Cinemática vectorial

Transcripción

1 Cineática vectoial Cineática Cineática de la patícula. MOVIMIENTO TRAECTORIA. El luga que ocupa un cuepo en el espacio especto a un sistea de efeencia ecibe el nobe de posición. Se dice que un cuepo se ueve cuando cabia su posición con el tiepo con especto a un sistea de efeencia. Si dicho sistea de efeencia lo consideeos fijo, el oviiento del cuepo es absoluto; sin ebago, si el sistea tabién se ueve, el oviiento del cuepo seá elativo. Conviene esalta que en el Univeso todos los oviientos son elativos, ya que no eisten puntos fijos o inóviles. Cuando vaos en un coche en acha, sentados en nuesto asiento, no nos oveos con especto al coche, sin ebago sí lo haceos con especto a una casa. Del iso odo, aun estando en eposo sobe la Tiea, nos oveos con especto al Sol, el cual, a su vez, tabién está dotado de oviiento. Eisten uchas clases de sisteas de efeencia, no obstante, el que usaeos en el pesente cuso seá el otogonal tidiensional. El punto de efeencia que utilizaeos seá el oigen O de los tes ejes catesianos. Se denoinan sisteas de efeencia ineciales a los que convencionalente suponeos fijos o a aquellos que se ueven con oviiento ectilíneo unifoe. Se deostaá, en el siguiente tea, que dos sisteas de efeencia, uno fijo y oto aniado de un M.R.U. con especto al pieo son equivalentes, es deci, las leyes físicas son las isas paa obsevadoes en abos sisteas (pincipio de elatividad de Galileo-Newton). Genealente, obviaeos los sisteas no ineciales, que son aquellos que están soetidos a aceleación. No eisten óviles sin diensiones, peo hay uchos cuepos que en su oviiento se copotan coo patículas ateiales, es deci, sus diensiones son despeciables fente a su distancia al oigen de coodenadas. El óvil no tiene que se necesaiaente pequeño paa se consideado coo patícula. Así un avión no se copota coo una patícula paa su piloto peo sí paa un obsevado situado en Tiea. La abstacción de considea a un óvil coo una patícula, pescindiendo del oviiento de todos sus puntos, siplifica notableente el conociiento aceca del oviiento del cuepo eal. La posición de una patícula en un punto P en cualquie instante vendá deteinada po el denoinado vecto de posición que es aquel cuyo oigen se halla siepe en el oigen de coodenada y cuyo eteo coincide en cada instante con la posición del punto óvil. Una patícula inicialente en un punto P (,y,z) está en eposo si sus coodenadas peanecen constantes con el tiepo con especto a un sistea de efeencia que consideaos fijo. Dicha patícula estaá en oviiento cuando alguna de las coodenadas del vecto de posición vaía con el tiepo. En geneal, habá oviiento si alguna de las coodenadas cabia con el tiepo:

2 Cineática f ( t) ( t) i + y( t) j + z( t) k Este vecto, denoinado vecto de posición, deteinaá la posición de la patícula en cualquie instante. Paa halla la distancia que eiste en cualquie instante ente la patícula y el punto de efeencia debeos halla el ódulo del vecto de posición: ( t) ( t) + y( t) + z( t), con las isa unidades de longitud que,y,z. z k i i k j P (,y,z) y j Se denoina tayectoia al luga geoético de las sucesivas posiciones que va toando la patícula óvil en el espacio, es deci, la línea descita po la patícula en su oviiento. P P 3 P 3 4 P 4 5 P 5 La ecuación de la tayectoia puede se epesada en foa vectoial (ediante su vecto de posición f(t), en foa paaética ( f(t), y f(t), z f(t)) y en foa contínua (epesando una de las coponentes espaciales en función de las otas).

3 Cineática 3. VECTOR DESPLAAMIENTO ESPACIO RECORRIDO. Supongaos una patícula que inicialente, en el instante t, se halla en la posición P deteinada po el vecto de posición y que tanscuido un tiepo t la patícula se halla en la posición P deteinada po el vecto de posición. Es evidente que la patícula se ha desplazado. Se denoina vecto desplazaiento al vecto que esulta de la difeencia de los vectoes de posición en los instantes final e inicial. El vecto desplazaiento ente dos posiciones siepe es el iso independienteente de la tayectoia seguida ( ) ( ) ( ) i ( y y ) j ( z z ) k i + y j + z k i + y j + z k + + P s Espacio ecoido Desplazaiento. P. El espacio ecoido, s, es una agnitud escala que ide la longitud de la tayectoia. Solo coincidiá con el ódulo del desplazaiento cuando el cuepo se desplace en línea ecta y no cabie de sentido el oviiento. Así, si un cuepo se desplaza sobe una ecta desde un punto A a un punto B, en todo oento, el ódulo del desplazaiento coincide con el espacio ecoido, peo, si se inviete el oviiento, aunque el espacio ecoido sigue auentando el ódulo del desplazaiento disinuye hasta el punto de que se puede anula en el punto A. Ejecicio. La posición de un poyectil viene dada po la ecuación : t i + (en unidades del S.I.) ( 4 t 5 t ) j Deteina : a) El vecto de posición en los instantes t s, t s, t s, t 3 s, t 4 s, t 5 s, t 6 s, t 7 s y t 8 s. b) La distancia desde el poyectil al oigen de coodenadas en los instantes t s y t 6 s. c) El vecto desplazaiento y su ódulo ente los instantes t s y t 4 s y ente los instantes t s y t 7 s. d) Ecuaciones paaética y continua de la tayectoia. e) En qué instantes el poyectil está a 5 po encia del oigen y a qué distancias hoizontales se encuenta del oigen en esos instantes?. Resp.: a) b) 63, ; 84,9. c)., 54, ; 55,9. d) e),55 s, 5,5 ; 6,44 s, 64,4.

4 Cineática 4 3. VECTOR VELOCIDAD. Se define velocidad de una patícula coo la vaiación del vecto de posición con especto al tiepo t. 3.. VECTOR VELOCIDAD MEDIA. Sea una patícula óvil que ente los instantes t y t pasa de la posición P, (definida po el vecto de posición ) a la posición P (definida po el vecto de posición ). Se define vecto velocidad edia coo el cociente ente el vecto desplazaiento y el tiepo epleado en ello: v t t i + y y z z j + k P v P. El vecto v tiene la isa diección y sentido que el vecto desplazaiento Ejecicio. La ecuación de un oviiento es : ( t ) i + 4 t j (S.I.). Deteina : a) Los vectoes de posición en los instantes t s, t s y t s. b) La ecuación continua de la tayectoia. c) La gáfica de la isa. d) El vecto velocidad edia v y su ódulo ente los instantes t s y t s. e) Copoba que los puntos que indican los vectoes de posición petenecen a la tayectoia. Resp.: a) b) y +. c).d) v ( ) i + 4 j /s. e)

5 Cineática VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA. El vecto velocidad edia, v, nos suinista poca infoación aceca del oviiento. No nos apota ningún dato que nos haga pensa si la patícula ha llevado siepe la isa velocidad en todo el intevalo de tiepo. Incluso, la velocidad edia de una patícula puede se nula en un intevalo de tiepo (si el vecto desplazaiento es ceo) y no se nula la velocidad en intevalos infinitesiales de tiepo, piénsese, en una patícula que ecoiendo una tayectoia ceada vuelve al iso punto de patida. Si los intevalos de tiepo son los suficienteente pequeños tabién lo seán los desplazaientos efectuados. Sólo de este odo podeos llega a sabe el valo de la velocidad en un instante de teinado en cualquie punto de la tayectoia. Así se alcanza el concepto de velocidad instantánea. P v v P v La velocidad instantánea es aquella que posee una patícula en un instante deteinado y ateáticaente coincide con el líite de la velocidad edia cuando el intevalo de tiepo tiende a ceo. d v li Es deci, el vecto velocidad instantánea es la deivada del vecto de posición con especto al tiepo. Es un vecto tangente a la tayectoia en el punto consideado y su sentido es el del oviiento. El vecto velocidad instantánea puede descoponese en tes coponentes catesianas efeidas al sistea de efeencia: d v d i + dy j + dz v k v i + v y j + v k El valo nuéico de la velocidad instantánea se obtiene hallando su ódulo: v v + v + v y z z

6 Cineática 6 DERIVADAS Ejecicio esuelto. La posición de un poyectil viene dada po la ecuación : t i + (en unidades del S.I) ( 4t 5t ) j I) Calcula la velocidad edia del poyectil en los siguientes intevalos de tiepo. a) de a s. b) de a, s. c) de a, s. II) a) Cuál es la velocidad instantánea paa t s?. b) y paa t 5 s?. En la siguiente figua se epesenta el vecto de posición del poyectil desde el instante t s hasta t 8 s (sustituyendo los espectivos tiepos en la ecuación del vecto de posición). La tayectoia se obtiene uniendo los eteos finales de los difeentes vectoes de posición que vaos obteniendo. Tabién se puede obtene sabiendo que: t t y 4 5 4, 5 y 4t 5t (Dándole valoes a obteneos difeentes valoes de y, con lo que podeos epesenta la ecuación de la tayectoia) v v

7 Cineática 7 Recueda que vecto desplazaiento,, es el vecto que esulta de la difeencia de los vectoes de posición en los instantes final e inicial: ( ) ( ) ( ) i ( y y ) j ( z z ) k i + y j + z k i + y j + z k + + Heos visto que el vecto velocidad edia, v, es el cociente ente el vecto desplazaiento y el tiepo epleado en ello: v t t i + y y z z j + k I. Halleos las velocidades edias en los intevalos de tiepo señalados. a) de a s: i + 35 j v i + 6 j v ( ) 6,958 s ( ) ( i + 6 j ) ( i + 35 j ) i + 5 j b) de a, s: i + 35 j v, i + 37,95 j v (, ) 3,488 s (, ) ( i + 37,95 j ) ( i + 35 j ), i + 9,5 j c) de a, s: i + 35 j v,,i + 35,995 j v (, ) 3,5753 s (, ) (,i + 35,995 j ) ( i + 35 j ), i + 9,95 j Obseveos que cuanto ás pequeño es el intevalo de tiepo ente el pie y segundo punto ás nos acecaeos al valo eacto (3 y pico) que tiene la velocidad paa t s. Nos acecaíaos a este valo toando un intevalo de tiepo infinitaente pequeño (cuando ). Este cálculo, po este étodo, seía uy engooso (y, po ota pate, nunca podíaos sabe eactaente cuál es ese valo). II. Un étodo que nos conduce a la solución eal (velocidad instantánea paa t s) suge del uso del concepto de deivada. La velocidad instantánea es aquella que posee una patícula en un instante deteinado y ateáticaente coincide con el líite de la velocidad edia cuando el intevalo de tiepo tiende a ceo:

8 Cineática 8 v li d Es deci, el vecto velocidad instantánea es la deivada del vecto de posición con especto al tiepo. Es un vecto tangente a la tayectoia en el punto consideado y su sentido es el del oviiento. Peo, cóo se halla una deivada?. Veáoslo paa una función polinóica. Otas funciones (seno, coseno, log ) se tataán en otas pates del cuso (que se lo cue tabién el pofe de ateáticas.). Sea la función: y n a. La deivada de dicha función seá: y dy d a n n Nota: la deivada de un suando que sea una constante, es deci, un núeo (3, -5, π,.) es ceo. Ejeplos: d d ( 6t + 8) i 4t j v 8t i t j 9t i + ( 6t + 4) j d 3. 9t i + ( 6t + π ) j v 8t i + 6 j 9t i + ( 6t ) j 3. t i + ( 8t 6t ) j v i + ( 4t t) j Po consiguiente, la velocidad: deivada de nuesto vecto de posición seá: t i + d ( 4t 5t ) j v i + ( 4 t) j Coo veos, la velocidad depende del tiepo (en nuesto poblea): a) t s: i + ( 4 ) j i + 3 j v 3, s d v 68 Copáese dicho valo (eal) con las velocidades edias (y po tanto valoes apoiados) halladas en los difeentes intevalos de tiepo. d v5 5 4 b) t 5 s: i + ( 4 5) j i j v 4, s

9 Cineática 9 Los vectoes v y v 5 están epesentados en la figua de la página 6. El vecto velocidad en un punto es un vecto tangente a la tayectoia en dicho punto (véase figua de la página. 6 y siguiente figua): P v i v v Apovechando esta eposición podeos adelanta el concepto de aceleación instantánea definiéndola coo la vaiación de la velocidad con especto al tiepo en un instante deteinado. Mateáticaente, coincide con el valo líite de la aceleación edia (consulta pag. ) cuando el intevalo de tiepo tiende a ceo. v dv d d d a li El vecto aceleación instantánea de una patícula coincide con la deivada del vecto velocidad con especto al tiepo o con la segunda deivada del vecto de posición con especto al tiepo en el instante consideado. Paa nuesto poblea: dv a d ( i + ( 4 t) j ) j s El valo de la aceleación (paa nuesto poblea) es constante paa cualquie tiepo. El valo de - /s (paa se eactos debeía se - 9,8 /s ) es la aceleación a la que esta soetida el poyectil paa cualquie instante. Ejecicio 3. La posición de un objeto viene dada po la ecuación: 3 t i + ( 4t 5t ) j (en unidades del S.I). Calcula los vectoes velocidad y aceleación en los instantes t s y t 4 s. Resp.: v i + j, v 4 48 i ; a i j, a 4 i j. (S.I.) La diección de la velocidad edia, 4 v, coincide con la diección del vecto desplazaiento,. Cuando tiende a ceo, la velocidad edia seá la velocidad instantánea en dicho punto y en esa situación seá tangente a la tayectoia. Po ello, la velocidad instantánea en un punto, v i, es siepe tangente a la tayectoia en dicho punto.