P2. Las mareas oceánicas. Introducción El problema de dos cuerpos que interaccionan gravitatoriamente y orbitan en torno a su centro de masas.

Transcripción

1 P. as aeas oceánicas. Intoucción. a aea es el oviiento peióico e ascenso y escenso e las aguas el a, poucio po las petubaciones gavitatoias el Sol y e la una en la iea. Su fecuencia es e os veces po ía apoxiaaente, y su aplitu, que tabién vaía e ía a ía, epene e la fase e la una, sieno áxia con luna llena o luna nueva. En estos casos, se ice que hay aeas vivas (o sizigias). Cuano la aea sube y llega a su áxio nivel se ice que se ha alcanzao la pleaa; cuano a continuación esciene y llega al ínio se llaa bajaa. a aplitu e aea es la ifeencia ente los niveles e pleaa y bajaa. Isaac Newton, en 687, io la explicación científica e las aeas en su oba Pincipia atheatica, constituyeno un ipotante éxito e su teoía e la avitación, ya que peitió una acetaa peicción cualitativa e las aeas en cualquie época el año y en cualquie latitu. Sin ebago, en el cálculo e la aplitu e aea la teoía newtoniana se quea notableente cota, pues peice una áxia aplitu el oen e eio eto, uy infeio a los egistos expeientales eales. Po ejeplo, en Euopa son faosas las aeas en las costas el Canal e la ancha, en las que la aplitu e aea puee alcanza los 5. En paticula, son especialente espectaculaes las aeas en la abaía el ont Saint ichel. En pleaa es una isla (figua ) y, ebio a la escasa peniente e la playa, en aea baja el a se aleja vaios kilóetos y la abaía quea en seco (figua ). En España las ayoes altuas e aea se egistan en el pueto e Pasajes (San Sebastián), one se supean los 5. Fig. Fig. Po ota pate, las ganes olas opieno en la costa son espectaculaes, peo sus consecuencias pueen se catastóficas. Duante el pasao invieno, el note e España ha sufio los estagos e sucesivos tepoales, sieno el poe estucto e las olas ucho ayo en pleaa, y aun ás cuano las aeas son vivas, coo ha suceio en alguno e estos tepoales. El estuio el fenóeno e las aeas es uy coplejo. Intevienen uchos paáetos que no pueen conteplase en el planteaiento newtoniano. Po ejeplo, epene e la foa y caacteísticas e la costa, e si el a es inteio, e factoes cliáticos ocasionales, etc. El estuio cuantitativo se ealiza consieano las aeas coo un fenóeno onulatoio, en uchos casos esonante. Peo el oigen el fenóeno es gavitatoio, y algunos e sus aspectos van a se tataos en este ejecicio. El poblea e os cuepos que inteaccionan gavitatoiaente y obitan en tono a su cento e asas. Consieeos os cuepos esféicos, e asas y que gian en tono a su cento e asas (C..) con velocia angula. a sepaación ente los centos e las esfeas es, y las istancias el C.. a ichos centos son y, coo se uesta en la figua. Estas istancias vienen aas po = =

2 C.. = = = Fig. Supuesto que los os cuepos esféicos inteaccionan gavitatoiaente, a) Deteine la expesión e la velocia angula,, con que gian en tono al C.. b) Si el cuepo es la una y el es la iea, con los atos que figuan al final el enunciao, calcule el valo e. c) a una gia en tono a su eje, que es pepenicula al plano e la figua, e foa que, vista ese la iea, la una pesenta siepe la isa caa. Cuál es su peioo e otación,, expesao en ías? a geneación e las aeas. Coo oelo físico consieaeos una iea esféica, e asa, copletaente cubieta po una elgaa capa e agua (hiosfea). Suponeos la existencia e un asto póxio e asa (que ás aelante ientificaeos pieo con la una y espués con el Sol). bos cuepos gian en tono a su C.. con la velocia angula eteinaa en el apatao (a). De oento, no teneos en cuenta la velocia angula e otación e la iea en tono a su eje Note-Su,. Epleano la notación que se inica en la figua 4, se puee eosta que la fueza que actúa sobe una patícula e fluio e la hiosfea, e asa, viene aa po la expesión F = () C.. Fig. 4 os os pieos téinos e () coesponen, espectivaente, a la atacción gavitatoia e la popia iea y e sobe la patícula. El tece téino escibe el efecto centífugo poucio po la otación el sistea en tono al C.. Coo = y = son ucho ayoes que el aio e la iea, =, el pie téino e () es ucho ayo que los otos os. Si se especiasen estos os téinos, la expesión () se euciía al peso e la patícula, aial y unifoe en cualquie punto e la hiosfea (figua 5). Con esta apoxiación, la hiosfea tenía sietía esféica y no existiían las aeas! El vecto unitaio u que efine la iección y sentio e un vecto, fecuenteente se escibe u = / = / a iea Polo Note e la iea Hiosfea

3 En consecuencia, el oigen e las aeas aica en los téinos seguno y teceo e (). laaeos fueza geneaoa e aeas (fg) a la fueza po unia e asa coesponiente a estos os téinos: f = a fueza f tia e las patículas e la hiosfea en la foa que, exageaa y apoxiaaente, se uesta en la figua 6. Esta istibución e fuezas povoca una ligea efoación e la hiosfea, que tabién se uesta exageaa en la figua 6. Obsévese que en los puntos y ' el nivel el agua es ayo que en y '. En y ' habá pleaa, ientas que en y ' habá bajaa. Suponga que el asto e asa es la una, es eci, =. enieno en cuenta las iensiones eales el sistea, y hacieno las apoxiaciones que cea opotunas, ) Deteine, en función e,, y, las expesiones e los óulos e la fg en los puntos y, ( f ) y ( f ), espectivaente. Fig. 5 ' Fig. 6 ' as influencias el Sol y e la una. a asa e la una es ucho eno que la el Sol, peo está ucho ás ceca e la iea. Po ello abos contibuyen a la foación e las aeas. Esto es un pivilegio e la iea: es el único caso el sistea sola en el que os astos copiten en las aeas e un teceo. e) Suponieno ahoa que el asto e asa es el Sol ( = S ), eteine la expesión el óulo e la fg en el punto, ( f S ), en función e, S, S y. Coo en el apatao anteio, haga las apoxiaciones que cea opotunas. f) Usano los atos el final el enunciao, calcule el valo el cociente ( f ) /( fs ). g) En el enunciao se inica que las aeas vivas se poucen con luna nueva o luna llena. Po qué? El peioo e las aeas. Vaos a aplia nuesto oelo, consieano que la iea gia en tono a su eje Note Su, pepenicula al plano e la figua 4, con una velocia angula (peioo = 4 h ). En el punto e la figua 6, existe aea alta, tal coo se ha inicao anteioente. l cabo e h, ebio a la otación teeste, el punto ocupaá el luga '. Peo en ' no se habá alcanzao toavía la pleaa poque uante esas hoas el sistea iea-una habá giao un cieto angulo en tono al cento e asas y, po tanto, el punto ' no estaá alineao con los centos e la una y e la iea. Seá peciso espea un poco ás e tiepo paa que se alineen y se alcance la siguiente aea alta. h) Calcule el peioo τ e las aeas lunaes. Datos: asas e la iea, la una y el Sol, 4 = 5,98 0 kg, = 7, 6 0 kg, S =, kg. Distancia una-iea, 8 =,84 0. Distancia Sol-iea, S =,50 0. aio e la iea, 6 = 6,7 0. Constante e avitación Univesal, = 6, 67 0 N kg.

4 Solución a) Consieeos uno e los os cuepos e la figua, po ejeplo el e asa. Su cento escibe una óbita cicula e aio con una velocia angula constante, bajo la acción e la fueza e atacción gavitatoia el asto e asa. Po tanto = enieno en cuenta la expesión e =, se obtiene / = () b) En el caso el sistea iea-una, Se obtiene,, =, a/s c) Coo la una vista ese la iea pesenta siepe la isa caa, la velocia angula e otación en tono a su eje tiene que se la isa que la e otación el sistea iea-una en tono al C.. En consecuencia, el peioo e otación e la una es π una = =, s = 7, ías ) En el sistea iea-una, la fg en el punto e la figua 6 es ( ) = f Coo toos los vectoes que apaecen en la expesión () tienen la isa iección, el óulo e la fg en es = = () ( )( ) = enieno en cuenta las iensiones eales el sistea, tal coo sugiee el enunciao, <<. Po tanto =, po lo que. eás, =. Con too ello (4) a fg en el punto es ( f ) = hoa los vectoes y no son paalelos, coo puee apeciase en la figua 7. Es peciso eteina las coponentes e la ( f ) en las iecciones paalela y pepenicula a.

5 θ O Y X Fig. 7 En la iección OX [ ] x = x ( ), one ( ) x = cosθ [( ) ] f = x esulta [( ) ] 0 Coo f. x En cuanto a la coponente según OY ( ) y [( f ) ] = 0 y Coo ( ) y = senθ tgθ = [( f ) ] = y En efinitiva, la ( f ) está apoxiaaente iigia hacia el cento e la iea, y su óulo es ( f ) e) Consieano ahoa sistea Sol-iea, la ( f S ) vená aa po S = S S ( = S )( S S S os azonaientos paa apoxia y escibi ( f S ) en función e, S, S y son iénticos a los el apatao (). asta cabia el subínice po S, po lo que se tiene ( f S ) S (5) f) Diviieno (4) y (5) se obtiene el cociente buscao ( f ) S S S S )

6 Con los atos nuéicos el enunciao, ( f ) S =, a influencia e la una es apoxiaaente el oble que la el Sol, peo abas son el iso oen e agnitu. g) ógicaente, cuano el Sol, la una y la iea estén alineaos, las fg tienen el iso sentio en, y sus óulos se suan. Po tanto, las coesponientes aeas son las ás intensas (vivas). Esto ocue sólo cuano hay luna llena o luna nueva. as aeas enos intensas ocuen cuano la pleaa luna coincie con la bajaa sola, es eci, cuano las visuales ese la iea al Sol y a la una foen un ángulo e 90º. as coesponientes aeas se enoinan uetas o e cuaatua y las fases e la luna coesponientes son cuato ceciente o cuato enguante. h) Paa que en el punto (figua 7a) vuelva a habe pleaa, es necesaio que este punto esté nuevaente alineao con los centos e la una y e la iea. Poía pensase que el tiepo que tanscue ente os pleaaes consecutivas es e h, pues en este tiepo el punto alcanza la posición ', peo seá peciso espea un poco ás poque, ientas tanto, la una ha seguio giano en tono al C.. Paa que vuelvan a esta alineaos, la iea tiene que habe giao un ánguloπ ϕ, coo se inica en la figua 7b, one ϕ es el ángulo giao po la una uante el iso tiepo, τ, hasta el nuevo alineaiento. Si es la velocia angula e otación e la iea en tono a su eje Note-Su, se cuple π ϕ = ϕ = τ τ Eliinano ϕ ente estas os ecuaciones y espejano τ, se obtiene π τ = 6 Coo =,67 0 a/s y = / (4 h) = 7,7 0-5 π a/s, esulta finalente que el peioo e las aeas es una una ϕ ' Fig. 7a Fig. 7b π ϕ τ = 4, s = h 7 in

7 pénice a eucción e la expesión () está fuea el contexto olípico. No obstante, eece se incopoaa a la solución e este ejecicio. a ecuación el oviiento e una asa soetia a una fueza e ligaua F l (eacción noal e epuje hiostático) y a las fuezas gavitatoias e un asto e asa y e la iea es Fl = a En la que a es la aceleación e la patícula, efeia a un sistea e efeencia inecial centao en el C.. y no epesentao en la figua 8. (4) Y Hiosfea C.. a O O X Fig. 8 Consieaeos tabién oto sistea e efeencia OXY, con oigen O en el cento e la iea, que escibe una tayectoia cicula e aio, peo cuyos ejes antienen siepe su oientación en el espacio. Este sistea es no inecial, pues su oigen está aceleao. a elación geneal ente las aceleaciones efeias a os sisteas, uno inecial y oto no inecial, es & a = a ao Ω Ω ( Ω ) Ω v Done a o : aceleación el oigen el sistea e efeencia no inecial (N.I.). Ω : velocia angula e otación el sistea N.I.. Ω v : aceleación e Coiolis. ( v es la velocia e la patícula especto al sistea N.I.) Ω Ω : aceleación centípeta. ( ) En el caso que nos ocupa, a patícula está en eposo en el sistea N.I.: a = 0 y v = 0. El sistea N.I. no es giatoio: Ω = 0 y Ω & = 0. El cento O el sistea escibe un cicunfeencia e aio a v o = En este caso, la expesión (4) se euce a con una velocia angula :

8 l F = O lo que es lo iso, 0 v = l F a fueza F que, tia e, y que está equilibaa con la e ligaua, es F v = (5) enieno en cuenta que = y = y sustituyeno en (5), esulta finalente la expesión () el enunciao. F =