Elementos de Elasticidad:

Transcripción

1 Elementos de Elasticidad: Consideemos el sólido como un continuo. Ondas de λ ~ 0-6 cm ν ~ 0, 0 H. Le de Hooke: Las defomaciones son popocionales a las fueas que las povocan. Si no se cumple, estamos en la ona no lineal o plástica. No distinguimos ente tansfomación adiabática o isotema. Coeficientes defomación: ε αβ << adimensional.

2 La longitud de los vectoes no se tienen que conseva:. ε ε ε ε ε... Luego los elementos ε, en pimea apoimación, las vaiaciones elativas de longitud de los vectoes unitaios. Sea un punto en. Donde estaá después de la defomación?.. El desplaamiento R de la defomación se define como R ε ε ε ε ε ε ε ε ε. Definamos u, v, w tal que, R u v w.

3 Desaollando ceca de 0 tomando R0 0, u u0 u/ u/ u/. Y compaando queda Definimos el tenso de defomaciones e αβ : Es un tenso simético e αβ e βα luego tiene 6 componentes distintas. Las componentes diagonales dan el alagamiento, las no diagonales los cambios de ángulos cotes. ATENCION: difeencia de definición ente Kittel Landau o Fenman

4 Tenso de esfueos tensiones: Un esfueo o tensión es una fuea actuando sobe la unidad de supeficie. Dimensiones de pesión. [Fuea en X] / [áea pependicula a Y] X El tenso es po tanto: El tenso es simético si no pemitimos movimientos de otación. Tiene entonces 6 componentes. La fuea sobe una supeficie es df n da donde n es el vecto unitaio pependicula a dicha supeficie.

5 Constantes elásticas de igide defomación: La le de Hooke establece la popocionalidad ente las defomaciones tenso de las fueas tenso de esfueos. S αβ, constantes elásticas de defomación. ij Cij, kl kl e kl C ij,kl C αβ Constantes elásticas de igide. 36 componentes. Dimensiones [fuea]/[áea] [enegía]/[volumen]

6 Enegía Elástica: La enegía po unidad de volumen asociada a defomaciones está dada po la epesión: U ~ Cij, kleijekl ijkl Donde los índices α,β... 6.,, 3, 4, 5, 6. A pati de la enegía los componentes del tenso de esfueos se calculan como deivadas especto de e α. U e U e ~ C e 6 β Compaando con la epesión anteio: ~ ~ αβ ~ C C β Cβ e β Luego las C αβ son siméticas po tanto ha distintas, peo se pueden educi más po simetía. αβ e α e β ~ ~ Cαβ Cβα Cβα C αβ

7 Constantes elásticas en el sistema cúbico: Apliquemos las opeaciones de simetía del sistema cúbico paa ve cuantas constantes elásticas distintas tenemos. Son sólo tes C, C 44 C. La enegía debe se invaiante bajo las opeaciones de simetía. Sólo pueden apaece los téminos e e e C e e e C e e e e e e U C 44 Estos téminos son invaiantes bajo los otaciones de oden 3 0º. Estas otaciones 4 cambian los ejes: Sin embago téminos del tipo e e... ; e e... ; e e No son invaiantes a que e -e,-.

8 A pati de la enegía podemos calcula los esfueos: U e U e C C 44 e e C e e C C 3 ; C 4 C 5 C 6 0; C 6 C 6 C 63 C 64 C 65 0 ; C 66 C 44 ; Invitiendo la mati: C 44 /S 44 ; C - C S - S C C S S

9 Dilatación : El cubo unidad,, se tansfoma en el,,. El nuevo volumen es: V. Coeficiente de dilatación. Módulo de Compesibilidad: Consideemos una dilatación unifome e e e /3δ. La enegía del cistal cúbico es U/6 C C δ. Definimos el módulo de compesibilidad U ½ B δ. Es equivalente a B -V dp/dv. Luego paa un cistal cúbico B/3 C C Compesibilidad : K /B

10 Otas estuctuas cistalinas:

11 Ondas elásticas en el sistema cúbico: Veamos la dinámica de un cubo de volumen. F ] [ ] [ ] [

12 Aplicando la ª Le de Newton a ese elemento de volumen t u ρ Y aplicando ahoa la le de Hooke: Usando las definiciones de las e ij se obtiene paa las 3 componentes de R:

13 Ondas en la diección [00] : el vecto de ondas k K,0,0 donde Kπ/λ. Ondas longitudinales : u u 0 ep[ik-ωt] sustituendo ω ρ C K. v L C / ρ ½. Ondas tansvesales : v v 0 ep[ik-ωt] sustituendo ω ρ C 44 K. v T C 44 / ρ ½ Y lo mismo paa w. esto no es cieto, en geneal. Ondas en la diección [0] : el vecto de ondas k K,K,0 -½ K,K,0 Pobemos una solución tansvesal en el eje : w w 0 ep[ik K -ωt] sustituendo da ω ρ C 44 K K C 44 K Luego v T C 44 / ρ ½

14 Veamos ahoa una solución geneal en el plano XY. u u 0 ep[ik K -ωt] v v 0 ep[ik K -ωt] Sustituendo en las ecuaciones de onda encontamos: Estas ecuaciones tienen soluciones no tiviales u 0 v 0 si Las aíces del deteminante son: ª ª

15 Sustituendo las aíces en el deteminante: º Es deci u v po tanto el desplaamiento lleva la diección [0]. LONGITUDINAL. Luego v L [C C C 44 / ρ] ½ º Es deci u -v po tanto el desplaamiento es pependicula a la diección [0]. TRANSVERSAL. Luego v T [C - C /ρ] ½

16 Sistema Isótopo no cistalino: Todavía más simético. Da igual la diección de los ejes. Sólo ha dos coeficientes independientes C C C 44 ; La le de Hooke: ij µ µ δ ij e ij λ e e e δ ij ij µ e ij λ e e e δ ij ;definición Kittel ; definición Landau-Fenman Donde µ λ se llaman las constantes elásticas de Lamé. C λ ; C 44 µ ; C µ λ ; Dinámica en un sólido isótopo: Sobe el volumen V actúan F et F int F o et d Fint ρ dv dt d F f int et ρ dv dt fdv

17 Las componentes de F int en la el elemento de áea da es : df n n n da e integando a tavés del áea n n n da f dv A Usando la le de Gauss paa la pimea integal V V luego f i j ij j dv V f dv Ahoa insetando la le de Hooke con la definición de las e ij : f λ µ R µ R Navie

18 Ondas elásticas en medios isótopos: Si asumimos que no ha fueas etenas R R dt R d µ µ λ ρ Todo campo vectoial se puede escibi como suma de campos: 0 0 que tal R dt d µ µ λ ρ Tomando la divegencia e intecambiando e podemos saca facto común: po tanto 0 t t µ λ ρ µ λ ρ

19 Tomando el otacional e intecambiando de nuevo se obtiene: t µ ρ Luego las dos componentes cumplen ecuaciones de ondas luego: longitudinal Onda 0 0 ep tansvesal Onda 0 0 ep o o o o k t k k t k ω ω Con velocidades de popagación ρ µ ρ µ λ T L V V

20 Condiciones de equilibio de un sólido isótopo: Paa el tenso de tensiones: Paa las defomaciones: j ij j 0 o - ρg λ µ R µ R 0 o - ρg Las otas fueas etenas vienen a tavés de las condiciones de fontea. Enegía elástica de un sólido isótopo: la densidad de enegía es, U λ µ e e e e e e e e e E elastica UdV Volumen

21 Ota foma de defini las constantes elásticas isótopas: Módulos de YoungY, E de Poisson F Y A w w l l h h Young l l Poisson La elación con las constantes de Lamé la compesibilidad es: λ Y, µ K 3 Y Y Y la le de Hooke queda: e /Y[ ] ; e /Y e /Y[ ] ; e /Y e /Y[ ] ; e /Y