Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2007 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

Transcripción

1 Física Geneal Poyecto PMME - Cuso 007 Instituto de Física Facultad de Ingenieía UdelaR IULO AUORES PÉNDULO CÓNICO. Rodigo Biiel, Geado Fanjul, Danilo da Rosa INRODUCCIÓN Analizamos el movimiento del péndulo cónico basándonos en las leyes de Newton y en la cinemática del movimiento cicula unifome. Resolvimos del páctico 4, pimeo de foma paamética paa el caso genéico y luego con los datos del ejecicio paa el caso paticula. Luego estudiamos otos casos, en los que vaiamos los ángulos y también hallamos la magnitud mínima paa la tensión supeio, en la que el sistema se compota de manea adecuada. FUNDAMENO EÓRICO Cinemática de la otación El sistema de coodenadas más adecuado paa la descipción del movimiento cicula tiene su oigen en el cento del ciculo. El vecto de posición de una patícula tiene longitud constante que es igual al adio del cículo, y su diección esta deteminada po el ángulo φ a pati del eje x. El vecto velocidad v es tangente al cículo, y en consecuencia, pependicula a. En componentes, los vectoes de posición y velocidad son [(cos φ )ˆ i + ( senφ) ˆj ] y v v[ ( senφ )ˆ i + (cosφ) ˆj ] El movimiento cicula se descibe con una coodenada, que es el ángulo φ (t). La azón a la que φ (en adianes) cambia a tavés del tiempo se llama apidez angula y se le asigna el símbolo ω. φ dφ ω lim φ φ φ t 0 t dt - -

2 Llamamos movimiento cicula unifome al movimiento cicula con apidez angula constante y aceleación angula igual a ceo. En ese caso, paa cualquie intevalo de tiempo, el cambio de posición angula de la patícula es, o sea t φ φ t φ φ φ ω ( t ) t Podemos pone en conómeto en t 0 cuando la patícula está en φ 0. Entonces la posición angula de la patícula en función del tiempo es ( t ) ω. t φ Dinámica Fueza: Es una magnitud vectoial, po esta azón debemos siempe especifica su módulo, diección, sentido y punto de aplicación paa que quede totalmente definida Su unidad en el S.I. es el Newton (N) ipos de Fueza Peso: Es la fueza de atacción gavitatoia que ejece el planeta tiea sobe todos los cuepos que se encuentan en la cecanía de su supeficie y su notación es P -Su diección es vetical y su sentido es hacia la tiea como lo indica la figua : P Nomal: Es la fueza que ealiza una supeficie sobe un cuepo que esta apoyado en ella. Como su nombe lo indica su diección es nomal al plano que está ejeciendo la fueza y su notación es N P N Fueza ensión: Es la fueza que ealiza una cueda vinculada a un bloque, esta se expesa en diección de la cueda y en sentido saliente al bloque. Y su notación es. - -

3 Fueza Neta: Es la fueza esultante de suma vectoialmente todas las fuezas que actúan sobe un cuepo. Pimea Ley de Newton o Ley de Inecia Esta dice que si se consideaa un cuepo sobe el cual no actúe alguna fueza neta. Si el cuepo está en eposo, pemaneceá en eposo. Si el cuepo está moviéndose a velocidad constante, continuaá haciéndolo así. La pimea ley de Newton es un vedadeo enunciado aceca de los macos de efeencia. En geneal, la aceleación de un cuepo depende del maco de efeencia con elación al cual se mide. Sin embago, las leyes de la mecánica clásica son válidas solamente en una cieta seie de macos de efeencia, es deci, de aquellos paa los cuales todos los obsevadoes mediían la misma aceleación en un cuepo en movimiento. Si la fueza neta que actúa sobe un cuepo es ceo, entonces es posible halla un conjunto de macos de efeencia en los cuales ese cuepo no tenga aceleación Segunda Ley de Newton o Ley Fundamental de la Dinámica Esta segunda ley nos dice un poco de cómo seá el movimiento de un cuepo si la fueza neta no es nula. Esta nos dice que la aceleación de un cuepo tiene igual diección y sentido que la fueza neta que actúa sobe él y su módulo es diectamente popocional al módulo de la fueza neta e invesamente popocional a la masa del cuepo. Esta se puede expesa mediante la siguiente ecuación: F m a En esta ecuación F es la suma (vectoial) de todas las fuezas que actúan sobe el cuepo, m es la masa del cuepo, y a es la aceleación (vectoial). Usualmente nos efeimos a F como a la fueza esultante (Fueza Neta). ecea Ley de Newton o Ley de acción eacción En esta ley, también denominada Ley de Inteacción, Newton fomaliza las caacteísticas de la inteacción ente dos cuepos. Cuando un cuepo A ejece una fueza sobe un cuepo B ( simultáneamente una fueza sobe el cuepo A ( diección que F A / B y sentido contaio. F B / A F A / B ) el cuepo B ejece ), de igual módulo, igual - 3 -

4 Leta del poblema Una bola de.34 Kg. está unida a una vailla vetical ígida po medio de dos codones sin masa, cada uno de.70 m de longitud. Los codones están unidos a la vailla con una sepaación ente sí de.7 m. El sistema está giando con especto al eje de la vailla, quedando ambos codones tiantes y fomando un tiángulo equiláteo con la vailla, como se muesta en la figua. La tensión en el codón supeio es de 35.0 N. a) Halle la tensión en el codón infeio. b) Calcule la fueza neta sobe la bola en el instante mostado en la figua. c) Cuál es la velocidad de la bola? Resolución del poblema (foma paamética) Consideando paa el caso de que el tiángulo que foman las cuedas y el eje no fuea equiláteo. Y el diagama de cuepo libe seía el siguiente: Descomponiendo las fuezas del diagama anteio con el espectivo sistema de ejes, el nuevo diagama de fuezas nos queda así (con φ φ + φ ): - 4 -

5 l, m g φ φ,,,, Sean los datos del poblema. En el diagama de cuepo libe se encuentan: (tensión supeio de la figua), es la fueza que ejece la cueda sobe la cuenta (bola). mg, es la fueza que ejece la tiea sobe la bola. (tensión infeio de la figua), ídem tensión anteio. Aplicando la ª ley de Newton obtenemos las siguientes ecuaciones. + + mg F neta ma Luego descomponiendo en los vesoes antes señalados en el coquis queda así: j) i) sen ( φ ) sen( φ ) mg ma j ( ) cos( φ ) + cos( φ ) ma ( ) i Como no hay movimiento en la diección del veso ĵ, entonces Entonces la ecuación () queda : sen ( ) φ - sen ( ) φ - mg 0 ( ) a j 0 Luego al se un movimiento cicula unifome, la aceleación es centípeta, po lo tanto la fueza esultante también lo es, la cual solo tiene componente en la diección adial, o sea que: a i vt, (0) con l. cosφ l. cosφ Entonces sustituyendo (0) en la ecuación () y que la fueza esultante tiene solo componente adial queda: - 5 -

6 i) Entonces de ( ) se despeja v cos + N t ( φ ) cos( φ ) m F ( ) Paa la pate a) del poblema la tensión de la pate infeio nos queda sen( φ) mg sen( φ ) b) La fueza neta es la suma vectoial de las fuezas que actúan en el sistema. Como sólo en la diección del veso i hay aceleación distinta de ceo, la fueza neta se despende de la ecuación ( ). Sustituyendo el esultado de la pate a) en ( ), nos queda F ( cos( φ ) + sen( φ )/ tan( φ )) mg / ( φ ) neta tan c) Luego de la pate b) y () v m t ( cos( φ ) + sen( φ )/ tan( φ )) mg / tan( φ ) Despejando v de la fómula anteio, nos queda: ( ( cos ( φ ) + sen ( φ )/ tan ( φ )) mg / ( φ )) v t tan m Ahoa si lo adecuamos a nuesto poblema en paticula: - l.70 m - m.34 kg N - φ 60.0º -,47 m Entonces quedan φ φ 30.0º a) 35.0sen(30.0 ).34*9.8 sen(30 ) 8,74 N b) ( ).34 *9.8/ tan( 30.0) F neta.0 cos( 30.0) ( 30.0) / tan( 30.0) 35 + sen 37,88 N c) v t.6 ( 35.0( cos ( 30.0) + sen ( 30.0)/ tan ( 30.0)).34 * 9.8 / tan ( 30.0)).34 4,6m / s - 6 -

7 Ahoa en el análisis del poblema vamos a expeimenta: ) Pimeo con el cambio del módulo de la tensión supeio ) ambién haciendo vaia los ángulos ente la cueda y la vailla ) Analizamos la ecuación de la velocidad paa ve que hay una tensión de la cueda supeio paa la cual el sistema no tiene velocidad, po lo tanto no tendía azón de se. Entonces tenemos que: v t R ( ( cos ( 30.0) + sen ( 30.0)/ tan ( 30.0)).34 * 9.8 / tan ( 30.0)).34 Paa que esta velocidad exista, debeía se mayo o igual a 0, lo que está bajo la aíz. O sea: ( ( cos( 30.0) + sen( 30.0) / tan( 30.0) ).34*9.8 / tan( 30.0) ) 0 Haciendo cuentas nos queda que: entonces 9,849 m * g * cos(30.0) cos(30.0) + 4cos(30.0) 7.35*m ) Sustituyendo los valoes en las fómulas a) b) c) con los siguientes casos nos que queda: i) cte, φ y φ tiendan a ceo, el sen φ φ y cosφ (po Desaollo de aylo). sen sen + mg mg Como φ φ el sistema deja de funciona al se paa algún mg fijo. ii) tiende a ceo, φ y φ tiendan a 90º. sen φ y cosφ 0. sen( φ) mg sen( φ ) mg F neta ( / ) mg / 0 v t ( ( / ) mg / ) m 0-7 -

8 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. RESNICK -HALLIDAY. FÍSICA PARE I. ERNESO EGAÑA PERCIVALE - MARCELO SZWARCFIER SVARCAS. LA FÍSICA ENRE NOSOROS. 3. LEA BURKE. FÍSICA. LA NAURALEZA DE LAS COSAS - 8 -