CAPITULO II ESTATICA DE FLUIDOS

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1 CAPITULO II ESTATICA DE FLUIDOS - 5 -

2 .- ESTATICA DE FLUIDOS En esta ate del texto vaos a estudia las leyes físicas ás geneales que desciben a un fluido líquido que se halla en estado de eoso y que o sencillez se consideaá coo una sustancia ideal. Po sustancia ideal se debe entende que este fluido es incoesible (es deci que su voluen cabia de anea insignificante o uy oco cuando está soetida a fuezas extenas) y que es no viscosa (esto es que la fueza de ficción ente las atículas o oléculas del liquido es insignificante o ácticaente nula). Las ecuaciones que desciben las oiedades físicas de un líquido ideal en eoso están basadas en la iea y tecea ley de Newton. Po oto lado aa coende las leyes físicas que igen cuando un líquido se halla en eoso, es necesaio conoce el conceto de cantidades físicas tales coo: la densidad, la esión, el voluen, la teeatua, etc..1 LA DENSIDAD Es la cantidad de asa (ateia) o unidad de voluen que tiene una sustancia y o convención se denota o la leta giega?. Su unidad (en el sistea intenacional de unidades SI) es el kg/ y equivale a un kilogao de asa que está contenida en un eto cubico de voluen. Existe una sub-unidad de la densidad el g/c y técnicaente 1kg/ 1000g/c 10 g/c. En téinos ateáticos se escibe coo: (,1) En esta ecuación M es la asa y V el voluen de la sustancia. Si la sustancia es un sólido o un líquido unifoe y hoogéneo entonces la densidad de la sustancia es

3 constante, tales coo el caso del hieo, el oo, la el aluinio, el agua, el aceite. Po oto lado algunas sustancias no son unifoes y hoogéneas o lo que su densidad uede vaia con la osición, o lo que esta deja de constante y se conviete en una función. Tal es el caso del aie en la atosfea teeste, su densidad no es la isa al nivel del a que en la ontaña Eveest a una altua de 8k sobe el nivel del a. EJERCICIO: Deteine la asa contenida en un cubo de aluinio (?.7g/c ) de 0c de lado. SOLUCIÓN: El voluen del cubo es: Po tanto la asa es: EJERCICIO: La asa de una sustancia está distibuida en una egión esféica de adio a y tiene una densidad vaía según la ecuación: donde? o es una constante en g/c y es la distancia adial edida a ati del cento de la egión esféica. Deteine la asa contenida o esta egión esféica. SOLUCIÓN: Coo la densidad de la sustancia vaía con la distancia adial, la asa infinitesial d aa un eleento de voluen infinitesial dv, es igual al oducto:

4 Coo la egión es esféica entonces el voluen infinitesial es o tanto la asa se obtiene o integación, toando coo liites 0 y a, de esta anea se tiene: Veos que el esultado uesta que la asa es la cuata ate de la asa contenida o un sólido unifoe y hoogéneo cuya densidad es? o.. LA PRESIÓN Es una cantidad física que se define coo la azón ente la agnitud F de la fueza alicada y el áea A sobe la cual se distibuye esta fueza. Se denota con la leta P y se escibe coo: (,) En esta ecuación la diección de la fueza es eendicula al áea sobe la cual se distibuye. La unidad natual de la esión es de 1N/ unidad que ecibe el nobe de un ascal en hono al científico fancés Blas Pascal y se abevia coo 1Pa 1N/

5 . PRESIÓN ATMOSFERICA La esión que ejece el aie sobe cada áea de 1 a nivel del a ecibe el nobe de esión atosféica, se denota con la leta P o y su valo es. Cantidad que tabién se denoina una atosfea de esión y que en foa abeviada se escibe coo..4 ECUACIÓN DE LA HIDROSTATICA Es la iea ley de la hidostática y su enunciado es: Dento de un líquido ideal (de densidad?) en eoso, la azón de cabio de la esión esecto a la altua es diectaente oocional y ouesta al oducto de la aceleación de la gavedad o la densidad del líquido, esto es: (,4) En la ecuación: P : es la esión, exesada en Pascal (N/ ) y : es la altua edida desde la base del eciiente que contiene al liquido g : es la aceleación de la gavedad g 9.8 /s? : es la densidad del liquido, exesado en kg/ Paa un líquido ideal (incoesible) la densidad es constante o lo ecuación (,4) desde un unto y i de gan ofundidad hasta el unto y f al intega la en la sueficie del líquido donde la esión es P o, esulta:

6 Dado que aa el líquido en cuestión donde H es la distancia que hay ente los dos untos liites de integación. Po lo tanto la esión P a una ofundidad H edida desde la sueficie del líquido es: (,5) Aquí P es la esión absoluta dento del líquido a la H. La esión anoética es igual a la difeencia: (,6) EJERCICIO.- Cuál es la esión a 1 y a 10 de ofundidad desde la sueficie del a? Suonga que 1.0x10 Kg / coo densidad del agua de a y que la esión atosféica en la sueficie del a es de 1.01x10 Pa. 5 Suonga adeás que a este nivel de ecisión la densidad no vaía con la ofundidad. SOLUCIÓN: Po definición, 1.01x10 5 Pa a + g y +( 1.0x10 Kg / )( 9.8 / s ) y Si: y x10 5 Pa Si: y 10.0x10 5 Pa EJERCICIO.- Las diensiones de una iscina ectangula son 5 de lago, 1 de ancho y de ofundidad. Deteina: (a) La esión anoética en el fondo de la iscina. (b) La fueza total en el fondo debido al agua que contiene. (c) La esión absoluta en el fondo de la iscina en condiciones atosféicas noales a nivel del a

7 SOLUCIÓN: (a) La esión anoética en el fondo de la iscina seá: a g y a (1000 Kg / )(9.8 / s ) ( ) a Pa (b) La fueza total en el fondo, seá: F A Donde, es la esión anoética F ( N / )( 1 x 5 ) F 5.88 x10 6 N (c) La esión absoluta en el fondo de la iscina es la sua de las esiones anoética y atosféica, que a nivel del a vale 1.01x10 Pa Pa x KPa 5 Pa EJERCICIO.- Un bail contiene una caa de aceite con densidad 600 Kg / de 0. 1 sobe 0. 5 de agua. (a) Qué esión anoética hay en la intefaz aceite agua? (b) Qué esión anoética hay en el fondo del bail? SOLUCIÓN: (a) : esión anoética en la intefaz aceite agua aceite (600 Kg / Pa ) (9.8 / s )(0.1 ) (b) : esión anoética en el fondo del bail

8 aceite + agua Pa + (1000 Kg / Pa ) (9.8 / s ) (0.5 ) EJERCICIO.- Un tubo en foa de U abieto o abos exteos contiene un oco de ecuio. Se viete con cuidado un oco de agua en el bazo izquiedo del tubo hasta que la altua de la coluna de agua es de 15 c ve figua. (a) Calcule la esión anoética en la intefaz agua ecuio. (b) Calcule la distancia vetical h, ente la sueficie del ecuio en el bazo deecho del tubo y la sueficie del agua en el bazo izquiedo. SOLUCIÓN: (a) de la teoía se tiene deci que: A : Pesión anoética en la intefaz agua ecuio Po definición: A + a a A A agua g y a (1000 Kg / )(9.8 / s ) (0.15 ) A 1470 Pa (b) aa este caso: h : Es la distancia vetical. Y de la figua, se tiene que: A B 1470 Pa ecuio g (0.15 h) 1470 Pa 1600 Kg / (9.8 / s ) (0.15 h) h h 1.9 c

9 .5 PRINCIPIO DE PASCAL Descubieto o el físico fancés Blaise Pascal (16-166), establece lo siguiente: La esión adicional ejecida en todo fluido (liquido o gas) enceado heéticaente se tasite o igual a todas las ates del fluido y sobe las aedes del eciiente que lo contiene. Lo que quiee deci que en dos untos difeentes del fluido enceado en un eciiente se cule la siguiente exesión: (,7) En la ecuación: P : es la esión adicional F 1 y F : son las agnitudes de la fueza en los untos 1 y A 1 y A : son las áeas de acción de las fuezas en los untos 1 y EJERCICIO.- Un eciiente ceado que contiene líquido incoesible está conectado al exteio ediante dos istones, uno equeño de áea A 1 1 c y uno gande de áea A 100 c coo se uesta en la figua. Abos istones se encuentan a la isa altua. Cuando se alica una fueza F 100 N hacia abajo sobe el istón equeño. Cuánta asa, uede levanta el istón gande? SOLUCIÓN: Cuando actúa F1 sobe el istón equeño la esión del líquido en ese unto es:

10 1 F A N 1 c N Pa Coo el istón gande está a la isa altua, tendá la isa esión, que el oto istón, o tanto la fueza F que actúa sobe él es: F A y el eso que uede levanta es: F g o lo que se tiene, A g De donde: A g ( )( ) 6 10 Pa / s Kg.6 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Descubieto o el filósofo giego Aquíedes de Siacusa, tabién es conocido coo el inciio de flotación, establece lo siguiente: Todo cueo suegido total o acialente dento de un fluido exeienta una fueza vetical hacia aiba (euje E) cuya agnitud es igual al eso del fluido desalojado o el cueo. (,8) En esta ecuación:? : es la densidad del liquido, se exesa en kg- - g : es la aceleación de la gavedad, se exesado en -s

11 V : es el voluen del fluido desalojado, se exesa en EJERCICIO.- La figua uesta una bola de hieo susendida o un hilo de asa deseciable desde un cilindo que flota acialente suegido en agua. El cilindo tiene una altua de 6 c, un áea de base de 1.0 c en la ate sueio y el fondo y una densidad de 0.0 g / c y c de su altua está sobe la sueficie del agua. (a) Cuál es el adio de la bola de hieo? 7.90 g / c. Fe (b) Suonga ahoa que se oe el hilo, de odo que el cilindo está oscilando en MÁS, cuál es el eíodo de las oscilaciones? SOLUCIÓN: Del oblea, los datos que se tienen son: H 0.06, A 1x10 4, c 00 Kg /, h 0.0 Si R : es el adio de la bola de hieo, Fe 7900 Kg / es su densidad. Paa el sistea está acialente suegido en agua, y que adeás esta se encuenta en equilibio, o lo que las fuezas se anulan es deci, aa la bola de hieo: T + E g ( a ) Paa el cilindo: ' E Mg + T ( b ) De la ecuación ( b ): T ' E M g - 6 -

12 En la ecuación ( a ): ' E M g + E g gv ' s M g + g V s g V ' s M + V s A ( ) H h c A H + 4 R Fe 4 R A( H h) A H ( ) 4 c Fe R R ( ) ( ) A H h 4 Fe c A H Reelazando valoes se tiene: R 4 4 ( 1000) 1x10 ( 0.04) ( 00) 1x10 ( 0.06) ( ) Y toando la aíz cubica se tiene: (b) T : Peíodo de las oscilaciones, M a E ' M d y d t ' + E 0 d d t y gv + M ' s 0 d d t y + g A y c A H 0 d y d t + c g H y 0 Donde,

13 w c g H w c g H T T c H g Reelazando valoes se tiene, T ( ) ( ) T 0.69 s EJERCICIO.- Una boya cilíndica de 950 Kg y de diáeto flota veticalente en agua salada. (a) Calcule la distancia adicional que la boya se hundiá si un hobe de 70 Kg se aa en ella. (b) Calcule el eíodo del MAS, que se oduce cuando el hobe se echa al agua, desecie la aotiguación o ficción del fluido. SOLUCIÓN: Alicando el Pinciio de Aquíedes al sistea en equilibio, se tiene la ecuación: E W g A h g h A h ( )( 0.45) h 1.45 Adeás:

14 E W + g g A ( h + y) W + g h + y W + g g A y W + g h g A Reelazando los datos teneos: y ( )( ) ( )( ) ( 100)( 9.8) ( 0.45) 1.45 y (b) Alicando la segunda ley de Newton: F y d y d t M a d y M + d t + M E g A y 0 g A y 0 M d d t y Donde: w g A M w g A M T T M g A T ( 9.8) ( 0.45) T.4 s.7 TENSION SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD La fueza de tensión sueficial en la sueficie libe de un líquido es diectaente oocional al eíeto del áea de contacto con la del líquido. En téinos ateáticos:

15 (,9) En esta ecuación: T s : es la fueza de tensión sueficial, exesado en dina? : es el aáeto de tensión sueficial, exesado en dina-c -1 L : es la longitud del eíeto de la caa de contacto con el líquido. EJERCICIO.- Un tubo caila de de adio inteio se intoduce en un líquido. Deteina la tensión sueficial del líquido, sabiendo que la cantidad de éste que se 5 eleva o el tubo caila esa 9x10 Kgf. SOLUCIÓN: Aquí g : es la tensión sueficial y coo el líquido, se encuenta en equilibio, F cosa W g L cosa g cosa W W Consideando que el líquido oja efectaente, entonces, se tiene a 0, g W ( ) ( ) 5 9x g x10 g N EJERCICIO: De un tubo vetical cuyo adio inteio gotea agua. Deteina el adio de las gotas en el oento de desendese. Considee que las gotas son esféicas

16 SOLUCIÓN: En el oento de desendese la gota, su eso tiene que oe la elícula sueficial en una longitud, Adeás, el eso de la gota es,? Reelazando valoes, EJERCICIO: En un eciiente con agua se intoduce un tubo caila abieto cuyo diáeto inteio La difeencia ente los niveles del agua en el eciiente y en el tubo caila es (a) Qué adio de cuvatua tendá el enisco en el tubo caila? (b) Cuál seá la difeencia ente los niveles del agua en el eciiente y en el tubo caila si este liquido ojaa efectaente? SOLUCIÓN: (a) Po definición,

17 Reelazando valoes, (b) Paa que oje efectaente, se tendá: EJERCICIO: Una gota de lluvia de asa que ate con una velocidad inicial veticalente en un fluido viscoso. (a) Deteina la cae locidad de la gota de lluvia en función del tieo. (b) Enconta la distancia cubieta en el tieo SOLUCIÓN: Del oblea se tiene (a) Alicando la segunda ley de Newton: Resolviendo la integal, se tiene

18 (b) Teniendo en cuenta, la exesión de la velocidad en función del tieo Resolviendo la integal, se tiene EJERCICIOS DE HIDROSTÁTICA 1.- Deteine el voluen que ocua un bloque de 1kg de asa si esta hecho de: adea aluinio, hieo cobe, loo y oo..- Una laca cicula uy delgada de adio R 5c, y una laina cuadada cuyo lado es L 10c están hechas de aceo. Halle la densidad sueficial de asa de las lacas..- Se tiene tes hilos etálicos delgaditos de igual sección ecta igual an.14, uno de aluinio de 7c de lago, oto de cobe de 89c de lago y el oto de oo de 19c de lago halle la asa de cada hilo Cuál de los tes ayo densidad lineal de asa? 4.- Se tienen dos esfeas de hieo de igual adio R, una s solida y la ota es hueca de adio inteio R/4 y llena de aie (? 1,kg/ ) Cuál es la densidad de la segunda esfea y la asa de cada esfea? 5.- Una esfea hueca de adio R 4c y de eseso de aed? R 0,5c hecha de aluinio, contienen aie a la esión atosféica. Deteine la densidad y la asa que contiene la esfea

19 6.- Una esfea de adio R, tiene una densidad en función de la distancia adia, de acuedo a la ley: Si R 5c y? o 0,7g/c Cuál es la asa contenida o esta esfea? 7.- Un buzo suegido en un lago obseva que la lectua de su anóeto es de 1at de esión y desués de baja a ás ofundidad la lectua es de at de esión. Cuál es el cabio de ofundidad que ha exeientado el buzo? 8.- Los eces nadan fácilente a 15 de ofundidad en el a cu densidad es Cuál es la esión absoluta que exeienta el ez a esta ofundidad? 9.- Deueste que la fueza que ejece el aie coiido la esión absoluta P sobe el globo esféico de adio R es igual a Si un globo se infla hasta que su adio sea de 15c y aie coiido dento del globo tenga una esión anoética de 60Pa. Halle la fueza que ejece el aie coiido sobe el globo Una esfea hueca de 0c de adio, se foa con dos heisfeios. Se extae el aie dento de la esfea hasta que la esión intena sea igual dos tecios de la esión atosféica. Deteine la fueza neta que ejece la atosfea sobe la esfea. 1.- Un suegible de exloación subaina tiene foa esféica de 1,5 de adio y se suege en el a hasta una ofundidad de 1. Halle fueza neta que ejece el a sobe este suegible

20 1.- Un canal de egadío de de ancho y 1,4 de alto está lleno de agua debido a su coueta de etal ceada. Halle la esión anoética a la itad de ofundidad del canal y la fueza que ejece esta esión sobe la coueta etálica Un tubo de 1 de altua que llena un tanque de agua en lo alto de edificio está lleno de agua. Halle la esión anoética en la base del tubo y la fueza que esta ejece sobe una cinta lateal de áea igual a 0c Un balón cilíndico de gas tiene un diáeto de 40c y una altua de 50c aoxiadaente. Lleno de gas esta a una esión anoética de 5kPa Cuál es la agnitud de la fueza que ejece el gas sobe la caa icula y sobe la aed lateal del balón Un tubo en foa U de bazos iguales contiene agua hasta cieta altua. Se viete una coluna de 0c de aceite (? 0.8g/c ) en uno de los bazos. Halle la altua de la coluna de agua en el oto bazo Un tubo en foa de U de bazos iguales contiene (hasta cieta altua) ecuio de densidad? 1,6g/c. Se viete un liquido o un bazo hasta que el nivel del ecuio en este bazo descienda la isa distancia que hay ente el nivel del agua y del ecuio en el oto bazo. Cuál es la densidad del líquido que se viete? Si 6c es el desnivel del ecuio halle la altua de la coluna del oto líquido

21 18.- Un bloque cubico de adea húeda (? 0,8g/c ) de 10c de lado flota en equilibio en el agua. Qué longitud de aista esta suegida? Halle la esión anoética justo debajo de la caa del cubo que se halla suegida Si al bloque del oblea anteio se le euja suaveente hacia abajo y se suelta adquiee oviiento aónico sile Cuál es el eiodo de las oscilaciones de este bloque? 0.- Un tanque heético ovisto de una llave de aso contiene un gas a gan esión. Al conecta la llave de aso con un tubo en U de bazos iguales que contiene ecuio (? 1,6g/c ) se oduce un desnivel de 0c en los bazos Cuál es la esión absoluta del gas en el tanque heético? 1.- Una esfea de aluinio y ota de hieo, abas huecas o dento tienen igual adio R 0c. Si se colocan en el agua abas quedan suegidas en equilibio a as de la sueficie del agua sin hundise hasta el fondo. Cuál es el eseso de aed de las esfeas?.- Un cilindo solido hecho de adea húeda (? 0,8g/c ) de 10c de altua H flota en equilibio en el agua. Se suege leveente una distancia y << H y se suelta, deueste que el cilindo se ueve con MAS. Deteine el eiodo de las oscilaciones..- Una esfea solida de 10c de adio, hecha de aluinio,7g/c ) se suelta justo en la sueficie del agua, si se desecia la ficción viscosa del agua Cuál es la aceleación y la velocidad de la esfea 10s desués de soltala? - 7 -

22 4.- Una esfea salida de adio R 10c hecha de adea (? 0,7g/c ) enta veticalente en el agua con una velocidad de 4/s Cuál es la aceleación sobe la esfea? A qué ofundidad se detiene la esfea? Desués de que tieo vuelve a la sueficie del agua. 5.- Una esia cuadada de 6c de lado, cuelga de anea áea que enciea es aalela al lano vetical y contiene una elícula jabonosa (? 5din-c -1 ). La aista que se encuenta en la ate baja se uede ove sin ficción hacia abajo Cuál es la áxia asa de la aista que odá sostene la elícula jabonosa antes de oese?