Ecuaciones del movimiento de un fluido

Transcripción

1 Ecuaciones del movimiento de un fluido 1 Foma fundamental El tenso de tensiones Relación constitutiva paa un fluido Newtoniano La ecuación de Navie-Stokes El tenso de tensiones paa flujos incompesibles Condiciones de contono

2 Ecuaciones del movimiento en coodenadas catesianas (flujo incompesible) 2 Ecuaciones del movimiento en coodenadas ciĺındicas (flujo incompesible) Ecuaciones del movimiento en coodenadas esféicas (flujo incompesible) Ecuación de la voticidad Voticidad y ciculación

3 Foma fundamental El cambio de momento dento de un volumen V, odeado po una supeficie S depende de: 3 Flujo de momento: S ρv i v ds. Suma de fuezas actuando en el inteio de V : ρf i dv. Suma de fuezas actuando sobe S: σ ij ds j. V S

4 4 Po lo tanto, las ecuaciones del movimiento son d dt V ρv i dv = S ρv i v ds + V ρf i dv + S σ ij ds j. Usando el teoema de la divegencia y notando que ρv i v ds = ρv i v j ds j. obtenemos V { t (ρv i) + x j (ρv i v j ) ρf i } σ ij dv = 0, x j donde hemos tenido en cuenta que V es independiente del tiempo. Como

5 V es abitaio 5 t (ρv i) + Usando la ecuación de continuidad x j (ρv i v j ) ρf i ρ t + (ρv j) = 0 x j x j σ ij. obtenemos ρ v i t + ρv j v i x j = ρf i + σ ij x j.

6 El tenso de tensiones 6 El tenso de tensiones ha de se simético, σ ij = σ ji. Las componentes i = j son las tensiones nomales. Las componentes i j son las tensiones tangenciales (o de cizalla). En un fluido en eposo el tenso de tensiones es isotópico, σ ij = pδ ij, p es la pesión hidostática. En un fluido en movimiento, podemos sepaa σ ij en una pate isotópica y ota no isotópica σ ij = 1 3 σ kkδ ij + (σ ij 1 3 σ kkδ ij ).

7 definimos la pesión mecánica (en geneal distinta de la pesión temodinámica) como P = 1 3 σ ii y escibimos 7 σ ij = P δ ij + s ij, donde la pate no isotópica s ij se debe al movimiento del fluido.

8 Relación constitutiva paa un fluido newtoniano 8 Fluido isotópico. El tenso de tensiones depende linealmente del tenso velocidad de defomación, e ij = 1 2 ( v i/ x j + v j / x i ). σ ij = (p Ke kk )δ ij + 2µ(e ij 1 3 e kkδ ij ) donde p = P + Ke kk es la pesión temodinámica.

9 La ecuación de Navie-Stokes 9 En la ecuación del movimiento ρ Dv i Dt = ρf i + σ ij x j. Substituimos la expesión del tenso de tensiones teniendo en cuenta que e ij = 1 2 ( v i/ x j + v j / x i ), e kk = v k / x k = v. La ecuación completa de Navie-Stokes es

10 10 ρ Dv i Dt = ρf i p x j + x j { µ v i + µ v } j x j x i + x j { (K 2 } 3 µ) v k x k despeciando las pequeñas vaiaciones de µ y K con la posición (debidas sobe todo a cambios de tempeatua), podemos escibi ρ Dv Dt = ρf p + µ 2 v + (K µ) v Flujo incompesible, v = 0 (ĺıquidos y gases), ρ Dv Dt = ρf p + µ 2 v

11 Flujo no viscoso µ = K = 0, 11 ρ Dv Dt = ρf p

12 El tenso de tensiones paa flujos incompesibles 12 Como e kk = v = 0, σ ij = pδ ij + µ( v i / x j + v j / x i )

13 Condiciones de contono 13 Contono ígido: velocidad del contono y fluido iguales. Contono flexible: velocidad y tensiones del contono y fluido iguales. Condiciones de contono asintóticas. Condiciones de contono en la pesión.

14 Ecuaciones del movimiento en coodenadas catesianas (flujo incompesible) 14 donde v x t + (v )v x = 1 p ρ x + ν v x v y t + (v )v y = 1 p ρ y + ν v y v z t + (v )v z = 1 p ρ z + ν v z f (v )f = v x x + v f y y + v f z z f = 2 f x f y f z 2

15 La ecuación de continuidad es 15 v x x + v y y + v z z = 0 El tenso de tensiones tiene la foma σ ik = pδ ik + η ( vi + v ) k x k x i

16 Ecuaciones del movimiento en coodenadas ciĺındicas (flujo incompesible) 16 donde v t + (v )v v2 φ = 1 p ρ + ν v φ t + (v )v φ + v v φ v z p φ + ν = 1 ρ t + (v )v z = 1 p ρ z + ν v z f (v )f = v + v φ ( f ) f = 1 ( v 2 v φ 2 φ v ) ( 2 v φ + 2 v 2 φ v ) φ 2 f φ + v f z z f φ f z 2

17 La ecuación de continuidad es 17 1 (v ) + 1 v φ φ + v z z = 0 El tenso de tensiones tiene la foma σ = p + 2η v ( 1 v φ σ φφ = p + 2η φ + v ) σ zz = p + 2η v z ( z 1 v σ φ = η φ + v φ v ) φ

18 ( vφ σ φz = η z + 1 ) v z φ ( vz σ z = η + v ) z 18

19 Ecuaciones del movimiento en coodenadas esféicas (flujo incompesible) 19 v t + (v )v v2 θ + v2 φ = 1 ( p ρ + ν 2 v 2 sin 2 θ (v θ sin θ) θ 2 v φ 2 sin θ φ 2v ) 2 v θ t + (v )v θ + v v θ 1 ρ p θ + ν v2 φ cot θ ( v θ 2 cos θ 2 sin 2 θ = v φ φ v θ v ) θ 2 sin 2 θ

20 v φ t + (v )v φ + v v φ 1 p ρ sin θ φ + ν + v θv φ cot θ ( v φ sin θ = v φ + 2 cos θ v θ 2 sin 2 θ φ v ) φ 2 sin 2 θ 20 donde f = 1 2 f (v )f = v + v θ ( 2 f ) sin θ θ La ecuación de continuidad es 1 ( 2 v ) 2 f θ (v θ sin θ) sin θ θ v φ ( sin θ f θ f φ sin θ ) sin 2 θ + 1 v φ sin θ φ = 0 2 f φ 2

21 El tenso de tensiones tiene la foma 21 σ = p + 2η v ( 1 v φ σ φφ = p + 2η sin θ φ + v + v ) θ cot θ ( 1 v θ σ θθ = p + 2η θ + v ) ( 1 v σ θ = η θ + v θ v ) θ ( 1 v θ σ θφ = η sin θ φ + 1 v φ θ v ) φ cot θ ( vφ σ φ = η + 1 v sin θ φ v ) φ

22 Ecuación de la voticidad 22 Tomando el otacional de la ecuación de Navie-stokes obtenemos la ecuación de la voticidad, ω = v, ω t + v ω ω v = ν 2 ω donde hemos utilizado v = 0. Podemos eescibi la ecuación como Dω Dt = ω v + ν 2 ω

23 Voticidad y ciculación 23 Po el teoema de Stokes, el flujo de la voticidad a tavés de una supeficie es igual a la ciculación de la velocidad a lo lago del contono de dicha supeficie: v dl = v ds = ω ds