2.1 Elementos fundamentales de la Geometría

Transcripción

1 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría OJETIVOS onocer os eeentos fundaentaes de a Geoetría y su representación. prender as definiciones fundaentaes obtenidas a partir de os eeentos fundaentaes. Encontrar a edida de ánguos en figuras geoétricas utiizando os postuados y teoreas de ésta sección. Térinos básicos no definidos La Geoetría tiene tres entes o eeentos fundaentaes no definidos: punto, recta y pano. Punto E punto es e prier eeento que no está definido en Geoetría. Se representa gráficaente por un pequeño círcuo y una etra ayúscua que o identifica. La siguiente figura uestra tres puntos, y. Recta E segundo térino no definido de a Geoetría Eucideana es e de recta, aunque se entiende que una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidaente en sentidos opuestos. Para referirse a una recta, se seeccionan dos puntos sobre ea; a recta queda deterinada por dichos puntos. Una recta tabién se puede identificar por una etra inúscua. La figura siguiente uestra a recta que pasa por os puntos y. La recta de a figura tabién está identificada coo a recta. Pano E tercer térino no definido de a Geoetría Eucideana es e de pano. Se entiende que un pano es una superficie totaente pana que se extiende indefinidaente. Una esa de vidrio o a cubierta de un escritorio da a idea de un pano. Un pano se representa geoétricaente por una figura de cuatro ados y una etra ayúscua. La siguiente figura representa a pano P. P Definiciones fundaentaes partir de os eeentos fundaentaes se pueden definir otros eeentos de a Geoetría, en ésta sección se definen agunos de eos.

2 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría Espacio Está forado por todos os puntos posibes y contiene infinitos panos. Puntos coineaes Son todos os puntos que están situados sobre una isa recta. Puntos copanares Son todos os puntos que están situados en un iso pano. Segento de recta E segento de recta está forado por todos os puntos entre y incuyendo os puntos y. La ongitud de un segento es a distancia entre sus puntos extreos. Para indicar que a ongitud de segento es 5 escribios 5. La siguiente figura uestra e segento de recta. Rayo o seirecta E Rayo está forado por todos os puntos que se extienden en una soa dirección a partir de punto pasando por e punto. E punto se aa origen o punto extreo de rayo. La siguiente figura uestra e Rayo. Rayo Punto edio de un segento Es e punto que divide un segento en dos segentos iguaes. Si es e punto edio de, entonces Ánguos y su edida Un ánguo está forado por dos rayos que tienen e iso punto extreo. punto extreo coún se e aa vértice y a os dos rayos se as aa ados de ánguo. E ánguo de a figura siguiente está forado por os rayos y, su vértice está en e punto y sus ados son os rayos y. Para referirse a ánguo de a figura anterior se puede hacer coo,, y si e vértice no es copartido con otro ánguo puede identificarse coo. En Geoetría usuaente a edida de un ánguo se expresa en grados sexagesiaes. Un círcuo tiene 60 grados, así un grado (º) es e ánguo forado por parte de un círcuo. Un grado se divide 60 en 60 inutos y un inuto se divide en 60 segundos.

3 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría º Ánguo agudo Es un ánguo cuya edida es ayor que cero y enor de 90º. Por ejepo e ánguo de a figura siguiente tiene una edida de 50º, es decir 50º 50º Ánguo recto Es un ánguo cuya edida es 90º y usuaente se representa con una pequeña escuadra en e vértice de ánguo. 90º Ánguo obtuso Es un ánguo cuya edida es ayor de 90º pero enor que 80º, en a figura se uestra un ánguo obtuso de 50º 50º Ánguo ano Es un ánguo cuyos ados son rayos opuestos. La edida de un ánguo ano es 80º 80º Postuados y Teoreas E estudio fora de a Geoetría requiere e uso de postuados, teoreas y deostraciones. Los postuados son enunciados que se aceptan coo verdaderos y eos no pueden deostrarse ientras que os teoreas son proposiciones derivadas de os postuados y se pueden deostrar, aunque en uchos casos as deostraciones son uy copicadas. En este curso se presentan únicaente os postuados y teoreas que se consideran necesarios para a soución de probeas geoétricos.

4 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría 4 S i e t e p o s t u a d o s i p o r t a n t e s. Una recta contiene cuando enos dos puntos; un pano contiene cuando enos tres puntos, no todos en a isa recta; e espacio contiene cuando enos cuatro puntos, no todos en e iso pano.. Existe una recta y sóo una que pasa por dos puntos.. Existe un pano y sóo uno que pasa por tres puntos que no están en una soa recta. 4. Si dos puntos están en un pano, entonces a recta que os contiene se encuentra tabién en e iso pano. 5. Si dos panos diferentes se intersecan, su intersección es una recta. 6. Entre dos puntos existe una distancia, y sóo una. 7. cada ánguo e corresponde una edida en grados única, ayor o igua a 0º y enor o igua a 80º. Reaciones entre puntos rectas y ánguos uando se cobinan puntos, rectas, segentos y ánguos, se obtienen figuras geoétricas; as cuaes dan origen a definiciones y teoreas que reacionan os eeentos geoétricos. continuación se presentan agunas definiciones y teoreas iportantes. Puntos sobre una recta Si tres puntos, y se encuentran sobre una recta, y e punto está entre os puntos y, entonces as distancias entre eos se reacionan de a siguiente fora Ánguos adyacentes Son dos ánguos que están en e iso pano, tienen e iso vértice y un ado en coún, pero no tienen puntos interiores counes. La sua de as edidas de os ánguos adyacentes da coo resutado a edida de ánguo ayor forado. D Ánguos opuestos por e vértice Si dos rectas se intersecan en un punto, os ánguos opuestos por e vértice son iguaes 4 y son opuestos por e vértice, entonces y 4 son opuestos por e vértice, entonces 4

5 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría 5 Ánguos copeentarios Si a sua de as edidas de dos ánguos es 90º, os ánguos se aan copeentarios. En as dos figuras que se uestran y son copeentarios, entonces 90º Ánguos supeentarios Si a sua de as edidas de dos ánguos es 80º, os ánguos son supeentarios, en as dos figuras ostradas y son supeentarios, entonces 80º Rectas perpendicuares Si dos rectas se intersecan forando ánguos rectos, as rectas son perpendicuares y a edida de os cuatro ánguos forados es 90º. En a figura as rectas y son perpendicuares. 4 90º 4 Rectas paraeas Dos rectas son paraeas cuando están en un iso pano y no tienen ningún punto en coún. En a figura as rectas y son paraeas

6 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría 6 Ánguos forados por dos rectas paraeas y una transversa uando dos rectas paraeas son intersecadas por una transversa, se foran 8 ánguos coo se uestra en a figura siguiente t Puede observarse que se foran cuatro pares de ánguos que son opuestos por e vértice así coo ocho pares de ánguos que coparten e iso vértice y son supeentarios. dicionaente se definen os ánguos siguientes Ánguos correspondientes Los ánguos situados de iso ado de a transversa, uno externo y e otro interno pero con vértice diferente se aan ánguos correspondientes; hay cuatro pares de ánguos correspondientes. Los ánguos correspondientes son iguaes, es decir 5, 6, 7, 4 8 Ánguos aternos internos Los ánguos situados dentro de as paraeas, en ados opuestos de a transversa y con vértice diferente se aan ánguos aternos internos; hay dos pares de ánguos aternos internos. Los ánguos aternos internos son iguaes, es decir 6, 4 5 Ánguos aternos externos Los ánguos situados fuera de as paraeas, en ados opuestos de a transversa y con vértice diferente se aan ánguos aternos externos; hay dos pares de ánguos aternos externos. Los ánguos aternos externos son iguaes, es decir 8, 7 Ejepo : acuando ánguos entre paraeas Si as rectas y son paraeas y 55º, acue a edida de 4 Soución 4 D Para resover éste probea se utiizarán as propiedades de ánguos estabecidas en ésta sección. acuando e ánguo cuya edida es a sua de dos ánguos adyacentes

7 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría 7 55º 55º 0º hora se puede cacuar e ya que es igua a pues son aternos internos entre paraeas 0º Finaente, e y e 4 son ánguos supeentarios, es decir que suan 80º Entonces a edida de 4 es 70º 4 80º 4 80º 80º 0º 70º Ejepo : acuando ánguos expresados en térinos de variabes Si os segentos D y son paraeos, Encuentre os vaores de x y y. D x 0º Soución x y La edida de ánguo D x 0 pues se obtiene suando dos ánguos adyacentes. oo e ánguo D y e ánguo cuya edida es y son aternos internos, tienen a isa edida, es decir x 0 y Por otro ado, e ánguo edidas suan 80º, es decir x y e ánguo y son supeentarios, entonces sus x y 80 Resoviendo e sistea de ecuaciones por sustitución se obtiene x y 80 x (x 0) 80 5x 50 x Sustituyendo x para encontrar e vaor de y y x 0 y () 0 y 6 De donde os vaores buscados son x y y 6

8 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría 8 Ejepo : acuando ánguos expresados en térinos de variabes La edida de un ánguo agudo es ta que su ánguo copeentario y su supeentario están en razón de a 7. Encontrar a edida de ánguo. Soución Sea x a edida de ánguo buscado, entonces su copeento es 90 supeento es 80 se obtiene a ecuación Resoviendo a ecuación anterior x y su x. oo a razón entre su copeento y su supeento es 7, 90 x 80 x 7 7(90 x) (80 x) 60 7x 540 x x 7x x 90 x.5 La edida de ánguo agudo es.5º o bien º 0. Ejercicios de a sección. Para resover os ejercicios a 0, utiice a figura siguiente, donde Indique que pares ánguos son correspondientes entre paraeas. 7. Indique que pares de ánguos son aternos externos entre paraeas. 8. Indique que pares de ánguos son supeentarios y no coparten e iso vértice. 9. Si 60º. acue a edida de 6 0. Si 80º. acue a edida de. Si, encuentre y.. Indique que pares de ánguos son opuestos por e vértice.. Indique que pares de ánguos son aternos internos entre paraeas.. Indique que pares de ánguos son adyacentes y supeentarios. 4. Indique que ánguos son agudos. 5. Indique que ánguos son obtusos. 77º

9 UNIDD Geoetría. Eeentos fundaentaes de a Geoetría 9. Si, Encuentre y. 8. Si. Encuentre a edida de ánguo x. 0º x 45º 65º 9. Si. Encuentre os vaores de x y de y.. Si. Encuentre a edida de os otros ánguos nuerados. x+ y 80º 5º 0º x y 0. Si. Encuentre os vaores de x y de y. 4. Si y r s, encuentre y. x 0 y x 55º 5. Si, nº y nº. Encuentre a edida de os otros ánguos nuerados en térinos de n En a figura de probea anterior, encuentre x si 7 (x 5)º y 4 (5x 5)º 7. Si. Encuentre a edida de os ánguos x y y. x x s r. Un ánguo ide x y. uá es a diferencia entre as edidas de su copeento y de su supeento?. La diferencia entre as edidas de dos ánguos copeentarios es x. Exprese en térinos de x a edida de ánguo ayor.. La sua de as edidas de copeento y e dobe de a edida de supeento de un ánguo es igua a 54º. Encuentre a edida de ánguo. 4. Dos ánguos son taes que as edidas de sus copeentos están en razón a, ientras que as edidas de sus supeentos están en razón 9 a 8. Encuentre a edida de cada ánguo. 80º y