Radar de subsuelo. Evaluación para aplicaciones en arqueología y en patrimonio histórico-artístico. 691

Transcripción

1 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 691 Capítulo 16 Eoes Resumen. En este capítulo se analizan los eoes no estadísticos cometidos en la intepetación de los egistos de ada de subsuelo, tanto aleatoios como sistemáticos. Las medidas ealizadas se han sepaado en diectas e indiectas. Las pimeas, se utilizan paa estima la magnitud de una vaiable a pati de su compaación con un valo patón. Las segundas son medidas sobe un paámeto que, a su vez, depende de una o más vaiables diectas. Eoes aleatoios. Paa las vaiables diectas, una estimación de este eo es el de lectua o de esolución instumental. En los paámetos indiectos es un eo ocasionado po cada uno de los cometidos en las medidas diectas de las vaiables implicadas, ealizando la apoximación de que los eoes son lo suficientemente pequeños paa que se puedan asimila a las deivadas paciales de la función. Se ha analizado este efecto en: El tiempo de popagación. Genealmente es una vaiable diecta, peo en ocasiones se obtiene indiectamente ealizando lectuas sobe los adagamas impesos en papel. En este caso, las vaiables diectas son la

2 692 Capítulo 16. Eoes. longitud del egisto y del intevalo hasta la llegada de la eflexión (medidas en mm) y el ango. La velocidad. - Estimada a pati de medidas diectas de distancias y tiempos. - Calculada mediante egistos hipebólicos donde las medidas diectas son los puntos (x,2t) de la hipébola. La pemitividad. - Calculada a pati de la velocidad con y sin apoximación de pequeñas pédidas. - Estimada compaando la amplitud de la onda eflejada en el medio y en una supeficie metálica (po coeficientes de eflexión). Las vaiables diectas son estas amplitudes, medidas sobe el papel en mm o sobe la pantalla del odenado en píxels. - Obtenida mediante modelos físicos (o geotécnicos) del medio estudiado, donde las vaiables diectas son las pemitividades de cada uno de los elementos componentes, la poosidad, la satuación y el pocentaje de cada elemento de la matiz. El facto de pédidas, calculado a pati de la conductividad, la pemitividad dieléctica elativa y la pulsación de la onda. El facto de atenuación. - A pati de amplitudes. - A pati de los paámetos electomagnéticos del medio y de la pulsación de la onda. Las amplitudes espeadas de la señal en cada punto de su tayectoia, consideando conocida la atenuación que se poduce, paa los casos de medios absobentes y no absobentes. Se han obtenido expesiones que pemiten estima este tipo de eo y elaciones gáficas que muestan su dependencia con la fecuencia, la conductividad y pemitividad del medio. Eoes sistemáticos. Una de las causas de estos eoes son las teoías o modelos aplicados incoectamente al medio analizado. Se han analizado dos casos:

3 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 693 El cometido cuando se aplica la apoximación de pequeñas pédidas sobe el modelo de la popagación de ondas, obteniendo una elación simplificada de fácil manejo paa calcula la velocidad. Se ha analizado el esultado sobe dos paámetos: la velocidad y la pofundidad. - Paa la velocidad, se han obtenido las elaciones que popocionan el eo absoluto y el eo elativo de la velocidad estimada sin considea la apoximación. En los dos casos son funciones que dependen de la pemitividad, la conductividad y la fecuencia. - Paa la pofundidad, se ha obtenido el eo absoluto cometido que depende linealmente del tiempo de popagación y es una función de la pemitividad, la conductividad y la fecuencia; también se ha obtenido el eo elativo de la pofundidad estimada sin ealiza la apoximación de pequeñas pédidas, que depende de las tes últimas vaiables. El eo cometido cuando en el modelo que popociona la velocidad de popagación se utilizan valoes de la pemitividad hallados en la liteatua u obtenidos con ensayos sobe zonas concetas, ya sea poque el valo que se ha tomado difiee del que ealmente pesenta el medio (pime caso) o po no considea las posibles vaiaciones lateales de la pemitividad (segundo caso). En este caso se ha estudiado el eo en: - La velocidad, dependiendo de la conductividad, de la fecuencia, de la pemitividad elativa y de la difeencia ente ε utilizada y la que ealmente pesenta el medio. Se han obtenido expesiones gáficas paa el eo absoluto y paa el eo elativo. - La pofundidad, dependiendo de las mismas vaiables que la velocidad en el caso del eo elativo y además del tiempo de popagación en el caso del eo absoluto.

4 694 Capítulo 16. Eoes Intoducción En estudios con ada de subsuelo es habitual estima la velocidad patiendo de hipótesis que simplifican la complejidad de las ecuaciones. Con estas velocidades se obtiene la pofundidad de los eflectoes. Casi todos los ensayos que se ealizan están pensados paa obtene como esultado final la velocidad de popagación en el medio o la pemitividad elativa, dos paámetos que están elacionados ente sí, siendo sencillo calcula uno si se dispone del oto. Conoce el eo asociado a cada cálculo y el debido a las apoximaciones ealizadas, pemite da un ango de validez a los esultados de la pospección. Los eoes se pueden clasifica según caacteísticas en eoes sistemáticos, eoes aleatoios y eoes ilegítimos (Giambeadino, 197?). En el anexo 6 se explican bevemente los eoes aleatoios asociados a una vaiable o a una función de vaias vaiables estimada indiectamente a pati de las medidas expeimentales de éstas. En este capítulo se analizan los eoes asociados a una única vaiable y se ealiza una estimación de los eoes cometidos al calcula una magnitud que depende de más de una vaiable, debidos a: - Obtención indiecta de paámetos a pati de medidas expeimentales que llevan un eo instumental asociado. - Obtención de paámetos utilizando ecuaciones simplificadas al aplica la apoximación de pequeñas pédidas y otas hipótesis paa facilita los cálculos. Dento del pime apatado se obtiene el eo analítico al estima los siguientes paámetos:

5 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico ) La velocidad: a) A pati de distancias y tiempos de popagación conocidos. b) A pati de las hipébolas geneadas en objetos de pequeño tamaño. 2) La pemitividad: a) A pati de la velocidad. b) A pati de la medida de la amplitud de la onda eflejada. c) A pati de modelos físicos de los medios. 3) El facto de pédidas, conociendo la pulsación de la onda, la conductividad y la pemitividad elativa del medio. 4) El facto de atenuación patiendo de las medidas de amplitud de la señal y la distancia. 5) Las amplitudes en cada punto, patiendo del facto de atenuación y de la expansión geomética. En el segundo apatado se analiza: 1) El eo que se comete en la velocidad al utiliza la ecuación simplificada po pequeñas pédidas (capítulo 4), en función de: a) La conductividad y la pemitividad del mateial. b) La pulsación de la onda y la pemitividad elativa. c) La pemitividad elativa y su eo. 2) El eo cometido al estima la pofundidad cuando se utiliza la ecuación simplificada. Paa los paámetos medidos diectamente, se ha consideado el eo instumental (tiempo y distancia). Paa la fecuencia el eo consideado es la semianchua del especto, consideando las fecuencias de cote de la banda aquellas paa las que la potencia es la mitad del pico máximo, tal como las define Duke (1990).

6 696 Capítulo 16. Eoes Paámetos calculados de foma diecta. Las vaiables obtenidas con medidas expeimentales pueden sepaase en estadísticas y no estadísticas. Dento de las vaiables consideadas estadísticas, se difeencia ente aquellas paa las cuales los eoes estánda y cuadático medio tienen un significado estadístico eal (el númeo de medidas supea las 100) y las que se epesentan con estos eoes como una definición convencional de los esultados expeimentales aunque sin pede de vista que los eoes han pedido su significado inicial (cuando el númeo de medidas se sitúa ente 10 y 100 (Giambeadino, 197?)). Cuanto mayo es el tamaño de una muesta, mejo es la estimación del eo típico o estánda. Toda la bibliogafía sobe el tema indica métodos paa estima el tamaño de la muesta (Box, Hunte y Hunte, 1988; Matinez, Maciá y Péez, 1988). En todos los ensayos hay una seie de paámetos que se obtienen a pati de medidas diectas y que se utilizan paa calcula los demás. Estos paámetos son las distancias, el tiempo, la amplitud, la fecuencia, la conductividad y la pemeabilidad magnética. En este apatado se comentan los eoes que se considean asociados con cada una de estas vaiables: Espesoes (sepaación ente la antena y el eflecto): La distancia es una vaiable no estadística ya que en cada ensayo se detemina una única vez. Se le asocia un eo de ± 0.5 cm, incluyendo en éste los eoes casuales y sistemáticos. Medidas de longitud sobe el adagama en papel: En algunos ensayos, se detemina el tiempo de popagación midiendo sobe el adagama en papel la distancia al aibo de la eflexión. En este caso, el eo asociado con la longitud medida (l) es el eo de sensibilidad del apaato de medida, siendo l = ± 0.5 mm. Amplitud medida sobe el adagama en papel:

7 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 697 Se considea de A = ± 0.5 mm. Tiempos de popagación deteminados con el geoada: El eo de sensibilidad del apaado en este caso es de 0.05 ns, tomando po ello el eo asociado a esta medida como t = ± 0.05 ns. Conductividad: Paa este paámeto se considea un eo del 5% de la medida obtenida. Pemeabilidad elativa: En todo momento se ha consideado la apoximación de medios dielécticos no magnéticos, µ =1. En el caso de medios magnéticos, el ealiza esta apoximación ocasionaía un eo sistemático. Consideando los valoes tabulados de pemeabilidad magnética (Camichael, 1989) se puede considea que este eo puede se de µ = ± 0.1. Fecuencia: Se le asocia un eo de un 10% de la semianchua de banda, deteminado a pati de obsevaciones de la fecuencia cental en los espectos de amplitud Paámetos calculados de foma indiecta. Gan pate de las magnitudes medidas en ensayos y tabajos de campo son funciones indiectas que se calculan a pati de las medidas expeimentales de otas vaiables. Es el caso, po ejemplo, de la velocidad cuando se calcula a pati de las medidas de tiempo y espeso.

8 698 Capítulo 16. Eoes. En todas estas magnitudes intevienen paámetos que llevan asociado un cieto eo máximo o instumental (si la vaiable no es estadística) o una desviación típica y un eo cuadático medio (si la vaiable es estadística). La explicación aceca del cálculo de eoes de estas magnitudes se desaolla en el anexo 6. En el caso de tene alguna vaiable estadística, el eo que se considea asociado a ésta es su desviación típica. El tatamiento geneal que se da a estos paámetos es no estadístico (ve anexo 6) Tiempo de popagación. El tiempo de popagación se calcula de foma indiecta cuando se obtiene midiendo la longitud de egisto sobe papel desde la eflexión de inteés hasta el punto de llegada de la eflexión. En este caso depende del ango del egisto, R (ns), de la longitud total del egisto, L (mm sobe el papel) y de la distancia ente el oigen de tiempos y el punto de llegada de la eflexión, l (en mm sobe el papel). Suponiendo que en R y en L no se comete eo de medida, el eo asociado al tiempo es (ecuación A6.30): R t = l (16.1) L Velocidad. La velocidad de popagación es un paámeto fundamental paa intepeta egistos de ada de subsuelo al pemiti conveti los tiempos dobles de popagación en distancias. Se puede obtene de difeentes maneas: Patiendo de espesoes y tiempos conocidos. Utilizando las hipébolas geneadas en elementos de tamaño pequeño debido al efecto del haz de emisión de la antena.

9 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 699 En este apatado se analizan los eoes aleatoios cometidos al obtene la velocidad a pati de medidas expeimentales paa cada uno de los dos métodos comentados. A pati de tiempos dobles y espesoes conocidos. La velocidad se obtiene a pati de la ecuación 7.1. Paa estima el eo cometido al calcula la velocidad ( v), se analiza el eo expeimental de apeciación asociado a las medidas de tiempo doble ( t) y distancia ( x). Con la ecuación A6.30 se obtiene una expesión paa el eo buscado: 2 x v = ± x + t (16.2) t t A pati de hipébolas. La velocidad de popagación de la onda se calcula con las eflexiones hipébolicas geneadas en objetos de pequeño tamaño (ecuación 11.12). Excepto la velocidad, todos los demás paámetos que apaecen en la expesión se miden sobe el adagama. El eo en la velocidad ( v) calculada de esta manea depende del eo cometido en: la posición de la antena ( x), los tiempos dobles de popagación ( T) y el tiempo doble de popagación cuando la antena está situada en la vetical del objeto anómalo ( T 0 ). Este punto se identifica en los egistos poque se tata del máximo de la hipébola. La expesión paa el eo en la velocidad, en función de estos paámetos es: 2 2x v = x + ( T T + T0 T ) 2 2 (16.3) 2 2 T T T T0 0 0 Siendo T el tiempo doble de popagación y T 0 el tiempo doble de popagación desde la vetical del objeto.

10 700 Capítulo 16. Eoes. Ejemplo. En el capítulo 11 se ha utiliza este método paa detemina la velocidad de popagación en el subsuelo bajo la catedal de Valencia. Se ha tabaja con dos adagamas que pesentan estas hipébolas. Una de ellas se ha poducido po la eflexión en una tumba desconocida, sita bajo el pavimento de la catedal (Figua 11.17). Los paámetos obtenidos han sido v=7.2 cm/ns y T 0 =32.6 ns. El númeo de puntos de muesteo de n = 10 es pequeño, lo que hace aconsejable analiza el eo no estadístico de esta velocidad. La distancia sobe la supeficie (x) va desde x=0 cm cuando la antena se sitúa sobe la vetical de la tumba a x = ± 0.5 cm cuando la antena se sitúa en el punto más extema en la que se egista la tumba. El eo en la deteminación del tiempo sobe el papel es de t = ± 0.1 ns (ecuación 16.1). El tiempo de popagación es de 32.6 ± 0.1 ns paa t 0 y de 49.0±0.1 ns paa el punto más alejado consideado (x=130 m). Con estos valoes la expesión 16.3 popociona un eo de ±0.1 cm/ns, lo que quiee deci que la velocidad calculada es v=7.2 ± 0.1 cm/ns Pemitividad. La pemitividad de un medio es oto paámeto fundamental en la intepetación de los datos de ada. Se puede obtene de divesas fomas: Utilizando la velocidad y consideando la apoximación de pequeñas pédidas (P<<1)(capítulo 4). A pati de la velocidad sin ealiza la apoximación de pequeñas pédidas. Analizando la amplitud de las eflexiones. Con modelos geotécnicos de los medios.

11 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 701 A pati de la velocidad con P<<1. La ecuación 4.4 pemite estima ε patiendo de la velocidad (v) utilizando la apoximación de pequeñas pédidas, paa un medio no magnético. En este caso la pemitividad depende de la velocidad de la onda en el vacío (c=30 cm/ns) y de la velocidad (v). El eo no estadístico asociado con la pemitividad ( ε ) se expesa po (ecuación A6.30): 2 2c ε = v (16.4) 3 v Utilizando la expesión del eo de la velocidad (ecuación 16.2) la expesión 16.4 se puede escibi en función de las vaiables medidas expeimentalmente: el tiempo y la distancia. Queda: ε = c 2 x T 2 x + T (16.5) 3 2x T Ejemplo. En el caso 2 del capítulo 10 se analiza la pemitividad efectiva de un suelo agícola, esultando se de ε =12. Las vaiables expeimentales son: - Espeso del mateial: x = 37.0 ± 0.5 cm. - Tiempo doble de popagación: T = 8.5 ± 0.1 ns. - Velocidad de popagación v = 8.7 ± 0.2 cm/ns (ecuación 16.2). Con ellas se obtiene ε = ± 0.7. El esultado final es, pues: ε = 12.0±0.7. En este caso se ha estimado el eo aleatoio. El eo sistemático que poviene de la simplificación utilizada se analiza más adelante. A pati de la velocidad sin considea pequeñas pédidas. Con medios de conductividad alta no es coecto utiliza la ecuación 4.4. El el caso más geneal, la expesión elaciona la pemitividad elativa efectiva

12 702 Capítulo 16. Eoes. (ε ) con la pemeabilidad magnética elativa del medio (µ ), la velocidad de popagación (v), la conductividad del mateial (σ) y la pulsación del campo electomagnético (ω). El eo expeimental cometido en la deteminación de la pemitividad efectiva elativa, con la ecuación 10.19, tiene la siguiente expesión: ε = ± µ c v 2 µ 2µ + v σv v + 2cωε 0 2 µ 2 v µ σ ω v σ ω (16.6) Ejemplo: Se analiza el caso anteio. La antena utilizada es la de 900 MHz (3101 de GSSI). El especto de amplitud tiene un ancho de banda de 900 MHz paa un espeso de mateial de 37 cm (tabla 10.16). La conductividad es de 25 ms/m. Con estas vaiables y sus eoes asociados se obtiene que e = ± 2, siendo po ello el valo expeimental de la constante dieléctica de ε =12±2. A pati de la amplitud de las eflexiones. La ecuación 11.7 elaciona ε con las amplitudes de las eflexiones, medidas sobe las tazas en papel. Los egistos se obtienen con la misma antena y utilizando los mismos paámetos de adquisición en todos los casos. Este método induce un eo impotante en el paámeto ε poque, al esta las amplitudes elevadas al cuadado, un pequeño eo en su deteminación oigina una impotante vaiación de la pemitividad. La expesión del eo ε esulta: A M + A m A M + A m A M + A m A M A M 1 + A m A m ( A A ) A M A m A M A m ε = 4 (16.7) 2 M m Siendo A M la amplitud debida a la eflexión en el metal (capítulo 11) y A m la debida a la eflexión en el medio que se quiee caacteiza.

13 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 703 Ejemplo. En el ejemplo mostado en el capítulo 11 paa el estudio de un suelo húmedo, tomando las amplitudes que esultan cuando la distancia antena - eflecto es de 30 cm: - Paa la eflexión en la supeficie del suelo: A m = 14 ± 0.5 mm. - Paa la eflexión en la supeficie metálica: A M = 19 ± 0.5 mm. El eo que popociona la ecuación 16.7 es de ε = ± 0.7. El esultado expeimental de la pemitividad calculada es de ε = 11.0 ± 0.7. A pati de modelos geotécnicos y físicos de medios. En el capítulo 6 se han pesentado difeentes modelos utilizados paa epesenta los medios en los que se tabaja. Estos modelos dependen, pincipalmente, de la poosidad, de la satuación y de los mateiales de la matiz que, a menudo, se pueden clasifica a pati de su ganulometía. En el capítulo 11 se ha compobado que, utilizando estos modelos, si se conocen los paámetos geotécnicos mencionados, se puede obtene una estimación indiecta de la pemitividad elativa del medio. Se analiza a continuación el eo cometido utilizando un modelo CRIM (capítulo 6) paa cuato componentes: aena, acilla, agua y aie (ecuación 6.3), consideando que las vaiables utilizadas se han obtenido a pati de medidas expeimentales diectas (figua 11.2). La pemitividad elativa depende en este caso de: - La poosidad del medio. - La satuación. - El pocentaje de acilla. - Las pemitividades elativas del aie, agua, aena y acilla. Como se desconoce en este caso el eo aleatoio asociado a cada una de estas vaiables, se toma como un 10% del su valo.

14 704 Capítulo 16. Eoes. En este caso, el eo asociado con la pemitividad elativa se expesa po (ve el capítulo 6 paa la descipción de las vaiables): ε m = ε m ( 2 {(1 S ) ε + S ε P ε (1 P ) ε }( a 0 a a a ac a ae φ) + + 2φ( ε a ε 0 )( S ) + φ(1 S ) ε a a ( ε ) + φs ε 0 a 3 2 a ( ε a ) + + (1 φ)p ε a 3 2 ac ( ε ac ) + (1 φ)(1 P ) ε a 3 2 ae ( ε ae ) ) (16.8) Ejemplo. Con la expesión 16.8 y los valoes de las vaiables que se muestan en el apatado 11.3 el eo que se obtiene paa la pemitividad de la muesta E3 (tabla 11.1) es de ε = ± 7. La pemitividad elativa expeimental tiene que expesase, en este caso como: ε = 25 ± Facto de pédidas. El facto de pédidas (ecuación 4.8) es un paámeto calculado eiteadamente duante los análisis con ada de subsuelo, poque pemite detemina si, paa la fecuencia utilizada, el medio puede considease dieléctico. Depende de la conductividad, de la pemitividad efectiva del medio y de la pulsación del campo electomagnético. El eo que se comete al estima este paámeto de foma indiecta tiene la siguiente expesión: σ σ ω ε P = + + (16.9) ωε σ ω ε Ejemplo. Se analiza el eo cometido al estima P en el caso 2 del capítulo 10, paa difeentes valoes de la fecuencia (ente 10 y 1000 MHz) y un mismo medio. El esultado se muesta en la gáfica de la figua Se obseva que el eo en el

15 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 705 facto de pédidas disminuye al aumenta la fecuencia. Paa valoes mas altos de la fecuencia se obtienen valoes más pequeños del facto de pédidas Eo en el facto de pédidas, P Fecuencia (MHz) Figua Eo en el facto de pédidas en función de la fecuencia. La conductividad es de 25 ms/m y la pemitividad elativa de 12. Como ejemplo numéico, en el caso 2 del capítulo 10, paa la antena de 900 MHz se había calculado un facto de pédidas de P = paa una fecuencia de 550 MHz. Con la gáfica de la figua 16.1, calculada paa este medio, se obtiene que paa la fecuencia de 550 MHz el eo en el facto de pédidas es de P = ± Esto quiee deci que el facto de pédidas calculado de foma indiecta se tiene que pesenta como P = 0.07 ± Se tata de un eo impotante. Paa esta misma antena y el mismo medio, con una fecuencia cental de 900 MHz, el facto de pédidas es de P= El eo que, paa esta fecuencia, nos indica la gáfica de la figua 16.1 es de P = ± , quedando el facto de pédidas como: P = ±

16 706 Capítulo 16. Eoes Facto de atenuación. A pati de las amplitudes. El facto de atenuación se calcula en los ensayos de laboatoio a pati de las amplitudes elativas 1 medidas a difeentes distancias, utilizando la ecuación Despejando de esta expesión se obtiene el valo de α: 1 A α = ln (16.10) A 0 Donde es la tayectoia de la onda que equivale a dos veces la sepaación ente la antena y la supeficie eflectoa, A es la amplitud elativa de la onda eflejada y A 0 la amplitud elativa de la onda inicial, una constante que se obtiene a pati de la egesión po mínimos cuadados y que es invesamente popocional a la amplitud de la onda diecta. Paa calcula el eo asociado al coeficiente de atenuación se calculan las deivadas paciales de la expesión especto a las vaiables expeimentales (ecuación A6.30). Las amplitudes elativas de la eflexión e inicial son paámetos obtenidos indiectamente a pati de las siguientes elaciones: A A 0 = A A d A = A 0 d (16.11) Siendo A 0 una constante elacionada con la amplitud inicial y A y A d las amplitudes de la eflexión y de la onda diecta espectivamente, medidas expeimentalmente. El eo no estadístico asociado con A y con A 0 de la ecuación es: 1 Las amplitudes elativas son adimensionales y se obtienen dividiendo la amplitud de cada eflexión po la de la onda diecta (se desconoce la amplitud de la onda inicial).

17 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 707 A A 0 = 1 A d A = A 0 2 d A + A d A A d A d = 1 A d { A + A A } d (16.12) La expesión paa estima el eo máximo no estadístico del facto de atenuación esulta: 1 A 1 2 α = ln 1 A A 2 d + + A (16.13) 0 A A d Ejemplo. Como ejemplo se analiza el eo no estadístico paa el facto de atenuación obtenido con la antena de 1 GHz en el caso 2 del capítulo 10. El medio es un suelo caacteizado po γ n =1.60±0.07 g/cm 3, S a =0.36±0.04 y n=0.46± El facto de atenuación obtenido mediante egesión es de α=1.93 m -1 (tabla 10.16). La desviación típica obtenida en la egesión es de σ=±0.13 m -1 y el númeo de muestas utilizado es de m=5. Como es un valo infeio a 10, el eo estánda estimado no es epesentativo y hay que calcula el eo máximo no estadístico paa cada dato. El facto de atenuación estimado es de α = 1.93 m -1 paa la antena 1 GHz (tabla 10.16). La amplitud medida paa la eflexión a una sepaación de 0.14 m (distancia de popagación de 0.28 m) es de 46 mm, la de la onda diecta es de 68 mm y el valo obtenido paa la constante A 0 es de (tabla 10.16). Con la ecuación se obtiene α = ± 0.1 m -1. El facto de atenuación expeimental se epesenta como α = 1.9 ± 0.1 m -1. Se tata de un eo del mismo oden de magnitud que el eo estánda obtenido a pati de la egesión de las cinco medidas. Este eo se puede calcula paa cada una de las distancias, obteniendo valoes distintos en cada caso. En la gáfica 16.2 se pesentan estos eoes sobe la atenuación.

18 708 Capítulo 16. Eoes. 2.4 Suelo caacteizado po: Eo en el facto de atenuación, α Eo en el facto de atenuación paa cada espeso ± α (=28 cm) ± α (=41 cm) ± α (=56 cm) γ n = 1.6 ± 0.07 g/cm 3 S a = 0.36 ± 0.04 n = 0.46 ± Facto de atenuación: α = 1.9 ± α m -1 ± α (=66 cm) ± α (=74 cm) Distancia (m) Figua Eoes estimados paa el facto de atenuación a cada distancia. A pati de la ecuación de a. También se puede calcula α conociendo las caacteísticas del medio y las fecuencias de la señal. En este caso, se considea que el facto de atenuación depende de la pulsación del campo electomagnético y de dos paámetos del medio: la conductividad y la pemitividad elativa. No se considea dependencia de α con la pemeabilidad magnética, lo que quiee deci que se despecian las pédidas magnéticas (un análisis sobe el significado de las pédidas magnéticas puede encontase, po ejemplo, en Olhoeft y Capon, 1994). El eo en α se detemina a pati de las ecuaciones 4.9 y A6.30. Ejemplo. Se calcula el eo sobe el facto de atenuación obtenido paa el agua (capítulo 9) utilizando la caacteización electomagnética del medio. El valo de este facto es de α = 8.5 m -1. Las vaiables expeimentales son:

19 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico La conductividad del agua: σ = 400 ± 20 ms/m. - La pulsación de la adiación empleada: f = 450 ± 45 MHz. - La pemitividad efectiva elativa del agua: ε = 79 ± 8. Con estos valoes se obtiene la siguiente expesión paa α: 11 2 α = 3 10 ω ε σ (16.14) El facto de atenuación esultante es, en este caso, de α = 8.5 ± 0.8 m Amplitud de la onda a pati de la atenuación estimada. Medio absobente. En ocasiones, conocida la función de atenuación de la onda, inteesa pedeci la amplitud en un deteminado punto de la tayectoia. En muchos casos, esta función se puede apoxima po el efecto de la expansión geomética y la absoción del medio. La amplitud en este caso viene dada con la ecuación Las vaiables que pueden intoduci eoes en la pedicción de la amplitud a una distancia deteminada son: la distancia del fente de ondas a la antena, el facto de atenuación (α) y el facto de expansión geomética (d). Este último facto se puede considea igual a la unidad paa ondas intenas. La expesión paa el eo A es: A = ± A = ± 1 {( d + α) + α + ln d} = d α 1 e {( d + α) + α + ln d} (16.15) Ejemplo. Paa la atenuación de la amplitud duante la popagación en agua, con la expesión y utilizando las vaiables del apatado anteio se llega a:

20 710 Capítulo 16. Eoes. A A 1 = ± {( + 8.5) ln } (16.16) Que popociona el eo elativo al valo de la amplitud como una función de la distancia paa un facto de atenuación de α = 8.5 ± 0.8 m -1. En la figua 16.3 se pesenta la gáfica que epesenta esta dependencia del eo elativo de la amplitud con la distancia. 1.5 Eo elativo de la amplitud Α/A Distancia (m) Figua Eo en la amplitud elativa (dividida po la amplitud de la onda diecta) fente a la distancia ecoida po la adiación. Medio no absobente. Cuando los medios son no absobentes, la atenuación de la amplitud se poduce sólo po expansión geomética. Este es el caso de los ensayos ealizados en aie (capítulo 8). En este caso se tabaja con la ecuación 8.4. La amplitud depende de d (facto de atenuación geomética) y de (distancia). El eo asociado a la ecuación 8.4 es: A = ± d 1 { d x + ln d} (16.17)

21 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 711 Ejemplo. En los ensayos con la antena de 900 Mhz (3101 de GSSI) se ha obtenido un valo cecano a la unidad paa d. En la figua 16.4 se epesenta el eo asociado a cada amplitud a pati de la ecuación junto con las amplitudes expeimentales medidas Eo en la am plitud elativa Distancia ecoida (m) Figua Datos expeimentales paa el aie (con la antena 3101 de GSSI). La línea continua epesenta la egesión de estos valoes, y las líneas discontinuas la banda de eoes espeada paa cada distancia. Los puntos son las amplitudes medidas expeimentalmente.

22 712 Capítulo 16. Eoes Eoes sistemáticos. Modelos simplificados. Dento de los eoes sistemáticos se analizan los efectos que poduce la utilización de modelos de popagación simplificados sobe la velocidad y la pofundidad. En este apatado se estima la validez de estas apoximaciones, analizando el eo intoducido en función de las caacteísticas de la antena, del medio, y de los eoes aleatoios asociados al análisis. También se considean los eoes que se comenten al calcula la pofundidad y la velocidad a pati de las pemitividades Eo en la velocidad al utiliza la fómula simplificada. Paa tansfoma los tiempos dobles de popagación en pofundidades, se suele considea que como el medio es un dieléctico de bajas pédidas, se puede utiliza la velocidad definida en la ecuación 4.4, calculada con un valo de la pemitividad elativa epesentativo del medio (genealmente extaído de la liteatua paa mateiales similaes a los del caso estudiado). En algún caso se ealizan ensayos paa obtene este paámeto o, diectamente, la velocidad. Al utiliza la ecuación 4.4 se están asumiendo dos supuestos impotantes: El medio es pefectamente dieléctico, po lo tanto σ = 0. Las pédidas magnéticas son nulas (µ =1). La segunda hipótesis es cieta en un gan númeo de casos, peo no ocue lo mismo con la pimea, que depende de las caacteísticas del medio y de la fecuencia utilizada. Paa analiza el eo cometido al aplica esta pimea hipótesis se compaa la velocidad apaente (v A ) calculada con la ecuación 4.4 con la velocidad (v)

23 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 713 obtenida a pati de la ecuación El eo elativo en la velocidad, E(v) se obtiene como el cociente ente las dos velocidades (Fuhwith y Schmölle, 1996): E(v) v A = (16.18) v Intoduciendo las expesiones 4.4 y 3.25 en la ecuación 16.18, se llega a la siguiente expesión paa este eo sistemático: σ E(v) = ωε0ε (16.19) El pocentaje de eo cometido en la velocidad apaente, elativo a la velocidad v es: v A E(v)% = (16.20) v Las ecuaciones y dependen de la pulsación de la onda, de la conductividad del medio y de la pemitividad. Eo sistemático con la conductividad. La figua 16.5 es una gáfica que muesta la vaiación de E(v) con la pemitividad del medio paa difeentes valoes de la conductividad. Se ha calculado con la ecuación paa una fecuencia constante de 500 MHz. Se obseva que el eo es mayo paa valoes de la pemitividad elativa más póximos a la unidad y paa conductividades altas. Con la ecuación se obtiene el pocentaje de eo elativo a la velocidad v sin apoximación de pequeñas pédidas (figua 16.6). Esto popociona una medida de la desviación sobe cada valo de la velocidad debido a la apoximación de pequeñas pédidas.

24 714 Capítulo 16. Eoes. Las gáficas de las figuas 16.5 y 16.6 indican lo que se desvia v A d v. Po ejemplo, en un medio con pemitividad elativa de 1, si la conductividad es de 10 ms/m, la difeencia ente v A y v es del 12%. Paa la misma conductividad y una pemitividad de 2 esta difeencia es del 3.6%. Pasa a se del 1.7% paa una pemitividad de 3. Si ε =9, la difeencia es apoximadamente del 0.16% y paa ε =15 del 0.071%. En geneal el eo disminuye ápidamente al aumenta la pemitividad del medio y po lo tanto es meno paa velocidades de popagación más bajas E(V) = V A / V Valoes de la conducttividad σ = 10 ms/m σ = 8 ms/m σ = 6 ms/m σ = 4 ms/m σ = 2 ms/m σ = 1 ms/m Constante dieléctica elativa, ε Figua Eo sistemático en la velocidad con la pemitividad elativa del medio, paa difeentes valoes de la conductividad y una fecuencia constante de 500 MHz y una pemeabilidad magnética de m =1.

25 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 715 También se apecia que, paa un valo más elevado de la conductividad esta difeencia es mayo. Po ejemplo, en el caso de una ε =1 es del 12% si la conductividad es de 10 ms/m, peo pasa a se de 8.3% si σ=8 ms/m, de 5.1% si σ=6 ms/m y de 0.16% si σ=1ms/m. Valoes de la conducttividad σ = 10 ms/m 1E+1 σ = 8 ms/m σ = 6 ms/m E%(V) = 100*(1- (Va/V) ) 1E+0 1E-1 1E-2 1E-3 σ = 4 ms/m σ = 2 ms/m σ = 1 ms/m 1E Constante dieléctica elativa Figua Difeencia pocentual ente v A y v (ecuación 16.20). Dependencia con la pemitividad elativa del medio, paa difeentes valoes de la conductividad. La fecuencia consideada es de 500 Mhz y la pemeabilidad magnética, la unidad. Los esultados muestan que la aplicación de la apoximación consideada es más delicada cuando la conductividad del medio es alta, sobe todo si además el medio pesenta velocidades elevadas. Se obseva que po encima de ε =5 y po debajo de σ=10 ms/m la difeencia analizada es inapeciable paa las medidas que se efectúan. Eo sistemático con la fecuencia. Paa analiza el efecto de la fecuencia en el eo sistemático se epesentan paa una conductividad constante las ecuaciones y 16.19, vaiando en cada caso

26 716 Capítulo 16. Eoes. la fecuencia. En la figua 16.7, las gáficas mostadas se han calculado paa σ=6ms/m. En los dos casos, el eo es mayo paa las fecuencias más bajas. Po encima de los 100 MHz el eo es pácticamente despeciable, sobe todo en el caso de medios con pemitividades elativas po encima de 4. Paa la esolución de este método, en estos casos, el valo de v se puede considea igual al de v A (gáfica 16.7.b). Estos esultados indican que con antenas de baja fecuencia es necesaio analiza cuidadosamente el medio poque la apoximación po pequeñas pédidas puede intoduci un eo elativamente impotante. Paa las fecuencias utilizadas en la mayo pate de los casos pácticos pesentados en esta tesis, el eo es pácticamente despeciable, sobe todo teniendo en cuenta que usualmente se tabaja en medios de pemitividad elativa po encima de 4 o de 5, siendo habituales mateiales con pemitividades po encima de 12 y llegando incluso a valoes de 15 y 16.

27 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico Valoes de la fecuencia (MHz) E(V) = V A / V (Conductividad de σ = 6 ms/m) 10 MHz 100 MHz 300 MHz a Constante dieléctica elativa, ε E(V) = V A / V Valoes de la fecuencia (MHz) (Conductividad σ = 6 ms/m) 100 MHz 300 MHz 500 MHz 900 MHz 1000 MHz b Constante dieléctica elativa, ε Figua Relación de la difeencia ente v A y v con la pemitividad (ecuaciones y 16.19) paa difeentes fecuencias, dada una conductividad de 6 ms/m. a) Compaación una fecuencia baja (10 MHz) y dos fecuencias medias (100 y 300 MHz). b) Compaación de tes fecuencias medias con dos altas paa GPR (900 y 1000 GHz).

28 718 Capítulo 16. Eoes Eo sistemático en la pofundidad. La distancia a la supeficie eflectoa se calcula con los tiempos dobles de popagación y la velocidad estimada. Po ello, el eo sistemático asociado con la velocidad también afecta la pofundidad en toda intepetación. Se analiza el efecto que tiene la velocidad en los espesoes estimados, despeciando los eoes asociados al tiempo y consideando que: E(x) = t E(v) (16.21) Con la ecuación queda: E(x) t σ = 1 1 = t a (16.22) 0 ωε ε Paa valoes fijos de los paámetos del medio y de la fecuencia, la ecuación es una ecta que depende del tiempo, de pendiente el eo calculado paa la velocidad (ecuación 16.22) Vaiación de la velocidad y pofundidad con la difeencia ente la pemitividad del medio y la utilizada. Paa obtene velocidades y pofundidades se puede pocede de dos fomas: Realizando ensayos diectos. Los eoes casuales asociados con estos ensayos se han tatado al inicio de este capítulo. Como el valo obtenido de este modo se suele extapola a todo el medio analizado, si existen cambios lateales de velocidad, se comete un eo sistemático asociado a un paámeto inexacto. Utilizando valoes de la liteatua paa ε. Estos valoes pueden difei de los que pesenta el medio estudiado, de manea que al calcula las

29 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 719 velocidades y pofundidades se comete un eo sistemático debido a la difeencia ente la pemitividad eal y la utilizada, E(ε ). A continuación, se analiza el eo elativo paa cada valo de la velocidad en función de la pemitividad, paa difeentes valoes de E(ε ), que se puede expesa como: E(v) cε = E( ε ) (16.23) Paa la pofundidad se considea la expesión: E(h) t c = E( ε ) (16.24) 3 2 ε Donde h es la pofundidad y t el tiempo de popagación. No se ha consideado eo aleatoio cometido en la medida del tiempo de popagación. Se obseva que el eo en la pofundidad es lineal especto al eo cometido al obtene la pemitividad. Las ecuaciones y dependen del valo utilizado paa la pemitividad y del eo cometido en la misma, calculado como la difeencia ente la pemitividad eal del medio y la utilizada. En la gáfica de la figua 16.8, se pesenta la elación ente en cociente del eo en la velocidad y la velocidad calculada, con la pemitividad utilizada consideando difeentes valoes de E(ε ): E(v) v 1 E( ε ) = (16.25) 2 ε Se muestan las cuvas efeidas a eoes de la pemitividad ente ±1 y ±6. Si el medio pesenta una pemitividad homogénea, el eo sistemático cometido po esta causa al calcula la velocidad viene deteminado po las gáficas de la figua

30 720 Capítulo 16. Eoes y depende de la pemitividad utilizada y de la difeencia ente ésta y la pemitividad que ealmente pesenta el medio. 3.0 E(ε ) E(ε )= + _ 1 E(ε )= + _ 2 E(ε )= + _ 3 E(ε )= + _ 4 E(ε )= + _ 5 E(ε )= + _ 6 E(v)/v Pemitividad elativa utilizada, ε Figua Eo elativo de la velocidad con la pemitividad del medio y paa difeentes valoes del eo cometido al calcula o estima la pemitividad. También se puede obtene una expesión gáfica del eo cometido al detemina la distancia a una supeficie eflectoa, E(h), con la pemitividad efectiva del medio y el valo de E(ε ) (ecuación 16.24). Esta gáfica se muesta en la figua Los eoes más pequeños se cometen paa difeencias E(ε ) pequeñas. También se obseva que el eo paa un mismo E(ε ) es meno cuanto mayo es la

31 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico. 721 pemitividad elativa del medio (que coesponde a velocidades menoes). La gáfica de la figua 16.8 se ha calculado consideando que la supeficie eflectoa está situada a una distancia de 100 ns (tiempo doble). La constucción de este tipo de epesentaciones apoxima el eo cometido paa tiempos fijos de popagación de la señal Eo en la pofundida estimada (m), E(h) Eo en la pemitividad E(ε )= + _ 1 E(ε )= + _ 2 E(ε )= + _ 3 E(ε )= + _ 4 E(ε )= + _ Pemitividad del medio Figua Eoes en la distancia paa un tiempo de popagación de 100 ns, con la pemitividad del medio paa difeentes eoes en la estimación de dicha pemitividad. En la figua 16.9 (calculada paa un tiempo doble t=100 ns) se puede ve que en geneal, paa un mismo E(ε ), el eo sobe la pofundidad disminuye al aumenta la pemitividad del medio. Po ejemplo, paa ε =1 y un E(ε )=±1 el eo al detemina la pofundidad puede se de 7.5 m sobe una pofundidad de 15 m, es deci, el cociente del eo sobe la pofundidad es de 0.5. Paa el mismo tiempo de popagación, el eo es de 2.7 m sobe una pofundidad de 10.6 m si la pemitividad de 2 con un eo asociado de ±1, siendo la pofundidad en este caso

32 722 Capítulo 16. Eoes. de 10.6 m. Cuando ε =12±1, el eo en la pofundidad es de 0.2 m y el espeso son 4.3 m, po lo que el cociente es de Estos ejemplos se ecogen en la tabla t (ns) e E(e ) h (m) E(h) (m) E(h)/h ± ± ± ± ± ± Tabla Ejemplos de eoes y eoes elativos asociados a pofundidades paa difeentes pemitividades y valoes de E(e ) (figua 16.9). El tiempo t es tiempo doble. Es inteesante considea el eo elativo a la pofundidad calculado como el cociente de E(h) ente h: E(h) h 1 E( ε ) = (16.26) 2 ε Esta elación, análoga a la obtenida paa la velocidad, se epesenta en la figua Las cuvas de esta figua se pueden utiliza paa cualquie tiempo de popagación, siendo útiles paa ealiza una estimación ápida del eo cometido duante un estudio páctico al estima pofundidades patiendo de pemitividades calculadas o de valoes hallados en la liteatua.

33 Rada de subsuelo. Evaluación paa aplicaciones en aqueología y en patimonio históico-atístico Eo elativo en la pofundidad, E(h)/h Eo en la pemitividad E(ε )= + _ 1 E(ε )= + _ 2 E(ε )= + _ 3 E(ε )= + _ 4 E(ε )= + _ Pemitividad del medio, ε Figua Eo elativo en la pofundidad con la pemitividad elativa del medio y su eo Conclusiones. Paa los eoes aleatoios o casuales no estadísticos asociados con difeentes paámetos, se han obtenido expesiones que pemiten una estimación ápida de dichos eoes en función de los eoes instumentales. Se ha obsevado que, en muchos casos, estos eoes son similaes a los eoes estánda calculados estadísticamente en los difeentes ensayos ealizados.

34 724 Capítulo 16. Eoes. Paa los eoes sistemáticos ocasionados po la apoximación de pequeñas pédidas, se obseva que el modelo esultante tiene menos eo si la conductividad del medio es pequeña y la pemitividad elevada. También se obseva una dependencia impotante de los eoes sistemáticos con la fecuencia. Paa fecuencias altas este eo es meno, mientas que esulta impotante paa fecuencias bajas (10 MHz). Se han obtenido epesentaciones gáficas del eo en la velocidad y en la pofundidad donde puede apeciase que po encima de ε =5 y po debajo de σ=10 ms/m si se tabaja con fecuencias de 100 MHz o supeioes la difeencia ente los dos modelos (el apoximado y el no apoximado) es despeciable. Paa difeencias pequeñas ente ε estimada y ε eal, hay que i con cuidado en medios de alta velocidad (baja pemitividad), donde el eo en la distancia puede alcanza un 50% con una difeencia de E(ε )=±1 si el medio pesenta una pemitividad elativa de ε =1 (aie). En caso de valoes de E(ε ) po encima de ±2, el eo es supeio al valo de la pofundidad calculado. Paa medios de baja velocidad con pemitividades elativas po encima de 14, el eo en la pofundidad es infeio en todo momento al 20%, incluso cuando la difeencia de pemitividades es elevada (±5). Con E(ε )=±1 el máximo eo es del 50% y se alcanzan valoes infeioes al 10% a pati de ε =5. Estos cálculos indican que es necesaio selecciona cuidadosamente la velocidad o la pemitividad paa obtene una intepetación fina del medio.