CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

Transcripción

1 CAPO GAVITATOIO TEESTE Suponiendo la Tiea una esfea de densidad constante, se pide: a) El capo avitatoio ceado a, y /, siendo la distancia al cento de la Tiea. b) Deosta que si se hiciea un túnel sin ficción a tavés de la Tiea y a lo lao de uno de sus diáetos y, dejáseos una asa en el iso, su oviiento seía aónico siple. c) Deteina su peiodo. d) Si dejáseos libe en uno de los exteos del túnel con qué velocidad pasaía po el cento de la Tiea?. e) Lo iso si dejáseos a una altua h sobe el túnel, tal y coo indica la fiua, seá entonces un oviiento aónico siple? seá peiódico? Da espuestas azonadas. Datos: , K, G K -1 s -. h ecodeos que, toda asa situada en las poxiidades de la Tiea o en su inteio, cualquie asa esulta ataída hacia el cento de la isa, y que se define, intensidad del capo avitatoio, coo una fueza po unidad de asa situada en el punto coespondiente. Sus unidades seán N/K. Es una definición. F Ante las peuntas del apatado a), cabe supone que, a edida que nos vayaos alejando de la supeficie de la Tiea (y po tanto auentado ), el capo avitatoio iá disinuyendo y que, a edida que vayaos pofundizando hacia el cento de la isa (disinuyendo ) tabién iá disinuyendo, siendo ceo en el cento de la isa, pues en ese punto hay iual asa de la Tiea en todas diecciones. El valo áxio del capo avitatoio debe alcanzase en la supeficie de la isa. Paa llea a la expesión del capo avitatoio teeste paa puntos situados de anea que, ecodeos la ley de Newton de avitación univesal (que se deduce de las leyes de Keple y de copaa la atacción que ejece la Tiea sobe la Luna y sobe cualquie asa sobe la supeficie teeste) que se esue en:. F u

2 De esta foa, el capo avitatoio teeste paa los puntos situados en la supeficie de la Tiea y ucho ás allá de la isa, vendá dado po: F G.. u G. u Coo veos, diección adial (u ) y sentido hacia el cento de la Tiea. Paa deteina el capo avitatoio teeste dento de la Tiea hasta su cento, es deci paa puntos en los que <, vaos a utiliza el Teoea de Gauss. En un capo vectoial, se define flujo de un vecto a tavés de una supeficie coo el poducto escala de ese vecto po el vecto supeficie. S φ. paa una supeficie eleental dφ. ds Consideando el capo avitatoio teeste y eliiendo el flujo a tavés de una supeficie esféica con cento en el cento de la Tiea, de adio >, tendeos que considea un pequeño eleento de dicha supeficie e intea a toda la supeficie esféica coespondiente. G φ. ds ds.4π..4π. ds

3 coo es la asa total dento de nuesta supeficie, en eneal el flujo a tavés de una supeficie ceada seá: φ G. 4π int int Siendo int la asa ceadoa del capo, situada dento de la supeficie ceada. Utilizando esta expesión paa calcula el flujo entante a tavés de una supeficie esféica de adio <, tendeos que considea sólo la asa contenida en su inteio, de anaa que:. ds 4πG int 4. ds.cos180 4πG π. ρ Siendo ρ la densidad de la esfea. Coo se antendá constante en ódulo, en todos los puntos de la supeficie de la esfea de adio consideada y, la inteal de ds a lo lao de toda la esfea es 4π, tendeos:

4 4 4.4π. 4π.. π.. ρ de donde G π. ρ. Si substituios el valo de la densidad de la Tiea po su expesión, tendeos. G. Coo veos, el capo avitatoio dento de una esfea hooénea (la Tiea), depende linealente de la distancia al cento de la isa. En esuen: Paa u el capo disinuye con la invesa del cuadado de la distancia al cento de la Tiea. Paa G.. u el capo avitatoio pate de ceo en el cento de la Tiea y auenta de anea diectaente popocional a la distancia al cento de la isa, alcanzando su valo áxio en la supeficie de la esfea (Tiea). (N/k)

5 Coo veos, el áxio valo del capo avitatoio teeste, se alcanza en su supeficie. Contestando a las peuntas del poblea, la intensidad del capo avitatoio teeste, en los puntos aludidos seá: Paa Paa o K ( ) N. 6 o 46N. K 4 1 Paa / o. 8N. K 1 El enos sólo sinifica que el vecto capo avitatoio es siepe hacia el cento de la Tiea. b) Si se hiciea un túnel sin ficción a tavés de la Tiea y coincidiendo con uno de sus diáetos, y, dejáseos en libetad una asa, en la boca del iso, su oviiento seía aónico siple, pues la fueza que actúa sobe depende linealente de la distancia al cento de la Tiea y con un sentido hacia el cento de la isa, es deci es del tipo: G. de donde a K. F y x c) Haciendo coincidi el eje de las x con el túnel y, situando el oien del iso en el cento de la Tiea, las ecuaciones cineáticas de la asa seán: x cos wt v -w sen wt a w cos wt x.w Coo la aceleación heos visto antes que viene dada po:

6 G x a tendeos que G ω coo π T G de donde el peiodo seá T π G En nuesto caso conceto, con los valoes de asa de la Tiea, adio de la isa y G, el peiodo esultaía se de 5058 s o lo que es lo iso 84 inutos. d) Paa aveiua la velocidad con la que pasaía la asa po el cento de la Tiea, coo conoceos sus ecuaciones cineáticas, sólo tendíaos que calcula el valo de v x.w con lo que obteneos el valo de 791 /s. Un azonaiento altenativo paa la esolución de este apatado es la utilización del pincipio de consevación de la eneía ya que el capo avitatoio es un capo consevativo. En este caso, lo pieo seá llea a la expesión de la eneía potencial avitatoia del sistea -Tiea cuando esté en el túnel. Coo siepe debe cuplise: E p F.d E E 1 G.d p 1 p 1 G E p Po lo que, siplificando, nos da un valo paa la eneía potencial del sistea -Tiea cuando de: G E p con lo que la eneía potencial avitatoia cuando esté en el cento de la Tiea seá: G E p Aplicando al sistea -Tiea, el pincipio de consevación de la eneía cuando pasa de la supeficie de la Tiea al cento de la isa tendeos: E c1 + E p1 E c + E p Pues no hay tabajo exteio ealizado sobe el sistea y, las fuezas disipativas (de ozaiento) heos consideado que son nulas.

7 0 G G v De donde obteneos el valo de la velocidad cuando pase po el cento de la Tiea al cae desde su supeficie, de v 791 /s el iso valo que obtuvios po el azonaiento cineático. C) Si dejáseos cae desde una altua h sobe el túnel, tal y coo indica la fiua: h 1 Al cae la asa desde el punto 1 al, su aceleación va auentando a edida que disinuye la distancia al punto, y lo hace con la invesa del cuadado de la distancia. Una vez enta en el túnel, la aceleación disinuye a edida que lo hace la distancia al cento de la Tiea de anea diectaente popocional. Es deci. De 1 a a k 1 y de a a k. Po tanto coo en el pie tao, la aceleación no es diectaente popocional a la distancia al cento de la Tiea (), el oviiento NO ES VIBATOIO AÓNICO SIPLE. Sin ebao SÍ SEÁ PEIÓDICO, ya que, una vez llea la asa al cento de la Tiea con una velocidad que deteinaeos, continúa po el túnel con una velocidad cada vez eno ya que la aceleación habá cabiado de sino, y, cuando lleue a la ota boca del túnel (con la isa velocidad con la que entó), se alejaá de la supeficie teeste cada vez a eno velocidad hasta volve a alcanza la altua h, la ota pate de la Tiea, epitiéndose lueo el ciclo en sentido inveso e indefinidaente ya que el sistea -Tiea es consevativo y no se piede nada de eneía. Paa calcula en éste caso en el que dejaos cae desde una altua h sobe la boca del túnel, la velocidad con la que llea al cento de la Tiea tendeos que hacelo eneéticaente ( ya que la aceleación depende de la posición y de anea copleja en cada punto, tanto fuea coo dento del túnel). Paa aplica el pincipio de consevación de la eneía paa el paso de del punto 1 al, escibieos: E c1 + E p1 E c + E p

8 La eneía potencial del sistea en la posición 1 (lo iso que paa todos los puntos situados ás allá de la supeficie teeste y hasta altuas consideables), la calculaos utilizando la ley de Newton de avitación univesal y la deficición de eneía potencial avitatoia, es deci utilizando: E F. d G p d Consideando que inteaos desde hasta, y que a distancias de infinito la eneía potenciad del sistea -Tiea es ceo, obteneos paa la eneía potencial en esos puntos paa los cuales >, la siuiente expesión: E p + h ecodando la expesión de la eneía potencial del sistea cuando está en el cento de la Tiea: G E p Aplicando el pincipio de consevación de la eneía ente 1 y. G h 1. v + G de donde, despejando v, teneos paa la velocidad en el cento de la Tiea la expesión: v Gh + G +. h Copueba que la expesión se cuple paa valoes coo h0 y que su valo es indeteinado paa h. Copueba todas las expesiones en el applet paa distintos valoes de h.