EXAMEN DE FISICA I (GTI)

Transcripción

1 EXAMEN DE FISICA I (GTI) CUESTIONES 1) Analiza el tipo de movimiento que posee una patícula sometida a su popio peso a una fueza de ozamiento diectamente popocional a su velocidad. Sin necesidad de esolve la ecuación del movimiento, discútase los aspectos más elevantes de dicho movimiento dibújense apoimadamente la aceleación la velocidad de la patícula en función del tiempo. Como se calculaa el espacio ecoido po la patícula? : Aplicando la segunda le de Newton, la suma de las fuezas que actúan es igual a la masa po la aceleación: mg kv = ma (3.1) Si la patícula pate del eposo, la velocidad inicial es po lo tanto la aceleación inicial es: a = g. A medida que pasa el tiempo, la patícula va adquiiendo velocidad po lo que la aceleación va disminuendo. Este poceso continua hasta que la velocidad es tan gande que la fueza de ozamiento compensa al peso (kv = mg), la aceleación es a = ; alcanzándose entonces la velocidad límite: v L = mg/k. Las gaficas apoimadas son: V(m/s) v (t) a(m/s ) a (t) t(s) t(s) En cuanto a detemina el espacio ecoido po la patícula, si lo queemos calcula en función de la velocidad, se pate de la ecuación (3.1): mg kv = ma sustituimos la aceleación tomando a = dv/d d/dt = dv/d v La ecuación que nos queda es mg kv = m (dv/d) v, Finalmente pasamos la v el dv a un lado de la ecuación, el d a oto, e integamos. Si lo queemos calcula en función del tiempo, ha que hacelo en dos pasos. Pimeo escibimos la aceleación como a = dv/dt sustituimos en la ecuación (3.1), nos queda mg kv = m dv/dt. Despejando e integando deteminamos v(t). En un segundo paso, como v(t) = d/dt, despejamos el d e integando calculamos (t). 1

2 ) Recodando que en la Tiea: g = g (ω v ) - ω ( ω ), a) Repesenta eplica como es la aceleación centífuga; en que puntos de la supeficie es máima mínima. b) Cuanto valen las componentes adial tansvesal? En que punto de la supeficie seán máimas mínimas estas componentes. Qué difeencias ha ente el hemisfeio note el hemisfeio su? a) Al ealiza el poducto vectoial - ω (ω ), vemos que la aceleación centífuga se aleja pependicula al eje de gio de la Tiea, que su modulo vale: a cen = ω ω sen 9 = ω ω senα = ω senα siendo α el ngulo que foma el vecto de posici n con el eje de gio (el complementaio de la latitud). po lo tanto su módulo es máimo en el ecuado ceo en los polos g " #( #) g g b) Poectamos - ω (ω ), sobe la diección adial tansvesal. La componente adial vale: ω (senα) la componente tansvesal: ω senα cosα Po lo que la componente adial es máima en el ecuado nula en los polos. La componente tansvesal es nula tanto en el ecuado como en los polos, siendo máima paa α = 45 La única difeencia ente el emisfeio Note Su, es que en el Note la componente tansvesal va diigida hacia el su, mientas que en el emisfeio Su va diigida hacia el note.

3 3) a) Detemina el cento de masas de la placa homogénea de la figua (.6). b) Obtene el volumen del sólido de evolución fomado al gia especto al eje AB el áea mostada en la figua (.4). Paa calcula la posición del C.M. de la placa vamos a dividila en difeentes pates cuos C.M. conozcamos: = Las posiciones del C.M. de cada una de las piezas son: 1 =, h ", # 3 = 3, h + ", # = % 4 3&, h + 4 " 3&, # 4 = % 4 3&, h + % 4 " 3&, # La coodenada del C.M. de toda la pieza seá: C.M. = 1A 1 + A + 3 A 3 4 A 4 A 1 + A + A 3 A 4 = = " h h # % " ( ) + h + 4 # "& 3& %# 4 % + " h + # % h + & 4 + & 4 ( " ) h + 4 # "& 3& %# 4 % = 5.66 cm Paa obtene el volumen del sólido de evolución geneado al gia la placa aplicamos el segundo teoema de Pappus-Gulding: V geneado = A placa ( ecoido C.M. placa) V geneado = ( h + )( " C.M. ) = cm 3 3

4 4) Enuncia demosta el teoema de Steine o teoema de los ejes paalelos (busca un ejemplo sencillo en el que se pueda aplica dicho teoema aplícalo). El teoema de Steine dice que el momento de inecia especto a un eje cualquiea es igual al momento de inecia especto a un eje paalelo que pase po el cento de masas mas el poducto de la masa po la distancia ente ejes al cuadado I = I CM + md Demostación: Consideemos un sistemas de efeencia O (,, z ) con oigen en el cento de masas, oto O (,, z) sepaado una distancia d, con los tes ejes paalelos al pimeo de foma que los ejes e se supepongan ve figua. z R i z R i m i O d O La distancia al cuadado de una masa m i cualquiea al eje z es : R i = i + i mientas que la distancia al eje z es: R i = i + ( i +d) = i + i + d + i d = R i + d + i d El momento de inecia especto al eje z seá: I z = m i R i = mi [R i + d + i d] I z = m i R i + m i d + m i i d = I CM + d ( m i ) + d m i i Llamando m = m i, consideando que m i i = m CM, donde CM es la coodenada del cento de masas en el sistema de efeencia cento de masas, po lo que CM = m i i =, nos queda I = I CM + md Un ejemplo de aplicación puede se el momento de inecia de un cilindo homogéneo especto a un eje pependicula que pase po su cento: I = (1/) m. El momento de inecia especto a un eje paalelo que pase po el bode del disco es I = (1/) m. + m = (3/) m Oto ejemplo en el de una vailla homogénea de longitud L. El momento de inecia especto de un eje pependicula que pase po su cento es I = (1/1) ml. El momento de inecia especto de un eje paalelo al pimeo, que pase po un etemo de la misma seá: es I = (1/1) ml + m(l/) = (1/3) ml 4

5 PROBLEMAS 1) Un palo saltado de un niño almacena enegía en un esote de constante N/m. En la posición A ( A =.1 m) la compesión del esote es máima el niño está momentáneamente en eposo. En la posición B ( B = ) el esote está elajado el niño se mueve hacia aiba. En la posición C el niño está de nuevo momentáneamente en eposo en lo alto del salto. La masa combinada del niño el palo saltado es 5. kg. a) Calcule la enegía total del sistema niño-palo-tiea si las enegías potenciales gavitacional elástica son ceo paa =. (.?). b) Detemine el valo de C paa la posición C (.?). c) Calcule la apidez del niño en = (.?). d) Detemine el valo de paa el cual la enegía cinética del sistema es máima (.? ). e) Calcule la apidez máima del niño hacia aiba (.?). a) La enegía de nuesto sistema se va a conseva, en la situación inicial tenemos: E sist. = mg A + 1 k A = 1.5 J b) Esta misma enegía la tendemos en la situación C: E sist. = mg C C =.41 m c) La velocidad del niño en B seá: E sist. = 1 mv B v B =.84 m/s d) La enegía cinética seá máima cuando la enegía potencial total sea mínima; K ma U mín F total = " k D " mg = D = " mg k e) La velocidad en dicha posición seá: = "9.8 cm E sist. = 1 mv D + mg D + 1 k D v D =.85 m/s 5

6 ) Un bloque de masa m1 = kg un bloque de masa m = 6 kg están conectados po una cueda sin masa sobe una polea en foma de disco sólido que tiene de adio R =.5 m masa M = 1 kg. Se pemite que estos bloques se muevan sobe un bloque fijo en foma de cuña de ángulo θ = 3º. El coeficiente de ficción cinética es.36 paa ambos bloques. a) Calcula el momento de inecia de la polea (.) (no hace falta demosta la ecuación del momento de inecia) b) Calcula po enegías la velocidad del sistema cuando los bloques se han desplazado 1 m (.5). c) Tace diagamas de cuepo libe de ambos bloques de la polea (.3). d) Detemina la aceleación de los dos bloques la aceleación angula de la polea (.5). e) Detemina las tensiones en la cueda a ambos lados de la polea (.5). a) El momento de inecia de la polea seá: I = 1 MR =.315 kgm b) Tomando como sistema todo el conjunto junto con la Tiea aplicando la consevación de la enegía: E sist. = " K + U gav. + E témica = " 1 m 1v + 1 m 1v + 1 I # v & % R' ( " v =.786 m/s las ecuaciones: N 1 a 1 ) m gd sen + µm 1 gd + µm gd cos = c) Sin tene en cuenta el peso de la polea la eacción del enganche sobe ella a que no intevienen en T N T 1 T F oz.,1 1 m g T1 F oz., m g a m 1 g + N1 + T 1 + F oz.,1 = m a 1 m g + N + T + F oz., = m a T R T 1 R = I d) Paa calcula la aceleación común a los dos cuepos podemos utiliza el esultado del apatado b): v = ad a =.39 m/s = a = 1.3 ad/s R e) Paa calcula las tensiones aplicamos la segunda le de Newton: T 1 F oz.,1 = m 1 a " T 1 = F oz.,1 + µm 1 g + m 1 a = ( µg + a)m 1 = 7.67 N m gsen F oz., T = m a " T = m gsen µm gcos m a = 9. N Compobando que se cumple la tecea ecuación: T R T 1 R = I 6

7 3) Un ecipiente cuadado de lado L = 1 m altua L/ =.5 m (medidas inteioes), esta dividido en dos pates iguales po una placa de aceo de 4mm de espeso. Dicha placa está unida al ecipiente po un eje en su pate infeio (ve figua). Vetemos 49 litos de agua en la pate izquieda 14.5 litos de mecuio (ρ G = 13.6 g/cm 3 ) en la deecha. a) Cuál es la pesión en el fondo del ecipiente en los dos lados? (.3) b) Cuál es la fueza que ejece el agua sobe la placa el punto de aplicación? (.3) c) Cuál es la fueza que ejece el mecuio sobe la placa el punto de aplicación? (.3) d) Detemina la fueza total ejecida sobe la placa el punto de aplicación (.3). Paa que la placa no gie, tenemos que unila mediante un cable a uno de los lados del ecipiente. e) A que lado habá que unila, cuanto valdá la tensión? (.3) Si la densidad del aceo es ρ a = 7 g/cm 3, f) Cuánto pesaá la placa? (.) g) Cuál seá la eacción en el eje? (.3) A B a) Pimeo calculamos las altuas alcanzadas po el agua el mecuio: m 3 h a = V a / S = (1.498) m =.5 m h g = V g / S = m 3 (1.498) m =.5 m La pesión manomética seá: P a = ρ a g h a = = 495 Pascales =.484 atm P g = ρ g g h hg = = Pascales =.39 atm b) La fueza ejecida po el agua sobe la placa seá únicamente debida a la pesión ejecida po el agua, que a una pofundidad es P= ρg. Si consideamos una fanja de la pesa de altua d longitud L, toda ella situada a una pofundidad, la fueza que actúa sobe la misma seá: df = Pds = PLd = ρ a g Ld Paa calcula la fueza total sobe la pesa debemos intega df ente la supeficie del agua el etemo infeio de la pesa: F = ' g L d = g L # " & = (1/) g L F a = (1/) = 16.5 N % El punto de aplicación de la fueza F sobe la pesa seá aquél en el que el momento de la fueza sea igual a la suma de los momentos que actúan sobe cada fanja (el momento de la esultante = esultante de los momentos) 7

8 El momento especto a un punto del fondo de un df actuando sobe una fanja a una pofundidad seá: dm= df(-)= ρg Ld (-) donde hemos tomado el valo de df calculado en el apatado anteio. Paa calcula el momento total, integamos ente el bode supeio e infeio de la pesa: M = gl (-) d = gl (- ) d = gl ' " # % & 3 * ' 3 ) ", = gl ( 3 + & 3 * ( ) 3 +, # % M = (1/6) ρgl 3 (3.1) Si el punto de aplicación esta a una altua d especto a la pate infeio de la pesa, tiene que veificase que Fd = M d = M F = (1/6) g L 3 (1/) g L d = (1/3) d a =.1667 m c) En el caso del mecuio las ecuaciones son las mismas cambiando únicamente la densidad el valo de la altua ( =.5 m). F = (1/) ρgl F g = (1/) = N d = (1/3) d g =.8333 m d) la fueza total ejecida po los fluidos sobe la placa es F T = F a F g = = -943 N es una fueza de 943 N diigida hacia el sentido negativo del eje. El punto de aplicación estaá a una distancia d tal que d F T = d a F a - d g F g d = (d a F a - d g F g ) / F T d = ( ) / (- 943) =.486 m e) si obsevamos en la figua la fueza esultante el punto de aplicación, vemos que tata de gia la placa en sentido antihoaio, po lo que paa que no gie, tendemos que uni el etemo supeio de la placa al lado B. T El valo de la tensión la calculamos aplicando las lees de la estática, en paticula como la placa no puede ota, M =. Calculamos los momentos especto al eje consideando que el cable foma 9 gados con la placa, (L/) T + d F T = T = - (d F T ) / (L/) T = - ( ) /.5 T = 86.1 N 8 F T

9 f) La masa de la placa seá el poducto del volumen po la densidad: m = V ρ aceo = = 14 kg g) la eacción en el eje se calcula aplicando las lees de la estática, en paticula como la placa no se taslada f = F T + T + R = R = - (T +F T ) = - ( ) = N f = Peso + R = R = - Peso = - ( ) = N 9