8. Suma de momentos angulares

Transcripción

1 8. ua de oentos angulares ) Introducción ) Definición de oento angular total ) ua de dos spines ½ ) ua de dos s cualesquiera 4) Coeficientes de Clebsch-Gordan 5) Un eeplo: dos partículas con hailtoniano de Heisenberg 6) Teorea de Wigner-Eckart

2 Introducción El problea que trataos aquí es el oento angular de un sistea de varias partículas centrándonos en el caso de DO PARTÍCULA El caso se presenta u frecuenteente t en ecánica Cuántica. Algunos casos particulares iportantes: ) oento angular total de una partícula con L. ) Átoos con varios electrones ) Una partícula forada por varias (deuterón partícula )

3 Definición del oento angular total Considereos un sistea de DO PARTÍCULA DITINTA (ás adelante se verán las condiciones para partículas iguales) con oentos angulares. El espacio de estados de cada una E E está basado en los kets: k k Que son los vectores propios del oento angular de la partícula algún otro operador que conute con ellos para forar un CCO El índice k nuera autovectores de con los isos distintos autovalores del otro operador Análogaente para la partícula. Cada una puede estar en un estado cualquiera de su espacio luego el estado del sistea queda descrito por el PRODUCTO TENORIAL E E Una base de dicho espacio es: k k k k En el espacio total definios los operadores oento angular total : i i

4 Las relaciones de conutación de son las de todos los oentos angulares es decir i i i in ebargo no conuta ni con ni con En efecto: ( i i Es útil la epresión (deostrarla): És fácil ver que conutan entre sí con És fácil ver que conutan entre sí con En este capítulo se trata de encontrar la base de autovectores counes a

5 ua de dos spines / Considereos priero el caso de dos spines /: Base de autovectores de (las k s no iportan aquí) k k k Actuación de : Los 4 vectores de la base son autovectores de total los autovalores de se suan con

6 Actuación de : Recordeos que Entonces:

7 La atri que representa en la base de de : Es decir que son autovectores con valor propio ħ no son autovectores sino que foran un subespacio propio La atri que representa en la base de de : Por no hacer pesada la notación vaos a diagonaliar aparte la caa llena de p g p unos : Los autovalores de son pues ħ ħ

8 Autovectores: 4 Con = : triplete Elegios el coeficiente de noraliación real positivo C i l t p Con = : Ha que notar que si hablaos solaente de autovectores de cualquier singlete cobinación de los tres prieros vale. in ebargo autovectores counes a sólo son los tres indicados ( l f t é i lti li d d ) (salvo por un factor nuérico ultiplicando a cada uno).

9 Es obvio que lo son con autovalores +ħ -ħ Pero tabién: En resuidas cuentas los Foran una base { } de autovectores de con = (el autovalor es (+)ħ = ħ ) = correspondiente a un oento angular total : s s : -- Eercicio: ostrar que tabién Por otra parte el Corresponde a s s

10 . ua de dos s cualesquiera El espacio de estados es el producto tensorial E E cua base de autovectores de k k k k Cuos autovalores respectivos son: e define el operador vectorial: Quereos encontrar los autovectores autovalores de que vaos a denotar e trata de diagonaliar las atrices que corresponden a. No dependen de k ni de k así que los haceos desaparecer de la notación

11 Eleentos de atri de upongaos que : Es decir cada uno de los estados de la base toada es a autovector de con el autovalor: Notar que los valores de son enteros si son los dos enteros o seienteros son seienteros si uno sólo de los lo es Degeneración: e trata de ver cuántos vectores de la base corresponden al i t t l t ú iso total. ea este núero g Notar que es el iso problea que deterinar de cuántas aneras posibles se puede obtener un total t fiado tirando dos dados d (de + + caras) a la ve.

12 Teniendo en cuenta que: El áio valor posible de es + éste es siple porque sólo se puede obtener con la cobinación = =. El siguiente valor posible de es + - es doble a que se puede obtener con las cobinación = - = o bien con la = = - Así sucesivaente el ínio valor posible de es ( + ) es siple Gráficaente (dibuado para = = ) todos los estados con la isa caen en una recta de pendientre - dentro del rectángulo de lados La aor degeneración e ocurre para a valores de tales que: g ( ) -

13 Autovalores de El espacio de autovectores de de se descopone en subespacios de autovectores de. Vereos luego que cada sale sólo una ve o ninguna Antes de deostrarlo anticipeos la conclusión iportante Los valores de que salen cuplen: Para un valor posible de toa los valores + de uno en uno ha varios iguales que corresponden a distintas s El áio valor posible de es a = + por tanto este es el valor áio de total. a El autovector = + = + es siple: El resto de los autovectores se obtiene aplicando sucesivaente el El resto de los autovectores se obtiene aplicando sucesivaente el operador -

14 Por eeplo: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Por otro lado: ) ( ) ( Finalente:

15 Aplicando varias veces - obteneos los deás vectores que corresponden a = + Finalente se tiene ( ) Ha + = ( + )+ vectores todos ellos ortonorales por construcción. Otros valores de (otros susbespacios E ()) Para =+ - el aor posible es + - ha dos vectores independientes con esa que son = - = = = - pero una cobinación de ellos a la heos usado en la obtención de los autovectores con = + diferentes s Queda otra única cobinación posible (salvo un factor nuérico global) que Queda otra única cobinación posible (salvo un factor nuérico global) que sea ortogonal a la anterior

16 Teníaos in necesidad de cálculos coplicados es obvio que la única cobinación posible ortonoral a la anterior salvo por un factor de fase global es: posible ortonoral a la anterior salvo por un factor de fase global es: Ahora obteneos los deás vectores con ese diferentes s aplicando - : ) ( ) ( Para = + - el aor posible es + - ha tres vectores independientes con esa a la heos usado dos cobinaciones en la obtención de los autovectores con = + = + - Queda otra única cobinación posible (salvo por un factor) que sea ortogonal a las dos anteriores. De nuevo se obtienen todos los vectores para = + - con dif t li d diferentes aplicando _

17 El proceso finalia con = - (el últio posible) pues a no quedan vectores linealente independientes que no se haan usado anteriorente para la obtención de los vectores con aores diferentes. Esto ocurre porque ientras > - la degeneración de auenta en una unidad cada ve que se disinue pero no ahora que - Conclusión iportante: Los valores de total que pueden salir (aditios a que pueda ser enor que ) cuplen: El espacio total de estados (con fiados) es la sua directa de los subespacios que corresponden a todas las s peritidas de diensión ( +)( +). Eercicio. Probar que para cualquier par de valores enteros seienteros o uno de cada fora se cuple:

18 4. Coeficientes de Clebsch-Gordan En general se puede escribir: Los coeficientes se llaan de Clebsch-Gordan: Algunas propiedades: Algunas propiedades: ) e pueden elegir reales (criterio de signos de Condon-hortle) ' ' ' ' ) ' ' ' ' ) 4) Recurrencia (u útil para calcularlos con un prograa):

19 5) Cabio de orden 5) Cabio de orden 6) Cabio de signo de las s 6) Cabio de signo de las s 7) Otras notaciones frecuentes: C = íbolos de Wigner (u usados en F. Atóica)

20

21 4. Clebsch-Gordan coefficients 4. CLEBCH-GORDAN COEFFICIENT PHERICAL HARONIC AND d FUNCTION Note: A square-root sign is to be understood over ever coefficient e.g. for 8/5 read 8/5. Y = 4π cos θ Y = sin θeiφ 8π Y = 5 4π ( cos θ 5 Y = 8π Y = 4 ) sin θ cos θeiφ 5 π sin θe iφ Yl =( ) Yl 4π d l =( ) = l + Y l e iφ d =( ) d = d d =cosθ d/ // =cosθ d / / / = sin θ d = +cosθ d = sin θ d = cos θ d / // = +cosθ cos θ d / // = +cosθ sin θ d / / / = cos θ cos θ d / / / = cos θ sin θ d / // = cosθ cos θ d / cosθ + = sin θ / / ( +cosθ ) d = d = +cosθ sin θ 6 d = 4 sin θ d = cos θ sin θ ( cos θ ) d = d = +cosθ ( cos θ ) d = sin θ cos θ d = cos θ ( cos θ +) d = ( cos θ ) Figure 4.: ThesignconventionisthatofWigner(Group Theor AcadeicPressNewYork959)alsousedbCondonandhortle (The Theor of Atoic pectra CabridgeUniv. PressNewYork95)Rose(Eleentar Theor of Angular oentu WileNewYork957) and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients NorthAericanRockwellcienceCenter ThousandOaks Calif. 974).

22 5. Un eeplo de cobinación de s e tiene un sistea de dos partículas de oentos angulares fiados distintas situadas en lugares fios del espacio un hailtoniano llaado de Heisenberg : H a Coentario: dos átoos de un sólido se adaptan bien a esta situación. En F. Atóica se verá que u frecuenteente están fiados porque los estados de cada átoo con otros valores de o corresponden a energías ucho aores son inalcanables. Resulta que se puede escribir: Y teneos un caso en que el hailtoniano no conuta con ni con pero sí con (a que los tres s s que aparecen conutan entre sí con ): Así pues los vectores son autovectores del hailtoniano con autovalores que dependen sólo de a que están fiados. Autovalores autovectores degeneraciones: E a g( E )

23 Eeplo: = = = E a E a E a Físicaente los estados con = significan que los dos oentos son paralelos con el iso sentido tienen cualquier dirección en el espacio a que al estar todos los posibles valores de significa que cualquier cobinación de ellos es de la isa energía en particular la que da con toda seguridad u = ħ al edir la coponente de en una dirección arbitraria u. Esto ocurre porque el hailtoniano es isótropo: no depende ás que del ángulo entre los oentos no de su dirección La de = indica que los dos oentos son antiparalelos (paralelos en sentidos opuestos) con dirección indeterinada a que la probabilidad de obtener u = ħ es la isa para cualquier dirección. in ebargo si se ide después de saldrá eactaente lo opuesto. Verificar abas cosas. Físicaente los estados con = significan que los dos oentos foran con toda seguridad un ángulo de º pues (+) = ( +) = ( +). in ebargo la dirección es indeterinada.

24 upongaos que se aplica un capo agnético eterno B = B u. El hailtoniano pasa a ser: B a a H B B Que tabién conuta con con. in ebargo ahora los autovalores dependen de son no degenerados salvo para valores especiales de B. ) ( E g B a E Eeplo: = = Niveles de energía en g función del capo Aplicación práctica: para los capos en que ha cruaiento de niveles p p p p q la entropía auenta (es el ln del nº de niveles que ha en un intervalo del orden de k B T) el sistea etrae calor del eterior para conseguirlo.

25 6. Teorea de Wigner-Eckart Un conunto de k+ cantidades d {T k qk q= -k k} k} se dice que fora un tensor irreducible (bao el grupo de rotaciones) de rango k si al hacer una rotación cualquiera de los ees de coordenadas cada coponente se transfora en una cobinación lineal de todas ellas pero no se puede escoger un núero enor a k (ni cobinaciones lineales) que se transforen sólo entre ellas para TODA las rotaciones. Eeplo : La coponentes de un vector A(A A A ) en el sistea de ees de coordenadas (u u u ) cabian si toaos un sistea de coordenadas (u u u ) con el iso origen pero con los ees rotados. En general las nuevas coponentes se obtienen ediante una atri de transforación O que es precisaente real ortogonal ( O - =O t ) de deterinante +: A ' O O O A A ' O O O A A ' O O O A El concepto geoétrico intuitivo de vector coo una flecha es una entidad en si isa pero difícil de definir ateáticaente. Es ás fácil decir que tres núeros son las coponentes de un vector porque se transforan entre sí de la fora anterior

26 Eeplo : La teperatura presión densidad del aire en un punto no cabian aunque se cabia a un sistea de ees rotados: son tres escalares (= tensores de orden cero) independientes no un vector. Eeplo : Los eleentos de una atri siétrica i de traa nula se transfora bao la isa rotación anterior ediante el producto de atrices t ' OO on 5 eleentos independientes ( de la diagonal + del triángulo superior o inferior) foran un tensor de orden Eeplo 4: Los eleentos de una atri cualquiera se transforan tabién entre sí pero el tensor es reducible porque de puede descoponer en tres partes: * La traa Tr() que es invariante = escalar * - t cuos tres eleentos independientes foran un vector (aial) * + t - Tr() que es una atri siétrica de traa nula es un tensor irreducible Eeplo 5: Los arónicos esféricos de orden l: Y l () foran un tensor p l ( ) irreducible de orden l.

27 Tratando de operadores cuánticos se dice Un conunto de k+ operadores {T k q q= -k k} k} se dice que fora un operador tensorial irreducible si las reglas de conutación con el oento angular total del sistea son. k k k T qt T k qk q T k q q q q Esta fora tan rara de definirlo (es equivalente a lo anterior cuando el operador tiene análogo clásico) viene del hecho de que el operador de rotación de un ángulo alrededor del ee u es (ver CT copleento B VI ): R ( ) u e i u El teorea de Wigner-Eckart dice que el eleento de atri de la coponente q de un operador tensorial irreducible entre dos estados propios del oento angular total del sistea es: T k q ' ' T k ' ' k ' q Donde T k es un núero (= eleento de atri reducido ) que no depende de ni q elcoeficiente de Clebsch-Gordan es siepre el iso e independiente del operador.

28 En particular el teorea iplica que el eleento de atri es cero si no se cuple que: cuple que: k k ' ' ' q Caso particular del vector R La relaciones de conutación las satisfacen las llaadas coponentes esféricas: iy X T Z T iy X T O inversaente: T T X Así pues los eleentos de atri de X son nulos ecepto entre estados p p con = o = =