En relación con los problemas 12, 13 y 14 Partícula en una caja unidimensional de lado L: V=0 dentro de la caja e infinito en las paredes.
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- Lidia Villalobos Cárdenas
- hace 7 años
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1 En elación con los poblemas 1, 1 14 Patícula en una caja unidimensional de lado : V0 dento de la caja e infinito en las paedes. Una dimensión: HΨ( EΨ( paa siendo contono: p H m m m Ψ( 0 0 a solución es: 0 < < con las condiciones de, al se V infinito en las paedes. n 4 Ψ ( Ψ0 con n 1,,,... enegías: ( n n n m m 8m n Densidad de estados ω: númeo de estados en un intevalo de enegía (,+d: 0 n n 1 1 d Paa busca la densidad de estados en enegía podemos ve pimeo la densidad de estados en el númeo cuántico n, es deci númeo de estados en un intevalo de númeo cuántico dn : n dn dn, es deci la densidad de estados (de puntos en la figua es 1. Y en el númeo cuántico, o momento: d d /(/, es deci la densidad de estados (puntos en la figua es /. Obsévese que siendo d d / / / 4/. dn n d n /, los intevalos están elacionados po d dn /, en el mismo intevalo físico aatualmente el mismo númeo de estados tanto si lo medimos con d como si usamos dn ; entonces las densidades de estado se obtienen una de la ota: d d /(/dn n dn. De la misma foma se puede obtene la densidad de estados en enegía que es la más útil: de d d / m ( m / 1/ d / tiene n dn, así se llega a d d / md / 1/, de donde [ ] 1/ (m / 1/ que indica, como debe se, la disminución de la densidad con la enegía (ve figuas.dos dimensiones: HΨ(, EΨ(, paa 0 <, < siendo p H m m ( + m / m se G. Navascués última evisión /10/005 1
2 En elación con los poblemas 1, 1 14 ( + con las condiciones de contono: Ψ( 0,,,0, 0, al se V m infinito en las paedes. a solución es: Ψ (, Ψ0 con, 1,,,... n n, n 1,,,... enegías: ( n ( n ( n m m 8m ( n 8m Pimeo obseve que todos los posibles estados están epesentados po una ed cuadada sobe el pime cuadante en el espacio de los númeos cuánticos n n. o mismo ocue en el espacio de los momentos; es la vesión en dos dimensiones de lo que ocue en una dimensión. El paámeto de ed (distancia ente puntos vecinos de la ed es 1 paa el pime caso es / en el segundo. a densidad de estados ω, unifome e igual a a ( / d d ( /, es deci, en una etensión ( estados, popocional a la etensión como coesponde a una distibución unifome. d d (,4,(4, (, (1,4,(4,1 (,,(, (1,,(,1 (, d d 5 (1,,(,1 n 1,n 1 (1,1 d d Fíjese que esté donde esté el elemento siempe 4/ abá el mismo numeo de puntos, estados. Si se toma la etensión de un cuato de coona cicula (ve figua de / ancua d adio el númeo de estados seá la densidad de estados (de puntos de la figua po el áea 1 d del cuato de coona: d d / 4 que indica que a mao adio (, paa la misma ancua (d, los estados dento del cuato de coona cecen linealmente / con, que es como cece el áea de la coona. o que se / / / 4/. a calculado es el númeo de estados con módulo del momento en el intevalo (,+d, así que tenemos la densidad de estaos en módulo de : d d. El mismo esultado se tiene si se intega ω (, d d sobe a supeficie del cuato de coona: d, d d d d dϕd dϕd d Aoa, lo mismo que en una dimensión, la elación ente l enegía el momento nos pemite obtene la densidad de estados en enegía: de se tiene d d / m, así se llega a / m m d d md / d, de donde ω ( m, que indica que la densidad de estados en enegía se mantiene constante. Esto se puede entende viendo la figua adjunta basada en G. Navascués última evisión /10/005 1 / 0
3 En elación con los poblemas 1, 1 14 que paa un mismo intevalo de enegía dє, el coespondiente intevalo de momento d decece confome cece la enegía (ve figua: d d 4/ / / / / / / 4/. Tes dimensiones: Aoa se vuelve a epeti todo con una dimensión más: p ( + + HΨ(,, EΨ(,, paa 0 <,, < siendo H m m m ( + + con las condiciones de contono: m Ψ( 0,,,,,,0,,,0,,, 0, al se V infinito en las paedes. a solución es: Ψ (,, Ψ0, con n 1,,,... n 1,,,... n 1,,,... enegías: ( n ( n ( n m m 8m Todos los posibles estados están epesentados po una ed cúbica sobe el pime octante en el espacio de los númeos cuánticos n n. o mismo ocue en el espacio de los momentos; ota ve es la vesión en tes dimensiones de lo que ocue en una dimensión dos dimensiones. El paámeto de ed (distancia ente puntos vecinos de la ed es 1 paa el pime caso / en el segundo. a densidad de estados ω,, es unifome e igual a ( /, es deci, en un volumen a ( / ( d d d estados, popocional a la etensión como coesponde a una distibución unifome. d d, d G. Navascués última evisión /10/005 1
4 En elación con los poblemas 1, m ( n (1,,,(,1,,(,, (1,1,4,(1,4,1,(4,1,1 (,,,(,,,(,, (,, (1,1,,(1,,1,(,1,1 (1,,,(,1,,(,,1 (1,,4,(1,4,,(,1,4 (4,1,,(,4,1,(4,,1 (1,,,(1,,,(,1, (,1,,(,,1,(,,1 6 (1,1,,(1,,1,(,1,1 n 1,n 1,n 1, (1,1,1 Fíjese que esté donde esté el elemento d d d siempe abá el mismo numeo de puntos, estados. Si se toma la etensión de un octavo de cáscaa esféica (ve figua de ancua d adio el númeo de estados seá la densidad de estados (de puntos de la figua po el volumen del octavo de cáscaa: 1 4 d d que indica que a mao adio (, paa la misma ancua (d, los estados 8 dento del cuato de coona cecen cuadaticamnte con, que es como cece el volumen de la cáscaa. o que se a calculado es el númeo de estados con módulo del momento en el intevalo (,+d, así que tenemos la densidad de estados en módulo de : d d. El mismo esultado se tiene si se intega ω (,, d d d sobe el volumen del octavo de cáscaa: 1 ω ( d,, d d d ddϕsenθdθ 4 d 8 VOUMEN VOUMEN Aoa, lo mismo que en una dos dimensiones, la elación ente la enegía el momento nos pemite obtene la densidad de estados en enegía: de se tiene d d / m, así se llega a m / m m d ( m 1/ ( m / V 1/ d d md / d d, de donde V ( m / 1/ 1/, que indica que la densidad de estados en enegía cece con la aí de la enegía. Esto se puede entende viendo la figua adjunta basada en que paa un mismo intevalo de enegía dє, el coespondiente intevalo de momento d decece confome cece la enegía (ve figua: d G. Navascués última evisión /10/005 1
5 En elación con los poblemas 1, 1 14 d 1 ~ dє 1 / 1 d ~ dє / G. Navascués última evisión /10/005 1
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