r r F a La relación de proporcionalidad que existe entre la fuerza y la aceleración que aparece sobre un punto material se define como la masa:

Transcripción

1 LECCION 7: DINAMICA DEL PUNTO 7.. Fueza. Leyes de Newton. Masa. 7.. Cantidad de movimiento. Impulso mecánico Momento cinético. Teoema del momento cinético Ligaduas. Fuezas de enlace Ecuación del equilibio de un punto mateial Tabajo. Potencia Dinámica del movimiento cicula. 7.. FUERZA. LEYES DE NEWTON. MASA. Fueza es toda causa capaz de poduci modificaciones en el estado de movimiento de un cuepo, es deci, de modifica su velocidad o ponelo en movimiento si está en eposo. En la mecánica geneal se añade al concepto de fueza la cualidad de pode poduci defomaciones en los cuepos. Hay tes axiomas que pemiten sistematiza el estudio de la dinámica, y que se conocen como leyes de Newton. Es necesaio esalta que las leyes de Newton sólo son válidas cuando se toma como efeencia un sistema inecial, es deci, un sistema de efeencia que se encuente en eposo, o animado de un movimiento ectilíneo y unifome. Estas leyes son: e axioma: toda patícula libe de influencia extena pemaneceá en eposo o en movimiento ectilíneo unifome. Fueza seía cualquie influencia extena capaz de modifica esta situación. º axioma: la influencia mutua que pueden ejece dos puntos mateiales aislados, ente sí, seá idéntica en módulo y diección, peo de F F BA sentido contaio en cada uno de los puntos mateiales. F = F BA A B 3 e axioma: la influencia, ó fueza, que se ejece sobe un punto mateial es popocional a la aceleación que se poduce F a La elación de popocionalidad que existe ente la fueza y la aceleación que apaece sobe un punto mateial se define como la masa: F = ma La masa es una caacteística de cada cuepo elacionada con la cantidad de mateia del mismo.

2 El pincipio de supeposición establece que si sobe un punto mateial actúa más de una fueza, la aceleación esultante seá la coespondiente a una fueza suma de todas las fuezas: n F = ma 7.. CANTIDAD DE MOVIMIENTO. IMPULSO MECÁNICO. i= i Se define como cantidad de movimiento de un punto mateial al poducto de su masa po su velocidad: p = mv Si deivamos la cantidad de movimiento, suponiendo que la masa sea constante: dp d mv m dv ( ) = = = ma = F dt dt dt La fueza es la deivada especto del tiempo de la cantidad de movimiento. Si sobe un punto mateial actúa una fueza F ente los instantes t A y t B, se define como impulso mecánico poducido po dicha fueza, a una magnitud vectoial calculada integando el poducto de la fueza po el tiempo elemental ente los instantes inicial y final de su aplicación: I t B = F ( t ) dt t A El impulso lo podemos elaciona con la cantidad de movimiento, ya que: I t B dp = F( t) dt = dt dt = p p ta t B B A ta El impulso es igual a la vaiación de cantidad de movimiento que poduce la fueza MOMENTO CINÉTICO. TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO Sea un punto mateial P, de masa m, sobe el que actúa un

3 conjunto de fuezas cuya esultante es F, siendo v la velocidad en el instante consideado. Se define el momento cinético de P especto de un punto cualquiea O, al momento de la cantidad de movimiento especto de dicho punto: Lo = p = m ( v ) es el vecto de posición de P especto de O. Si deivamos el momento cinético especto del tiempo, suponiendo que la masa sea constante: dl dt 0 d m v m d = = dt dt dv = m( v v + a ) = ( ma) = F = M dt ( ( )) v + m ( ) ( ) La deivada especto del tiempo del momento cinético es el momento de las fuezas aplicadas sobe el punto mateial especto del mismo punto LIGADURAS. FUERZAS DE ENLACE. Se dice que un punto mateial es libe cuando su movimiento no tiene ninguna limitación. Aplicando la pimea ley de Newton se podía calcula su aceleación, y po integación, conocidas las condiciones de contono, obtendíamos la velocidad y tayectoia del movimiento. Po conta, se dice que un punto mateial está ligado cuando su movimiento tiene algún tipo de limitación. Po ejemplo, está obligado a movese sobe una supeficie, o una deteminada tayectoia. Existe, po lo tanto, un elemento pasivo que limita el movimiento que poduciían las fuezas que apliquemos sobe el punto. Tales elementos se denominan ligaduas. Existe un tece caso paticula, combinación de los anteioes, que es el de movimientos limitados po hilos. Las caacteísticas de estos hilos ideales son el se inextensibles, no tene masa, y pode tabaja únicamente en tacción. 0 En estos casos no nos seá posible plantea la ecuación de Newton con las fuezas aplicadas, sino que debeemos inclui un témino nuevo, que 3

4 llamaemos fuezas de enlace, F e, que seá equivalente en sus efectos sobe el movimiento a los efectos que poducen de foma pasiva las limitaciones que tenga el mismo. De esta foma podemos obtene la aceleación, e igual que antes podíamos calcula velocidad y tayectoia: n F + F = ma i= i Las fuezas de enlace se suelen descompone en dos téminos, nomal y tangencial a la tayectoia: F = F + F e e T N Si el punto consideado se mueve a lo lago de una supeficie, la fueza de enlace se puede descompone en dos componentes con clao sentido físico: * Fueza de enlace nomal: Siempe seá nomal a la supeficie, y en su caso a la cuva, intepetándose como la eacción de la supeficie nomal a la misma, que impide que el punto mateial la ataviese. Po lo tanto el sentido seá siempe hacia el lado de la supeficie en que se encuente el punto (una supeficie no puede sujeta a un punto que se despenda de ella). * Fuezas de enlace tangencial o fuezas de ozamiento: La componente tangencial de las fuezas de enlace únicamente puede se debida a ozamientos, po lo que siempe iá en sentido contaio al movimiento. Se pueden plantea dos tipos de ozamientos: Rozamiento seco, en el que la fueza de ozamiento es popocional a la fueza de enlace nomal FT = µ. FN ; se denomina coeficiente de ozamiento µ a la elación de popocionalidad. Rozamiento viscoso, en el que la fueza de ozamiento es una función ceciente de la velocidad lineal del punto mateial FT = f ( v ) (ej: F T = k v ) ECUACIÓN DEL EQUILIBRIO DE UN PUNTO MATERIAL. La condición de equilibio de un punto mateial supone que la aceleación de su movimiento sea nula, es deci, que siga un movimiento ectilíneo unifome, o se encuente en eposo: n Condición de equilibio F = m a = 0 a = 0 i= i 4

5 7.6. TRAJO. POTENCIA. Se define como Tabajo elemental, ealizado po una fueza F que actúa sobe un punto mateial que hace un desplazamiento elemental d, como el poducto escala de la fueza po el desplazamiento elemental di = F. d El Tabajo ealizado po la fueza al desplaza el punto mateial a lo lago de su tayectoia ente dos puntos seía la suma de los tabajos elementales ealizados al i desplazándose sobe ella, o lo que es lo mismo, la ciculación de la fueza a lo lago de la tayectoia ente los puntos inicial y final de su aplicación I B = Fd A Se define la Potencia como el Tabajo ealizado po unidad de tiempo d P = I Fd dt = dt = F v. que paa cada instante es el poducto de fueza po velocidad DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR. Po el inteés que tiene el movimiento cicula, aplicaemos las magnitudes de la dinámica a este caso. Sea una patícula que descibe un movimiento cicula debido a una fueza F contenida en el plano del movimiento. El vecto v es la velocidad lineal de la patícula, y ω y γ son la velocidad y aceleación angulaes en cada instante: 5

6 Cantidad de movimiento: p = mv = m( ω ) Momento cinético: LO = p = m ω Momento de las fuezas: MO = F = ma = m α Potencia: P d Fd Fd = I θ = = = M O ω dt dt dt 6

7 EJERCICIOS LECCION 7: DINAMICA DEL PUNTO 7.- Un punto de masa m está suspendido de un hilo inextensible de longitud L, masa m, y cuyo oto extemo está unido a un eje vetical que gia con velocidad angula ω. Al gia, el hilo foma un ángulo ϕ con la vetical. Calcula el ángulo ϕ y la tensión del hilo en función de ω. Solución: cosϕ = g Lω T = ml ω 7.- En un plano inclinado un ángulo α especto de la hoizontal, se encuenta un cuepo en eposo. En un instante dado se suelta el cuepo y comienza a desliza po el plano inclinado, siendo µ el coeficiente de ozamiento ente cuepo y plano. Calcula el tiempo que inviete el cuepo en ecoe una distancia L sobe el plano inclinado. L Solución: t = g(sen α µ cos α) 7.3- Dos cuepos A y B, de masas M y m espectivamente, y el entamado sobe el que descansan gian en tono a un eje vetical con velocidad angula constante ω, según el dibujo. Despeciando el ozamiento ente los cuepos y el entamado, calcula: a) La tensión T del cable que une los cuepos. b) La fueza que el tope ejece sobe el cuepo B. Solución: a) T = Mω b b) R = ω ( Mb ma) A b B a w 7.4- Un bloque de masa M descansa sobe una supeficie cónica lisa que gia en tono a un eje vetical con velocidad angula constante ω. El bloque está unido al eje giatoio mediante un cable. Calcula: a) La tensión del cable. b) Cuánto debe vale ω paa el bloque comience a despegase de la supeficie cónica (que sea nula la fueza ente la supeficie cónica y el bloque)?. Solución: a) T = M ( 3aω + g) b) ω = 3g a w a 30 7