27ª OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. NORUEGA a) Cinco resistencias de 1 Ω cada una están conectadas como indica la figura

Transcripción

1 7ª OIPIADA INENACIONA DE FÍSICA. NOUEGA a) Cinco esistencias de Ω cada una están conectadas coo indica la figua A Ω Ω Ω Ω Ω a esistencia de los conductoes es despeciable. Calcula el valo de la esistencia ente los puntos A os puntos de contacto de los ilos puentes con el oizontal los llaaos, N, O, P A N O P os paes de puntos siguientes se encuentan al iso potencial, a que están unidos po ilos sin esistencia: A N ; P ; O. educios a tes puntos ente ellos vaos colocando las esistencias. Ente A una esistencia, ente N una esistencia, ota esistencia ente N O, ota ente O P ota ente P A, N,P O, Ω 0,5 Ω, 0,5 Ω, Ω está en paalelo con, luego 0,5 Ω 55

2 b) Un esquiado pate en eposo desde el punto A desliza acia debajo de la colina, sin gia ni fena. Cuando se detiene en el punto su desplazaiento oizontal es s. A s Cuál es la difeencia de altuas ente los puntos A a velocidad del esquiado es pequeña de anea que la pesión adicional debida a la cuvatua se despecia, así coo que µ es independiente de la velocidad. Dado que se despecia la pesión adicional en la cuvatua la pista se copone de dos planos inclinados uno α el oto β A F P α l β Sea P el peso del esquiado la longitud del plano de bajada. El tabajo de la fueza de ozaiento es W µ P cos α *. En el plano de subida, de longitud l, el tabajo de la fueza de ozaiento es: W µ P cos β * l.. El tabajo de la fueza de ozaiento equivale a la pédida de enegía potencial del esquiado P ( cosα l β) * W W µ P cos De la figua se deduce que cos α l cos β S, po tanto, µ S S 56

3 c) Una pieza de etal aislada téicaente se calienta bajo la pesión atosféica ediante una coiente eléctica de anea que ecibe la enegía eléctica siendo la potencia P constante. a vaiación de la tepeatua de la pieza etálica con el tiepo está dada po la expesión (t) o en que a, t o, o son constantes [ a( t )]4 Calcule la capacidad caloífica Cp() del etal en función de o. a capacidad caloífica se define coo el cociente ente el calo ecibido a pesión constante la vaiación de tepeatua dq P Pdt P C p d d d dt El denoinado se puede calcula a que teneos una elación explícita ente la tepeatua el tiepo t o d dt 4 o [ a ( t t )] o 4 *a oa 4 o 4P 4P C P 4 ao oa o d) Una supeficie nega plana se encuenta a una tepeatua alta es paalela a ota supeficie seejante que se encuenta a una tepeatua l infeio a. Ente las supeficies existe el vacío. Con el fin de educi el flujo caloífico debido a la adiación se coloca una pantalla que consiste en dos supeficies planas negas aisladas téicaente ente sí. l 57

4 Dica pantalla se coloca ente las supeficies de tepeatuas l. Cuando las condiciones son estacionaias, deteina el facto ξ que ide el cociente ente el flujo con la pantalla sin ella. Despecia los efectos debidos al taaño finito de las supeficies. Cuando no existe pantalla el flujo caloífico desde la supeficie de tepeatua alta a la supeficie de tepeatua eno l vale Φ i 4 4 ( ) k Cuando se coloca la pantalla las tepeatuas de las supeficies negas son espectivaente. os flujos de calo son aoa Φ ( ) ; Φ k( ) ; Φ k( ) k l os flujos an de se iguales paa que se antengan las tepeatuas en condiciones estacionaias. Si suaos las tes ecuaciones 4 4 ( ) Φ Φ k Φ i ξ Φ e) Dos conductoes ectilíneos no agnéticos de gan longitud C C-,aislados uno del oto, llevan espectivaente una coiente I en la diección positiva negativa de z. as secciones de los conductoes ( las cuales tienen foa de luna dececiente) están liitadas po cículos de diáeto D en el plano x, siendo D/ la distancia ente los centos. as áeas de cada una de las secciones en foa de luna dececiente valen π D 8 a coiente en cada conducto está distibuida oogéneaente.calcula el capo agnético (x,) en el espacio ente los conductoes. l i C C- x 58

5 a le cicuital de Apèe peite calcula capos agnéticos ceados po coientes elécticas cuando se pesentan situaciones de sietía. Así, en los libos de Física, se calcula el capo agnético ceado po un ilo filifoe po el que cicula una intensidad I. dl Fig. Se toa una cicunfeencia centada en el ilo coo línea de ciculación, a lo lago de la cual el vecto es tangente con el iso ódulo (fig.). π µ oi dl µ oi π µ oi o π Oto poblea es calcula el capo agnético a una distancia del cento de un alabe de adio, siendo <. El alabe lleva una coiente I distibuida de foa unifoe en toda su sección tansvesal dl Fig. a ciculación a, lo lago de la línea de adio, (fig.),vale: π dl µ oi 0 Siendo i la intensidad de la coiente que abaca la cicunfeencia de adio. Coo la intensidad está distibuida unifoeente se cuple: I π i π 59

6 π µ oi dl µ oi π µ oi 0 π En el poblea popuesto no se ve a siple vista la sietía que peita aplica la le de Apée, aunque podía esolvese po una integación diecta, peo en pincipio el pocediiento paece coplicado, no obstante existe un tuco ediante el cual es posible aplica el teoea de Apèe. Supongaos dos conductoes cilíndicos po cua sección tansvesal cicula una coiente de intensidad I, unifoeente distibuida en la sección tansvesal, si aoa intepenetaos uno sobe el oto (fig.), esulta que en la zona coún la intensidad se anula el sistea es el iso que el popuesto en el poblea, esto es, la intepenetación povoca la anulación de una pate de la coiente da coo esultado que disinua a I en las zonas de foa de luna. I I Fig. Po tanto, podeos calcula el capo pedido a pati de sua los capos ceados po dos conductoes cilíndicos po los que cicula una intensidad I. Coo las intensidades están unifoeente distibuidas se cuple: I I π 6π I I I () D π π π π D 4 8 a le de Apèe da paa una coiente I que cea un capo agnético ϕ a distancia desde su eje, en el plano XY, (fig.4a). µ µ I 0 o ϕ ππ I D π 4 µ oi π D D P ϕ P P P P O c- C D/ P C c x Fig.4a 60 Fig.4b

7 Aplicando esta le al caso que nos ocupa, en un punto coo el P dento de la zona de cote (fig.4b), nos peite calcula los capos que cea cada conducto. µ 0 P 0 P P P π I D µ I π D el capo esultante P es la sua vectoial de abos. Po la sietía del poblea las coponentes sobe el eje Y se suan las coponentes sobe el eje X, se anulan po tene igual valo sentido contaio. as figuas 5a 5b son una apliación de la figua 4a en ella se uestan, po sepaado, las coponentes sobe los ejes X e Y los capos P P. Coo se apecia en la figua 5a, las coponentes sobe los ejes son: x P p P D x 4 p P x P p p C D/4 x O E D/4 C E x D/4 C C Fig.5a 6

8 De la figua 5b se deduce: x P p P D x 4 p P P x p p D/4 O x E D/4 C a sua de las coponentes sobe el eje X EC D/4 x Fig.5b µ oi π D * µ oi π D * p p P P p p p p a sua de las coponentes sobe el eje Y D x µ oi p 4 µ oi D * x π D p πd 4 D x µ oi p 4 µ oi D * x π D πd 4 p 0 P µ 0 πd I que coo se ve no depende la posición del punto dento de la zona de cote. Sustituendo I po I de la ecuación () P µ 0 πd I 6π π 6µ oi ( π )D 6

9 .- Ente dos cilindos coaxiales se a eco el vacío. El adio del cilindo inteio es a el del exteio b. El cilindo exteio se llaa ánodo tiene un potencial positivo V especto del inteio, que se denoina cátodo. En la zona evacuada existe un capo agnético unifoe paalelo al eje de los cilindos diigido pependiculaente acia fuea del plano de la figua. as cagas inducidas en los conductoes son despeciables. b a El cilindo exteio pueda lanza electones al espacio evacuado. a asa del electón se epesenta po po e su caga. a) En pie luga se establece el potencial eléctico V, siendo 0. Si un electón se encuenta con velocidad nula en la supeficie del cátodo, calcula la velocidad v que posee cuando llegue al ánodo. Da la espuesta con la teoía clásica la de la elatividad. Paa el esto de las cuestiones considea un tataiento clásico. b) Aoa V 0 está pesente el capo agnético. Un electón pate del cátodo con una velocidad v o en diección adial. Deteina el valo cítico de c, a pati del cual el electón no alcanza el ánodo. Hace un boceto de la taectoia cuando es ligeaente supeio a c. Aoa están pesentes el potencial V el capo agnético c) El capo agnético popocionaá al electón un oento angula especto del eje de los cilindos, escibi la ecuación de d/dt. osta que esta ecuación iplica que ke es constante duante el oviiento siendo k un núeo la distancia del electón al eje de los cilindos. Halla el valo d 6

10 d) Considea un electón que abandona el cátodo con velocidad despeciable que no alcanza el ánodo, siendo la áxia distancia del eje del cilindo. Deteina su velocidad en el punto de áxia distancia en función de. e) Deseaos utiliza el capo agnético con el fin de egula la coiente electónica en el ánodo. Cuando es ao que un valo cítico c, un electón que sale del cátodo con velocidad despeciable es incapaz de alcanza el ánodo. Deteina c f) Si los electones abandonan el cátodo debido a que éste está caliente su velocidad inicial, en el caso geneal, tendá po coponentes: v paalela al capo, v coponente en diección adial pependicula a v φ coponente aziutal, esto es, pependicula a la diección adial. Deteina el valo cítico de c paa alcanza el ánodo a).-calcula la velocidad v que posee cuando llegue al ánodo Cuando solaente actúa el capo eléctico el electón se diige del cátodo al ánodo en línea ecta, esto es, desde los potenciales negativos a los positivos. El electón es aceleado po la fueza del capo la vaiación de su enegía cinética al llega al ánodo es igual al tabajo eléctico ealizado po el capo v 0 ev v ev Según la teoía de la elatividad la enegía cinética viene dada po la expesión E c c v ( γ ) c c c ev c v c v ev c c ev c c c v ev c v c ev c c c ev c b).- Deteina el valo cítico de c, El electón se ve soetido a la fueza agnética que es pependicula a la velocidad. Al no abe capo eléctico el ódulo de la velocidad es constante la fueza es pependicula, en consecuencia se tata de un oviiento cicula del cual sacaos el adio vo vo F evo () e 64

11 Paa una velocidad dada el adio depende del capo agnético. El valo cítico de c se pesenta cuando el electón en su taectoia cicula oce el ánodo, si entonces < c el electón llega al ánodo si > c no llega al ánodo ( fig ) < c < c > c c Fig. Paa calcula el valo cítico apliaos la figua la constuios así: elegios un punto de salida del electón del cátodo. azaos la ecta po el iso punto una ecta pependicula a. En la ecta buscaos un punto que al taza la taectoia del electón salga del punto elegido oce al ánodo. b a Fig. De la figua se deduce: b a a ( b ) b b () b Sustituendo () en () b a b v e o c c v o b ( b a ) e c).- Escibi la ecuación de d/dt Aoa el electón se ve aceleado po la fueza eléctica al iso tiepo desviado de su taectoia ecta po la fueza agnética. Si toaos oentos especto del eje de los cilindos el oento de la fueza eléctica es nulo a que actúa en diección adial. a vaiación del oento angula se debe al oento de la fueza agnética 65

12 d dt ev* d e * dt a velocidad v tiene la diección de cabia debido a la fueza eléctica la deivada de con especto al tiepo es la velocidad instantánea En la expesión anteio d dt e d dt 0 d dt e 0 Si la deivada del lo que a dento del paéntesis es nula entonces e cons tan te, siendo k () d).- Deteina su velocidad en el punto de áxia distancia en función de. Dado que la elación () se antiene constante, la aplicaos en la salida del electón en el punto adial ( a ) ( a ) ea e e e 0 v v v e).- Deteina c Paa alla el valo cítico de, teneos en cuenta que la áxia distancia que puede alcanza el electón es b ( b a ) ec v b a enegía cinética que a ganado el electón es igual tabajo ealizado po el capo eléctico ev v v ev Cobinando las dos últias ecuaciones obteneos el valo cítico c. ev e c ( b a ) b c b e ev b V ( b a ) b a e 66

13 f).- Deteina el valo cítico de c paa alcanza el ánodo En este caso la velocidad inicial del electón en elación con sus coponentes es: v v v v φ Coo eos visto en el apatado b) el valo cítico de se obtiene dependiendo de la vob velocidad de salida del electón del cátodo, c, peo aoa la ( b a ) e velocidad de salida es v v v v φ, de anea que este téino sustituiá a v 0 en la expesión de c queda: b c v v v φ b a ( ) e.-en este poblea consideaeos de foa apoxiada la cuantía de las aeas en edio del océano. Se siplifica el poblea aciendo las siguientes suposiciones: I) a iea la una se considean coo sisteas aislados II) a distancia iea-una es constante III) a iea está cubieta copletaente po un océano IV) os efectos dináicos de la iea alededo de su eje son despeciables V) a atacción gavitatoia de la iea se puede calcula coo si toda la asa estuviese concentada en el cento de la iea Datos: asa de la iea 5, kg asa de la una 7,.0 kg adio de la iea 6,7.0 6 Distancia ente el cento de la iea el cento de la una, Constante de Gavitación Univesal G 6, kg -..s - a) a una la iea otan con velocidad angula ω alededo se su cento coún de asa C Cuál es la distancia del cento de la iea a C? (Indique esta distancia po la leta l) Calcule el valo nuéico de ω Supongaos un sistea de efeencia que está otando con la luna el cento de la iea alededo de C. En este sistea de efeencia la foa de la supeficie líquida es estática. 67

14 En un plano P a tavés de C pependicula al eje de otación la posición de una asa sobe la supeficie del líquido se descibe ediante coodenadas polaes ϕ, tal coo indica la figua, siendo la distancia desde cento de la iea iea (ϕ) ϕ una C Estudiaeos la foa (ϕ) (ϕ) de la supeficie liquida de la iea en el plano P b) Considea una asa puntual (asa ) sobe la supeficie del líquido en el plano P, en nuesto sistea de efeencia actúan una fueza centífuga las fuezas gavitacionales de la iea de la una. Escibi una expesión paa la enegía potencial coespondiente a estas tes fuezas Nota.- Cualquie fueza F() diigida adialente especto de algún oigen, es la deivada con signo negativo de una enegía potencial de sietía esféica F() -V ( ) c) Enconta en téinos de las agnitudes,..etc la foa apoxiada (j) de la coba de la aea Cuál es la difeencia de altuas ente la aea alta baja según este odelo? Se puede ace la siguiente apoxiación a acosθ a acosθ ( cos θ ) ) la cual es válida si a es uco eno que la unidad. En este análisis puede ace siplificaciones si éstas son azonables. a).- Cuál es la distancia del cento de la iea a C? oaos unos ejes coodenados catesianos en el cento de la iea 68

15 iea C una a coodenada del cento de asas es: l l x 0 7,.0 4 5,98.0 *,84.0 7,.0 8 4,6.0 6 El cento coún de asas está dento de la iea. a fueza de atacción que la iea ejece sobe la una es la fueza centípeta que ésta necesita paa gia con velocidad angula ω alededo del cento de asas G ω G ω ( l) 6,67.0,84.0 *, *5, ad,67.0 ( l) ) s ( 8 ) ( 8 6 ) 4,6.0 Podeos eplea el iso aguento paa la iea es que la fueza de atacción de la una es la fueza centípeta que la tiea necesita paa gia alededo del cento de asas coún G ω G l ω l 6,67.0 * 7,.0 6 ad,67.0 s (, ) * 4,

16 b).- Escibi una expesión paa la enegía potencial coespondiente a estas tes fuezas iea p una ϕ l Fig. vecto distancia desde el cento de la iea al punto de asa l vecto distancia desde el cento de la iea al cento de asas coún iea-una p vecto distancia del cento de asas a la asa vecto distancia desde la asa al cento de la una vecto distancia desde el cento de la iea al cento de la una a fueza centífuga de la asa especto del eje que pasa po C vale p p ω p dvc F( ) ω p Vc ω pdp d as enegías potenciales gavitatoias de la iea de la una son espectivaente cte G, G as tes contibuciones son, ) a enegía centífuga de especto del eje que pasa po el cento de asas, V -ω. P / cte, ) a enegía potencial especto de la iea G ) a enegía potencial especto de la luna G Vaos a pone los tes téinos en función de. De la figua se deduce l l l l cosϕ 70

17 cosϕ cosϕ a contibución de los tes téinos es: V ω ( l lcosϕ) cte G G cosϕ teniendo en cuenta que / <<, utilizaos G G ω l ω l a cosθ a a acosθ la expesión del enunciado ( cos θ ) ) G l ( l lcos ϕ) G G cos ϕ [ cos ϕ ] cte V Opeando en la últia ecuación V G l l eniendo en cuenta que cos ϕ cos ϕ [ cos ϕ ] G cte l * 6 6 ( 6,7.0 ) l 4,6.0.0 ; (,84.0 ) * 4,6.0 * (,84.0 ), ,84.0 c).- Cuál es la difeencia de altuas ente la aea alta baja según este odelo? Haceos la apoxiación de despecia los dos pieos téinos fente al últio G G G V ( cos ϕ ) cte cte G G G ( ) ( cos ϕ ) V 7

18 os valoes exteos de la expesión de la deeca son, paa la aea alta paa la aea baja ( ) G G G cte V, ; π π ϕ De las dos últias expesiones esulta: ( ) ( ) ( ) ( ) * Haceos las siguientes apoxiaciones despeciaos los téinos en fente a ( ) ( ) 0,5,84.0 * *5,98.0 6,7.0 * * 7,