LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

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1 CRLOS S. CHINE LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL Lo íbolo ue etudao auí fueon ntoducdo en la ateátca, a fnale del lo XIX, o el aleán Elwn Buno Ctoffel (89 900, ue fue, unto con Benad Reann, el eo en etablece la nocón de Teno, y, en la áctca, el ceado del lueo llaado Cálculo Tenoal. Veao en ué conten eto íbolo. 0. Intoduccón: Sabeo ue en lo eaco eucldano, la étca vene dada o un teno étco (, cuya coonente covaante la - y la coonente contavaante la - etan lada o la elacón:. δ ( Conece o lo ue, en eto eaco uede ablae de vectoe n añad el calfcatvo de covaante o de contavaante, ue la coonente en abo cao venen lada o :. x x De eta anea, en lo eaco eucldano la antude vectoale adueen un caácte ntíneco ndeendente de la foa de eeentacón. En cuanto a lo eaco de Reann, e defnen coo un a (V n,, foado o una vaedad y una étca, en eneal no eucldana. Paa ue en eto eaco eannano tabén la antude ean ntíneca e ace convenente una enealzacón de la fóula eucldana, de odo ue en lo ucevo condeaeo lo eaco de Reann (V n,, donde e V n una vaedad, ( e un teno étco de coonente covaante y contavaante, lada o la exeón. x x El teno étco en un eaco de Reann e, en eneal, vaable en cada unto (y del eaco: E dec, en cada unto de la vaedad exte una étca dtnta. Cada unto e, ue, un oen efeencal aa la exeón de lo vectoe y tenoe en la vaedade de Reann. at de la étca o teno fundaental, (, y efectuando oeacone eleentale, e ueden etuda y elacona ateátcaente la ncale foa tenóea en eto eaco. Paa ete etudo on otante aluna bolzacone obtenda dede lo eleento del teno étco fundaental y ue lfcan uco eta elacone. Tale on lo Síbolo de Ctoffel. ( y DIVULGCIÓN DE L MTEMÁTIC EN L RED. MRCHEN, 00

2 CRLOS S. CHINE En lo eaco eucldano e ntoducen en el etudo de lo tea natuale de efeenca. Nooto odeo ntoduclo auí, aa lo eaco de Reann de odo ue concueden con la elacone y nfcado eoétco ue tenen en lo eaco eucldano. Síbolo de Pea Eece:.. Defncón: (, (.. Poedade:... Setía: En efecto: (, (, ( ( (, (,... Cootaento fente a lo cabo de coodenada: En un cabo de coodenada de odo ue la y aen a e la y, e tene ue tabén la atz fundaental cabaá y aaá a e, o eelo, la atz, de odo ue la elacón tenoal ente aba atce étca eía del to: '... donde la atce de ao venen dada o la dfeencale acale y, y o, la defncón de lo íbolo de Ctoffel de ª eece en la nueva coodenada eían: ( ' + ' ' (, ' En eta condcone e cule la uente elacón: S on (, lo íbolo de Ctoffel en el tea de coodenada y, y on (, lo íbolo de Ctoffel en el tea de coodenada y, con atce de ao aa el teno étco ente abo tea la dada en la exeón '.. DIVULGCIÓN DE L MTEMÁTIC EN L RED. MRCHEN, 00

3 CRLOS S. CHINE entonce, e vefca ue (, '...(, +.. En efecto. Vao a coobalo, calculado la devada acale ue fuan en la exeón de lo íbolo en el nuevo tea: ' ' Donde e: y y, al euta cculaente lo ubíndce, y, e tene: ' ' ' ' S uttuo aoa en la exeón de (, : (, ' ( ' + ' '...(, Identdad de Rcc: Se vefca la uente dentdad: En efecto: (, + (, (, + (, ( (. Síbolo de eunda eece:.. Defncón: Se defnen coo una elacón ente lo íbolo de Ctoffel de ea eece y la coonente contavaante del teno étco fundaental:.. Poedade:... Setía: (,. DIVULGCIÓN DE L MTEMÁTIC EN L RED. MRCHEN, 00 3

4 CRLOS S. CHINE Efectvaente: (,. (,.... Cootaento fente a lo cabo de coodenada: En un cabo de coodenada del to decto en el aatado anteo aa lo íbolo de ea eece, e vefca ue ' a.. B. +. B a Efectvaente, bataá ultlca o ' B. B. y tene en cuenta ue e vefcan la elacone:. B δ ( Conece, y. δ ( Conec e..3. dentdad de Ctoffel: Se vefca la ualdad: z... ' a Se obtene fáclente ultlcao la ualdad del aatado anteo o la atz y deeao la atz 3. Teoea: De la defncón de eto íbolo y de u oedade, en atcula, de la Identdad de Ctoffel, e tene un teoea ue coba una ceta otanca o u alcacón a la ecánca teóca elatvta: La tanfoacone de coodenada ue caban una étca de coefcente contante a ota étca tabén de coefcente contante, on tanfoacone lneale. En efecto, la étca e de coefcente contante, entonce, lo íbolo de ea eece on nulo (, 0 DIVULGCIÓN DE L MTEMÁTIC EN L RED. MRCHEN, 00 4

5 CRLOS S. CHINE y, o la dentdad de Ctoffel: y 0 con tan te Inteando con eecto a la vaable del cabo de coodenada: y. y' OOO0OOO---- DIVULGCIÓN DE L MTEMÁTIC EN L RED. MRCHEN, 00 5

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