Criterio no asintótico para el diseño de sistemas Bonus-Malus mediante GPBM

Transcripción

1 Cteo no asntótco paa el dseño de ssteas Bonus-Malus edante GPBM Resuen Mª Pla Gacía Pneda Antono Heas Matínez Avda El Feol nº 9, 3º, Madd Tfno: E-al: MGARCIAPI@NEXO.ES El dseño de ssteas Bonus-Malus habtualente está basado en la dstbucón estaconaa de la pobabldad. Se supone que una pólza ha alcanzado el estado estaconao (n 0 ) cuando la pobabldad de que dcha pólza petenezca a la clase C es constante paa todo n ayo o gual que n 0. Esta dstbucón estaconaa de pobabldad es senclla de calcula. Su cálculo está basado en la Teoía de Cadenas de Makov y equee que el sstea cupla cetas condcones (sea Cadena de Makov educble y todos sus estados sean ecuentes en tepo espeado fnto). Podía ocu que estas condcones no se cuplan y en este caso no se podía utlza la dstbucón estaconaa. Po ota pate, los cteos basados en la dstbucón estaconaa no tenen en cuenta a las pólzas nuevas en la epesa n a las que llevan poco tepo. Po estos otvos, se popone un nuevo cteo que tenga en cuenta la edad de las pólzas de la catea. Palabas clave Bonus-Malus, Pogaacón po Metas. Ssteas Bonus-Malus Una copañía de seguos utlza un sstea Bonus-Malus cuando se cuplen las sguentes condcones: Exste un núeo fnto de clases C...C tales que cada pólza peanece en una clase duante un peodo de seguo (habtualente un año). La pa paa cada pólza depende úncaente de la clase en la que está. La clase a la que petenece la pólza duante un peodo dado está detenado po la clase en el peodo pecedente y el núeo de snestos declaados en ese peodo, lo que se conoce coo Condcón de Makov. Cada sstea Bonus-Malus está detenado po tes eleentos: La clase ncal, que es la que se asgna a las nuevas pólzas. La escala de pas π = ( π,..., π ) donde π es la pa paa la clase C.

2 Las eglas de tanscón, es dec, las eglas que establecen las condcones bajo las cuales una pólza que está en la clase C pasa a la clase C j en el sguente peodo. Estas eglas de tanscón venen dadas en una atz T de densón x donde sus eleentos T j cuplen las sguentes condcones: Son conjuntos de núeos enteos tales que una pólza pasa de la clase C a la clase C j s declaa snestos. T = { 0,, 2,... } y Tj Tj ' = cuando j j'. j= j Se supone que las caacteístcas de esgo de cada pólza están esudas en el valo de un ceto paáeto λ, dchos valoes paa todas las pólzas de la catea se supone que son una vaable aleatoa Λ, y que los núeos de snestos de la pólza, duante los dfeentes años de vgenca de ésta, son vaables aleatoas condconalente ndependentes y e déntcaente dstbudas paa cada valo del paáeto de esgo de la pólza. Se supone tabén que las cuantías de la snestaldad ndvdual son ndependentes de del núeo de snestos y del paáeto de esgo, y utuaente ndependentes e déntcaente dstbudas. Este paáeto de esgo, λ, se dentfca con la fecuenca eda de snestos, que se supone estaconaa en el tepo. Escala de Bayes Toando la eda de la snestaldad coo undad onetaa, el objetvo del dseño de un sstea Bonus-Malus consste en calcula una pa pua paa cada aseguado tan póxa coo sea posble al vedadeo valo (desconocdo) de su paáeto. La etodología ás habtual, en la lteatua actuaal, paa dseña ssteas Bonus- Malus es la constuccón de la escala de Bayes. Esta escala se obtene nzando la espeanza del cuadado del eo de tafcacón, defndo coo la espeanza del cuadado de la dfeenca ente la vedadea pa pua y la pa ealente pagada paa una pólza nfntaente veja elegda al aza. La pobabldad de tanscón condconada de una clase C a C j en un peodo, paa un valo de Λ= λ dado, vene dada po p ( λ) p ( λ) t p λ es la pobabldad condconada a T j y 0 en caso contao. = donde ( ) j j = 0 Λ= λ de declaa snestos y t toa los valoes s Estos valoes se ecogen en una atz P ( λ ) de densón x, llaada atz de tanscón. Estas defncones nos peten consdea un sstea Bonus-Malus coo una cadena de Makov y, tenendo en cuenta las popedades de las cadenas de Makov, es posble deosta que exste una dstbucón de pobabldad estaconaa (condconada) ( p ( λ),..., p ( λ )) donde p ( λ ) está defnda coo el valo del líte, cuando el núeo de peodos, de la pobabldad condconada de que una pólza petenezca a la clase C, dado Λ= λ. j 2

3 Esta dstbucón de pobabldad estaconaa concde con el autovecto po la zqueda asocado con el autovalo de la coespondente atz de tanscón, cuyas coponentes sean postvas y suen la undad. Metodología GPBM paa el dseño de ssteas Bonus-Malus Esta etodología está basada en Pogaacón po Metas. Coo paa la obtencón de la escala de Bayes, el cálculo de la escala de pas de un sstea Bonus-Malus se puede consdea coo un poblea de teoía de la decsón en el cual las posbles decsones son la escala de pas ( ),..., π π, los estados aleatoos de la natualeza son los valoes de Λ, y la pédda asocada a cada posble decsón ( π,..., π ) y a cada π λ λ. valo de Λ es el valo absoluto del eo de tafcacón p ( ). Esta expesón es, en geneal, bastante dfícl de esolve. No obstante, s suponeos que el paáeto Λ tene una dstbucón dsceta, es dec, toa los valoes ( λ,..., λ ) con pobabldades ( q,..., q ) espectvaente, entonces es equvalente a La decsón ópta seá la escala ( π,..., π ) que nce πp( λ) λ du( λ) nza p ( ) lneal j= π λ λq, lo que es tabén equvalente al sguente pogaa j n ( + ) j= x y q j j j ( ) ( ) π. p λ π. p λ + x+ y = λ... π. p( λ) π. p ( λ) + x + y = λ π 0 =... xj, yj 0 j =... donde los valoes óptos de las vaables x j e y j epesentan los eoes de tafcacón negatvo y postvo, espectvaente, paa una pólza de paáeto λ j. En los pogaas geneales de pogaacón po etas el decso ntenta enconta los valoes de las vaables de decsón tales que cetas funcones objetvo toen valoes tan póxos coo sea posble a un conjunto de etas pevas. En este caso, dchas etas son los valoes λ,..., λ, posbles valoes del paáeto Λ e ntentaos enconta los valoes de las vaables de decsón π,..., π tales que se apoxen, paa cada pólza de paáeto λ j, el valo de la eda de las pas pagadas po ese aseguado π p( λj) y su fecuenca de snestos eal λ j. 3

4 0 0 El gado de desequlbo fnanceo vene dado po ( ) xj yj. qj donde x 0, y 0 j j son las vaables de desvacón óptas solucón del pogaa lneal. Luego es posble ncopoa la popedad de equlbo fnanceo al sstea Bonus-Malus spleente 0 0 añadendo al pogaa lneal la estccón ( ) j= j= xj yj. qj = 0. Asso, es posble ncopoa otas necesdades de ecado sepe y cuando se puedan expesa coo estcccones lneales, coo po ejeplo: π π d + π π + π π π... π n d D π π D Objecones del uso de la dstbucón estaconaa Los étodos paa el dseño de ssteas Bonus-Malus expuestos hasta ahoa están basados en la eleccón de una pólza nfntaente veja elegda al aza, es dec, en la dstbucón estaconaa de pobabldad, se puede objeta que en la ealdad el núeo de vgenca de las pólzas es fnto. Aunque se puede consdea que a pat de un ceto núeo de peodos n 0 la pólza está sufcenteente póxa al estado estaconao, tabén habá en la copañía aseguadoa otas pólzas que no cuplan esta condcón. S la ayoía de las pólzas están lejos del estado estaconao, paece azonable odfca el cteo paa así tene en cuenta el eo de tafcacón tabén paa las nuevas pólzas y las que lleven un tepo odeado de peanenca en la epesa. Nuevo étodo no asntótco Tabén es posble aplca esta etodología sn utlza la dstbucón estaconaa. Consdeeos los vectoes de pobabldad condconados a Λ= λ, paa cada año n de la vda de la pólza. S n=, es dec, el pe año el vecto de pobabldades de petenece a cada una de las clases vene dado po p () ( λ ) = ( 0,...,,...0), donde todas las cooodenadas son nulas salvo la k-ésa que es la undad, ya que la pólza estaá en C k que es la clase de entada. ( 2 S n=2, el vecto de pobabldad condconada se obtene ) () p ( λ) = p ( λ). P sendo P la atz de pobabldades de un paso coespondente a la cadena de Makov. ( Así sucesvaente n ) ( ( ) ) () p λ p n ( λ). P... p ( λ). P n = = =. S n, p ( λ ) es el autovecto asocado al autovalo undad cuyas coponentes son no negatvas y suan la undad. 4

5 Consdeaos tabén la vaable aleatoa, N a, núeo de años de antgüedad de la w = P N = n. pólza y toaos coo valoes de los pesos ( ) En este caso, la escala de pas ópta se podía calcula esolvendo el sguente pogaa lneal: n ( xj + yj). qj j= sujeto a ( n ) π wp n ( λj) + xj + yj = λj n= j =,..., π 0 =,..., xj, yj 0 j =,..., Aunque podía paece que este pogaa lneal tene nfntos suandos en las peas estcccones, el núeo de suando se educe a un núeo fnto ya que P N = n = 0 paa algún núeo de años de antgüedad de la pólza n 0 ; y po lo tanto ( ) a n= 0 se podía susttu po n0 n= n a quedando así un núeo fnto de suandos. Ejeplo utlzando la dstbucón estaconaa Se quee dseña un sstea Bonus-Malus que tenga 3 clases con eglas de tanscón dadas po la atz {, 2,...} {} 0 {, 2,...} {} 0 {, 2,...} {} 0 { 2, 3,...} {} { } 0 { 2, 3,...} {} { 0} { 3, 4,...} {} 2 {} { 0} T = { 3, 4,...} {} 2 {} { 0} { 4, 5,...} {} 3 {} 2 {} { 0} { 4, 5,...} {} 3 {} 2 {} { 0} { 5, 6,...} {} 4 {} 3 {} 2 {} { 0} { 5, 6,...} {} 4 {} 3 {} 2 {} { 0} { 6, 7,...} {} 5 {} 4 {} 3 {} 2 {} { 0} { 6, 7,...} {} 5 {} 4 {} 3 {} 2 {} { 0} cuya clase de entada sea C 0, que los aseguados nuevos en la copañía paguen la eda de la snestaldad total y que la pa ente dos clases consecutvas vaíe al enos el % de la popocón ente dchas pas. Se sabe que la snestaldad se 5

6 ajusta a una vaable aleatoa dsceta Λ cuya dstbucón de pobabldad vene dada po la sguente tabla: λ j P(Λ=λ j )=q j y que la dstbucón de la snestaldad ndvdual se copota coo una Posson de paáeto λ. Calculaos E(Λ)=0.52 y esa seá la pa que deben paga los aseguados nuevos en la epesa toando coo undad onetaa el coste edo de un snesto. El poblea lneal que debeos de esolve seá, po tanto, 3 ( + ) n x y. q sujeto a 3 p( λj) π + xj yj = λj j =,...,20 π π2, π2 π3,..., π2 π3 π 0, xj 0, yj 0, 3 ( x y). q = 0 =,...,3 j =,...,20 π 5π3 π.0π+ =,...,3 π0 = 0.52 Resolvendo el pogaa con Maple V se obtene coo solucón ópta la escala de pas j π j

7 Ejeplo utlzando la dstbucón no estaconaa Se desea dseña una sstea Bonus-Malus con las sas caacteístcas que en el ejeplo anteo y que adeás tenga en cuenta el tepo de peanenca de las pólzas en la epesa. Se supone que la dstbucón de la vaable aleatoa N a (núeo de años que lleva la pólza en la epesa) se dstbuye de odo unfoe duante los vente peos años. En este caso el valo de los pesos wn = n=,...,20 y 0 en oto caso. 20 Debeos calcula el vecto de pobabldades de la nueva dstbucón no estaconaa (véase pogaa ds-no-est ) y basándonos en esta dstbucón de pobabldades, plantea el sguente pogaa lneal 3 ( + ) n x y. q sujeto a 3 20 ( n ) n ( λj) π j j λj n= w. p + x y = j =,...,20 π π2, π2 π3,..., π2 π3 π 0, xj 0, yj 0, 3 ( x y). q = 0 =,...,3 j =,...,20 π 5π3 π.0π+ =,...,3 π0 = 0.52 Resolvendo el pogaa con Maple V se obtene coo solucón ópta la escala de pas j π j Que coo podeos copoba esultan bastante paecdas a las que se obtenen toando la dstbucón estaconaa. 7

8 Bblogafía Atículo Nobeg, R. (976). A Cedblty Theoy fo Autooble Bonus Systes. Scandnavan Actuaal Jounal, pp Atículo Boga, O., Hoe, J. y Nobeg, R. (98). A Non Asyptotc Cteon fo the Evaluaton of Autooble Bonus Systes. Scandnavan Actuaal Jounal, pp Tess Gacía P. (200). Dseño de Ssteas de Tafcacón Bonus-Malus edante la etodología de Pogaacón po Metas. Facultad de CC EE. UCM. Madd 8