LEY DE COULOMB. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO. LEY DE GAUSS. DIVERGENCIA. ENERGÍA. POTENCIA. CORRIENTE Y CONDUCTORES.

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DE ARAGUA FEDERICO BRITO FIGUEROA PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRÓNICA LEY DE COULOMB. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO. DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO. LEY DE GAUSS. DIVERGENCIA. ENERGÍA. POTENCIA. CORRIENTE Y CONDUCTORES. Ejecicios del Libo Teoía Electomagnética. 7ª Edición - Hat J. & Buck TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA AUTORES: Sección I Alae Yeni C.I.: Taecto III Amaa, Yetniel C.I.: Chavaia, Yuves C.I.: Chiinos, Hen C.I.: Rojas, Ángel C.I.: Yáne, Wladimi C.I.: La Victoia, Abil de 1

2 Abil de 1 ÍNDICE Pág. CAPÍTULO II Poblema Nº.... Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº CAPÍTULO III Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº.5... Poblema Nº.7... Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº.9... Poblema Nº.1... CAPÍTULO IV Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº CAPÍTULO V Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Poblema Nº Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

3 Abil de 1.. Cuato cagas puntuales de 5nC cada una se ubican en el espacio libe en los puntos A(1,,, B(-1,,, C(,1, D(,-1,. Enconta la fuea total sobe la caga que está en A. F A q BA CA DA = + + 4π BA CA DA BA = A B = ( 1,, + ( 1,, = a BA = + + = 4 = a CA = A C = ( 1,, + (, 1, = a a CA = = DA = A D = ( 1,, + (,1, = a + a DA = = q BA CA DA q F a a a a + a A = + + = + + 4π a a BA CA DA 4π 9 q FA = + + a = 4π.6 ( ( + + ( FA = a =.151 a C 9 ( 51 ( a Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

4 Abil de 1.5. Una caga puntual Q1 = 5nC está en el punto P 1 (4,,7 una caga Q = 6nC está en P (,4,, a Si =, enconta E en el punto P (1,,. P 1 = ( 1,, + ( 4,, 7 = (, 4, 4 P 1 = ( + ( 4 + ( 4 = = 41 = 6.4 P = ( 1,, + (, 4, = ( 4,,5 P = ( 4 + ( + ( 5 = = 45 = a a a a a + a E = ( q1 + ( q 4π ( 6.4 ( 6.71 a ( ( a a a + E = + ( 61 9 a a ( (.954( a 4a 4a (.1988( 4a a 5a ( 8.99 (.86a.816a.816a.795a.97a.994a ( 8.99(.59a.1546a.684a 4.58a.1846a 5.47a E = E = E = = b En qué punto sobe el eje E =?. P1 = (,, + ( 4,, 7 = 4a + ( + a 7a P1 = = = P = (,, + (, 4, = a + ( 4 a + a P = = = P1 P E = ( q1 + ( q 4π ( P1 ( P Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 4

5 Abil de E = ( ( 51 + ( 61 ( 65 + ( + ( 1 + ( 4 E 1 18 = ( ( 65 + ( + ( 1 + ( = +, ( 65 + ( + ( 1 + ( 4 Evaluando en Maple 15, nos aoja las aíces: 1 = I, = I, =.1, 4 = 6.89 Entonces los valoes eales de a toma seán: =.1, 4 = 6.89 Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 5

6 Abil de 1.7. Una caga puntual de µ C está en el espacio libe en A (4,,5. Enconta E ρ, E φ E en el punto P (8,1,. Calculamos AP : AP = ( 8,1, + ( 4,, 5 = ( 4,9, AP = = = 16 = 1.9 q AP 4a a a Ep = = ( ( 1 4π ( AP ( 1.9 = a +.8a.7a = 64.7a a 48.55a Ep Cambiando a cilíndicas las coodenadas de P: φ = tan = tan = 56.1º 8 E = 64.7a = 64.7cosφ senφ 48.55( ρ aρ a aρ a aρ 64.7cos( 56.1º ( 56.1º 64.7( ( a E = + sen = + = V m ρ ρ E = = 64.7 φ cosφ φ a aφ a aφ a a φ ( sen = 64.7sen( 56.1º cos( 56.1º = ( 64.7(.8 + ( 14.84(.55 φ E E = 5.6 a φ V m φ E = 48.55a V m Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 6

7 Abil de 1.1. Una caga de pueba positiva se utilia paa obtene el campo que poduce una caga puntual positiva Q en P( a, b, c. Si la caga de pueba se coloca en el oigen, la fuea sobe ella se pesenta en la diección.5a.5 a, cuando la caga de pueba se desplaa al punto (1,,, la fuea está en la diección.6a.8a. Enconta a, b c. Siendo = a + a + a = aa + ba + ca q q a a ( b ( c + a + a E = = 4π ( 4π ( ( a + ( b + ( c Evaluando los puntos en el oigen (,, en (1,, calculamos los vectoes unitaios: aa + ba + ca u = =.5a.5 a (,, ( a + ( b + ( c ( a a ba ca u = =.6a.8a 1,, ( 1 a + ( b + ( c.1... De la epesión.1., notamos que a =.5 b = a, no ha componente en, así que c= en los vectoes. Sustituendo, el módulo de.1. queda: a + b = a + a = a + a = 4a = a.. Reemplaando.. en.., etaendo el módulo: 1 a + b = 1 a + a + b = 1 a + 4a = 4a a + 1 De.., tomo la componentea paa obtene el valo de a : ( 1 a 4a a 1 + =.6 ( 1 a =.6( 4a a a =.6 4a a + 1 = 1.44a.7a a = 1.44a.7a +.6 a a a a + 1 = Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 7

8 Abil de 1.44a 1.8a.64 = + ; calculando las aíces po la fómula: obtenemos: a 1 =.45 a =.44. b b 4ac ± a =, a De acuedo a b = a, las coespondientes b, seían: b 1 =.45 =.75 b =.44 = 5.79 Las posibles coodenadas de P, seán: 1 (.45,.75, P.44,5.79, P Compobando (.45,.75, aa + ba + ca ( a + ( b + ( c P en.1. en..: 1.45a.75a (.45 + (.75 =.5a.5 a =.5a a.5a.866a =.5a.866a ; se cumple. ( 1 a a + ba + ca ( 1 a + ( b + ( c ( a a ( (.75 =.6a.8a =.6a.8a.6a.8a =.6a.8a ; se cumple. Ahoa compobando P (.44,5.79, en.1. en..: aa + ba + ca ( a + ( b + ( c.44a a (.44 + ( 5.79 =.5a.5 a =.5a a.5a +.86a.5a.866a ; no se cumple en el sentido. ( 1 a a + ba + ca ( 1 a + ( b + ( c =.6a.8a Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 8

9 Abil de a a ( ( 5.79 =.6a.8a.6a +.86a.6a.8a ; no se cumple. Las solución adecuada la bindan las coodenadas del punto (.45,.75, P. 1 Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 9

10 Abil de Una caga Q que está en el oigen genea un campo cuo valo E = 1kV m en el punto P(,1, 1. a Enconta Q, q (,1, 1 ( 9,1, ( Ep = = q π p ( ( (,1, 1 E = q Como Ep ( E, E, E =, entonces sólo tomamos la componente a : 8 ( E = 1kV m = 6.11 q 1 q 1kV m = = 1.6µ C ( 6.11 ( 1 8 b Enconta E en M (1, 6,5 en coodenadas catesianas. 1,6,5 9 6 ( 1,6,5 EM = = ( ( ( = EM q π ( ( 1 + ( 6 + ( 5 (, 18.1, 15.1 V m c Enconta E en M (1, 6,5 en coodenadas cilíndicas. Utiliando los esultados del inciso anteio paa cambia a coodenadas cilíndicas. ρ = + = + = = φ = tan = tan = 8.54º 1 = 5 E = a = cosφ 18.1senφ 15.1( ρ aρ a aρ a aρ = cos( 8.54º 18.1 ( 8.54º = = 18.58a ρ ρ = a φ 18.1 φ 15.1 φ = ( senφ 18.1cosφ φ a a a a a = ( 8.54º 18.1cos( 8.54º = = a φ φ E sen V m E E sen V m Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 1

11 Abil de 1 E = 15.1a V m E = 18.58a 15.1 V m ρ, φ, ρ a d Enconta E en M (1, 6,5 en coodenadas esféicas. = + + = + + = = θ = cos = cos = 5.58º φ = tan = tan = 8.54º 1 E = a a 18.1a a 15.1a a = senθ cosφ 18.1 senθ senφ 15 cosθ M( E = , = M M( E = 5.55 E θ = a a 18.1a a 15.1a a M M θ θ θ = cosθ cosφ 18.1 cosθ φ 15.1( θ ( θ E sen sen E θ = = = M EM φ φ φ φ a a a a a a = = = E = M 5.55a V m, θ, φ Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 11

12 Abil de Una densidad de caga está dada po ρv = ρ a C en una egión del espacio libe m donde ρ a son constantes. Enconta la caga total dento: a La esfea a, La epesión a en una esfea quiee deci a, consideando θ π φ π. En una supeficie esféica cualquiea: sen d d d θ θ φ. Calculando la integal tiple: π π a ρ π π a QT = ρv dv = a sen d d d sen d d d v ρ θ θ φ θ θ φ = a 4 4 ρ π π a ρ a π π QT = sen d d sen d d a θ θ φ θ θ φ 4 = 4a ρ a π ρ a π ρ a QT = ( cosπ ( cos dφ dφ ( π ρ a πc 4 = = = 4 b El cono a, θ.1π, Consideando φ π. Y la supeficie esféica cualquiea: Calculando la integal tiple: sen d d d θ θ φ. π.1π a.1 ρ π π a QT = ρv dv = a sen d d d sen d d d v ρ θ θ φ θ θ φ = a 4 4 ρ π.1π.1 a ρ a π π QT = sen d d sen d d a θ θ φ θ θ φ 4 = 4a ρ a π ρ a π ρ a QT = ( cos.1π ( cos dφ.5 dφ (.5( π 4 = = 4 4 Q =.5 ρ a πc T c La egión a, θ.1π, φ.π. La supeficie esféica cualquiea: sen d d d θ θ φ. Calculando la integal tiple:.π.1π a..1 ρ π π a QT = ρ v v dv = ρ a senθ d dθ dφ = senθ d dθ dφ a 4 4 ρ.π.1π..1 a ρ a π π QT = sen d d sen d d a θ θ φ θ θ φ 4 = 4a Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 1

13 Abil de 1 ρ a ρ a ρ a Q = d = d = T.π ρ QT =.44 a C π ( cos.1π ( cos φ.5 φ (.5(.π π Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 1

14 Abil de Una caga lineal unifome de 16 nc m se ubica a lo lago de la línea definida po =-, =5. Si =, a Enconta E en P (1,,, Asumimos =1. Calculamos el vecto desde la línea de caga al punto P. = ( 1,, + ( 1,, 5 = (,4, E P ρ 4a ( ( v a = = ( V m π a a = a a ( ( 4 + ( b Enconta E en ese punto sobe el plano = donde la diección de E está dada po 1 a a. Como a =, asumo =1 el punto efeencia como (1,,. = 1,, + 1,, 5 =, +, 5 E P 9 1 ρ ( + a 5 ( 161 ( 1.81 v a = = ( 5 π + a a ( ( + + ( 5 ( Po el vecto que da la diección: a a a = =, lo que quiee deci que: 1 = a ( 5 = + =.5 =.5 Sustituendo en la epesión del campo: E P 9 1 ( ( = (.5 + a 5a =.5a 5a = a 5a E P =.4a 46.8a Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 14

15 Abil de una caga lineal unifome e infinita ρ L = nc m se ubica a lo lago del eje en el espacio libe a la ve que cagas puntuales de 8nC se localian en (,,1 (,, 1, a Enconta E en (,, 4, ρ a 4 ( 1 9 ( L a E1 = = ( π 5 a a = a a ( ( + ( 4 Con (,,1 : q a ( a + a a + a a E = = ( ( 81 4π 4.5 ( + ( + ( 4 1 E =.61a +.9a 1.5a Con (,, 1 : q a ( a + + a 9 9 a + a a E = = ( ( 81 4π 1.19 ( + ( + ( E = 1.9a +.9a.9a Al suma las contibuciones nos queda: ET = E1 + E + E = 4.a 5.76a +.61a +.9a 1.5a + 1.9a +.9a.9a =.1a + 7.a 9.9a V m ET b A qué valo se debe modifica ρ L paa povoca que E sea ceo en (,,?. ρ L a ρl 9 E1 = = = ρ 1 L π 51 ( + + ( Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 15

16 Abil de 1 q ( 1 a E = = ( 1.11 ( 81 = π ( ( 1 q ( + 1 a E = = ( 1.41 ( 81 ( 4 = 4.5 4π ( ( + 1 E = E + E + E = ρ + +, peo E =, así que: 9 T L = ρ L ρl = =.751 C m T Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 16

17 Abil de Una caga lineal unifome de µ C m está sobe el eje. Enconta E en el punto P(1,, en coodenadas catesianas si la caga está ente: a, ρ a ( 1 6 ( L + a EP = = π 5 a + a = a + a ( ( 1 + b 4 4. Si = a + a + a. Entonces si la caga está unifome sobe el eje, = a. 4 ρ 4 L ρ a L + a + a a EP = d = d 4 4 4π ( 4π ( ( ( ρ 4 ( 4 ( L a + a + a ρl a + a a EP = d = + d 4 4 4π 4 ( 14 6 π + ( ( E E P P E P E P ( ρ 4 4 L d d ( a a 4 4 π a = ( ( ρ 4 4 L = ( a + a + + a 4π ρl = ( 4π a + a a ρl ρl = ( (.9.6 ( π a + a + a = a + a + a 4π a a a E = P Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 17

18 Abil de 1.7. Dado el campo eléctico = ( 4 ( + 4 E a a, enconta: a La ecuación de la línea que pasa po el punto P(,, 4, De la elación ente E E E 4 = = 4 E : ( ( E = E Cambiando a pequeños difeenciales de la línea: ( ( d = d d d = d d d d = d d = + c 4 = + c De acuedo al punto P(,, 4 : ( 4 = + c = + c c = 1.5 Entonces en P, la ecuación seá: 8 c = 8 4 = b Un vecto unitaio que especifique la diección de E en Q(,,5. E = Q 4 a + 4 a = 16a + a u E Q 16a + a 16a + a 16a + a = = = =.99a +.1 a ( 16 + Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 18

19 Abil de 1.. Una caga puntual de nc se encuenta en (4, 1, una caga lineal unifome de - 5nC/m se etiende a lo lago de la intesección de los planos =-4 =6. a Calcula D en (, 1,, En el punto de caga: = (, 1, + ( 4,1, = ( 1,, 9 q D a a 1 = = ( 1 ( = 4π 1.6 ( ( 1 + ( 11 1 D1 51 = a 1.51 a Con = -4, = 6 sigo tomando = -1: = (, 1, + ( 4,1, 6 = ( 7,, 6 ( a a 9 ρl D a a = = ( 51 ( = 7 6 π 85 ( ( 7 + ( D.81 = a +.81 a DT = D1 + D = 51 a 1.51 a.81 a +.81 a 1 1 D.781 = a a C m T ( a a b Qué cantidad de flujo eléctico abandona la supeficie de adio 5 con cento en el oigen?, Si calculamos en el punto (4, 1, (caga puntual: 1 = + + = = 6 = 5.1 La caga está fuea de la esfea, po tanto el flujo es ceo. Si calculamos en el punto ( 4, 1,6 (línea de caga: = + + = = 5 = 7.8 Al evalua el punto = 7.8 notamos que está mu alejado de la esfea, po tanto el flujo es ceo. Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 19

20 Abil de 1 c Repeti la pate b si el adio de la esfea es de 1. Tomamos el valo 1 = 5.1 calculado en el inciso b. Ahoa, paa la línea de caga de caga, sólo necesitamos la pate que se encuente dento de la caacteística = 1. Calculamos paa el punto ( 4,,6 : = + + = = = = 5 + = 1 5 = 6.9 Y suponemos que el secto de la línea que ataviesa totalmente la esfea es, que epesenta, así que: L Ψ = + ρ = + = QP L L 1 C 51 C m 6.9m C Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

21 Abil de 1.. La supeficie cilíndica ρ = 8 cm contiene una densidad de caga supeficial ρ s e nc m = 5. a Cuál es la cantidad de caga pesente?, La supeficie cilíndica viene dada po: ρ dφ d Q = ρ ds S s π π e π Q = ρs ρ dφ d = 5e.8 dφ d =.8 φ d e ( π Q = = e e = nc b Qué cantidad de flujo eléctico abandona la supeficie ρ = 8 cm, 1 cm < < 5 cm, º φ 9º? Ψ = Q = ρ ds S s e.5 Ψ = ρ s ρ dφ d = e dφ d = π = 9.18 pc Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 1

22 Abil de 1 D = 4a + + a + 4a C m. Evalua las integales de supeficie.5. Sea enconta la caga total enceada en el paalelepípedo ectangula < <, < <, < < 5 m. Evaluando la epesión límites de integación notamos: D = 4a + + a + 4a, en las caas ubicadas en los En la componente a el flujo entante po = es igual al flujo saliente po =, entonces Ψ T =. En la componente a en el punto ceo D =, mientas que en el punto = eiste flujo saliente. En la componente a en el punto =, D =, mientas que en = 5 eiste flujo saliente. Po lo tanto tenemos dos contibuciones en el paalelepípedo: 5 5 QT = D a d d + D a d d = 4 a d d + 4 a d d = = 5 = = Q = 4 d d d d = 8 d d + d d T 5 5 Q 8 T = d + d 6 d 4 d 6( C = + = + = + = Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

23 Abil de 1.7. Una densidad volumética de caga se encuenta en el espacio libe como 1 ρ v = e nc m paa < < 1mm ρ v = en cualquie ota pate. a Enconta la caga total enceada po la supeficie esféica = 1mm, π π.1 π π v Q = ρ senθ d dθ dφ = e senθ d dθ dφ π π Q = 1 e senθ dθ dφ 5 π π π π φ ( π Q =.11 senθ dθ dφ =.11 cosπ cos dφ Q =.11 d = = 4.41 C b Utiliando la le de Gauss, calcula el valo de D sobe la supeficie = 1mm. La magnitud D seá: D 18 Q 4.41 = = =.11 4π 4π.1 C m 1 Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

24 Abil de Un cubo está definido po 1 <,, < 1.. Si D = a + a C m. a Aplica la le de Gauss paa enconta el flujo total que abandona la supeficie ceada del cubo, El flujo enta po caas posteio, iquieda e infeio. Y sale po caas fontal, deecha supeio. Evaluando la epesión D = a + a C m en las caas ubicadas en los límites de integación notamos: No eiste componente a, po lo que no ha flujo en sus planos = 1 = 1.. En la componente a tanto en el plano = 1 como en = 1., eiste flujo. En la componente a tanto en el plano = 1 como en = 1., eiste flujo. Queda entonces: Ψ T = ΨT Ψ Ti Ψ T = d d + d d d d d d = 1. = 1. + = 1 = T ( 1. d d ( 1. d d Ψ = + ( 1 d d + ( 1 d d Ψ T =.88 d d + 4. d d d d d d ( 1 ( Ψ T =.88 d d + 1. d d = d + d Ψ T = d d 1 1 Ψ T = Ψ = =.178C T b Evalua i D en el cento del cubo, El cento del cubo estaá ubicado en (1.1,1.1,1.1. D D D i D = + + D ( = = 4, peo como no eiste componente a : Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 4

25 Abil de 1 D ( = = = 6 Ahoa i D : ( i D = = = = ,1.1 c Estima la caga total enceada dento del cubo utiliando la ecuación: Q = i D v. Calculamos.. v po la fómula de áea del cubo: ( lado, donde cada lado equivale a Q = i D v = =.164C Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 5

26 Abil de Una supeficie esféica de adio igual a mm cento en P (4,1,5 está en el espacio libe. Sea D = a C m. Utilia Q = D v abandona la supeficie de la esfea. D D D i D = + + D = = 1 i paa calcula el flujo eléctico neto que, peo D solo tiene componente a así que: El áea de la esfea es 4 π, entonces queda: 4 7 Ψ = i D v = 1 π. = 1.11 C Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 6

27 Abil de 1.1. Calcula i D en el punto especificado si, 1 a D = 1 5 ( 5 a + + a a en el punto P(,,5, D D D i D = + + Calculamos las deivadas paciales: 1 1 D 1 = = = 5 5 D = = = 5 5 D 5 1 = = = ( = + Ahoa i D en el punto P(,,5 : ( i D = = + + = + + = (,,5 5 5 b D = a + ρa en P(, 45º,5, 5 p 1 La fómula de divegencia en coodenadas cilíndicas: ( ρ ρ 1 D 1 Dφ D i D = + + ρ ρ ρ φ Calculamos las deivadas paciales: ( ρdρ ( ρ5 = = 5 ρ ρ Dφ = φ D ( 1ρ = = 1ρ Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 7

28 Abil de 1 Ahoa i D en el punto P(, 45º,5 : ( ρ ρ 1 D 1 Dφ D i D = + + = + 1ρ = + 1( = ρ ρ ρ φ ρ (, 45º,5 ( c D = senθ senφ a + cosθ senφaθ + cosφa φ en P(, 45º, 45º. La fómula de divegencia en coodenadas esféicas: ( ( θ 1 D 1 sen Dθ 1 Dφ i D = + + senθ θ senθ φ Calculamos las deivadas paciales: ( D ( ( senθ senφ senθ senφ = = = 6 senθ senφ ( senθ Dθ ( senθ cosθ senφ = = cosθ cosθ senφ senθ senθ senφ θ θ ( senθ Dθ = cos θ senφ sen θ senφ = senφ ( 1 sen θ θ Dφ ( cosφ = = senφ φ φ Ahoa i D en el punto P(,45º, 45º : i D = + + senθ senθ sen( 45º sen( 45º i D = 6 sen( 45º sen( 45º + { 1 sen( 45º } sen 45º sen 45º ( 6 senθ senφ senφ ( 1 sen θ ( senφ, 45º,5 ( ( i D = 6 (.77 ( ( ( i D = + = + = Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 8

29 Abil de 1.5. Dento de la óbita esféica definida po < < 4 m, la densidad de flujo eléctico está D = 5 a C m, a Cuál es la densidad volumética de caga en = 4?, dada po ( ( θ 1 D 1 sen Dθ 1 Dφ ρv = i D = + + senθ θ senθ φ La pacial seá en función de la coodenada a : ( D 5( Ahoa en = 4 : 4 = = ( D ρv = = ( 1( = ρv = = ( ( 4 9( = 4 4 ρ = = 17.5C m v b Cuál es la densidad de flujo eléctico en = 4?, D = 5 a C m, entonces evaluamos en el punto = 4 : Tenemos que D = 5 4 a = 5a C m c Qué cantidad de flujo eléctico abandona la esfea en = 4?, En esfea adial: 4π Ψ = D : Ψ = π = π = π = 4 D C d Cuánta caga está contenida en la esfea = 4?. Recodemos que en magnitud, Q = Ψ = 15.1C Ψ = Q, entonces: Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 9

30 Abil de 1.9. En una egión del espacio libe se encuenta el volumen <,, <, D = ( a + a a C m, a Evalua el lado de la integal volumética del teoema de divegencia paa el volumen definido aquí. v D v v ρ dv = i dv = i D d d d Calculamos las deivadas paciales: D D D i D = + + D = = D = = = 4 D 8 = = 8 Entonces i D =. La integal queda: v ρ 8 8 v dv = d d d = d d = 4 ( d d v 1 d ρv dv = d d = ( d = 5 = =.74 ( b Evalua el lado de la integal de supeficie paa la supeficie ceada coespondiente. Al evalua la epesión D = ( a + a a en las caas ubicadas en los límites de integación, notamos: Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

31 Abil de 1 En la componente a el flujo entante po = es igual al flujo saliente po =, poque la vaiable no inteviene, entonces no ha contibución. En la componente a el flujo entante po = es igual al flujo saliente po =, poque la vaiable no inteviene, entonces no ha contibución. En la componente a ha contibución, po tanto nos queda, después de coloca la contibución de del inciso anteio: a b. s s D ds = 8 d d =.55 d d = d D ds = 1.9 d = ( =.47C Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 1

32 Abil de 1.1. Dada la densidad de flujo D = 16 cos ( θ a C m θ, utilia dos métodos difeentes paa enconta la caga total dento de la egión 1< < m, 1 θ ad, 1 φ ad. Método 1: v ρv dv = i D dv v Calculamos las deivadas paciales: ( ( θ 1 D 1 sen Dθ 1 Dφ ρv = i D = + + senθ θ senθ φ La pacial seá en función de la coodenada a θ : 16 cos ( θ 16 cos θ cos ( θ senθ sen( θ ( senθ Dθ = = θ θ Ahoa i D : ( senθ D 1 θ 1 16 i D = = cosθ cos( θ senθ sen( θ senθ θ senθ cosθ cos( θ sen( θ i D = cos cos θ ( θ senθ sen( θ = senθ senθ sen 16 cosθ cos θ θ ρ dv = i D dv = dv dv v senθ v v v v sen 16 cosθ cos θ θ ρ dv = senθ d dθ dφ senθ d dθ dφ v senθ v v v ρ dv = 16 cosθ cos θ d dθ dφ sen θ senθ d dθ dφ v v v ρ dv = 16 cosθ cos θ dθ dφ sen θ senθ dθ dφ ρv dv = 16 cosθ cos θ sen θ dθ dφ senθ senθ cosθ dθ dφ Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

33 Abil de 1 v v v ρ dv = 16 cos θ dθ dφ 16 cosθ sen θ dθ dφ 64 sen θ cosθ dθ dφ ρv dv = 16 senθ + senθ dφ 16 senθ + senθ dφ v senθ + senθ dφ { } ρv dv = dφ dφ 1 v v 1 1 v ρ dv = 16.6 dφ 64.5 dφ = ρ dv = =.9C v Método : D ds s, evaluando en base a la coodenada a θ, con θ constante da = senθ d dφ D D D ds = ds + ds θ = θ = 1 s s s s D ds = cos( sen d dφ cos( 1 sen( 1 d dφ s D ds = (.654 (.99 d dφ (.416 (.841 d dφ s φ D ds = 9.51 d dφ d d = =.9C v v s Entonces vemos que ρ dv = D ds =.9C, evidenciado bajo ambos métodos. Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi

34 Abil de El valo de E en P( ρ =, φ = 4º, = está dado po E = 1a a + a V m. Detemina el tabajo incemental equeido paa move p φ una caga de µ C una distancia de 6µ m ; a En la diección de a p, El tabajo incemental viene dado po: dw = Q E dl dw = Q E dl ρ dw = = 11 J b En la diección de a φ, dw = Q E dl φ dw = 1 61 = 41 J c En la diección de a, dw = Q E dl dw = 1 61 = 61 J d En la diección de E, dw = Q E u dl E Hallamos el vecto unitaio de E: u E = E E E = = 14 = ap aφ + a u E = =.6ap.5aφ +.8a El tabajo incemental nos queda: 6 6 ( 1 ( 1ap aφ a (.6ap.5aφ.8a ( 6 1 dw = + + Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 4

35 Abil de dw = = 4, 461 J e En la diección de G = a a + 4a. dw = Q E u dl G Hallamos el vecto unitaio de G : u G = G G G = = 9 = 5.8 a a + 4a u G = =.7a.55a +.74a 5.8 Convetimos a coodenadas cilíndicas: ug =.7a =.7 cosφ.56senφ +.74( ρ aρ a aρ a aρ u =.7 cos( 4º G.56sen( 4º =.7(.77.56(.64 =.75a ρ ρ ug =.7a φ.56 φ +.74 φ =.7( senφ.56 cosφ φ a a a a a ug =.4sen( 4º.56 cos( 4º = (.7(.64 (.56(.77 =.668a φ φ u G =.74a u G =.75a ρ, φ, ρ aφ + a El tabajo incemental queda: 6 6 ( 1 ( 1ap aφ a (.75aρ.668aφ.74a ( ( 1 ( 7 14 ( dw = + + dw = + + = J Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 5

36 Abil de Se ha visto que la enegía necesaia paa lleva una caga de 4µ C desde el oigen (,, a lo lago del eje es diectamente popocional al cuadado de la longitud de la E = V m en E sobe el eje como función de. taectoia. Si 7 1,,, detemine W = Q E d, sobe el eje. Entonces E debe toma la foma E = N. En = 1, E = 7V m, peo de acuedo a la epesión anteio: E = 7 = N = N 1 = N, po tanto 7 = N. Entonces la epesión genéica debeía se: E = 7 V m paa todo valo sobe el eje. Consideando además que a medida que el valo de aumenta, la enegía seá matemáticamente más negativa. Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 6

37 Abil de Calcula el valo de taectoia, A G dl paa G a con A( 1, 1, (,1, = P utiliando la a Segmentos de línea ectos ente los puntos A( 1, 1, B ( 1,1, a (,1, Si lo hacemos po etapas sólo en función de a : P, B A P ( ( 1 1 d + d = d + d = + = + 1 = B Peo evaluando de B a P, donde no es nula, = 1: = ( 1 = b Segmentos de línea ectos ente los puntos A( 1, 1, a C (, 1, a (,1, Si lo hacemos po etapas sólo en función de a : P. C P A 1 ( ( 1 d + d = d + d = + = 1 + = C Peo evaluando de A a C, donde no es nula, = -1: = ( 1 = Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 7

38 Abil de Una densidad volumética de supeficie unifome de nc m se encuenta en la supeficie de la esfea de adio =.6 cm en el espacio libe. a Enconta el potencial absoluto en P( = 1 cm, θ = 5º, φ = 5º, Calculamos la caga en =.6 cm =.6 m: Q = 4π ρ = 4π.6 1 = 9.61 C Ahoa: 9 1 s 1 ( ( Q V = = = 8.146V 4π 4π b Enconta V AB dados los puntos A( = cm, θ = º, φ = 6º B( = cm, θ = 45º, φ = 9º. VAB = VA VB V AB Q Q Q 1 1 = = 4π 4π 4π A B A B V AB 1 ( 1 ( = = 1.6v 4π Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 8

39 Abil de Dado un campo electostático ( ( de potencial ente los puntos,,, 1,,, a ( E = + 1 a + 1 a + a, enconta la difeencia Si nos movemos a lo lago de de = a =, tenemos que =. Si nos movemos a lo lago de de = - a =, tenemos que =. A lo lago de, de = -1 a = tenemos que el valo es constante =. Quedando: L 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 V = E dl = + d d d = + V = Peo sabemos que =, = =. V = = + = V b (,, 1 (,, 4, Si nos movemos a lo lago de de = a = -, tenemos que = -. Si nos movemos a lo lago de de = a = -, tenemos que =. A lo lago de, de = -1 a = 4 tenemos que el valo es constante =. Quedando: L 4 ( 1 ( 1 ( 1( ( 1( ( 4 1 V = E dl = + d d d = + + V = Peo sabemos que = -, = =. V = = = 1V Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 9

40 Abil de Sea ( V = + Ln + + V en el espacio libe. Evalua cada una de las cantidades siguientes en P (,, 1 ; a V, V = 1 + Ln = 4 + Ln = = 15.1V b V, V = 15.1 = 15.1V c E, V V V E = i V = a + a + a Calculando las deivadas: V = = Ln 6 a V + Ln + + = = a V = = Ln 18 6 a Evaluando P (,, 1 paa obtene E : E = + a a a (,, 1 ( E = ( a + ( ( a + ( ( 1 + a E = a a a = 7.1a.8a a Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 4

41 Abil de 1 d E, E = = 75.V m e a N, 7.1a.8a a a N = =.94a.a +.94a 75. f D. 1 ( ( D= E= a.8a a D = 6.81 a a a C m Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 41

42 Abil de Se sabe que un potencial está dado po Suponiendo V condiciones en el espacio libe, enconta: a E, Tenemos que:.6 = 8ρ V. Suponiendo dv E = i V = d ρ E ρ.6 ( 8ρ dv d = = = (.6 ( 8ρ = 48ρ d ρ d ρ v m b La densidad de caga volumética en ρ =.5 m, ( ( ρ 1 ( ρ ρ 1 φ D = E = = D D D ρv = i D = + + ρ ρ ρ φ ( 1 1 ρ 4.51 ρ.4 (.6 ( ρ.4 ρv = = =.551 ρ ρ ρ Evaluado en ρ =.5 : 1.4 ρ v = = = 6,71 C m ρ ρ c La caga total dento de la supeficie ceada ρ =.6, < < 1. La foma más fácil de hace este cálculo es evalua D ρ en ρ =.6, teniendo en cuenta que es constante, luego se multiplica po el áea del cilindo. Tenemos que:.4 D p = = = 5.1 C m Así: π 1 π 1 1 Q = D ds = 5.1 ρ dφ d = dφ d s 1 π Q = d d = = C φ ( π Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 4

43 Abil de Dento del cilindo ρ =, < < 1, el potencial está dado po V = 1 + 5ρ + 15ρ senφ V, a Enconta V, E, D v ρ en P( 1,6º,.5 En pime luga sustituimos el punto dado en V: en el espacio libe, V V sen = º = = 79.9V ( ρ ρ 1 V 1 Vφ V E = i V = + + ρ ρ ρ φ ( 5 15 senφ ( 15 cosφ 5 15 sen( 6º 15 cos( 6º E = + aρ aφ = + aρ a E = 179.9a 75a V m ρ φ ( ρ φ D = E = a 75a = a.661 a C m ρ φ ( ρdρ Dφ ρ ( 5 15 senφ ( 15 cosφ ρv = ie = + = + ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ φ ( 15 1 ρv = senφ + senφ = [ 5 15 senφ + 15 senφ ] ρ ρ ρ 5 ρ v == ρ Evaluando en P ( 1,6º,.5 : 5 5 ρ v = = ( = C m ρ φ b Cuánta caga se encuenta dento del cilindo?. 5 1 π 9 Q = ρ d ρ dφ d = 5 ( π ( 1 = C ρ Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 4

44 Abil de Un dipolo tiene un momento = nc m el espacio libe. Enconta V en P (,, 4. p a a a se localia en ( 1,, 4 Q en V V ( p = 4 π p = 4π ( ( QP ( QP Calculamos el vecto posición QP : QP = P Q = + = (,, 4 ( 1,, 4 ( 1,1,8 QP = = 66 = 8.1 Entonces V en P (,, 4 : V 1 π ( 9 9 a 5a + 1a a + a + 8a = = = 1.8V Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 44

45 Abil de Una esfea de cobe de adio igual a 4 cm contiene una caga total distibuida unifomemente de 5µ C en el espacio libe. a Utilice la le de Gauss paa enconta D fuea de la esfea, Con una supeficie esféica gaussiana de adio, D seá la caga total dividida po el áea de esta esfea. Q D = a 4π 6 51 D = a.491 C m = a 4π.4 4 b Calcula la enegía total almacenada en el campo electostático, ( 6 51 ( 51 6 π π 1 1 W = D E dv = senθ d dθ dφ 4π 4π v W = d dθ dφ = senθ dθ dφ.4 π π π π senθ.4 π π π [ ] W =.4 senθ dθ dφ =.4 cosπ cos dφ =.448 π =.81J c Utilia W E Q = paa calcula la capacitancia de la esfea aislada. C Despejando la capacitancia utiliando el esultado del inciso anteio: 6 ( 51 Q 1 C = = = F W.81 E Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 45

46 Abil de Una cieta densidad de coiente está dada po = 1e ( ρ ρ + la coiente total que pasa a tavés de las supeficies; a =, ρ 1, en la diección a, π 1 π s ρ J a a A m. Enconta J = J ds = e ρa a ρ d ρ dφ + e a a ρ d ρ dφ π 1 π 1 π 1 ρ J = + 1 e ρ d ρ dφ = 1 1 ρ d ρ dφ = 1 dφ ( π = J = 5 1 = 14.16A b = 1, ρ 1, en la diección a, π 1 π J = J ds = e ρa a ρ dρ dφ + e a a ρ dρ dφ s ρ π 1 π 1 π 1 ρ J = + 1 e ρ d ρ dφ = 1.5 ρ d ρ dφ = 1.5 dφ = 1 ( π J = = 4.54A c Cilindo ceado definido po 1, ρ 1, en la diección saliente. La supeficie ceada seá evalua en el punto = 1, en = la contibución intemedia: I = I I + I T = 1 = c π 1 π 1 I = e 1 d ρ dφ = e d ρ dφ T ( π ( π 1 IT = e + 5e = = = A Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 46

47 Abil de 1 4 senθ 5.. Sea J = a A m, + 4 a Enconta la coiente total que flue a tavés de la poción de la supeficie esféica =.8, limitada po.1π θ.π, φ π, s π.π π.π 4 senθ = π.1π I = J ds = senθ dθ dφ = sen θ dθ dφ π. π π θ 1 I = dφ = ( (.47.4 ( dφ 4.1π ( π I = 1.14 = 76.6A b Enconta el valo pomedio de J en el áea en cuestión. El áea de una supeficie esféica está dada po: π.π π.π π.π S = senθ dθ dφ =.64 senθ dθ dφ =.64 cosθ dφ =.8.1π.1π.1π π φ ( π S = d =.1 = 1.45m I 76.6A J = 5.5 A m S = 1.45m = Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 47

48 Abil de a Utiliando los datos tabulados en el Apéndice C ( σ = 1, calcula el siámeto que se equiee paa que un alambe de nicomo de m de longitud disipe una potencia pomedio de 45W cuando se le aplique un voltaje de 1Vms a 6H, Diámeto = Si V L = I σ S P = V I, igualando en función de I, tenemos: P L V =, despejando S: V σ S P L S =, donde V σ S = π paa obtene el adio del alambe: π = = P L V σ P L V π σ Sustituendo los valoes tenemos: ( = = = m 6 π El diámeto seá: ( 1 ( Diámeto = = b Calcula el valo ms de la densidad de coiente en el alambe. J ms P 45 I = = V = 1 = 61 A m π π π ( Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 48

49 Abil de Una alambe sólido con una conductividad a 1 un adio a tiene una cubieta de un mateial que tiene una conductividad σ, su adio inteio es a su adio eteio es b. Demosta que la elación de las densidades de coiente de los dos mateiales es independiente de a b. Asumimos que paa el pime mateial J1 = σ1 E paa el segundo mateial J = σ E, tomando en cuenta que el campo eléctico es constante en todo el alambe fomado po los mateiales, nos queda: J = σ E E, sustituendo en σ 1 = J J : 1 J E, obteniendo la elación de densidades: = σ = σ J σ1 J J σ =, σ 1 1 Que puede eplicase sin que dependa del adio de los alambes. Depende de las caacteísticas de conductividad de los alambes. Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 49

50 Abil de Un tubo cilíndico hueco con una sección ectangula mide etenamente.5 po 1 7 un goso de paed de.5. Supone que el mateial es latón tiene una σ = 1.51 S m. Po el tubo flue una coiente de ª de c.d., a Qué caída de voltaje se pesenta en un meto del tubo?, Tansfomamos las unidades de pulgadas ( a metos:.5 equivalen a 1.7mm, 1 equivale a 5.4mm,.5 equivalen a 1.7mm, V V ( 1 L = I = σ S = = 147.6mV ( 1.51 {(.54 (.17 ( 1 ( 1.1 ( 1. } ^ b Enconta la caída de voltaje si el inteio del tubo se llena con mateial conducto 5 cuo valo de σ = 1.51 S m. Pimeo deteminamos la esistencia en el inteio: 1 1 R = = = 8.7mΩ 4.84 ( (.54 (.17 ( 1.1 ( 1. La esistencia total paa calcula el voltaje seá la elación ente la intena la del tubo: I 1 1 R = + = + = = 1.91 V R T 1 R 4 T = = Ω La cíada de voltaje seá: 4 V = I RT = = 14.91mV Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 5

51 Abil de Una placa conductoa ectangula está ubicada en el plano ocupa la egión < < a, < < b. Ota placa conductoa idéntica se coloca en posición paalela a la a pimea en = d. El espacio ente las placas se llena con un mateial cuo σ = σ e, donde σ es una constante. Se aplica un voltaje V a la placa en = d ; la placa está a potencial ceo en =. Enconta en téminos de los paámetos dados: a La intensidad de campo eléctico E dento del mateial, El campo eléctico vaía en la diección de, más sin embago la conductividad del mateial inteno vaía en función de. Así que en todo no debe eisti vaiación de E, quedando la epesión: V = Ε a V m d b La coiente que flue ente las placas, J a σ e v = a d = b a a σ e v ds = J J d d d, se ealia un cambio de vaiable: u = d a a du = d u u a b a σ e v σ v b a b u σ v e J = du d = e du d = d d d d J = u b σ v b e d d, se devuelve el cambio de vaiable: a a a.6 a a σb v e σb v σb v 1 σb v J = = e e = ( e 1 = d d d d c La esistencia del mateial. R v v d = I =.6σ b v =.6σ b Ω d Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 51

52 Abil de Dado el campo de potencial V = V en el espacio libe: + 4 a Enconta D en la supeficie =, v v v E = V = + + v / m ( + ( + 4 v = = = ( + 4 ( + 4 v = v 1 ( 4 1 = = ( 4 ( E = V = a a a, en = queda: ( + 4 ( E = a ( + 4 Paa enconta D : 1 ε ( + 4 D = E = a C m b Demosta que la supeficie = es una supeficie equipotencial, Evaluando el potencial dado en = se nota que a pesa de que o vaien, el potencial siempe seá ceo. Igualmente el campo en = igualmente iá diigido en la diección a. c Supone que la supeficie = es un conducto enconta la caga total en la poción del conducto definida po < <, < <. σ s Da = = = 1ε + 4 1ε Q= Q = d d 1ε d d = Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 5

53 Abil de 1 Cambio de vaiable: u = + 4 du = d 1 du 1 1 Q = 1ε d = 1ε Ln u d = 1 ε Ln( + 4 d u Q = ε Ln( + 4 = 15 ε Ln( ε Ln(4 1 1 Q 15 ( = Ln( ( Ln(4 9 Q =.91 C Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 5

54 Abil de Sea V = s 1 en el espacio libe. a Detemina las ecuaciones de las supeficies equipotenciales en las que V = 6 V, V = 1 ; en V = v 1 ( = = En V = 6v 1 ( = 6 6v = 1 = 6 = 6 b Supone que éstas son supeficies conductoas enconta la densidad de caga de supeficie en el punto de la supeficie V = 6V donde = = 1. Se sabe que < V < 6 es la egión que contiene el campo, En v = 6v: 6 = 6 = ; = ; = 1 ( (1 6 = 8 7 = 7 = = v v v E = V = + + v m v = 4 v = v = Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 54

55 Abil de 1 E = a a a 4 Evaluando en =, =.875 = 1, nos queda: E = a a a = 7a 8a + 5a Entonces: D = E = a 8a + 5a =.61 a.711 a a C m Ahoa el módulo: D = = 1.41 C m c Popociona el vecto unitaio en el punto que es nomal a la supeficie conductoas está diigida hacia la supeficie V =..61 a.711 a a.61 a.711 a a an = = (.61 + ( (.441 a =.6a.68a +.4a N Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 55

56 Abil de A cieta tempeatua, las movilidades de los electones huecos en el gemanio son de.4.1 m V s, espectivamente. Si las concentaciones de huecos electones son de σ = ρ e µ e + ρhµ h m, enconta la conductividad a esa tempeatua. ρ e = 1,6 1 19, conductividad del gemanio σ = (1, σ =.55 s m (,1 19 m (,4 +,1 Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 56

57 Abil de Una muesta de semiconducto tiene una sección tansvesal ectangula de 1.5mm po.mm una longitud de 11.mm. El mateial tiene unas densidades de electones huecos de m, espectivamente. Si µ =.8 m V s µ =.1m V s, enconta la esistencia ofecida ente las caas de los etemos de la h muesta [(1,8 1 (,8 (1 (,1] 19 σ = (1, 1 + σ =,6 s m l R = σ A,11 R = (, 6(, (, 15 R = 155KΩ e Autoes: Alae Yeni - Amaa, Yetniel - Chavaia, Yuves - Chiinos, Hen - Rojas, Ángel - Yáne, Wladimi 57