CAMPO MAGNÉTICO (III) Magnetismo en la materia

Transcripción

1 CAMPO MAGNÉTICO (III) Magnetismo en la mateia

2 Campo Magnético Magnetismo en la mateia v Los átomos tienen momentos dipolaes magnéticos debido al movimiento de sus electones y al momento dipola magnético intínseco asociado al espin de los electones ven un mateial magnéticamente polaizado, los dipolos cean un campo magnético paalelo a los vectoes del momento dipola magnético Clasificación de mateiales atendiendo a compotamiento de sus momentos magnéticos en un campo exteno v Paamagnéticos vdiamagnéticos vfeomagnéticos vpaamagnetismo: suge de la alineación pacial de momentos magnéticos atómicos o moleculaes en pesencia de un campo magnético exteno. Los momentos dipolaes no inteaccionan fuetemente ente sí. vfeomagnetismo: los momentos dipolaes inteactúan fuetemente ente sí. Se puede consegui una gan alineación de dipolos magnéticos incluso con campos extenos débiles. vdiamagnetismo: suge de los momentos dipolaes magnéticos obitales inducidos po un campo magnético exteno. Los momentos inducidos son opuestos al campo exteno y debilitan el campo total. Este efecto ocue en todos los mateiales peo como los momentos inducidos son pequeños especto a los momentos magnéticos pemanentes, el diamagnetismo está enmascaado po los efectos paamagnéticos o feomagnéticos.

3 Imantación y susceptibilidad magnética Campo Magnético Cuando se sitúa un mateial en, los momentos magnéticos tienden a alinease El mateial se magnetiza M dm dv Ejemplo, cilindo con imantación unifome Coiente supeficial Imantación : momento dipola po unidad de volumen Efecto macoscópico, coiente supeficial M dm dv Adi Adl di dl Campo ceado po un solenoide: m ni ni: coiente po unidad de longitud Campo ceado en el mateial imantado (po analogía): m m M

4 Imantación y susceptibilidad magnética Campo Magnético Situando un mateial magnético en un solenoide y aplicando un campo ap Campo magnético en el mateial: Mateiales paamagnéticos y feomagnéticos: ap + mm M // ap En pesencia de un mateial magnético m( J + J M ) m( J + M) Mateiales diamagnéticos M se opone a ap Ł m - M ł J - M m (A/m) Vecto intensidad de campo magnético Medios lineales e isótopos M c m m + M) m (1 + c ) m ( m c m : Susceptibilidad magnética m m(1 + cm) : Pemeabilidad magnética

5 Campo Magnético M c m m 1+ c m Diamagnético: 1 Paamagnético: 1 Feomagnético: >> 1 m << 1 c m m c << 1 < m m >> 1 c m Ciclo de histéesis

6 INTRODUCCIÓN ISTÉRESIS MAGNÉTICA En el eje de odenadas puede epesentase bien la imanación M o bien el campo Cuando el campo magnético aplicado cae a ceo, sigue existiendo magnetismo emanente (esto tiene utilidad paa almacenamiento magnético de datos) Imanación del mateial M Mateial imanado hasta satuación po alineación de dominios El mateial feomagnético sigue una cuva no lineal cuando se imana desde campo ceo El campo magnético aplicado debe invetise y alcanza un valo llamado campo coecitivo paa que la imanación vuelva a se nula Satuación en sentido opuesto Campo magnético aplicado El ciclo de histéesis muesta que la imanación de un mateial feomagnético depende de su histoia pevia. Una vez se ha llevado el mateial a satuación el campo aplicado puede se educido a ceo peo el mateial etiene buena pate de su imanación ( ecueda su histoia ). 6

7 INTRODUCCIÓN (2) MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. LÍNEAS DE CAMPO Líneas de campo Líneas de campo En el espacio libe m M Dento del mateial feomagnético M m m - M 7

8 INTRODUCCIÓN (3) ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA Imanación M M u z Z q 4 m p 3 R M 3 R e 3 R u M ( 2 u cosq + q sinq ) e M R m q sin ( 2 u cos q + q ) u 3 3 Fuea de la esfea unifomemente imanada El mismo campo que poduciía un dipolo 4 magnético m p 3 R M centado en la esfea 3 Dento de la esfea unifomemente imanada ( cos sin ) M M i - u q + uq q M 2 i m ( M + i ) m M - mm Ł 3 ł 3 Campos unifomes. El campo tiene sentido opuesto a la imanación (campo desimanado) 8

9 9 M a g n e t i s m o E l e c t i c i d a d y Líneas de campo Líneas de campo Z Z u z M M Imanación ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA (Cont) INTRODUCCIÓN (4)

10 PROLEMA 1 Dos conductoes indefinidos coaxiales de adios a y b tanspotan coientes iguales +I y I (igual magnitud y sentidos contaios). En un secto del volumen compendido ente ambos existe un mateial lineal de pemeabilidad m, subtendidendo un ángulo q (véase cote tansvesal en la figua). Se pide: a) Los campos y ente ambos conductoes si no existiese ente ellos ningún mateial magnético. b) Los campos, y M en la situación planteada en el enunciado. Si no existiese ningún mateial magnético b a dl Suponemos saliente la coiente del conducto inteno Ampèe: I p u j 2 mi u 2p dl I j Existiendo mateial magnético b q a dl m q n u j dl n u j m b a q m dl I ( 2p - q ) + I q Las componentes del campo nomales a las supeficies de sepaación de ambos medios han de se continuas. n n n m m m m n 1

11 PROLEMA 1 (Continuación) ( 2p - q ) + I q m m m 2 q m ( p - q ) + I mi ( m( p -q ) + m q ) 2 mi ( m( p -q ) + m q ) 2 u j m I ( m( p -q ) + m q ) 2 u j m mmi uj m ( m( p -q ) + m q ) 2 m mi ( m( p -q ) + m q ) 2 u j El campo es el mismo en ambos casos Imanación en el mateial magnético m - M M m - M ( m - m ) I ( m( p -q ) + m q ) 2 u j 11

12 PROLEMA 2 Un filamento ectilíneo indefinido que tanspota una coiente I es el eje de un tubo cilíndico también indefinido, de adios inteio y exteio a y b espectivamente, hecho de un mateial magnético lineal de pemeabilidad elativa m. Detemine: a) Los campos, y M alededo del filamento. b) Las coientes de imanación en el tubo. Cálculo de los campos: se distinguen tes egiones alededo del filamento Región 1. 1 < a a I 1 Aplicamos el teoema de Ampèe a una cicunfeencia centada en el hilo de adio 1 2 u j M 2 m b dl I 1 2p I 1 1 Po la simetía del poblema, el campo está en cada punto en la diección del unitaio u j I 1. 1 < a 2. a 2 b 3. 3 > b m m I u j p u j 2 2p 1 1 Región 2. a 2 b Dento del mateial magnético I 2dl I 2 2p 2 I 2 uj 2p 2 mmi 2 mm2 u ( m -1) I j M u 2p 2 j 2 2p 2 M 1 12

13 PROLEMA 2 (Continuación) Región 3. 3 > b 2p I 3 3 m I dl I 3 3 I 2p a b I u 3 m3 uj 2p M 3 3 j Coientes de imanación M u J m K M M m u n 1 M M z j M M z - + uj - + u Ł j z ł Ł z ł Véase que en la egión 2 la foma de M es M 2j (A/m 2 ) (A/m) z ( M ) 1 j M - Ł j ł f ( ) 2 ( m -1) 2p M 2 M 2 z Los téminos tachados con aspa son nulos poque M 2 no tiene componentes ni z. El témino tachado con flecha inclinada a la deecha es nulo poque la deivada de M 2j especto a z es ceo. El témino tachado con flecha inclinada a la izquieda es nulo poque M 2j es constante y su deivada especto a es ceo. Véase que M J m No hay coientes voluméticas de imanación 2 I u j 13

14 PROLEMA 2 (Continuación) Densidades de coientes supeficiales de imanación K m M u n En 2 a K M u n -u a) u ( m -1) I u 2p a m a 2 ( 2 n j 2 (- u ) ( m -1) I 2p a u z a I u z b En 2 b K M u n u b) u ( m -1) I u 2p b m b 2 ( 2 n j 2 u ( m - ) I ( - ) 1 2 p b u z u - u z u j - u u j Coientes de imanación Supeficie intena I Supeficie extena I ( m -1) I ( a) 2p a ( m - )I 2p a m 1 ( m 1) Ø- - I ø ( a) 2p b Œ -( - )I º 2 a œ m p ß m 1 Sobe la caa extena 2 b Sobe la caa intena 2 a Pegunta adicional: podían obtenese los valoes de los campos 2 y 3 usando el esultado ecién obtenido? 14

15 PROLEMA 3 Un tooide de mateial magnético lineal de pemeabilidad m 1 tiene un adio medio R 2 cm. El tooide tiene un entehieo d 1 cm y un bobinado de 5 espias, po el que se hace cicula una coiente de 175 ma. Detemine los campos y en el entehieo. N 5 I 1.75 A d R Los campos y están confinados en el inteio del mateial y en el entehieo, po la simetía del poblema sus diecciones son tangentes a la cicunfeencia en todos los puntos de la misma. Ecuación campo dl NI 2pR - d + d Ecuación campo ds ( ) NI m d mateial d m entehieo d m En las paedes lateales del tubo el flujo de es nulo, sólo hay flujo en las bases. Po tanto la condición de flujo nulo a tavés de la supeficie ceada da: d m m m d m ( 2pR - d ) + d NI m d m m mm m m d m m d m ( 2pR - d ) + m d NI m m m m - d m d m mni 2pR + ( m -1)d NI 2pR + ( m -1)d m NI A/m 2pR + ( m 1)d.3 T 15

16 PROLEMA 4 Un cicuito magnético consiste en un tooide de adio medio R y sección ecta S fomado po dos sectoes: 1. Un mateial feomagnético imanado que cube un ángulo a, y cuya cuva de desimanación se pesenta en la figua adjunta, y 2. El esto del tooide fomado po mateial magnéticamente lineal cuya pemeabilidad elativa es m. Usando los valoes numéicos dados en el apatado de datos, detemine la imanación de los dos mateiales. S a R MATERIAL LINEAL 1,2 1, MATERIAL FERROMAGNÉTICO,8 Datos: a 3º; m 1; R 2 cm (T),6,4,2, -,6 -,5 -,4 -,3 -,2 -,1, m (T) 16

17 PROLEMA 4 (Continuación) Ecuaciones del cicuito magnético (paa y paa ) dl ds f a - 2 p -a ( 2p -a ) R + R fa f Relación ente f y f en el mateial feomagnético (La tayectoia de integación paa es la línea punteada de adio igual al adio medio R) Subíndice paa el mateial lineal; subíndice f paa el feomagnético El campo no tiene discontinuidades al pasa de un mateial a oto Relación ente y en el mateial lineal m f m fa -mm 2p -a fa -mm 2p -a f ma - m 2 p -a f f S a R MATERIAL FERROMAGNÉTICO MATERIAL LINEAL Datos: a 6º; m 1; R 2 cm f Esta es una elación lineal donde f se expesa en función de m f, y el punto de cote de la misma con la cuva de desimanación nos pemitiá calcula la imanación del mateial feomagnético (véase tanspaencia siguiente). 1 p /3 f Valo numéico (véase que es independiente de R) - -2 m f 2p -p /3 17

18 PROLEMA 4 (Continuación) 1,2 1,.89 T,8 ( ) f -2 m f (, ) (-.5, 1) f f m f -.44 T f m.44 4p 1 - M f M f f m A/m - f (T),6,4 M f p 1 - A/m, T, -,6 -,5 -,4 -,3 -,2 -,1, - M f mm m m m (T) A/m p M A/m m m -7 4p 1 18

19 Mateial c m a 2 ºC µ Aluminio 2, ,23 ismuto -1,66 1-5, Cobe -,98 1-5, Diamante -2,2 1-5, Oo -3,6 1-5, Magnesio 1, ,12 Mecuio -3,2 1-5, Plata -2,6 1-5, Sodio -,24 1-5, Titanio 7, ,76 Wolfamio 6, ,68 idógeno(1 atm) -9,9 1-9, Dióxido de cabono (1 atm) -2, Nitógeno (1 atm) -5, Oxígeno (1 atm) ,29

20 ENERGÍA MAGNÉTICA. Debido a que la fem inducida po un inducto evita que una bateía establezca una coiente instantánea, la bateía tiene que efectua tabajo conta el inducto paa cea una coiente. Pate de la enegía suministada po la bateía se conviete en calo que se disipa en el esisto, en tanto que la enegía estante se almacena en el inducto. Paa calcula la enegía almacenada en un inducto lo podemos hace mediante la siguiente ecuación. U 1/2LI 2

21 U 1 2 LI2 Donde U enegía asociada a un inducto en Joules. L inductancia en enys. I intensidad de coiente del cicuito en Ampees (A).

22 Poblemas (muy) simples paa fija ideas

23 Poblemas de enegía asociada a un campo magnético. 1.- Detemina la enegía almacenada po un tooide de 1 mil vueltas, con una longitud media de 2 metos y un áea de sección tansvesal de 2 cm 2, si la coiente que enta al tooide es de 2 ampees. Datos Fómulas Sustitución U? LμoN 2 A L12.56x1-7 Tm/Ax N1 l 1 2 x.24 m 2. A.2 m 2. U1/2LI 2. 2 m μo12.56x1-7 Tm/A L.1256 l2 metos l2 A U(.5)(.1256) (2 A) 2.» U Joules

24 Poblemas 2.- Dos inductoes L 1 85 μ y L 2 2 μ se conectan en un cicuito que suminista una coiente de 85 miliampees. Calcule la enegía almacenada en cada inducto. Datos Fómula Sustitución. U 1? U1/2LI 2. U 1.5x85x1-6 x (85x1-3 A) 2. U 2? U x1-5 Joules. L 1 85x1-6 U 2.5x2x1-6 x(85x1-3 A) 2 L2 2x1-6 U x1-5 Joules I 85x1-3 A

25 Poblemas 2.- Dos inductoes L 1 85 μ y L 2 2 μ se conectan en un cicuito que suminista una coiente de 85 miliampees. Calcule la enegía almacenada en cada inducto. Datos Fómula Sustitución. U 1? U1/2LI 2. U 1.5x85x1-6 x (85x1-3 A) 2. U 2? U x1-5 Joules. L 1 85x1-6 U 2.5x2x1-6 x(85x1-3 A) 2 L2 2x1-6 U x1-5 Joules I 85x1-3 A

26 Poblemas 3.- Un solenoide de núcleo de aie con 68 vueltas mide 8 cm de lago y tiene un diámeto de 1.2 cm. Cuánta enegía se almacena en su campo magnético cuando conduce una coiente de.77 ampees?. Datos Fómulas Sustitución U? A π 2. A 3.14 x (.6 m) x 1-4 m 2. LμoN 2 A L12.56x1-7 Tm/Ax N 68 l 68 2 x 1.13 x 1-4 m 2. Ф.12 m..8 m.6 m. U1/2LI 2. μo12.56x1-7 Tm/A L 8.2 x 1-6 enys. l.8 m I 2 A U(.5)(8.2 x 1-6 enys) (.77 A) 2. U 2.44 μj.

27 4. Una bateía de 1 volts, un esisto de 5 Ω y un inducto de 1 henys se conectan en seie. Calcula la enegía almacenada en el campo magnético del inducto. Fómulas: I V/R U 1/2LI 2. Sustitución y esultado: I 1 V/5 Ω 2 A. U.5 x 1 x (2 A) 2. 2 Joules.

28 5. Un cicuito está constituido po una bateía de 24 volts, una esistencia de 8 Ω y un inducto de 4 henys. Cuánta enegía se almacena en el inducto? Fómulas: I V/R U 1/2LI 2. Sustitución y esultado: I 24 V/8 Ω 3 A. U.5 x 4 x (3 A) Joules.

29 6. n cicuito está constituido po una bateía de 6 volts, una esistencia de 12 Ω y un inducto de 8 henys. Cuánta enegía se almacena en el inducto? Fómulas: I V/R U 1/2LI 2. Sustitución y esultado: I 6 V/12 Ω 5 A. U.5 x 8 x (5 A) 2. 1 Joules.

30 7. Calcule la enegía asociada al campo magnético de un solenoide de 2 vueltas, en el cual una coiente de 1.75 ampees poduce un flujo de 3.7 x 1-4 wb en cada vuelta. Datos Fómulas U? L N Ф N 2 I I 1.75 A U 1/2LI 2. Ф 3.7 x 1-4 wb Sustitución y esultado: L 2 x 3.7 x 1-4 wb.422 enys A U.5 x.422 enys x (1.75 A) x 1-2 Joules.

31 8. Un solenoide de núcleo de aie con 68 vueltas mide 8 cm de lago y tiene un diámeto de 1.2 cm. Cuánta enegía se almacena en su campo magnético cuando conduce una coiente de.77 ampees? Datos Fómulas N 68 A π 2. 6 x 1-3 m L μon 2 A l U 1/2LI 2. l.8 m Sustitución y esultado: U? A 3.14 x (6 x 1-3 m) 2. I.77 A A 1.13 x 1-4 m 2. L x 1-7 wb/a.m x (68) 2 x 1.13 x 1-4 m 2..8 m. L 8.2 x 1-6 enys. U.5 x 8.2 x 1-6 x (.77 A) x 1-6 J ó 2.44 μj.

32 9. El campo magnético dento de un solenoide supeconducto es de 4.5 Teslas. El solenoide tiene un diámeto inteio de 6.2 cm y una longitud de 26 cm. Detemine la enegía almacenada en el campo magnético dento del solenoide. Datos Fómula 4.5 T A π 2. U 2 (Al) 2 μo.31 m l.26 m A 3.14 x (.31 m) 2. U? A 3.1 x 1-3 m 2. U (4.5 T) 2 (3.1 x 1-3 m 2.x.26 m) 2 x x 1-7 wb/a.m U 6.31 x 1 3 J ó 6.31 kjoules.

33 1. Dos inductoes, L 1 85 μ y L 2 2 μ, se conectan en seie a un suministo de potencia de 85 miliampees. Calcule la enegía almacenada en cada inducto. Datos Fómula L 1 85 x 1-6 U ½ LI 2. L 2 2 x 1-6 I 85 x 1-3 A U 1? U 2? Sustitución y esultado: U 1.5 x 85 x 1-6 x (85 x 1-3 A) x 1-6 J ó 3.7 μj. U 2.5 x 2 x 1-6 x (85 x 1-3 A) x 1-6 J ó 72.2 μj

34 Densidad de enegía magnética. La enegía almacenada po un inducto puede expesase po unidad de volumen, lo que nos da el concepto de densidad de enegía en el campo magnético, que es un concepto simila al de densidad de enegía en el campo eléctico visto anteiomente. Po simplicidad considee un solenoide cuya inductancia está dada po la ecuación. L μon 2 A l

35 El campo magnético de un solenoide está dado po la ecuación μoni. Despejando I de esta ecuación obtenemos: I μon En geneal queda de la siguiente foma: U1/2LI 2 1/2μoN 2 A/l(/μoN) 2 ( 2 /2μo)(AL) Debido a que AL es el volumen del solenoide, la enegía almacenada po unidad de volumen en un campo magnético es la siguiente: U U 2. AL 2μo

36 Donde: U Densidad de enegía magnética asociada a un inducto. U Enegía almacenada en un inducto. Campo magnético. μo Constante de pemeabilidad del aie x1-7 Tm/A.

37 Poblemas de densidad de enegía magnética. 1.- Detemine la densidad de enegía magnética y la enegía total almacenada de un tooide que tiene 2 vueltas con una longitud de 1 meto y un áea de.1 m 2 y po ella cicula una coiente de 2 A. Datos Fómula Sustitución U? U 1/2LI 2. U.5x12.56x1-7 Tm/A U? U U x2 2 x.1 m 2 x 1m N 2 AL U2.51x1-4 Joules. A.1 m 2. U 2.51x1-4 J l 1 m.1 m 2 x 1 m I 2 A U 2.51 x 1-2 J/m 3.

38 2.- El campo magnético dento de un solenoide supeconducto es de 4.5 Teslas. El solenoide tiene un diámeto inteio de 6.2 cm y una longitud de 26 cm. Detemine la densidad de enegía magnética en el campo. Fómulas: U 2 2 μo Sustitución y esultado: U (4.5 T) x 1 6 J/m 3. 2 x x1-7 Tm/A.

39 3.- El campo magnético de la Tiea tiene una magnitud de.5 x 1-4 Teslas. Calcule la densidad de enegía magnética de la Tiea. Fómula: U 2 2 μo Sustitución y esultado: U (.5 x 1-4 T) μj/m 3 2 x x1-7 Tm/A.