7. El momento angular. Potenciales centrales Átomo de hidrógeno

Transcripción

1 7. E oento angua. Potenciaes centaes Átoo e hiógeno Cuantificación e oento angua cásico: e oento angua obita Geneaiación: e oento angua cuántico genea. Definición popieaes e Autovaoes autovectoes e os opeaoes. 4 Bases stana 5 Matices e Moento angua obita. Funciones popias 7 Patícua en un potencia centa 8 Átoo e hiógeno

2 . E oento angua obita anáogo a cásico En Mecánica Cásica e oento angua e UNA patícua especto e un punto u u u En Mecánica Cásica e oento angua e UNA patícua especto e un punto que eegios coo oigen e cooenaas es p p p p Según as egas e cuantificación efinios os tes opeaoes que coesponen a as coponentes catesianas e coo: ZP YP YP XP XP ZP ZP YP P P P Z Y X ; u u u P R

3 Reaciones e conutación: YP ZP ZP XP YP ZP ZP ZP YP XP ZP ZP De os cuato téinos son nuos e 3º e 4º: En efecto: YP XP YP XP XP YP YXP XYP X Y P ZP ZP ZP ZP ZP ZP Z P P Z P P Z P P YP ZP E º: YP ZP ZP YP YP P Z YP ZP YP P Z E º anáogaente haceo esuta: ZP XP ixp i XP Finaente: YP i iyp Anáogaente con as eás coponentes: i i i

4 . Geneaiación aaos oento angua a un conunto e tes obsevabes que cupen as isas egas e conutación anteioes es eci: i i i ustificación: E oento angua cásico puee efinise según e copotaiento e haitoniano bao otaciones. Ahoa tabién a uga a a efinición anteio en casos con anaogía cásica. E cuaao e óuo se efine coo : Opeaoes escaea: i i Tienen cieta anaogía con a a + e osciao aónico Obviaente - + = +

5 Popieaes e os opeaoes escaea eosta o ve CT cap VI B : Suano as os útias iguaaes se obtienen as ipotantes popieaes que ha que eoia siguientes:

6 3. Vaoes vectoes popios e no foan un CSCO. Ha vaios vectoes que coesponen a os isos autovaoes. Repesentaos os kets coo: k Pincipaes popieaes que ha que sabe DE MEMORIA: Autovaoes e : ; enteo o "seienteo" seiipa : - - enteot Autovaoes e : Autovectoes e : k k k k k k k k o seienteoi t

7 Deostaciones EMA : os autovaoes e son eaes no negativos Sea un autovecto e : Po conveniencia escibios a paa siepe Consieeos as epesiones k k k k en uga e que no epesan ás que a efinición e autovaoes autovectoes one pueen se núeos eaes cuaesquiea

8 EMA I: En efecto: k k k k k k Po ota pate heos visto pops e + - k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Es eci Es eci En caa esiguaa os os factoes no pueen se e istinto signo tapoco g p g p pueen se os os negativos pues aía uga a + - o sea:

9 EMA II popieaes e - : Sea k un autovecto t e con autovaoes +ħ ħ: ħ i Si = - k ii Si >- Deostación: k Es un autovecto e con autovaoes +ħ -ħ i Heos visto que k a noa es ceo si =-. a noa es ceo si sóo si es e ket nuo k k ii Si > - k iia Veaos que es vecto popio e conuta con k k - uego k k k Po tanto es vecto popio e iib Veaos que es vecto popio e O sea: k k k k k k k Eso es eci que - k es autovecto e con autovao -ħ k

10 EMA III popieaes e + : Sea k un autovecto t e con autovaoes +ħ ħ: ħ i Si = k ii Si < k Es un autovecto e con autovaoes +ħ +ħ Deostación: Eecicio: es siia a a e ea II. Escibi a noa k uego os conutaoes e + con TEOREMA especto e : sóo pueen se enteos o seiipaes se suee eci seienteos Es eci cobinano toos os esutaos: * = / 3/ 5/. ** = vaoes paa caa *** es enteo si es enteo seienteo si o es

11 Deostación e teoea Sea k un autovecto e con vaoes popios +ħ ħ one en pincipio poían se eaes peo ea I. Con toa seguia eiste un enteo no negativo p ta que: p p = pate entea e + Consieeos a sucesión e kets: k k k... p k Toos eos son vectoes popios e con vaoes popios +ħ -nħ n= p Supongaos que p noigua Consieeos ahoa e ket: k k que ebe se autovecto e con vao popio -p- ea II Peo esuta que -p- < - o que contaice e ea I: toos os vaoes popios e son aoes o iguaes que - Po tanto p p

12 Tabién se euesta que eiste un único enteo q = pate entea e - no negativo ta que ta que: q o cua se hace anáogaente actuano q veces con + sobe e ket k. No se puee obtene un autovecto con autovao ao que po o que se ebe obtene uno igua e oo que as subsiguientes apicaciones e + en e vecto nuo. Restano as os iguaaes quea: pq esenteo Tabién heos visto antes que uego es enteo o seiipa positivo o ceo. De cuaquiea e as os iguaaes anteioes se euce que es enteo si es enteo seiipa si o es. q. e..

13 4. Bases stana k * no foan un CSCO. * Se necesita a enos oto opeao A que conute con eos paa foa un CSCO * E con ifeentes k s que coesponen a ifeentes autovaoes e A foa un subespacio e iensión g no epene e ve CT cap VI C 3 * Po oto ao os E k con ifeentes s foan otos subespacios e iensión + * Una base k se aa stana si a apica + o - a un vecto cuaquiea e subespacio E k obtiene oto e iso subespacio VER ESQUEMA EN PÁGINA SIGUIENTE

14 Esquea e una Base stana k

15 5. Matices que epesentan + - en Ek Esquea e os eeentos e ati: Eeentos e ati: k k k k' ' ' k' ' ' k' ' ' kk' kk' ' ' ' ' ' ' kk' ' '

16 Matices paa casos sipes i T ti ú i = : Toas as atices son se eucen a núeo ii = ½ vectoes base k=/=/ sipificano base : { + -} / ; / / ; / / / / / / i i i iii t b k i ifi b { } iii = vectoes base k= sipificano base : { -} ; ; ; ; i i i i i

17 6. Moento angua obita tifi ió t á i t a cuantificación e oento angua cásico se aa oento angua obita se epesenta univesaente coo e vecto en epesentación i u u u P R i i i i Es ás sipe tabaa en cooenaas esféicas cos E eeto e vouen e ánguo cos 3 g sóio: tg i cos Cabiano as vaiabes en a efinición e tg i g cos i

18 De ahí se obtiene: cotg i e tg i icotg e i Paa una patícua as funciones popias eben se autovectoes e uego: i tg Dao que no apaece en os opeaoes poeos consieao coo un paáeto constante. Aeás veeos que as ecuaciones tienen soución única savo un facto utipicativo que es o único que puee epene e. Y f

19 Es eci a soución ás genea f Y posibe e as ecuaciones paa caa vao e peitios es: Noaiación: ió a MQ eige sóo que: 3 f Y Peo po conveniencia poque nos o poeos peiti vaos a hace que: f Y Vaoes e : sóo pueen se enteos En efecto toano a ec. e vaoes popios p e i Y Y Y Coo a función e ona ebe se continua e eivaas continuas en Y i F e i Y e e enteo

20 Toos os vaoes enteos e e a son posibes En efecto toeos Y Y Y Esta ecuación se intega u fáciente po sepaación e vaiabe función tiene soución única savo un facto constante paa cuaquie vao enteo e Apicaos + cotg F cotg F F c F F F F c e i De paso esto nos a a a soución paa e caso = : as constantes c quean eteinaas po a conición e noaiación que nos heos auto-ípuesto: Y c c u Y as integaes se esueven u fáciente e foa -! iteativa se escoge e aguento paa que as c sean c! 4 eaes e signo - u

21 as eás funciones F po tanto Y nos as a a apicación epetia e - a F CT copeento A VI Aónicos esféicos: as funciones que van saieno se aan aónicos esféicos que son as funciones popias e únicas paa caa. ista e os pieos: 5 i Y e Y 3 i 3 Y e i Y cose 3 8 Y cos 4 5 Y 3cos 6 Es ipotante vove a ecaca que si una patícua está en un estao con efinios a función e ona es con toa seguia e a foa: f Es eci a epenencia angua está fiaa. Sóo a pate aia puee epene e otos etaes po eepo e cóo es e potencia Si e haitoniano conuta con as funciones e ona e enegía efinia se pueen eegi e esa foa. Y

22 Popieaes e os aónicos esféicos: Recuencia: Y Y O t i ió * ' Y Y Otonoaiación causua: ' ' ' Y Y ' ' ' ' cos cos ' ' * Y Y Paia: a tansfoación --- en esféicas se escibe: cos Y Y cos Conugación copea: * Y Y Desaoo e una función cuaquiea e cuaao integabe e : * ; f Y c Y c f ; f Y c Y c f

23 Reación con os poinoios e egene: Y 4 cos P Teoea e aición u usao en F. atóica: Sea e ánguo que foan os aios vectoes con iecciones. P 4 cos Y ' ' Y " "

24 7. Patícua en un potencia centa V Patícuaeasa paa istinguia e núeo cuántico En Patícua e asa paa istinguia e núeo cuántico. En epesentación a ec e vaoes popios e haitoniano Ec e Schöinge inepeniente e tiepo es: E V a apaciana en cooenaas esféicas es a apaciana en cooenaas esféicas es tg Cabe tata e esove icha ecuación en cooenaas esféicas po sepaación e vaiabes coo hio Schöinge peo a conoceos gan g pate e a soución. V V H H sóo epene e o actúa sobe os ánguos a tavés e así: [H ] =. actúan sobe os ánguos no sobe po o que [H ] = [H ] = [H ] = [ ]

25 Buscaos as funciones popias counes a H o sea que cupen: E H a b c Ya heos visto que cuaquie función popia e se escibe coo: k Y R Sieno R k una función que epene sóo e peo no e ni e k q p p Con esto a se cupen autoáticaente b c e hecho savo un facto Y es a única función e que cupe b c con os vaoes e q p aos Nos quea a ecuación a: k k Y R V Y R V Y ER k Y R V

26 En a Y esapaece. Aeás en a ecuación que quea no inteviene po o que e autovao E a soución única coo veeos ponto no epenen e. Es eci a ec. a quea coo: V R E R k k k Poneos E k paa inica e autovao e H enegía que coespone a a función popia aia R k. u R Toavía conviene hace un cabio e función. Definios: k k Sustituios aiba quea: V u k E a cua tiene un significao notabe e inteesante: es a ec. e Schöinge inepeniente e tiepo e una patícua en D soetia a un potencia efectivo: V k u k

27 Ya conoceos as popieaes p e as funciones e ona en D incuso isponeos e un pogaa que cacua as enegías as funciones paa una patícua confinaa: * En paticua paa caa vao e k eiste una soa función e ona aia es eci a función e ona tota que coespone a os tes núeos k es única savo po un facto e fase goba enegía coo se vio en un pobea en a fouación e Schöinge * Eso significa que H foan un CSCO * Agunos nivees e enegía son egeneaos : Toas as funciones con istinto e iguaes k siepe coesponen a a isa enegía si e potencia es centa. Puee ocui que agunas enegías con istintos k sean as isas eso epene e cóo sea e potencia.

28 8. Átoo e hiógeno Mas pecisaente consieaos ahoa e pobea teóico e una patícua cuántica soetia a potencia Nota: e =.69-9 C es a caga e eectón. CT usa a eta e paa ota cosa e V 4 Esto es una apoiación paa e veaeo átoo e hiógeno poque: Se consiea e núceo fio había que estuia sepaaaente e oviiento e CM e oviiento eativo con a asa eucia. No se consiea e spin e eectón que inteactúa agnéticaente con e oento obita= inteacción ió spin-óbita óbit 3 No se consiea e taaño pequeño peo finito e núceo e unos -4 fente a - que es a istancia típica e eectón a núceo 4 No se consiea a inteacción agnética e oento nucea con e e eectón. 3 4 foan a aaa inteacción hipefina ucho ás ébi aún que e spin-óbita. 5 No se consiea a inteacción con un capo eectoagnético eteno que pouce tansiciones ente os nivees e enegía teóicaente estacionaios. Toos estos pobeas se aboaán en FQII con étoos típicos e apoiación e a Mecánica Cuántica

29 Ecuación aia: u e 4 k E k u Ha souciones con E k a enegía puee toa cuaquie vao k es entonces un ínice continuo que coespone a un eectón que escapa a infinito coo una taectoia hipebóica o paabóica e un coeta. Sóo vaos a estuia os casos e eectón confinao con E k < k Es conveniente hace un cabio e vaiabe efinieno: Usano as constantes univesaes: E I 4 ee 3 hh 3.66eV ; k a E E Raio e Boh Enegía e ioniación e hiógeno a ecuación quea: ku k Done a vaiabe función constantes son nuéicas sipes e oen e a unia. Apopiaas tabién paa soución nuéica I k

30 Soución e a ecuación aia Copotaiento atótico paa >> se tiene a ec apoiaa: k k uk uk Ae No vae a ep positiva que no es e cuaao integabe Esto sugiee paa too poba souciones e tipo u k e k k Sustitueno en a ec copeta k k Tabién ha que consiea e copotaiento en e oigen. Si > e potencia efectivo se va a infinito uego uk =. u C u k ; D k Debe se D = paa que a función son se vaa a infinito it E caso = equiee un aguento istinto peo a concusión es a isa si se anaia a función e ona R k ese e pincipio

31 Soución e a ecuación copeta. o anteio sugiee busca k coo una seie e potencias e. k s q q c q Done s es a potencia e pie coeficiente no nuo c Sustitueno en a ec ifeencia e vaoes popios p quea una seie e potencias e que ebe se ceo paa too o que inica que toos os coeficientes eben se nuos. Toeos e pieo sae:. s s c s Paa os eás sae a eación e ecuencia: qq c q q q c q

32 Autovaoes físicaente aceptabes * Si a seie es infinita a función e ona tiene a infinito paa pobao o ve CT cap VII 3 C c *Po tanto a seie tiene que tene un núeo finito e téinos. os vaoes peitios e k son os que hacen eso es eci ha un vao e q paa e que c q = * k es un poinoio e aguee Obviaente e qq c q qk c c q q q k q Dano vaoes enteos a q se obtienen os peitios paa caa. Poeos aa k a vao e q que aeás es enteo ; enteo k k k os coeficientes e poinoio a no seie infinita no os a a eación e ecuencia q q q c q cq k

33 Resutaos finaes eshacieno os cabios e vaiabes Enegías: ; k k E E I k Coeficientes e poinoio: q q c k q q k q c q q Epícitaente:!!!!! c q q q k k k c q q q Ha que noaia a función e ona paa obtene c que se eige ea positivo positivo

34 FINAMENTE: Funciones e ona: conviene efini n = k+ E n EI ; n 3... n-... n

35 PRIMERAS FUNCIONES RADIAES

36 GRÁFICO DE AGUNAS FUNCIONES RADIAES

37 Coentaios copaación con e oeo e Boh Coo se ve as enegías peo naa ás coincien con e oeo e Boh- Soefe: * Un estao e enegía efinia es estacionaio. E eectón no obita o que a pobabiia e encontao en un uga ao es constante. * Se cupen as egas e cuantificación e Boh n enteo e Soefe enteo peo... *E estao cuántico ás paecio a una óbita cicua f..o. inepeniente e os ánguos es con = es eci no es o ao * En os estaos con = a pobabiia e que e eectón esté en e núceo no es ceo e hecho es áia *C Cuanto ao es n ao es a istancia i eia a núceo po eso es ao a enegía * E hecho e que E epena e n noe es a aaa egeneación * E hecho e que E n epena e n no e es a aaa egeneación accienta que sóo ocue paa V = cte/

38 Apicación e oeo a otos átoos os átoos con ás e eectón no son esoubes anaíticaente ni e pobea e 3 o ás cuepos en Mecánica Cásica a apoiación ás coún étoo e Hatee-Fock es consiea e oviiento e un eectón iniviuaente soetio a un potencia que es e e núceo + un poeio esféicaente siético e poucio po os eás eectones. Ha agunos etaes que consiea coo a ientia e toos os eectones pincipio e ecusión e Paui Una ve obtenias as funciones e ona había que vove a eteina e potencia poeio hasta que esute e iso que e supuesto iniciaente potencia autoconsistente. Coo consecuencia as enegías onoeectónicas epenen e n. De ahí pocee a ega e enao e capas atóicas. Después ha que intouci coecciones a as enegías funciones e ona obtenias eiante étoos e apoiación caacteísticos e a Mecácia Cuántica étoos e petubaciones TODO ESTO SE ESTUDIARÁ EN FÍSICA ATÓMICA