TEMA 2. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS

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1 TEMA. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS El capítulo tata de obtene una see de caacteístcas o meddas sobe una vaable aleatoa X que está especfcada a tavés de su funcón de pobabldad y que nos esuman la nfomacón más elevante sobe la vaable aleatoa en cuest6n. Recodemos que con las meddas que se obtenían en la estadístca descptva, peseguíamos obetvos smlaes. El alumno debe sempe cuestonase s está en pesenca de una vaable aleatoa de tpo dsceto o contnuo. Y s sobe la vaable aleatoa en cuestón conocemos su funcón de pobabldad (ben sea la funcón de cuantía, o la funcón de dstbucón, o la funcón de densdad de pobabldad), estaemos entonces en posesón de la nfomacón máma. Cualque pobabldad que puedan pedmos sobe esa vaable aleatoa podemos obtenela ya que dsponemos de la máma nfomacón.. Al fnalza el tema el alumno debe conoce... El. Las meddas de poscón, dspesón y foma de una vaable aleatoa. Valo espeado de una vaable aleatoa, undmensonal o bdmensonal, y popedades. Los momentos de una vaable aleatoa, undmensonal o bdmensonal.. Caacteístcas de las vaables aleatoas. Una vez que hemos defndo una vaable aleatoa y hemos constudo su funcón de cuantía o densdad (en el caso de vaables aleatoas dscetas o contnuas), un smple eamen de la gáfca de la dstbucón de la vaable aleatoa puede se nteesante ya que contene toda la nfomacón sobe sus popedades pobablístcas. Sn embago este ota altenatva que educe al mámo la nfomacón dsponble y pemte ealza un análss de la vaable aleatoa de foma más smple, esta altenatva consste en obtene algunas meddas numécas y gáfcas que esuman las caacteístcas de dcha dstbucón, dando así sentdo a - -

2 toda la nfomacón de foma eacta y claa. En este caso, podemos compaa dstntas dstbucones de pobabldad compaando los valoes caacteístcos coespondentes a esas dstbucones. Centalzacón : Meda, Medana, Moda Poscón Poscón : Cuantles, Pecentles,... Meddas Dspesón Vaanza, Desvacón Típca, Coefcente de Vaacón Foma Coefcente de Asímeta y Cutoss Las meddas tendenca cental (meda, medana o moda) nos ndcan el cento de la dstbucón de fecuencas, es un valo que se puede toma como epesentatvo de todos los datos. Asmsmo las meddas de poscón, los cuantles, son valoes de la dstbucón que la dvden en pates guales, es dec en ntevalos, que compenden el msmo númeo de valoes. Las meddas de dspesón (vaanza, desvacón típca o coefcente de vaacón) cuantfcan la sepaacón, la dspesón, la vaabldad de los valoes de la dstbucón especto al valo cental, ndcan hasta que punto las meddas de tendenca cental son epesentatvas como síntess de la nfomacón. Las meddas de foma (coefcente de asmetía o cutoss) contastan la foma que tene la epesentacón gáfca, ben sea el hstogama o el dagama de baas, de la dstbucón de los datos con la dstbucón nomal..3 Momentos de una vaable aleatoa undmensonal. Los momentos son opeadoes matemátcos que nos popoconaán nfomacón sobe las popedades de la dstbucón de la vaable aleatoa. Cuantfcando los momentos, s esten, podemos tene meddas, tanto de poscón como de dspesón o foma. Los momentos se pueden calcula especto al ogen de la dstbucón o espeto a la meda de la dstbucón. - -

3 Momentos especto al ogen: Los momentos especto al ogen se defnen como E, paa,, en el caso de vaables aleatoas dscetas y contnuas tenemos: P,,, E paa dsceta. f d,,, E paa contnua. Los momentos especto al ogen de uso común son: Paa tenemos E, Paa tenemos, es lo que defnmos como valo espeado o espeanza matemátca de una dstbucón. Se llama meda de la dstbucón de, o smplemente la meda de la vaable aleatoa, epesentando la tendenca cental de la vaable aleatoa. Paa tenemos, tambén llamado momento de oden dos especto al ogen. El esto de los momentos tenen escaso nteés. Valo espeado o espeanza matemátca : La dea de la meda es la de un pomedo de todos los valoes de la vaable aleatoa, en este caso debemos tene en cuenta que no todos los valoes de la vaable tenen que se gualmente de pobables. Del msmo modo, tambén debemos eamna su estenca puesto que paa ello es necesao que sean absolutamente convegentes los factoes que lo componen. Esta defncón tambén se puede aplca a una funcón de la vaable aleatoa: g g P,,, paa dsceta. E E g gf d,,, paa contnua. Sus popedades son las sguentes:. La espeanza de una constante es la popa constante: Ek k. Ek k E 3. Ek k E 4. Se ve afectado po un cambo de ogen y escala

4 5. E y z E Ey Ez 6. S una vaable aleatoa está acotada a b, entonces se vefca: a E b. 7. S una vaable aleatoa pesenta una dstbucón smétca especto a un valo k, s este la espeanza seá E k. Momentos especto a la meda: Los momentos especto a la meda se defnen como E, paa,, E en el caso de vaables aleatoas dscetas y contnuas tenemos: P,,, E paa dsceta. E E E E ) f d,,, E paa contnua Los momentos especto a la meda de uso común son: Paa Paa tenemos E E E E Va, tenemos, que se llama vaanza de la dstbucón de la vaable aleatoa, o smplemente vaanza de, la aíz cuadada postva de la vaanza: Va, se llama desvacón típca. Ambas meddas son consdeadas como meddas de dspesón de los valoes de la vaable aleatoa especto a su meda. La vaanza tambén podemos calculala establecendo una elacón especto a los momentos del ogen: E. E Como en el caso anteo, los estantes momentos en la mayoía de los casos tenen escasa utldad. Vaanza de una vaable aleatoa : Es mpotante complementa la nfomacón que popocona la meda sobe el valo espeado de la vaable aleatoa, con una medda de la dspesón de los valoes de la vaable aleatoa alededo de dcha meda. La vaanza (o su aíz cuadada, la desvacón típca) es la meda cuadátca de la dspesón, s la vaanza es pequeña seá poque las desvacones de la vaable aleatoa en tono a su meda son - 4 -

5 pequeñas. Peo no debemos olvda que la meda y la desvacón típca, están muy nfluencadas po las obsevacones atípcas y po la asmetía de una dstbucón, son buenos descptoes de las dstbucones smétcas y son especalmente útles en el caso de las dstbucones nomales que ya veemos. Las popedades de la vaanza son las sguentes:. La vaanza ( momento de oden dos especto de la meda) se puede epesa utlzando momentos especto del ogen: E Va E.. La vaanza de una constante es ceo Vak 3. Va k Va 4. Vak k Va 5. Se ve afectada po el cambo de escala peo no po el cambo de ogen. 6. S e y son dos vaables aleatoas: y Va Vay Va s e y son ndependentes. y Va Vay Cov y Va, s e y no son ndependentes. La defncón de y bdmensonales. Cov, se estudaá cuando veamos las vaables aleatoas Coefcente de vaacón: Como hemos vsto la vaanza y la desvacón típca son meddas de la dspesón de una vaable entono a la meda, y sus undades de medda (en el caso de la meda y la desvacón típca) son las msmas que las de la vaable obeto de análss. Qué sucede s queemos compaa vaables aleatoas con dfeentes undades de medda, o poblacones y muestas tambén bastante dfeentes? (stuacón bastante habtual en Estadístca), los esultados no sean compaables, no tendía nngún sentdo. El poblema no se esuelve tomando las msmas escalas paa ambas vaables, sno utlzando una medda admensonal que no se vea afectada po las undades de medda. El coefcente de vaacón elmna la dmensonaldad de las vaables y tene en cuenta la popocón estente ente la meda y desvacón típca, es po tanto una medda elatva de la dspesón. Cuanto meno sea este coefcente, la dstbucón - 5 -

6 de la vaable medda es más homogénea. Se defne del sguente modo: CV E Sus popedades son las sguentes:. Sólo se debe calcula paa vaables con todos los valoes postvos.. No es nvaante ante cambos de ogen, peo s ante cambos de escala. Es dec, s tenemos dos vaables aleatoas e y donde: a. Ey Ea b ae b y a b : b. Vay Vaa b a Va y a Va a c. CV y E y a y ae b Tpfcacón de una vaable aleatoa: Tpfca una vaable aleatoa es tansfomala medante un cambo de ogen E y un cambo de escala ; es dec hay que estale la meda y dvdla po la desvacón típca: E T La nueva vaable tpfcada es admensonal, no tene asocada nnguna undad de medda y se puede compaa dectamente con otas vaables tpfcadas. La vaable tpfcada tendá la dstbucón de pobabldad que le coesponda, peo sempe con meda nula y desvacón típca la undad..4 Otas meddas de poscón. Las meddas más utlzadas paa analza la poscón o dspesón de una vaable son la meda y la desvacón típca, peo esten otas que suelen utlzase con ceta fecuenca. Otas meddas de poscón: La moda: es el valo de la vaable aleatoa que apaece con mayo fecuenca. Es dec, el valo de la vaable aleatoa más pobable que hace máma la funcón de pobabldad o de densdad según tengamos vaables - 6 -

7 aleatoas dscetas o contnuas. Los cuantles: Dvden la dstbucón en dos pates, a la zqueda del valo están todos los valoes de la vaable aleatoa que son menoes o guales que, y a la deecha quedan todos los valoes que son mayoes o guales que. P P X y PX s X es dsceta X y F s X es contnua Dento de los cuantles tenemos: La medana: La medana, a dfeenca de la meda no busca el valo cental, sno que busca detemna el valo de la vaable aleatoa que dvde la los valoes en dos mtades guales (sólo puede se un únco valo), consdeando que todos los valoes de la vaable aleatoa están odenados en sentdo cecente. Su cálculo vaía dependendo del tpo de vaable aleatoa ya sea dsceta o contnua. Los cuatles: La medana, sepaa en dos mtades el conunto odenado de obsevacones. Podemos aún dvd cada mtad en dos, de tal manea que esulten cuato pates guales. Cada una de esas dvsones se conoce como Cuatl y lo smbolzaemos medante la leta Q agegando un subíndce según a cual de los cuato cuatles nos estemos efendo. Se llama pme cuatl Q alque contene los datos más pequeños, este cuatl, coesponde al meno valo que supea o que dea po debao de él- a la cuata pate de los datos.. El tece cuatl es el meno valo que supea o que dea po debao de él- a las tes cuatas pates de las obsevacones. Con esta temnología, la medana es el segundo cuatl Q y el cuato cuatl Q 4 concde con el valo que toma el últmo dato, después de odenados. Los decles dvden la dstbucón de la vaable aleatoa en décmas y pecentles que dvden al dstbucón de la vaable aleatoa en centésmas..5 Meddas de foma. En geneal, una dstbucón de fecuencas quedaá bastante ben caactezada cuando conocemos de ella algún índce de tendenca cental y de vaabldad, peo quedaá todavía meo caactezada s conocemos su gado de smetía o asmetía y - 7 -

8 su apuntamento. Medante las meddas de foma podemos obtene nfomacón del pefl de la funcón de pobabldad o densdad de la vaable aleatoa. Las meddas que vamos a da de foma son admensonales e nvaante a cambos de ogen y escala. Una pmea caacteístca de la foma de la dstbucón que a smple vsta podemos ve en un hstogama es el númeo de puntas (modas) que tene la dstbucón. S una dstbucón tene una sola punta o moda se llama unmodal, s tene dos puntos se llama bmodal. Es mpotante señala que la detemnacón del númeo de puntas queda a uco del nvestgado, según sea la mpotanca que de a las dfeencas en la fecuenca de las categoías. Una segunda caacteístca de la foma de la dstbucón vene dada po su gado de smetía. La dea de smetía es bastante senclla. Sabemos que la medana dvde al hstogama en dos áeas de la msma supefce. Pues ben, decmos que una dstbucón de fecuencas es smétca cuando una de las áeas es magen de la ota. S la dstbucón es asmétca y unmodal, la medana y la moda no concden.. Paa detemna s una dstbucón es smétca tememos el Coefcente de Asmetía de Fshe, que se defne como: - 8 -

9 3 3, sendo 3 3 el momento de 3º oden especto de la meda y la desvacón típca al cubo. a. S dstbucón asmétca a la zqueda. b. S dstbucón smétca o cas smétca especto a la medana. c. S dstbucón asmétca a la deecha. Oto asgo mpotante de la foma de una dstbucón se efee al gado de aplamento de los datos alededo de un punto de la dstbucón. La cutoss hace efeenca pecsamente al gado de apuntamento de una dstbucón. Paa detemna este gado de apuntamento de la dstbucón tememos el Coefcente de Cutoss de Fshe, que se defne como: 4 3, sendo 4 el momento de 4º oden especto de la meda y 4 4 la desvacón típca a la cuata. a. S S la dstbucón de fecuencas es más unfome, la foma de la cuva es más achatada y se denomna platcutca. b. S En este caso la dstbucón tene el msmo tpo de concentacón que la dstbucón nomal, se dce que es mesocútca. c. S Paa una dstbucón unmodal y smétca, la foma leptocútca apaece cuando pesenta un apuntamento elatvo alto, es dec, cuando se tene una dstbucón de fecuencas altamente concentada

10 .6 La funcón geneatz de momentos. La funcón geneatz de momentos m se utlza paa dentfca la funcón de dstbucón de una vaable aleatoa y se defne como: o Dstbucón dsceta: m( t) E( e t ) n e t p( X ) o Dstbucón contnua: m( t) E( e t ) t e f ( ) d S m es dfeencable en el punto, paa calcula espeanzas: E, E, paa,,... E( ) m( t) t t S X y Y son ndependentes: m y ( t) m ( t). m ( t) y.7 Momentos de una vaable aleatoa bdmensonal. Igual que en el caso de la vaable aleatoa undmensonal paa las bdmensonales los momentos son opeadoes matemátcos que nos popoconaán nfomacón sobe las popedades de la dstbucón de la vaable aleatoa bdmensonal. Cuantfcando los momentos, s esten, podemos tene dfeentes meddas. Los momentos se pueden calcula especto al ogen de la dstbucón o espeto a la meda de la dstbucón. Momentos especto al ogen: Los momentos especto al ogen se defnen como: s E s y, paa,,,, s,,, aleatoas dscetas y contnuas tenemos:, en el caso de vaables - -

11 s s y y P y,, s,,, E paa (, y) s dsceta. s s y y f yd dy,, s,,, E paa (, y) s contnua. Los momentos especto al ogen de uso común son: Paa y Paa y Paa Paa y Paa s tenemos E y Ey s tenemos E y E s tenemos E y Ey s tenemos E y E s tenemos E y E y como valo espeado o espeanza matemátca. El esto de los momentos tenen escaso nteés., tambén conocdo Valo espeado o espeanza matemátca : Esta defncón tambén se puede aplca a una funcón de la vaable aleatoa: y y P y, E paa (, y) dsceta. E dy y y f y d, paa (, y) contnua. Sus popedades son las sguentes:. S e y son dos vaables aleatoas con espeanza conocda y a y b son dos constantes cualesquea, entonces : Ea by ae bey.. S e y son dos vaables aleatoas ndependentes con espeanza conocda, entonces : E y E Ey. Momentos especto a la meda: Los momentos especto a la meda se defnen como s E y Ey, paa,,, s,,, E en el caso de s vaables aleatoas dscetas y contnuas tenemos: - -

12 s E y Ey E s y Ey P y,,,, s E s paa, y dsceta. s E paa, y contnua s E y Ey E y Ey Los momentos especto a la meda de uso común son: Paa y Paa y Paa y Paa Paa s tenemos E E y Ey s f, yd dy,, s,, ) E E y Ey E E y Ey Vay E y Ey Va E y Ey Cov y s tenemos s tenemos s tenemos E s tenemos, E, Como en el caso anteo, los estantes momentos en la mayoía de los casos tenen escasa utldad. Covaanza de una vaable aleatoa : Cuando analzábamos las vaables undmensonales consdeábamos, ente otas meddas mpotantes, la meda y la vaanza. La covaanza es una manea de genealza la vaanza peo en el caso de vaables aleatoas bdmensonales. Pemte da una medda de la fueza de la elacón lneal estente ente dos vaables aleatoas, y. Se defne como: E E y Ey E( ) y Cov, y, tambén la podemos defn de una foma más senclla E, y EEy se denota como y. Cov,, y o y y Intepetacón geométca de la covaanza:. S, y Cov hay dependenca decta (postva), es dec, las dos vaables cecen o dececen a la vez.. S Cov, y hay dependenca nvesa o negatva, es dec, cuando una vaable cece la ota tende a decece o vcevesa. - -

13 3. S, y Cov Una covaanza se ntepeta como la no estenca de una elacón lneal ente las dos vaables estudadas, sno de cualque oto tpo, de la msma foma tambén se puede ntepeta que las vaables aleatoas son ndependentes. Ante estas dos stuacones, es mpotante tene cudado con la ntepetacón que podamos hace sobe una covaanza nula. Las popedades de la covaanza son las sguentes:. La covaanza se puede epesa utlzando momentos especto del ogen: Cov, y.. S e y Cov, y son dos vaables aleatoas ndependentes: 3. S e y son dos vaables aleatoas, como se vo en el apatado de la Va vaanza: y Va Vay s e y son ndependentes, y Va y Va Vay Cov, y 4. LaCov, y Covy, 5. LaCov, Va Cov. s e y no son ndependentes. 6. La, a Cov, paa cualque númeo eal a. 7. S, y, z son vaables aleatoas: y, z Covz, y Cov, z covy z Cov, Coefcente de coelacón: El coefcente de coelacón de Peason es un índce estadístco que mde la fueza de la elacón lneal que este ente dos vaables aleatoas cuanttatvas. A dfeenca de la covaanza, el coefcente de coelacón de Peason es ndependente de la escala de medda de las vaables aleatoas. Se defne como: y Va, y y Va y y Cov Las popedades del coefcente de coelacón son las sguentes:. S e y son dos vaables aleatoas ndependentes: y Po las popedades de la Covaanza, s e y son dos vaables aleatoas ndependentes Cov, y, y po lo tanto y Va Va y - 3 -

14 . S e y son dos vaables aleatoas cuyas vaanzas esten y son dstntas de ceo entonces:. Paa: y a. S, no este nnguna coelacón podemos dec que las y vaables están ncoelaconadas. El índce ndca, po tanto, una ndependenca total ente las dos vaables, es dec, que la vaacón de una de ellas no nfluye en absoluto en el valo que pueda toma la ota. b. S, este una coelacón postva pefecta. El índce ndca y una dependenca total ente las dos vaables denomnada elacón decta: cuando una de ellas aumenta, la ota tambén lo hace en déntca popocón. c. S, este una coelacón negatva pefecta. El índce ndca y una dependenca total ente las dos vaables llamada elacón nvesa: cuando una de ellas aumenta, la ota dsmnuye en déntca popocón. d. S < y <, este una coelacón postva. e. S - < y <, este una coelacón negatva