LA PARTÍCULA SOBRE UNA ESFERA
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- María José Fuentes Cordero
- hace 7 años
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1 Fundaentos de Quíica Teóica LA PARTÍCULA SOBRE UNA ESFERA E odeo de una patícua oviéndose en una configuación de esfea pefecta, es deci, a una distancia fija de un cento dado, peo en tes diensiones, es un caso significativo a pobea atóico, donde os eectones se ueven en tono a un núceo. Es po eso ipotante obtene a función de onda que desciba a este odeo. Si a posición de una patícua en cuaquie uga de espacio está dada po su vecto de posición, entonces a ecuación de Schödinge en tes diensiones se puede escibi coo: ψ ( + V ψ ( = Eψ ( Si a posición de a patícua se expesa en coodenadas esféicas y si estabeceos que a enegía potencia sóo depende de adio, entonces a ecuación toaía a foa: (,, + V ψ (,, Eψ (, = ψ, Resevados todos os deechos de epoducción. Luis A. Monteo Cabea, Univesidad de La Habana, Cuba, 003.
2 Fundaentos de Quíica Teóica Resevados todos os deechos de epoducción. Luis A. Monteo Cabea, Univesidad de La Habana, Cuba, 003. Si e apaciano en esféicas puede escibise coo: = y a patícua ibe en una esfea se sitúa a una distancia constante de cento que toaeos coo unitaia, entonces = e =. De esta foa e haitoniano queda asociado a opeado de oento angua: ( I L I H, } } donde I = µ es e oento de inecia. Si ahoa sacaos coo facto coún, e opeado cuadático de oento angua L y su coponente en a coodenada z se expesan coo: = i L L z
3 Fundaentos de Quíica Teóica Coo se vio anteioente, os opeadoes L y L z conutan y po o tanto tienen as isas funciones popias. Paa nuesta coponente unitaia y constante de a distancia a núceo, taes funciones popias se conocen coo os aónicos esféicos Y(, y su ecuación de Schödinge seía, en foa genea: Y (, Y (, + IE Y (, = 0 Si se condiciona a que as vaiabes se sepaen (, = Θ( Φ( entonces: Θ IE Φ + } Y, Φ ΘΦ + Θ = 0 Θ IE Φ Θ Φ } y po conveniencia, abos téinos que son evidente y copetaente independientes, se hacen iguaes a un vao. La piea ecuación esutante es idéntica a a de a patícua sobe un anio y e vao popio es justaente : d Φ = Φ d Resevados todos os deechos de epoducción. Luis A. Monteo Cabea, Univesidad de La Habana, Cuba, 003.
4 Fundaentos de Quíica Teóica Teniendo en cuenta a ecuación anteio, a soución de a patícua sobe un anio y coo se sabe que Φ( es función popia de a coponente de oento angua: d Φ( L zφ = LzΦ = L Φ( = Φ( z d Po o tanto, y con condiciones de contono taes que Φ ( = Φ( + π se ega a a función de onda: i ( Φ = e π y os vaoes popios de a coponente de oento angua son discontinuos y enteos: L z, = ( = 0, ±, ±,... La segunda ecuación esutante es: Θ IE Θ = Θ IE = Θ que es ota ecuación donde e vao popio de opeado difeencia sobe Θ es IE. Resevados todos os deechos de epoducción. Luis A. Monteo Cabea, Univesidad de La Habana, Cuba, 003.
5 Fundaentos de Quíica Teóica La soución de esta ecuación existe cuando se puede hace: IE = ( + donde = 0,,,... y adeás 0 y está dada po una seie de potencias. Las isas se denoinan poinoios de Legende: donde P Θ, P 0 ( ( + ( ( +! = P cos! ( d ( cos = ( cos i! d cos 0 ( cos = ( cos P ( cos d dx Consecuenteente, os aónicos esféicos constituyen a función angua tota: ( + ( 4π ( +! Y, (, =! e i P ( cos Resevados todos os deechos de epoducción. Luis A. Monteo Cabea, Univesidad de La Habana, Cuba, 003.
6 Fundaentos de Quíica Teóica Los aónicos esféicos son entonces funciones popias tanto de L coo de L z : L Y, = Y, L Y z,, ( (, (, = ( + Y (,, Coo concusión podeos afia que una patícua que se ueve o ota sobe una esfea, esto es, a una distancia unitaia y constante de un cento, tiene oentos anguaes discontinuos y dados po dos núeos enteos, aados núeos cuánticos intedependientes. Los núeos cuánticos tienen nobes históicos dados po as pieas poposiciones teóicas, anteioes a a ecánica cuántica. Así se aa núeo cuántico aziuta a denoinado po que da vao, sobe todo, a oento angua tota de a patícua y que toa vaoes de 0,,,... Se aa núeo cuántico agnético a que da vao a a poyección de oento angua sobe un eje paa un oento angua dado y que toa vaoes 0, ±,.., ±. Resevados todos os deechos de epoducción. Luis A. Monteo Cabea, Univesidad de La Habana, Cuba, 003.
Capítulo 6. Momento angular
Capítuo 6 oento angua 6 Opeadoes de oento angua 6 Conutadoes 6 Opeadoes de ascenso y descenso 6 étodo agebáico 6 Vaoes popios 6 Funciones popias 6 Reducción de pobea de dos cuepos 64 Roto Rígido 65 oviiento
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EL ÁTOMO DE HIDÓGENO = adio vecto de oigen a punto P. = Ánguo cenita = Anguo azimuta Ecuación de Schodinge En coodenadas esféicas a ecuación de Schodinge independiente de tiempo m / V E Donde: V e / 4
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