TEORÍA DE LOS ERRORES

Transcripción

1 TEORÍA DE LOS ERRORES Los métodos numéicos ofecen soluciones apoimadas mu cecanas a las soluciones eactas; la discepancia ente una solución vedadea una apoimada constitue un eo, po lo que es impotante sabe qué se entiende po apoima apende a cuantifica los eoes, paa minimizalos. Los eoes numéicos se genean con el uso de apoimaciones paa epesenta las opeaciones cantidades matemáticas. La elación ente un esultado eacto o vedadeo X el valo apoimado X* está dado po: X = X* o (1.1) El que un eo tenga signo positivo o negativo, genealmente no tiene impotancia, de manea que el eo absoluto se define como el valo absoluto de la difeencia ente el valo vedadeo el valo apoimado: E = X - X* (1.2) El eo absoluto se epesa en las mismas unidades que X no toma en cuenta el oden de magnitud de la cantidad que se está midiendo. El eo elativo nomaliza el eo absoluto especto al valo vedadeo de la cantidad medida: e = E/X = (X - X*)/X (1.3) El eo elativo es adimensional puede queda epesado así, en foma faccional, o se puede multiplica po 100 paa epesalo en téminos pocentuales: e (%) = E/X 100 (1.4) Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) (1.4) suponen que se conoce el valo vedadeo de X, lo que hace que los eoes absoluto elativo: E e sean también vedadeos. Peo nomalmente X no se conoce; no tendía sentido considea una apoimación, si se conociese el valo vedadeo. La mejo estimación posible del vedadeo valo de X es su apoimación X* se define entonces una estimación del eo elativo como: e* = E/X* (1.5) Peo el poblema está en cómo estima E, en ausencia de conocimiento del vedadeo valo de X. Algunos métodos numéicos usan un esquema iteativo en los que se hace una apoimación con base en la apoimación pevia esto se hace vaias veces, paa obtene cada vez mejoes apoimaciones: e* = (valo actual - valo anteio)/valo actual (1.6) Los cálculos se epiten hasta que: e* < e, donde e es un valo pefijado peviamente. 0 0 Los eoes numéicos se clasifican, po su oigen, en tes tipos: eoes inheentes, eoes de edondeo eoes po tuncamiento, cada uno de los cuales meece un tatamiento po sepaado. Los eoes inheentes se poducen po la popia vaiabilidad de los fenómenos; al se caacteizados a tavés de cantidades físicas, las mediciones conllevan incetidumbe, pues los instumentos de medición ofecen sólo una apoimación numéica del valo vedadeo de la magnitud medida, pues se caliban paa considea solamente un deteminado númeo 1

2 de cifas significativas. Todas las magnitudes que se manejan en ingenieía son susceptibles a este tipo de eoes. Po ejemplo, cuando se dice que el tiante de agua de una pesa es de 123 m, habiendo hecho la medición mediante un dispositivo que ofece una pecisión de tes cifas significativas, el tiante de agua ealmente puede fluctua ente m. X [122.5, 123.5) X* = 123 El eo inheente absoluto máimo que se puede llega a comete cumple con la desigualdad: E ma 0.5 m; el coespondiente eo inheente elativo máimo cumple con la desigualdad: e ma 0.5/122.5 = El eo inheente absoluto medio que se puede comete cumple con la desigualdad: E med 0.25 m; el coespondiente eo inheente elativo medio cumple con la desigualdad: e med Algunos autoes mencionan dento de esta clasificación los eoes humanos que se cometen al hace la lectua de una medida, al tansmitila o al tanscibila; peo, en vitud de que estos eoes de lectua, tansmisión o tanscipción pueden constituise en pifias gaafales que quedan fuea de todo contol, no es posible estimalos en foma sistematizada. Po ejemplo, si al tanscibi en un documento la densidad de un poducto, se anota en vez de 1.831, que es la medida leída, la pifia es imposible de maneja pedeci. Los eoes de edondeo se poducen al ealiza opeaciones aitméticas en las que el esultado poduce una mantisa cuo númeo de dígitos difiee significativamente del númeo de dígitos de la mantisa de alguno de los valoes numéicos involucados en la opeación. Al maneja un deteminado númeo de cifas significativas en los cálculos, el esultado tiene que se edondeado de alguna manea, sobestimando o subestimando el valo esultante vedadeo. Sea X el esultado de una opeación aitmética, el cual puede se epesado mediante notación matemática, en foma nomalizada: F 10 n, donde F está fomada po m cifas obtenidas en el esultado, de las cuales, n son enteas. Este valo se puede descompone en dos sumandos, igualmente nomalizados: el pimeo fomado po t cifas significativas, las t pimeas cifas del esultado después del punto decimal: f 10 n, el segundo fomado po las (m-t) cifas no significativas del esultado, g 10 n-t : X = F 10 n = f 10 n + g 10 n-t En vitud de que F, f g son númeos nomalizados, su valo absoluto puede toma algún valo dento del intevalo semiabieto [0.1, 1). F está fomado po m dígitos, f está fomada po t dígitos g está fomada po (m-t) dígitos. 0.1 F < 1 ; 0.1 f < 1 ; 0 g < 1 [0.1, ] [0.1, ] [0, ] m dígitos t dígitos (m-t) dígitos Al considea únicamente t cifas significativas, se están despeciando (m-t) cifas del esultado, es deci, se está edondeando el esultado. Ahoa bien, ha dos maneas de hace 2

3 ese edondeo: la pimea consiste en toma como apoimación numéica X* de la opeación ealizada el valo f 10 n, haciendo caso omiso del valo de g 10 n-t ; la segunda consiste en toma como apoimación numéica X* el valo f 10 n, peo ajustado confome al valo que tenga el pime dígito de g 10 n-t. Redondeo tuncado: X* = f 10 n (1.7) El eo absoluto que se comete en cada caso paticula es: E = g 10 n-t El eo absoluto máimo que se puede llega a comete, en cualquie caso, es: E ma < 1 10 n-t Y el eo absoluto espeado que se puede comete, consideando una distibución de pobabilidad unifome paa los eoes, es: E med < n-t El eo elativo que se comete en cada caso paticula es: e = g/f 10 1-t El eo elativo máimo que se puede llega a comete, en todo caso, es: e ma < t Y el eo elativo espeado o pomedio que se puede comete es: e med < t Puesto que X no siempe se puede conoce con eactitud, F tampoco, po lo que es imposible calcula los eoes vedadeos, se ecue a sus estimaciones: El eo elativo estimado que se comete en cada caso paticula es: e* = g/f 10 1-t El eo elativo máimo estimado que se puede llega a comete es: e* ma < t Y el eo elativo espeado estimado que se puede comete es: e* med < t Ejemplo: Efectua la suma: , consideando 4 cifas significativas con edondeo tuncado = = = = X = = = ; n = 3 ; t = 4 X* = E = X - X* = = E = = = < e = E/X = ( )/( ) = < e* = E/X* = ( )/( ) = < Redondeo simético: 3

4 f 10 n ; si g < 0.5 X* = (1.8) f 10 n n-t ; si g 0.5 El eo absoluto que se comete en cada caso paticula es: g 10 n-t ; si g < 0.5 E = 1 - g 10 n-t ; si g 0.5 El eo absoluto máimo que se puede llega a comete, en cualquie caso, es: E ma < n-t Y el eo absoluto espeado que se puede comete, consideando una distibución de pobabilidad unifome paa los eoes, es: E med < n-t El eo elativo que se comete en cada caso paticula es: g/f 10 -t ; si g < 0.5 e = (1-g)/F 10 -t ; si g 0.5 El eo elativo máimo que se puede llega a comete, en todo caso, es: e ma < t Y el eo elativo espeado o pomedio que se puede comete es: e med < t El eo elativo estimado que se comete en cada caso paticula es: e* = g/f 10 -t ; si g < 0.5 (1-g)/f 10 -t ; si g 0.5 El eo elativo máimo estimado que se puede llega a comete es: e* ma < t Y el eo elativo espeado estimado que se puede comete es: e* med < t Ejemplo: Efectua la suma: , consideando 4 cifas significativas con edondeo simético = = = = X = = = ; n = 3 ; t = 4 4

5 X* = E = X - X* = = = = = < e = E/X = ( )/( ) = < e* = E/X* = ( )/( ) = < Ejemplo: Efectua la siguiente suma: a) pimeo consideando todas las cifas incluidas en los sumandos. b) luego efectuando la suma de aiba hacia abajo, con edondeo simético t = 4, calcule el eo elativo pocentual coespondiente. c) luego efectuando la suma de abajo hacia aiba, con edondeo simético t = 4, calcule el eo elativo pocentual coespondiente. d) compae los eoes cometidos en los incisos b c, saque conclusiones. a) la suma eacta es: X = 13'716, b) la suma descendente da: X* = 13'720,000 = E = ; e = c) la suma ascendente da: X* = 13'710,000 = E = ; e = d) Es mao el eo haciendo la suma de abajo hacia aiba que haciéndola de aiba hacia abajo. Aunque teóicamente sabemos que la suma es conmutativa, esulta que al edondea siméticamente a 4 cifas significativas, el oden en que se ealiza la suma afecta el esultado. En ambos casos se cumple que: e < e ma = t = En este caso, e > e med = , lo que se eplica poque el ejemplo está amañado paa que dé eoes significativos. 5

6 Los eoes po tuncamiento ocuen cuando un númeo, cua pate faccionaia está constituida po un númeo infinito de dígitos, equiee se epesentado numéicamente en foma apoimada, utilizando un deteminado númeo de cifas significativas. Po ejemplo, es una buena apoimación del númeo, peo el valo eacto no puede se epesado numéicamente po completo, pues consta de un númeo infinito de dígitos: ; lo mismo ocue con el paa el númeo e, el paa 2, el paa 1/3. Sin embago, todos los númeos, a sean enteos, acionales o iacionales, pueden se epesentados a tavés de fomulaciones matemáticas eactas, utilizando seies infinitas; obviamente, las epesentaciones numéicas acotadas a un deteminado númeo de cifas significativas, son apoimaciones numéicas que llevan implícitos eoes po tuncamiento. Po ejemplo, los númeos 1, 1/3 e pueden epesase matemáticamente, de manea eacta, a tavés de las siguientes seies infinitas: 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/ /3 = 3/10 + 3/ / / / e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! +... En este último caso, po ejemplo, la apoimación se puede hace tuncando la seie en cualquie punto, lo que equivale a inclui 1, 2, 3,..., ó n téminos de la seie. Si tomásemos como valo "eacto" de e, , tendíamos: Téminos Apoimación Eo absoluto Eo elativo (%) El manejo de seies infinitas paa apoima valoes específicos de funciones matemáticas es fundamental paa compende a plenitud la mao pate de los métodos numéicos incluidos en este cuso, así como paa calcula los eoes po tuncamiento asociados a esas apoimaciones. Este tema seá etomado en ota pate del cuso, donde se tata con detalle el uso de la seie de Talo. Sean X, Y valoes eactos; sean X, Y sus apoimaciones. Sean E E los eoes absolutos inheentes o po tuncamiento, asociados a esas apoimaciones numéicas: sean e e los eoes elativos coespondientes. Sea E el eo absoluto de edondeo que se puede comete al ealiza cualquie opeación aitmética; e el eo elativo de edondeo coespondiente. Suma: X +Y = X + E + Y + E = (X +Y) + (E + E ) E + = E + E e + = (E + E )/(X + Y) 6

7 Resta: = [X/(X + Y)](E /X) + [Y/(X + Y)](E /Y) e + = [X/(X + Y)]e + [Y/(X + Y)]e (1.9) X - Y = (X + E ) - (Y + E ) = X + E - Y - E = (X - Y) + (E - E ) Poducto: E - = E - E e - = (E - E )/(X - Y) = = [X/(X - Y)](E /X) - [Y/(X - Y)](E /Y) = e - = [X/(X - Y)]e - [Y/(X - Y)]e (1.10) X Y = (X + E )(Y + E ) = X Y + XE + YE + E E Cociente: = X Y + X E + Y E + E E = X E + Y E e = (X E + Y E + E )/X Y = E /X + E /Y e = e (1.11) X/Y = (X + E )/(Y + E ) = (X + E )/[Y(1 + E /Y)] = [(X + E )/Y] [1/(1 + E /Y)] +E = [(X + E )/Y] [1 - E /Y + (E /Y)2 - (E /Y)3 +...] = [(X+ E )/Y] (1 - E /Y) = [(X + E )/Y] + [(X + E )E /Y2] = X/Y + E /Y - XE /Y2 - EE/Y2 + E = X/Y + E/Y - XE/Y2 + E E / = E/Y - XE/Y2 + E = (YE - XE)/Y2 e / = [(YE - XE )/Y2 ]/(X/Y) = (YE - XE )/XY = E /X - E /Y e / = e - e (1.12) Las ecuaciones (1.10), (1.11), (1.12) (1.13) muestan como se popagan los eoes al efectua las opeaciones aitméticas de suma, esta, poducto cociente, espectivamente. La popagación de los eoes cece en la medida que se efectúan más más opeaciones, aunque eventualmente llegan a disminui po efecto de compensación, cuando éstas se combinan. Cada una de las opeaciones vistas anteiomente puede se epesentada a tavés de un gáfica de poceso, como se muesta a continuación: a) Suma: e + = [X/(X + Y)]e + [Y/(X + Y)]e b) Resta: e - = [X/(X - Y)]e - [Y/(X - Y)]e c) Poducto: e = e c) Cociente: e / = e - e 7