BOLILLA 3 DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION

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1 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 BOLILLA 3 DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION 1. INTRODUCCION A LA CINEMATICA El oigen de la dinámica se emonta a los pimeos expeimentos ealizados po Galileo Galilei ( ). Peo a pati de los estudios de Isaac Newton ( ) sobe cuepos unifomemente aceleados, este postula las leyes fundamentales del movimiento. La Dinámica está dividida en dos pates: (1) Cinemática, que estudia la geometía del movimiento, elaciona desplazamientos, velocidad, aceleación y tiempo, sin peocupase con las causas del movimiento. () Dinámica, que estudia las elaciones ente las fuezas que actúan sobe un cuepo la masa del cuepo y su movimiento, la cinética es usada paa pedeci el movimiento causado po las fuezas dadas o detemina las fuezas necesaias paa poduci deteminado movimiento. Una función es una elación ente dos vaiables numéicas, habitualmente las denominamos x e y; a una de ellas la llamamos vaiable dependiente pues depende de los valoes de la ota paa su valo, suele se la y; a la ota po tanto se la denomina vaiable independiente y suele se la x. Peo además, paa que una elación sea función, a cada valo de la vaiable independiente le coesponde uno o ningún valo de la vaiable dependiente, no le pueden coesponde dos o más valoes.. Definiciones básicas: Posición, Velocidad y Aceleación Posición Comenzaemos abodando el estudio de la cinemática del punto, contestando la pegunta: cuándo decimos que un cuepo puntual se mueve? La espuesta en el lenguaje coiente es: cuando va de un luga a oto. En Física, al luga se le llama posición. Po lo tanto, podemos deci que un cuepo puntual se mueve, cuando cambia su posición. La posición de una patícula se puede epesenta como un vecto cuyo punto inicial ("cola") está en el oigen del sistema de coodenadas y cuyo punto final ("cabeza") está en el punto coespondiente Da. Madeleine Renom

2 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 a su posición. Este vecto lo denotaemos con el símbolo En la figua ilustamos esta definición. En la figua se obseva que a la posición A le coesponde el vecto posición coesponde el vecto posición y a la posición B le Desplazamiento Coientemente, cuando un cuepo ha cambiado su posición, decimos que se ha desplazado, indicando desde donde hacia donde lo ha ealizado. Esto implica una diección y un sentido, además de la cantidad de cuanto se ha desplazado y po estas azones, el desplazamiento es un vecto. Definimos entonces el vecto desplazamiento, como el vecto que tiene como oigen la posición inicial, y como extemo la posición final (vecto ojo en la Fig. 5) siendo su módulo, la distancia ente las posiciones. Esta es ota foma de defini al vecto desplazamiento, donde los vectoes, coesponden a los vectoes posición especto al sistema efeencial elegido. Obsevaciones: al elegi oto sistema de efeencia fijo al anteio, cambian los vectoes posición, siendo invaiante el vecto desplazamiento. el módulo del vecto desplazamiento, es genealmente meno a la distancia ecoida, siendo Da. Madeleine Renom

3 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 iguales en el caso de tayectoia ectilínea. De la definición de desplazamiento se puede conclui que éste no depende de la tayectoia seguida po la patícula, sino que sólo depende del punto de patida y del punto de llegada. La figua nos ilusta esta impotante afimación. En esta figua, tes patículas tienen el mismo desplazamiento siguiendo tayectoias difeentes Longitud Recoida La longitud ecoida es denominada en algunos textos con el témino "espacio". Aquí evitaemos esta denominación ya que ese témino se usa en la física paa epesenta un concepto más global y abstacto. La longitud ecoida es la medida de la longitud de la tayectoia seguida po la patícula. Es una magnitud escala y su ecuación dimensional también es L. En la figua 6 se ilusta cómo la patícula al desplazase desde la posición A hasta la posición B, ecoe una longitud equivalente a ( en este caso es la longitud del camino de colo violeta, AB). En la misma figua se puede obseva que, Δ Δ s Tayectoias Da. Madeleine Renom

4 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 Es la línea imaginaia que descibe la patícula en su movimiento. Se acostumba clasifica los movimientos de acuedo a la tayectoia seguida po la patícula: si la tayectoia es ectilínea se le denomina movimiento ectilíneo, si es cicula, movimiento cicula,... Velocidad media y Velocidad Instantánea Se define la velocidad media como el desplazamiento de la patícula dividido po el valo del intevalo de tiempo. Es deci, Δ v m = Δt su ecuación dimensional es LT-1, es deci en el sistema M.K.S se mide en m/s. La velocidad media tiene la misma diección y sentido que el desplazamiento. Consideemos el caso de un cuepo que ealiza cieto ecoido, volviendo el punto de patida. En este caso el desplazamiento es ceo, y la velocidad media, de acuedo a la definición, es ceo. Esto quiee deci que tenemos un cuepo que se está moviendo y su velocidad media es nula. Esta definición tiene el inconveniente de no da una idea claa de si el cuepo se está moviendo o no, ni cuán ápidamente lo está haciendo. La velocidad media, solamente nos infoma con que diección y sentido debió movese el cuepo con apidez constante igual al módulo de la velocidad, paa expeimenta el cambio de posición detectado en el tiempo medido. En foma semejante a la apidez instantánea, se define la velocidad instantánea como la velocidad media deteminada en un instante, mediante un pasaje a límite. Definimos la velocidad instantánea: v = lim Δt d ΔT (d es el desplazamiento) Paa detemina este límite, pimeo consideamos un Δt cualquiea y deteminamos el vecto desplazamiento en este intevalo de tiempo dibujado con ojo en la figua 6. Da. Madeleine Renom

5 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 Obsevamos que si hacemos tende a ceo el intevalo de tiempo Δt, el punto B estaá más ceca del punto A, y al vecto desplazamiento, le disminuye su módulo mientas cambia su diección, como epesentamos con flechas ojas punteadas en la figua 6. En el caso límite, el vecto desplazamiento adopta la diección tangente a la tayectoia. Po esta azón, el vecto velocidad instantánea es siempe tangente a la tayectoia. El módulo de la velocidad instantánea que es su valo absoluto lo calculamos de la siguiente manea: v = lim Δ t d Δ T y si, Δ t d Δ s Si se obseva que el limite del cociente es igual, po definición, a la deivada de especto de t, podemos escibi: d v = Podemos conclui ahoa que este conjunto de caacteísticas son suficientes, paa pode decidi si dos cuepos se movieon de igual manea. Decimos que dos cuepos que se movieon po la misma tayectoia, lo hicieon de igual manea, si paa cada posición que adoptaon los móviles, los vectoes velocidad instantánea, ean iguales. Peo la Física, como las demás ciencias, no se confoma con descibi los sistemas y clasificalos. Petende pode pedeci el futuo cecano de los mismos. Esto quiee deci que si conocemos la posición y velocidad de un móvil en un instante de tiempo, podemos desea conoce la posición y velocidad un instante después. Paa esto, es necesaio que sepamos si la velocidad es constante o no, y si no lo es, cuán ápidamente está cambiando. Po esta azón es que definimos la apidez de cambio de la velocidad, a la que le llamamos aceleación. Aceleación Definimos la aceleación media, como la apidez de cambio de la velocidad, y matemáticamente la expesamos: Δv a Δt Obsevamos, de acuedo con nuesta definición, que el vecto aceleación media tiene siempe igual diección y sentido que el vecto vaiación de velocidad. Definimos la aceleación instantánea, como el límite a que tiende la aceleación media, cuando Δt tiende a ceo. Δv a lim a lim Δt Δt Δt Da. Madeleine Renom

6 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 dv a = ; (Como la deivada 1a de la velocidad) d a = ; (deivada segunda del desplazamiento) La velocidad vaía, cuando cambia su módulo, su diección o ambas. Po sencillez comenzaemos po detemina la aceleación instantánea, cuando cambia solamente el módulo de la velocidad. Si la diección de la velocidad no cambia, el movimiento es ectilíneo. 3. Movimiento Rectilíneo Unifome. Este es un tipo de movimiento ectilíneo muy fecuentemente encontado en aplicaciones pácticas. En este movimiento, la velocidad V de un punto mateial es constante. dx = v = cte Po definición, entonces la aceleación de una patícula en MRU es. La coodenada de posición x se obtiene po la integación de la ecuación. Llamando x al valo inicial de x, podemos escibi: x dx = v x t x x = vt x x + vt = Esta ecuación se puede usa solamente cuando la velocidad del punto mateial es constante. 4. Movimiento Rectilíneo Unifomemente Aceleado. Este es oto tipo común de movimiento. En este la aceleación a del punto mateial es constante y la ecuación se puede escibi: dv = a = cte (13) La velocidad v del punto mateial se obtiene po la integación de la ecuación: v dv = v a t (14) Da. Madeleine Renom

7 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 v v = at (15) v = v + at (16) donde v es la velocidad inicial. Sustituyendo v en (3) podemos escibi: dx = v + at (17) Llamando x al valo inicial de x e integando, tenemos: x dx = ( v + x t at ) (18) 1 x + at x = v t (19) 1 x + at = x + v t () También se puede escibi: dv v = a = cte (1) dx v. dv = a. dx () Integando ambos lados, obtenemos: v vdv = v a x x dx (3) 1 ( v v v ) = a( x x ) (4) = v + a( x x ) (5) Las ecuaciones deteminadas suministan elaciones útiles ente coodenadas de posición, velocidad y tiempo paa el caso de un movimiento unifomemente aceleado, siempe que a, v y x sean sustituidos po valoes deteminados. Pimeo se debe defini un oigen O del eje x, seleccionando un sentido positivo a lo lago del eje, este sentido pemitiá detemina el signo de a, v y x. La ecuación (15) elaciona v y t y seá usada cuando se desee enconta el valo de v coespondiente al valo de t o vicevesa. La ecuación () elaciona v y t. La ecuación (5) elaciona v y x. Una aplicación impotante del movimiento unifomente aceleado es la caída libe de un cuepo. La aceleación de un cuepo en caída libe (genealmente indicada po g) es igual a 9,81 m/s. Da. Madeleine Renom

8 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA Caída Libe. En esta sección vamos a estudia las ecuaciones del movimiento ectilíneo unifomemente aceleado, y en conceto el movimiento de caída de los cuepos bajo la aceleación de la gavedad (g). Si bien, es un tema que se estudia a lo lago de todos los cusos de Física, desde los más elementales, pesisten algunas dificultades y en conceto aquellas que confunden la posición del móvil con espacio ecoido. Se ha de insisti, que las magnitudes cinemáticas tienen caácte vectoial, incluso en el movimiento ectilíneo, y que paa descibi un movimiento se han de segui los siguientes pasos: 1. Establece el sistema de efeencia, es deci, el oigen y el eje a lo lago del cual tiene luga el movimiento.. El valo y signo de la aceleación 3. El valo y el signo de la velocidad inicial 4. La posición inicial del móvil 5. Escibi las ecuaciones del movimiento 6. A pati de los datos, despeja las incógnitas Descipción: detemina las ecuaciones del movimiento, la altua máxima y el tiempo que tada el cuepo en alcanza el oigen. En pime luga, establecemos el oigen y la diección del movimiento, el eje X. Después, los valoes de la posición inicial y los valoes y signos de la velocidad inicial, y de la aceleación, tal como se indica en la figua. Resultando las siguientes ecuaciones del movimiento. a = g v = v + at 1 x = x + v t + at Un cuepo es lanzado desde el techo de un edificio de altua x con velocidad v, Cuando alcanza la altua máxima la velocidad del móvil es ceo. De la ecuación de la velocidad, se obtiene el tiempo que tanscue desde que se lanza hasta que llega a dicha posición. El tiempo tanscuido se sustituye Da. Madeleine Renom

9 FACULTAD DE CIENCIAS CURSO DE INTRODUCCION A LA METEOROLOGIA 11 en la ecuación de la posición, obteniéndose la máxima altua que alcanza el móvil medida desde el suelo. El tiempo que tada en llega al suelo, se obtiene a pati de la ecuación de la posición, poniendo x=, esolviendo una ecuación de segundo gado. Nota: como podá compoba el lecto, la solución del poblema es independiente de la situación del oigen. Si colocamos el oigen en el punto de lanzamiento, la posición inicial x es ceo, peo el suelo se encuenta en la posición -x especto de dicho oigen, esultando la misma ecuación. La altua máxima se calcula ahoa desde el techo del edificio, no desde el oigen. Situación del oigen: Se acostumba a pone en el oigen, en el punto en el que es lanzado el móvil en el instante inicial. Esto no tiene que se siempe así, si un cuepo es lanzado desde el techo de un edificio podemos situa el oigen en el suelo, la posición inicial del móvil coespondeía a la altua del edificio h. Si situamos el oigen en el techo del edificio y lanzamos el móvil desde el suelo, la posición inicial seía -h. Signo de la aceleación: Si el eje X apunta hacia aiba la aceleación de la gavedad vale a = -g, g=9.8 m/s Signo de la velocidad inicial: Si el eje X apunta hacia aiba y el cuepo es inicialmente lanzado hacia aiba el signo de la velocidad inicial es positivo, en caso de se lanzado hacia abajo el signo es negativo Da. Madeleine Renom