Repaso del 1º trimestre: ondas y gravitación 11/01/08 Nombre: Elige en cada bloque una de las dos opciones.

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1 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Repaso del 1º timeste: ondas y gavitación 11/01/08 Nombe: Elige en cada bloque una de las dos opciones. Bloque 1. GRAVITACIÓN y M.A.S. Elige un poblema: puntuación 3 puntos (1 punto cada apatado) 1.A. Si la Tiea fuese homogénea y existiese un túnel que la atavesase pasando po su cento: a) Demuesta que el movimiento de un objeto abandonado en el extemo del túnel es amónico simple. b) Calcula el tiempo que tadaía el objeto en llega al oto extemo del túnel. c) Calcula la velocidad máxima del objeto, utilizando la enegía potencial elástica. Datos: g 0 = 9,81 N kg -1 = 6, m 1.B. La masa de la Luna es 81,4 veces meno que la de la Tiea y su adio es 3,67 veces meno que el adio teeste. Calcula: a) El peíodo que tendía en la supeficie de la Luna un péndulo que en la Tiea da 10 oscilaciones en 6,67 s. b) La elación ente las velocidades máximas de la masa puntual del péndulo en la Luna y en la Tiea v L /v T si la amplitud en ambas situaciones es de π/10 ad. c) La velocidad de escape de la supeficie luna si la velocidad de escape de la supeficie teeste es 11, km/s. Datos: g T = 9,81 N kg -1 Bloque. GRAVITACIÓN. Elige una cuestión y azona la espuesta. Puntuación 1 punto..a. Si po una causa intena, la Tiea sufiea un colapso gavitatoio y edujea su adio a la mitad, manteniendo constante la masa, su peíodo de evolución alededo del Sol seía: a) El mismo. b) años. c) 0,5 años..b. Dos satélites de comunicación A y B con difeentes masas (m A > m B ) gian alededo de la Tiea con óbitas estables de difeente adio siendo A < B ; a) A gia con mayo velocidad lineal. c) B tiene meno peiodo de evolución. c) Los dos tienen la misma enegía mecánica. Bloque 3. ONDAS. Elige una cuestión y azona la espuesta. Puntuación 1 punto. 3.A. Dos ondas coheentes coinciden en un punto. Paa que den luga a una intefeencia destuctiva, la difeencia de caminos ecoidos po las ondas debe se un múltiplo: a) pa de la longitud de onda b) impa de la longitud de onda c) pa de la semilongitud de onda d) impa de la semilongitud de onda. 3.B. La posibilidad de oí detás de un obstáculo sonidos pocedentes de una fuente sonoa, que se encuenta fuea de nuesta vista, es un fenómeno de: a) Polaización. b) Difacción. c) Refacción. Bloque 4. REPASO: Elige un poblema: puntuación 3 puntos (1 punto cada apatado) 4.A. En la posición A de la figua, un objeto de 1,00 kg está compimiendo,00 cm un muelle (k = 5, N/m) de modo que desde ahí se suelta y ecoe el tamo ugoso AB de 30,00 cm de longitud (µ = 0,1) paa completa el tamo cuvo y liso BC sin ozamiento (distancia BC = 0,600 m) al final del cual el cuepo queda libe y escapa del cicuito. Calcula: a) Con qué apidez llega el objeto al punto B? b) Qué fueza ejece la supeficie sobe el objeto en el punto B? c) Qué tiempo tada en cae al suelo desde C? B C A

2 4.B. Un cuepo de 3,00 kg pate sin velocidad inicial del punto más alto de un plano inclinado de 1,0 m de longitud que foma un ángulo de 30º con la hoizontal. El coeficiente de ozamiento es µ = 0,5. Al abandona el plano inclinado se mueve en caída libe hasta choca con el suelo, 4,00 más abajo. Calcula: a) El tiempo que tada en ecoe el plano inclinado y la apidez con la que abandona el plano. b) La distancia hoizontal desde la base del extemo del plano inclinado a la que cae el cuepo. c) El momento cinético o angula del cuepo en el instante de choca conta el suelo, especto al punto de patida. Datos: g T = 9,81 m s - Bloque 5. M.A.S.: 1 Punto 5.A. Cuál de las siguientes gáficas epesenta mejo la vaiación de enegía cinética de un oscilado amónico en función del tiempo? 5.B. En un péndulo simple A) E indica cuál de las siguientes E p gáficas se ajusta coectamente a la elación enegía/elongación: A) t B) C) B) E t t C) E + E p x x x Bloque 6. Pácticas: 1 Punto 6. En el estudio dinámico de un esote elástico, que magnitudes se miden y qué gáficas se usan paa detemina la constante elástica. Influye la masa del esote?

3 Soluciones 1.A. Si la Tiea fuese homogénea y existiese un túnel que la atavesase pasando po su cento: a) Demuesta que el movimiento de un objeto abandonado en el extemo del túnel es amónico simple. b) Calcula el tiempo que tadaía el objeto en llega al oto extemo del túnel. c) Calcula la velocidad máxima del objeto, utilizando la enegía potencial elástica. Datos: g 0 = 9,81 N kg -1 = 6, m EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Rta.: b) t = 4 min. c) v cento = 7,91 km/s Solución: Si suponemos la Tiea como una esfea maciza homogénea de densidad ρ, el campo gavitatoia en un punto de una esfea inteio depende únicamente de la masa enceada po esa esfea. (La masa en el exteio de esa esfea poduce un campo gavitatoio nulo, po el teoema de Gauss). Si se llama M a la masa de la Tiea, R a su adio y a la distancia al cento del punto inteio donde se quiee detemina el valo del campo gavitatoio g, entonces g i =G m en el que m es la masa de la esfea inteio de adio. Si la esfea es homogénea, se calcula la masa m a pati de la densidad ρ: Po tanto m = ρv = ρ (4/3) π 3 g i =G m 4 =G 3 3 = 4 3 G Como en la supeficie de la Tiea el valo del campo gavitatoio es g 0 =G M T Substituyendo la masa de la Tiea M en función de la densidad ρ: M T = ρv R = ρ (4/3) π 3 g 0 =G M T =G 4 3 R 3 T = 4 3 G Dividiendo la expesión de la intensidad de campo a una distancia del cento ente el valo en la supeficie: 4 g i 3 G = = g G R T g i = g 0 La aceleación de la gavedad está diigida hacia el cento de la Tiea en cualquie punto, po lo que puede escibise como: g i = g 0 Al se g 0 y R constantes, la aceleación g es popocional y de sentido contaio a la sepaación de la posición de equilibio, lo que coincide con la condición de movimiento amónico simple.

4 b) En un movimiento amónico simple, la aceleación es a = - ω x en la que ω es la pulsación, que está elacionada con el peíodo T, po: De la ecuación = T podemos escibi: y, despejando el peíodo T: = g i = g 0 T = g 0 T= g 0 El peíodo es el tiempo de una oscilaciones completa (ida y vuelta). Po tanto, el tiempo que tada en llega al oto extemo del túnel es: t= T = g 0 = 6, [ m] 9,81 [m s ] =, s=4 min c) El campo gavitatoio es un campo consevativo, po lo que la enegía mecánica se conseva: ( + E p ) suelo = ( + E p ) cento La enegía potencial de un objeto de masa m en el campo gavitatoio de la Tiea a una distancia de su cento, tomando como oigen de enegías potenciales el infinito seía: E p = G M m Peo esta ecuación sólo es válida paa masas puntuales o en el exteio de masas esféicas. Paa aplica la ecuación de la enegía potencial del M.A.S. E p = ½ k x tenemos que enconta una expesión paa la constante elástica k. Según la ley de Hooke F = -k x y po la segunda ley de Newton, suponiendo que la fueza elástica-gavitatoia es la única que existe: F = m a = m g = m (-g 0 / ) Como es la sepaación x de la posición de equilibio, queda k = m g 0 / Aplicando ahoa la ecuación de consevación de la enegía 1 m 0 1 m g 0 R T = 1 m v cento 1 m g 0 0 v cento = g 0 = 9,81[ m s ] 6, [ m]=7, m/s=7,91 km /s

5 1.B. La masa de la Luna es 81,4 veces meno que la de la Tiea y su adio es 3,67 veces meno que el adio teeste. Calcula: a) El peíodo que tendía en la supeficie de la Luna un péndulo que en la Tiea da 10 oscilaciones en 6,67 s. b) La elación ente las velocidades máximas de la masa puntual del péndulo en la Luna y en la Tiea v L /v T si la amplitud en ambas situaciones es de π/10 ad. c) La velocidad de escape de la supeficie luna si la velocidad de escape de la supeficie teeste es 11, km/s. Datos: g T = 9,81 N kg -1 EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Rta.: a) T = 1,64 s. b) v L /v T = 0,407 c) v el =,38 km/s Solución: La ecuación del peíodo de un péndulo de longitud L es: T = L g Paa un péndulo en la supeficie de la Tiea el peíodo seá: En la supeficie de la Luna el peíodo seá T T = L g T La elación ente ambos es: T L = L g L T L = T T L g L = g T L g L g T Paa enconta la elación ente los campos gavitatoios en la Luna y en la Tiea, usamos la definición de campo gavitatoio como la fueza sobe la unidad de masa y la ley de la gavitación univesal de Newton: g= F G M m m = m =G M Dividiendo las expesiones del campo gavitatoio de la Luna ente la de la Tiea queda: g T g L = G M T G M L R L y el peíodo del péndulo en la Luna seá: = M T M L R L 81,4 M L M L = 3,67 R L R L = 81,4 3,67 =6,04 El peíodo del péndulo en la Tiea es: T L T T= g T g L = 6,04=,46 T T = 6,67 s 10 osc. =0,667 s po lo que el peíodo del mismo péndulo en la Luna seá: T L =,46 T T =,46 0,667 [s] = 1,64 s

6 b) La velocidad máxima del punto mateial del péndulo la alcanza en el punto más bajo. Como la fueza peso es consevativa: La altua máxima h del punto mateial es, ( + E p ) abajo = ( + E p ) aiba h = L L cos α = L (1 cos α) Como la amplitud α y la longitud del péndulo es la misma en la Tiea y en la Luna, la altua máxima también lo es. Poniendo como oigen de enegía potencial del peso el punto más bajo, ½ m v abajo + m g h abajo = ½ m v aiba + m g h aiba α L ½ m v abajo + 0 = 0 + m g h aiba v máx = g h h Dividiendo la expesión en la Luna ente la expesión en la Tiea v L = g L h v T g T h = g L = 1 g T,46 =0,407 c) La velocidad de escape de un asto es la velocidad mínima que debe tene un objeto en la supeficie del asto paa pode alejase a una distancia infinita del mismo. Como la fueza gavitatoia es una fueza cental, es consevativa (el tabajo de la fueza es independiente del camino) y la enegía mecánica (suma de cinética y potencial) se conseva. (E C + E P ) suelo = (E C + E P ) La enegía potencial gavitatoia de un objeto de masa m que se encuenta sometido a la atacción de oto de masa M, situado a un distancia (supuestos masa puntuales) viene dada po E P = G M m R en la que G es la constante de la gavitación univesal. El oigen de enegías potenciales está en el infinito E P = 0 La enegía cinética de una masa m que se mueve con una celeidad v, viene dada po: E C = ½ m v Como la velocidad de escape es la velocidad mínima, es la que coesponde a una velocidad nula en el infinito. Paa la Luna, G M m R 1 m v minima suelo=0 1 mv =0 0=0 v escape =v minima suelo= G M R Paa la Tiea, v el= G M L R L v et= G M T Dividiendo la pimea igualdad ente la segunda,

7 G M L v el R = L v et G M T = M L M T R L= 3,67 81,4 =0,1 v el = 0,1 v et = 0,1 11, km/s =,38 km/s.a. Si po una causa intena, la Tiea sufiea un colapso gavitatoio y edujea su adio a la mitad, manteniendo constante la masa, su peíodo de evolución alededo del Sol seía: a) El mismo. b) años. c) 0,5 años. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Solución: A El peíodo de evolución de la Tiea que sigue una tayectoia apoximadamente cicula alededo del Sol no depende del adio de la Tiea, ya que se puede considea que se tata de una masa puntual. Como podemos despecia en pincipio las inteacciones gavitatoias de otos planetas e incluso de la Luna, la única fueza que actúa sobe la Tiea es la fueza gavitatoia que ejece el Sol, F = F G m T a = F G y como la Tiea descibe una tayectoia apoximadamente cicula de adio con velocidad de valo constante, la aceleación sólo tiene componente nomal a N, Despejando la velocidad v, m T v =G M Solm T v= G M Sol Como la velocidad lineal v de un objeto que se mueve en una óbita cicula de adio con velocidad constante está elacionada con el peíodo T (tiempo que tada en da una vuelta completa) po la expesión: Igualando las expesiones anteioes elevando al cuadado y despejando el peíodo, v= T T = G M Sol 4 T = G M Sol 3 T = G M Sol se ve que depende de la masa del Sol (no de la de la Tiea) y de que es el adio de la óbita de la Tiea alededo del Sol, o sea, la distancia del cento de la Tiea al cento del Sol. El adio del planeta Tiea no influye en el peíodo.

8 .B. Dos satélites de comunicación A y B con difeentes masas (m A > m B ) gian alededo de la Tiea con óbitas estables de difeente adio siendo A < B ; a) A gia con mayo velocidad lineal. c) B tiene meno peiodo de evolución. c) Los dos tienen la misma enegía mecánica. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Solución: A La única fueza que actúa sobe el satélite es la gavitatoia. Al se una tayectoia cicula, sólo tiene aceleación nomal (centípeta). Po la ª ley de Newton: F = F G =m a =m a N =m v ób m v ób =G M Tm v ób = G M T La velocidad lineal de un satélite en una óbita es invesamente popocional a la aíz cuadada del adio de la óbita. Como el adio de la óbita A es meno que el de la óbita B, la velocidad del satélite en la óbita A seá mayo. Las otas opciones: B. El peíodo de evolución depende del adio de la óbita y de la velocidad. Como la velocidad lineal v de un objeto que se mueve en una óbita cicula de adio con velocidad constante está elacionada con el peíodo T (tiempo que tada en da una vuelta completa) po la expesión: el peíodo del movimiento cicula es: v= T T = v Al se mayo el adio de óbita B, B > A, y meno su velocidad, v B < v A, el peíodo de evolución del satélite en la óbita B seá mayo que el de la óbita A. C. La enegía mecánica de un satélite de masa m en óbita cicula de adio alededo de la Tiea de masa M T es la suma de las enegías cinética y potencial. Como ya vimos E m = E p = 1 m v ób m v ób =G M Tm Sustituyendo m v ób en la expesión de la enegía mecánica: E m = E p = 1 m v ób G M T m R = 1 G M T m G M T m G M T m = 1 G M Tm donde se ve que la enegía mecánica de un satélite en una óbita es diectamente popocional a la masa del satélite e invesamente popocional al adio de la óbita. No pueden se iguales poque sólo ocuiía si se cumpliese la elación: m A A = m B B

9 que no puede se al se m A > m B y A < B. 3.A. Dos ondas coheentes coinciden en un punto. Paa que den luga a una intefeencia destuctiva, la difeencia de caminos ecoidos po las ondas debe se un múltiplo: a) pa de la longitud de onda b) impa de la longitud de onda c) pa de la semilongitud de onda d) impa de la semilongitud de onda. EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Solución: d) Intefeencia constuctiva Cuando se supeponen dos ondas amónicas emitidas po focos que viban con la misma amplitud y la misma fecuencia y cuya difeencia de fase se mantiene constante, la intefeencia seá destuctiva cuando el desfase con que llegan las dos ondas al punto es: Δφ = ( n + 1) π Onda 1 Onda Supeposición Intefeencia destuctiva (ω t k d 1 ) (ω t k d ) = k d d 1 = (π / λ) d d 1 ( π / λ) d d 1 = ( n + 1) π d d 1 = ( n + 1) λ / 3.B. La posibilidad de oí detás de un obstáculo sonidos pocedentes de una fuente sonoa, que se encuenta fuea de nuesta vista, es un fenómeno de: a) Polaización. b) Difacción. c) Refacción. Examen 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Solución: B Difacción es el fenómeno que se poduce cuando una onda odea un obstáculo o se abe cuando ataviesa un agujeo de dimensiones paecidas a la longitud de onda. Es un fenómeno caacteístico de las ondas. Puede epesentase como en la figua paa una onda plana. La difacción del sonido se poduce poque es un movimiento ondulatoio, de longitud de onda del oden de unos cuantos centímetos hasta unos pocos metos (en el aie) po lo que puede odea obstáculos de esas dimensiones. La luz, aunque también es un movimiento ondulatoio, tiene longitudes de onda del oden de los 10-7 m. Se poduce difacción de la luz cuando el tamaño del agujeo es meno que 1 µm, lo que ocue en las edes de difacción o ente las pistas de un CD de música. λ

10 4.A. En la posición A de la figua, un objeto de 1,00 kg está compimiendo,00 cm un muelle (k = 5, N/m) de modo que desde ahí se suel- C ta y ecoe el tamo ugoso AB de 30,00 cm de longitud (µ = 0,1) paa completa el tamo cuvo y liso BC sin ozamiento (distancia BC = 0,600 m) al final del cual el cuepo queda libe y escapa del cicuito. Calcula: a) Con qué apidez llega el objeto al punto B? b) Qué fueza ejece la supeficie sobe el objeto en el punto B? B c) Qué tiempo tada en cae al suelo desde C? Examen 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Rta.: a) v B = 4,48 m/s b) N B = 76,8 N c) t = 0,35 s A Solución: a) El tabajo de las fuezas no consevativas ente A y B es igual a la vaiación de enegía mecánica. W FNC = ( + E p ) Las fuezas no consevativas que actúan ente A y C son la fueza de ozamiento y la fueza nomal que ejece la pista sobe el objeto. El tabajo de la fueza nomal es nulo poque es pependicula al desplazamiento. El tabajo de la fueza de ozamiento vale: W oz = F oz s cos (180) La fueza de ozamiento paa un objeto que se desplaza es: F oz = µ N en la que µ es el coeficiente dinámico de ozamiento y N la fueza nomal que que ejece la pista sobe el objeto. Las fuezas que actúan sobe el objeto en el tamo AB, una vez sepaado del muelle sólo son el peso y la nomal, ambas veticales y opuestas. Po la segunda ley de Newton: y la fueza de ozamiento valdá: y el tabajo de la fueza de ozamiento ente A y B: N m g = m a y = 0 N = m g = 1,00 [kg] 9,81 [m s - ] = 9,81 N F oz = 0,1 9,81 = 1,18 N W oz = 1,18 [N] 0,3000 (-1) = -0,354 J La enegía potencial del peso es la misma en A que en B ya que se encuentan a la misma altua. La enegía potencial elástica en A es: E pe = ½ k x = 5, [N/m] (0,000 [m]) / = 10,4 J La enegía potencial elástica en B es nula ya que el objeto no está ligado al esote. La enegía cinética en A es nula. Po tanto: -0,354 [J] = (B 0) + (0 10,4 [J]) v B = B = 10,4 [J] 0,354 [J] = 10,0 J B 10,0 [J ] = =4,48 m/s m 1,00 [kg] b) En el punto B las fuezas que actúan son el peso y la nomal, ambas veticales y opuestas. Peo ahoa el objeto inicia un movimiento cicula vetical de adio R = 0,600 / = 0,300 m, po lo que la esultante no es nula sino: N B m g = m a N = m v B / R N B mg N B = m g + m v B / R = 1,00 [kg] 9,81 [m s - ] + 1,00 [kg] (4,48 [m/s]) / 0,300 [m] = 76,8 N

11 c) Paa calcula la velocidad en el punto C aplicamos el pincipio de consevación de la enegía ente B y C, ya que la fueza peso es consevativa y la fueza nomal de la pista sobe el objeto no ealiza tabajo. ( + E P ) C = ( + E P ) B ½ m v C + m g h C = ½ m v B + m g h B Tomando el oigen de enegía potencial del peso el punto B, y multiplicando todo po /m: v C + 9,81 [m s - ] 0,600 [m] = (4,48 [m/s]) v C = 4,48[ m/s] 9,81 [m s ] 0,600 [ m]=,89 m/s La diección de la velocidad es tangente a la tayectoia y en el punto C es hoizontal. Como la única fueza que actúa sobe el objeto, una vez que sale del punto C, es el peso, la aceleación es la de la gavedad, constante, y el movimiento unifomemente aceleado de ecuación vectoial: = 0 v 0 t 1 Tomando un sistema de efeencia con oigen en B y eje X hoizontal en sentido positivo hacia la deecha y el eje Y vetical en sentido positivo hacia aiba, la ecuación anteio queda: La componente Y de la ecuación es: a t =0,600 j,89 i t 1 9,81 j t [ m] y = 0,600 4,91 t [m] El tiempo que tada en cae al suelo desde C se obtiene sustituyendo y = 0. 0,600 [ m] t= 4,91 [m s ] =0,35 s 4.B. Un cuepo de 3,00 kg pate sin velocidad inicial del punto más alto de un plano inclinado de 1,0 m de longitud que foma un ángulo de 30º con la hoizontal. El coeficiente de ozamiento es µ = 0,5. Al abandona el plano inclinado se mueve en caída libe hasta choca con el suelo, 4,00 más abajo. Calcula: a) El tiempo que tada en ecoe el plano inclinado y la apidez con la que abandona el plano. b) La distancia hoizontal desde la base del extemo del plano inclinado a la que cae el cuepo. c) El momento cinético o angula del cuepo en el instante de choca conta el suelo, especto al punto de patida. Datos: g T = 9,81 m s - Examen 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B Rta.: a) t = 0,93 s v =,6 m/s b) x = 1,7 m c) L O = -44 k kg m s Solución: a) A lo lago del plano inclinado actúan la fueza peso mg y las fuezas que la supeficie del plano ejecen sobe el cuepo: una fueza N nomal al plano y la fueza F oz de ozamiento que se opone al desplazamiento. Tomando como oigen el punto de patida, el eje X paalelo al plano y en sentido positivo el de avance del cuepo y el eje Y pependicula al plano y el sentido positivo hacia aiba, la segunda ley de Newton de la Dinámica, queda: F oz N Y+ Eje X: m g sen 30º F oz = m a Eje Y: N m g cos 30º = 0 De donde mg 30º X+ N = m g cos 30º = 3,00 [kg] 9,81 [m s - ] cos 30º = 5,5 N

12 Paa un cuepo que se desplaza, la fueza de ozamiento es popocional a la fueza nomal F oz = µ N = 0,5 5,5 [N] = 6,4 N Po lo que la aceleación con la que desciende po el plano inclinado es: a = g sen 30º F oz / m = 9,81 [m s - ] sen 30º 6,4 [N] / 3,00 [kg] =,8 m/s Al se la aceleación constante, el movimiento es unifomemente aceleado, po lo que la ecuación es: Sustituyendo y despejando el tiempo: x = x 0 + v 0 t + ½ a t t= x a = 1,0 [ m],8[m/ s ] =0,93 s Paa calcula la velocidad con la que abandona el plano inclinado, se usa la definición de velocidad: v= dx dt =v 0 a t como deivada de la ecuación de posición con especto al tiempo. Sustituyendo los datos v = 0 +,8 [m/s ] 0,93 [s] =,6 m/s b) Como la única fueza que actúa sobe el objeto, una vez que abandona el plano inclinado, es el peso, la aceleación es la de la gavedad, constante, y el movimiento unifomemente aceleado de ecuación vectoial: = 0 v 0 t 1 Tomando un sistema de efeencia con oigen en el punto en el que abandona el plano y eje X hoizontal en sentido positivo hacia la deecha y el eje Y vetical en sentido positivo hacia aiba, la ecuación anteio queda: a t = v 0 t 1 9,81 j t [ m] La velocidad con la que abandona el plano inclinado es tangente al plano inclinado. En el nuevo sistema de efeencia, seá la velocidad inicial del movimiento paabólico en el aie y su expesión vectoial seá: v 0 =,6cos 30º i,6sen 30º j [ m/s]=, i 1,3 j [ m/s] Po lo que la ecuación vectoial del movimiento en el aie queda: 30º O Y+ 30º X+ =, i 1,3 j t 1 9,81 j t =, i t 1,3t 4,91t j [m] La componente Y de la ecuación es: y = 1,3 t 4,91 t [m] El tiempo que tada en choca con el suelo desde que abandona el plano se obtiene sustituyendo y = -4,00 m, quedando una ecuación de segundo gado: cuyas soluciones son: t 1 = 0,78 s t = -1,04 s 4,91 t + 1,3 t 4,00 = 0 Como en el nuevo sistema de efeencia se pone tiempo inicial 0, el valo que se elige es 0,78 s. La distancia hoizontal desde la base se obtiene de la componente X de la ecuación de movimiento: x =, t =, [m/s] 0,78 [s] = 1,7 m

13 c) El momento cinético o angula L O de una patícula especto a un punto que se toma como oigen es el poducto vectoial del vecto de posición desde ese oigen multiplicado po el momento lineal de la patícula: L O = p = m v Tomando como oigen el punto de patida, el vecto de posición del punto en el que choca conta el suelo es: = 1,0 cos30º 1,7 i 1,0 sen30º 4,00 j =,8 i 4,6 j [m] Paa calcula el vecto velocidad con el que llega al suelo se deiva el vecto de posición del ecoido paabólico: v= d dt = d, i t 1,3t 4,91t j =, i 1,3 9,81 t j [ m/s] dt y se sustituye el tiempo 0,78 s que tada en choca conta el suelo: El momento lineal p = m v seá: v choca =, i 9,0 j [ m/s] p=3,00[ kg], i 9,0 j [ m/s] =6,7 i 7 j [ kg m/s] y el momento cinético especto al punto de patida seá: L O = p=,8 i 4,6 j [ m] 6,7 i 7 j [kg m /s] = 75 k 31 k = 44 k [ kg m /s] O h 30º 1,0 m 4,00 m 1,7 m 5.A. Cuál de las siguientes gáficas epesenta mejo la vaiación de enegía cinética de un oscilado amónico en función del tiempo? Examen 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. A) t B) t C) t Solución: A La ecuación de movimiento de un oscilado amónico es: x = A sen(ω t + φ 0 ) Le velocidad es la deivada de la posición con especto al tiempo: v = dx / dt = Aω cos(ω t + φ 0 ) La enegía cinética de un oscilado amónico, seá entonces = ½ mv = ½ m A ω cos (ω t + φ 0 ) una función de tipo del cuadado del coseno. Como el cuadado de un númeo negativo es positivo, la opción coecta es la A.

14 5.B. En un A) E B) E C) E péndulo simple indica cuál E + E p de las siguientes p gáficas se ajusta coectamente a la elación enegía/elongación: x x x EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Solución: C Un péndulo simple puede asimilase a un oscilado amónico. En un oscilado amónico la enegía total del mismo pemanece constante e independiente de la elongación, siendo su valo: E = ½ k A La gáfica A seía incoecta pues el máximo valo de la enegía potencial seía cuando x = A. cuando x = 0 la enegía potencial seía nula. La gáfica B también es incoecta pues la enegía cinética máxima seía paa x = 0 al pasa po el punto cental del movimiento. 6.A. En el estudio dinámico de un esote elástico, que magnitudes se miden y qué gáficas se usan paa detemina la constante elástica. Influye la masa del esote? EXAMEN 1.A 1.B.A.B 3.A 3.B 4.A 4.B 5.A 5.B 6. Solución: En el estudio dinámico del esote se cuelga una masa conocida (pesas de balanza) del esote, se apata de la posición de equilibio y se mide el tiempo de 10 oscilaciones. Se calcula el peíodo dividiendo el tiempo ente el númeo de oscilaciones. Se epite el poceso con otas masas hasta tene unas seis o siete datos. Se epesenta en un gáfica los cuadados de los peíodos fente a las masas colgadas, paa obtene una ecta ya que la elación es: T = 4 k La constante elástica se calcula a pati de la pendiente: m pendiente dinámico= 4 k Al epesenta la gáfica, se ve que no pasa po el oigen como debiea si cumpliese la ecuación anteio. Po tanto sí influye la masa del esote, ya que en esa ecuación m epesenta la masa que oscila, que incluye la masa de la pesa, el potapesas y platillo y una pate del muelle.