF establece consdea un númeo de De esta foma, la solucón del sstema lneal (7) es puntos de colocacón mayo o gual al de pozos obtenda po la elacón magnaos. Po lo tanto, el sstema de ecuacones (7) puede se cuadado o sobedetemnado. En un sstema lneal sobedetemnado puede sucede T Q VS U B, () que el sstema no tenga solucón, tenga nfntas solucones o tenga solucón únca (Hage, 988). - Paa aboda estos tes casos de manea unfcada con S defnda como en (). La solucón () consdeamos que la solucón al sstema unto con la expesón (5) epesenta la sobedetemnado es la solucón en mínmos apoxmacón de la pesón medante el MSF. cuadados. Con el fn de obtene dcha solucón usaemos la descomposcón en valoes sngulaes (SVD, po sus sglas en nglés), pues 3. Esquema Multpaso este método es uno de los algotmos más obustos El MSF establecdo en la seccón peva está paa poduc sempe una adecuada solucón en desaollado paa un solo paso de tempo y su mínmos cuadados (Hage, 988; Flanney et al., algotmo numéco modela satsfactoamente la 999). S la matz A tene dmensón m n con pesón en peíodos de tempo muy cotos m n entonces el SVD factoza la matz A en un (Castllo et al., 6). Sn embago, en el áea de poducto de tes matces (Hage, 988) ngeneía de petóleo se necesta conoce la evolucón y el valo de la pesón en ntevalos de tempo lagos. Po lo tanto, se pesenta el esquema A = USV, (8) multpaso que combna el MSF, el pncpo de supeposcón y el SVD en un nuevo esquema donde U y V son matces cuadadas otogonales y numéco que pemte apoxma la pesón a lo la matz S, de gual dmensón que la matz A, lago de cualque peíodo de tempo. posee en su dagonal pncpal los valoes sngulaes de A y ceos en el esto de sus Sn pédda de genealdad se puede supone elementos. Sea k el ango de la matz A. que la tasa de poduccón Q de un pozo es una Entonces, A posee k valoes sngulaes postvos funcón constante a tozos en el ntevalo de con k n. S epesentamos po S + a la matz tempo de poduccón [, t]. Es conocdo que las cuadada dagonal con valoes sngulaes funcones contnuas y dfeencables pueden se postvos de A, podemos denota a la matz S apoxmadas medante funcones constantes a medante submatces como tozos con cualque gado de exacttud tomando patcones sufcentemente pequeñas (Dake, S S s k n, 99; Habeman, 3; Rudn, 966). Po ello, es sempe posble ealza una patcón unfome al (9) ntevalo [, t] en n pasos de tempo, denotando k S S po t con k =,...,n a los n + nodos, t =, s. (k) k n t n= t y tal que Q denotaá el valo constante de poduccón del pozo en el k-ésmo paso de tempo A la matz S se le asoca la nocón de [t k-, t k]. Se supondá po convenenca que la - () pseudonvesa S defnda po poduccón del pozo es Q = en t = S S S s k n, S s k n. () Medante el pncpo de supeposcón desaollado en (Dake, 99) se sabe que la pesón geneada po el pozo con tasa vaable Q se puede descompone en n subpoblemas cuya FARAUTE Cens. y Tec., 3()

5 Smulacón de pesón no estátca en yacmentos medante solucones fundamentales solucón fundamental vene dada po (4), peo Esta expesón epesenta la apoxmacón de consdeando que el pozo poduce a la tasa la pesón medante el MSF. Paa detemna el (k) (k) Q Q en el peíodo de tempo t t en valo de las tasas de poduccón de los pozos n k luga de Q y t tal como apaece en la ecuacón (4). magnaos en (3) se ensambla un sstema lneal En consecuenca, se tene que el valo de la de ecuacones pocedendo de foma nductva. pesón en el nstante de tempo t t es, Paa ello se consdea P ( x,t ) con n = en (3), n agupando convenentemente, de la sguente se eecuta el MSF sólo hasta obtene el sstema de foma ecuacones que lo denotamos en este caso po npc ecuacones peo con.np ncógntas () () coespondentes a las tasas Q y Q del pme y P( x, t) p segundo paso de tempo espectvamente. Estas n ecuacones tenen la sguente foma matcal, k c x x c x x () () () Q AQ + AQ =B. Este pocedmento se epte 4Kh 4 4 k K tn tk K tn t k consecutvamente hasta alcanza el últmo paso tempo, en donde se consdea la expesón n c x x Q, 4Kh 4 () P( x,t ), dada po (3), paa luego aplca el MSF K tn tn y obtene un sstema de ecuacones epesentado () (n) (n) po AnQ + AQ =B con npc ecuacones y n.np ncógntas. Agupando las ecuacones lneales donde, en este caso, x epesenta la poscón del obtendas de esta foma se obtene el sguente pozo poducto con tasa de poduccón vaable Q. sstema lneal de ecuacones paa las tasas de los Aplcando el MSF y extendendo las deas pozos magnaos, expuestas en los páafos pecedentes, se combnaán las expesones () y (4) paa apoxma la pesón geneada po vaos pozos a A Q B tasas constantes en un yacmento. Paa ello, consdeemos la stuacón en que se tene np A A Q B pozos eales con tasa de poduccón constante, q,, (4) en el peíodo total de poduccón [,t] y np n n A n An A Q B pozos magnaos con tasa de poduccón n n A n An A A Q B vaable, Q, sobe el msmo ntevalo de tempo (k) de poduccón. Entonces, denotando po Q al valo constante de la tasa del -ésmo pozo Este sstema lneal contene n.npc ecuacones magnao en el k-ésmo paso de tempo entonces y n.np ncógntas. Debdo a su foma tangula se tendá que la epesentacón de la pesón en el puede se esuelto de foma secuencal o de nstante t t n con n pasos de tempo es manea global utlzando el algotmo SVD, obtenéndose los valoes de las tasas de P( x, t) p poduccón de los pozos magnaos en cada paso n np de tempo. En la Fg. se muesta la c x x 4 Kh 4 4 epesentacón geométca de la constuccón del c x x k Q k K tn tk K tn tk sstema lneal (4) paa un yacmento. 4Kh np 4Kh np c x x n Q 4K tn n t q 4 K t t. c x x n 44 FARAUTE Cens. y Tec., 3(). 8. (3)

6 Camen M. Da Slva R. y Juan M. Guevaa J. ncal P(x,t) paa la pesón. La solucón analítca paa este poblema undmensonal se obtuvo medante el método de sepaacón de vaables (Duchateau & Zachmann, 99; Habeman, 3). La Fg. 3 descbe la poscón del pozo eal, así como tambén la dstbucón de los puntos de colocacón y de los pozos magnaos. Estos últmos dspuestos a una dstanca medda desde cada extemo del segmento haca el exteo del ntevalo que epesenta el yacmento undmensonal. Paa el poblema sntétco se colocó el pozo eal en x =.5, con una tasa constante q = y un peíodo total de poduccón dado po el ntevalo [,]. Fg.. Repesentacón gáfca del esquema multpaso de n pasos de tempo. 4. Valdacón Paa evdenca la convegenca del nuevo esquema multpaso se esuelven dos poblemas sntétcos que poseen solucón analítca. En este contexto se entende po convegenca a la dsmnucón de la dfeenca ente la solucón numéca y la analítca medda en noma nfnto cuando se ncementa el númeo de pasos de tempo. Específcamente se consdeaán dos casos coespondentes a modelos de yacmentos u n d m e n s o n a l e s y b d m e n s o n a l e s espectvamente. El caso undmensonal esalta el efecto de esquema multpaso sobe la solucón. Mentas que el caso bdmensonal muesta que exsten múltples paámetos que afectan la convegenca, sendo el ncemento en el númeo de pasos de tempo uno de los más nfluyentes. Fg. 3. Confguacón del segmento de ecta paa el poblema de valdacón undmensonal. Se ealzaon vaas puebas compaando solucones numécas obtendas po el esquema multpaso con la solucón analítca paa vefca la convegenca del método con el aumento de los pasos de tempo. Los meoes esultados fueon obtendos paa los pozos magnaos dspuestos a una dstanca del bode. La Fg. 4.a desplega la evolucón de la pesón en las cecanías del pozo en funcón del tempo paa dstntos tamaños de paso de tempo 4.. Caso Poblema Undmensonal consdeados. Se obsevan cuato solucones numécas y la solucón analítca epesentada po Se consdea un segmento de ecta de la cuva contnua más guesa. Los esultados longtud uno con un pozo eal stuado en x numécos fueon obtendos con,, 5 y pasos de tempo. La Fg. 4.b es una amplacón de poducdo a una tasa q en el peíodo de tempo la seccón supeo zqueda de la Fg. 4.a. En [,]. El poblema que descbe dcha stuacón ambas gáfcas se evdenca el efecto poducdo geométca está planteado po la sguente po el esquema multpaso en la solucón del ecuacón de pesón PPq(xx t xx o) en una poblema. La solucón geneada con un solo paso dmensón, las condcones de bode de tpo de tempo posee foma ecta, la cual no Neumann P(,t)P(,t) x x y la condcón coesponde a la solucón analítca. A medda que FARAUTE Cens. y Tec., 3()

7 Smulacón de pesón no estátca en yacmentos medante solucones fundamentales se ncementa el númeo de pasos de tempo, estas solucones numécas se apoxman cada vez más a la vedadea solucón del poblema, llegando a confundse con la cuva ognada paa efnamentos supeoes a pasos de tempo. 4. Caso Poblema Bdmensonal Paa valda nuesto algotmo numéco en dos dmensones, consdeamos un yacmento en foma de cuadado untao con un pozo eal ubcado en la coodenada x = (.5,.5) con una tasa de poduccón constante q = duante el ntevalo de tempo [,]. Se plantea entonces, el poblema caactezado po las expesones (), () y (3) con los valoes ckh, np, qq, p y denotando a la egón cuadada untaa. La solucón analítca a este planteamento fue calculada po el método de sepaacón de vaables (Duchateau & Zachmann, 99; Habeman, 3). La confguacón de este yacmento bdmensonal, los puntos de colocacón y los pozos magnaos la podemos apeca en la Fg. 5. (a) (b) Fg. 4. (a). Compaacón de solucones paa x =.5, q = y =.. (b) Amplacón de la pate supeo zqueda de las cuvas mostadas en (a). Fg. 5. Confguacón del yacmento cuadado paa la La smplcdad del poblema undmensonal valdacón bdmensonal. pemte destaca la mpotanca del nuevo esquema multpaso, pues el únco paámeto que En esta pueba ubcamos a los pozos pemte loga la convegenca son los magnaos de tal manea que sobesalen del ncementos en pasos de tempo. bode del yacmento a una dstanca equvalente a 46 FARAUTE Cens. y Tec., 3(). 8.

8 Camen M. Da Slva R. y Juan M. Guevaa J. la más pequeña ente el pozo eal y el bode, obtenendo así =.5. En la Fg. 6 se pueden apeca dos cuvas epesentando el eo de apoxmacón al consdea la dfeenca ente las solucones numécas y analítca en la noma nfnto (Rudn, 966). La cuva punteada fue obtenda consdeando un númeo de puntos de colocacón gual al de los pozos magnaos, específcamente npc=np=3, esultando en ella un compotamento no monótono a pat de vente pasos de tempo. Fg. 6. Gáfca de eoes paa x = (.5,.5) y =.5. En cambo, la cuva contnua, logada con un númeo de puntos de colocacón (npc=8) mayo al de pozos magnaos (np=3) pesenta una estuctua monótona dececente en los eoes de apoxmacón con el ncemento del númeo de pasos de tempo. Se ealzaon dfeentes puebas y se encontó que, en geneal, el nuevo esquema multpaso en dos dmensones poduce solucones numécas cuyos eoes se educen monótonamente en funcón del númeo de pasos de tempo cuando el sstema de ecuacones es sobedetemnado (npc np ). La valdacón exhaustva del poblema bdmensonal es complea poque los paámetos que detemnan la convegenca de la solucón numéca no se educen exclusvamente al ncemento de pasos de tempo. Sn embago, suponendo que todos los paámetos que nfluencan la convegenca se mantenen fos, excepto el númeo de pasos de tempo, se obtene que al ncementa éstos últmos el nuevo esquema multpaso poduce sstemátcamente meoes solucones. 5. Aplcacón Usaemos el nuevo esquema paa detemna, en foma cuanttatva, las áeas de denae asocadas a ocho pozos poductoes dstbudos en un yacmento de contono egula. La estuctua de este yacmento, la dstbucón y los nombes de los pozos poductoes son mostados en la Fg. 7.a. Esta egón petolífea egula pesenta un áea de ft, un espeso h=5 ft y una pesón ncal p = 3 ps. Las popedades geológcas del yacmento están dadas en undades de campo y se dsponen en la Tabla. Popedad c K Valo.3.7 cp Tabla. Popedades geológcas del yacmento. Además, los ocho pozos eales son poducdos a una msma tasa q stb/d el peíodo de una hoa. La Fg. 7.b pesenta medante cuvas de nvel la dstbucón de la pesón en el nteo de la egón petolífea. Dado que los pozos eales poducen a una déntca tasa, las depesones logaítmcas (Dake, 99) de la pesón alededo de cada pozo, abacan una egón de gual ampltud. Además, estas depesones logaítmcas de cada pozo nteactúan ente sí y alcanzan el bode del yacmento. Esto ndca que después de tanscuda una hoa de habe comenzado a poduc petóleo, la pesón ha adqudo la 4 ps md FARAUTE Cens. y Tec., 3()

9 Smulacón de pesón no estátca en yacmentos medante solucones fundamentales (a) (b) Fg. 7. (a) Yacmento egula con ocho pozos poductoes. (b) Dstbucón de pesón sem-estaconaa. Fg. 8. Evolucón de la pesón en funcón del tempo de cada pozo poducto. apoxmadamente, las cuvas toman la caacteístca de líneas ectas, ndcando así la condcón de estado sem-estaconao alcanzada po la pesón a pat de ese momento. Aunque la gáfca de estas ocho cuvas en la Fg. 8 se dspone sobe el ntevalo de tempo [,.], la pesón egsta el menconado compotamento desde el nstante en que comenza a poduclo hasta el tempo fnal de poduccón t= hoa. Las pendentes de las ocho ectas, mostadas en la Fg. 8, se encuentan tabuladas en la segunda columna de la Tabla y son un dato fundamental paa calcula cuanttatvamente las áeas de denae asocadas a cada pozo poducto. Las dmensones de estas áeas de denae se pueden vsualza en la tecea columna de la Tabla, evdencando valoes muy póxmos ente sí e ndcando que los pozos denan áeas de gual tamaño. Esto se debe a que los pozos poducen a una msma tasa de - stb/d y poque el compotamento de la pesón en su estado sem-estaconao ocasona ectas condcón de estado sem-estaconao (Dake, paalelas, aoando pendentes negatvas de gual 99), ndspensable paa la detemnacón magntud en sus pmeos tes decmales (ve cuanttatva de las áeas de denae. Este Tabla ). compotamento de la pesón se puede apeca tambén en las cuvas mostadas en la Fg. 8. Esta fgua contene el tazo de ocho cuvas coespondentes a la evolucón de la pesón en los ocho pozos poductoes. Vemos que a pat del nstante de tempo.5 hoas de poduccón 48 FARAUTE Cens. y Tec., 3(). 8. En consecuenca, el esquema popuesto es una buena opcón paa el estudo y análss del compotamento de la pesón en ntevalos de tempo lagos y paa la detemnacón cuanttatva de las áeas de denae de un yacmento de estuctua egula con múltples pozos

10 Camen M. Da Slva R. y Juan M. Guevaa J. poductoes. Pozo Pendente Áea p p p p p p p p Tabla. Valo de la pendente y áea de denae asocada a cada pozo. 6. Conclusones El nuevo esquema pesentado es un método lbe de mallas, su mplementacón es senclla, se adapta fáclmente a yacmentos de foma egula e egula con múltples pozos y poduce solucones numécas pecsas debdo a la mplementacón de la descomposcón en valoes sngulaes paa esolve los sstemas de ecuacones lneales fomados en la aplcacón del método de las solucones fundamentales. El estudo ealzado en una dmensón evdenca que los pozos magnaos muy póxmos a la fontea poducen óptmas solucones numécas con el ncemento de pasos de tempo. Paa el caso bdmensonal, una ubcacón de los pozos magnaos gual a la meno dstanca exstente ente el pozo eal y la fontea del yacmento, popocona buenas apoxmacones numécas como solucón del poblema, destacando que se debe consdea un númeo de puntos de colocacón mayo que la cantdad de pozos magnaos paa que ello suceda al aumenta el númeo de pasos de tempo. El esquema multpaso epesenta una nueva altenatva paa calcula cuanttatvamente el áea de denae de pozos poductoes dspuestos en yacmentos petolífeos egulaes. Esto pemte, en el contexto de ngeneía de yacmentos, pode ealza un estudo pevo con el popósto de enconta un adecuado posconamento de los pozos poductoes que gaantce un meo ecobo de petóleo haca la supefce. 7. Bblogafía Caslaw, H. & J. Jeage. (959). Conducton of Heat n Solds. Oxfod Unvesty Pess. England. Castllo, M., J. Guevaa & D. Vllalta. (6). A Mesh Fee Method fo the Pessue Equaton n Ol Feld Poblems. Smulacón y Modelae en Ingeneía y Cencas. TM 5-TM. Caudle, B. (996). Mechancs of Fluds n Pemeable Meda. The Unvesty of Texas. Texas. Notas de clase. Chen, C. & M. Golbeg. (999). The Method of Fundamental Solutons fo Potencal, Helmholtz and Dffuson Equatons. Bounday Integal Methods and Mathematcal Aspects Dake, L. (99). Fundamentals of Resevo Engneeng. Elseve Scence Publshes. New Yok. Duchateau, P. & D. Zachmann. (99). Patal Dffeental Equatons. McGaw-Hll. New Yok. Faweathe, G. & A. Kaageoghs. (998). The Method of Fundamental Solutons fo Ellptc Bounday Value Poblems. Advances n Computatonal Mathematcs. 9: Flanney, B., W. Pess, S. Teukolsky & W. Vettelng. (999). Numecal ecpes: The at of Scentfc Computng. Cambdge Unvesty Pess. Cambdge. Guevaa, J. & F. Rodíguez. (). Applcatons of Sngula Value Decomposton Steamlne Dstbuton n Sectonally Homogeneous Resevo. Socety of Petoleum Engnees. Pape Nº Habeman, R. (3). Ecuacones en Devadas FARAUTE Cens. y Tec., 3()

11 Smulacón de pesón no estátca en yacmentos medante solucones fundamentales Pacales con Sees de Foue y Poblemas de Contono. Pentce-Hall. New Yesey. Hage, W. (988). Appled Numecal Lnea Algeba. Pentce Hall. New Yesey. Rudn, W. (966). Pncpos de Análss Matemátco. Edtoal del Castllo. Madd. 5 FARAUTE Cens. y Tec., 3(). 8.